Giáo viên biên soạn: Nguyễn Văn Tùng Trang 1 CÔNG THỨC TOÁN HỌC LỚP 12  PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MP  VÉCTƠ Cho 2 vectơ );( 21 aaa = , );( 21 bbb =     = = ⇔= 22 11 ba ba ba  );( 2211 bababa ±±=±  );(. 21 kakaak =  2 2 1 1 // b a b a ba =⇔  2211 . bababa +=  0 2211 =+⇔⊥ bababa  2 2 2 1 aaa +=  2 2 2 1 2 2 2 1 2211 ),cos( bbaa baba ba ++ + =  Cho 3 điểm A(x A ;y A ) , B(x B ;y B ) , M(x M ;y M ) Ta có:  );( ABAB yyxxAB −−=  22 )()( ABAB yyxxAB −+−= M chia đoạn AB theo tỉ số k≠ 1 M:        − − = − − = k kyy y k kxx x BA M BA M 1 1 M là trung điểm của đoạn AB M:      + = + = 2 2 BA M BA M yy y xx x  3 điểm A, B, C thẳng hàng AC//AB ⇔  Cho 3 điểm A(x A ;y A ) , B(x B ;y B ) , C(x C ;y C )  G là trọng tâm của ∆ ABC PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KG  VÉCTƠ Cho 2 vectơ );;( 321 aaaa = , );;( 321 bbbb =      = = = ⇔= 33 22 11 ba ba ba ba );;( 332211 babababa ±±±=± );;(. 321 kakakaak = 3 3 2 2 1 1 // b a b a b a ba ==⇔ 332211 . babababa +++= 0 332211 =++⇔⊥ babababa 2 3 2 2 2 1 aaaa ++= 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 332211 ),cos( bbbaaa bababa ba ++++ +++ =  Cho 3 điểm A(x A ;y A ;z A ) , B(x B ;y B ;z B ) , M(x M ;y M ;z M ) Ta có:  );;( ABABAB zzyyxxAB −−−=  222 )()()( ABABAB zzyyxxAB −+−+−= M chia đoạn AB theo tỉ số k≠ 1 M:          − − = − − = − − = k B kz A z M z k B ky A y M y k B kx A x M x 1 1 1 M là trung điểm của đoạn AB M:          + = + = + = 2 2 2 B z A z M z B y A y M y B x A x M x G:      ++ = ++ = 3 3 CBA G CBA G yyy y xxx x  H là trực tâm của ∆ ABC      ⊥ ⊥ ACBH BCAH ⇔      = = 0. 0. ACBH BCAH TRƯỜNG PTTH THỚI LONG Giáo viên biên soạn: Nguyễn Văn Tùng Trang 2  I là tâm của đường ngoại tiếp ∆ ABC    = = 22 22 ICIA IBIA  Diện tích ∆ ABC ACAB ACAB ABC yyyy xxxx S −− −− = ∆ 2 1  ĐƯỜNG THẲNG PT tổng quát của đường thẳng (∆): A(x-x o ) + B(y-y o ) = 0 Hay: Ax + By + C = 0 VTPT );( BAn = > VTCP );( ABa −=  Khoảng cách từ điểm M 0 (x o; y o ) đến đường thẳng (∆): Ax + By + C = 0 22 00 0 ),( BA CByAx Md + ++ =∆  PT tham số của đường thẳng (d):    += += tayy taxx 20 10 t∈R Với M 0 (x o; y o )∈(d) , VTCP )a;a(a 21 =  vị trí tương đối của 2 đường thẳng (d 1 ) : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 (d 2 ) : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 22 11 BA BA D = ; 22 11 CB CB D X = ; 22 11 AC AC D Y = * D ≠ 0 ⇔ (d 1 ) cắt (d 2 ) * D = 0 , D x ≠0 hoặc D y ≠0 ⇒(d 1 ) song song (d 2 ) * D = D x = D y = 0 (d 1 ) trùng với (d 2 )  Góc giưã 2 đường (d 1 ) và (d 2 ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 cos BABA BBAA ++ + = ϕ  ĐƯỜNG TRÒN (C) Dạng 1: (x-a) 2 +(y-b) 2 =R 2 Tâm I(a;b) bán kính R  Tiếp tuyến với (c) tại điểm M 0 (x o ;y o )∈(c)  Tích có hướng Cho 3 vectơ );;( 321 aaaa = , );;( 321 bbbb = , );;( 321 cccc =  [ ]         = 21 21 ; 13 13 ; 22 32 , bb aa bb aa bb aa ba  [ ] 0., = cba cba ,,⇒ đồng phẳng  [ ] ACAB ABC S , 2 1 = ∆  [ ] AAADABV DCBAABCD ., ''''. =  [ ] ADACABV ABCD ., 6 1 = ( ABCD : tứ diện )  MẶT PHẲNG PT tổng quát của mặt phẳng (α): A(x - x o ) + B(y - y o ) + C(z - z o ) = 0 Hay Ax + By + Cz +D = 0 VTPT );;( CBAn =  Khoảng cách từ điểm M 0 (x o; y o ) đến mp(α) 222 000 0 )(,( CBA DCzByAx Md ++ +++ = α  Vị trí tương đối của 2 mp (α): A 1 x + B 1 y + C 1 z +D 1 = 0 (β): A 2 x + B 2 y + C 2 z +D 2 = 0 + 2 1 2 1 2 1 C C B B A A ≠≠ (α) cắt (β) + 2 1 2 1 2 1 2 1 D D C C B B A A ≠== (α) song song với (β) + 2 1 2 1 2 1 2 1 D D C C B B A A === (α) trùng với (β)  ĐƯỜNG THẲNG  PT tham số của đường thẳng (d) : Rt tazz tayy taxx o o o ∈      += += += 3 2 1 VTCP );;( 321 aaaa =  PT tổng quát của đường thẳng (d) :    =+++ =+++ 0 D zC y B x A 0 D zC y B x A 2222 1111  PT tổng quát của đường thẳng (d) a zz a yy a xx 0 2 0 1 0 − = − = −  MẶT CẦU (S)  Dạng 1: (x-a) 2 +(y-b) 2 +(z-c) 2 =R 2 Tâm I(a;b;c) bán kính R (x o - a)(x - a)+(y o - b)(y - b)=R 2  Dạng 2 : x 2 +y 2 +2Ax +2By+C = 0 ( ĐK: A 2 +B 2 -C > 0)  Tiếp tuyến với (c) tại điểm M 0 (x o ;y o )∈(c) x o x + y o y + A(x o +x) + B(y o +y) + C = 0 Tâm I(-A;-B) bán kính CBAR −+= 22  ELIP  Phương trình (E): 1 2 2 2 2 =+ b y a x ( a > b ) với c 2 = a 2 – b 2 TRƯỜNG PTTH THỚI LONG Giáo viên biên soạn: Nguyễn Văn Tùng Trang 3 + Toạ độ các đỉnh: A 1 (-a;0) , A 2 (a;0) , B 1 (0;-b) , B 2 (0;b) + Tiêu điểm: F 1 (-c;0) , F 2 (c;0) +Tâm sai : a c e = +Tiêu cự: F 1 F 2 = 2c + ĐDTL: A 1 A 2 = 2a + ĐDTN: B 1 B 2 = 2b + Bán kính qua tiêu điểm: M(x;y)∈(E):      −= += M M x a c aMF x a c aMF 2 1  Đường chuẩn ∆ 1 : e a x −= ∆ 2 : e a x =  Phương trình tiếp tuyến tại M 0 (x o ;y o )∈(E) 1 22 =+ b yy a xx oo  ĐK để đường thẳng (∆): Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (E) : a 2 A 2 + b 2 B 2 = C 2  HYPEBOL  Phương trình (H): 1 2 2 2 2 =− b y a x với c 2 = a 2 + b 2 + Toạ độ các đỉnh: A 1 (-a;0) , A 2 (a;0) + Tiêu điểm: F 1 (-c;0) , F 2 (c;0) +Tâm sai : a c e = +Tiêu cự: F 1 F 2 = 2c + ĐDTT: A 1 A 2 = 2a + ĐDTA: B 1 B 2 = 2b + Bán kính qua tiêu điểm: Dạng 2 : x 2 +y 2 +z 2 +2Ax +2By+2Cz+D = 0 ( ĐK: A 2 +B 2 +C 2 -D > 0) Tâm I(-A;-B;-C) bán kính DCBAR −++= 222  ELIP  Phương trình (E): 1 2 2 2 2 =+ b y a x ( a < b ) với c 2 = b 2 – a 2 + Toạ độ các đỉnh: A 1 (-a;0) , A 2 (a;0) , B 1 (0;-b) , B 2 (0;b) + Tiêu điểm: F 1 (0;-c) , F 2 (0;c) +Tâm sai : b c e = +Tiêu cự : F 1 F 2 = 2c + ĐDTL : B 1 B 2 = 2b + ĐDTN: A 1 A 2 = 2a + Bán kính qua tiêu điểm: M(x;y)∈(E):      −= += M M y b c bMF y b c bMF 2 1  Đường chuẩn ∆ 1 : e b y −= ∆ 2 : e b y =  Phương trình tiếp tuyến tại M 0 (x o ;y o )∈(E) 1 22 =+ b yy a xx oo  ĐK để đường thẳng (∆): Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (E) : a 2 A 2 + b 2 B 2 = C 2  HYPEBOL  Phương trình (H): 1 2 2 2 2 =− a x b y với c 2 = a 2 + b 2 + Toạ độ các đỉnh: B 1 (0;-B) , B 2 (0;B) + Tiêu điểm: F 1 (0;-c) , F 2 (0;c) +Tâm sai: b c e = +Tiêu cự: F 1 F 2 = 2c + ĐDTT: B 1 B 2 = 2b + ĐDTA: A 1 A 2 = 2a + Bán kính qua tiêu điểm: M(x;y)∈nhánh phải :      +−= += M M x a c aMF x a c aMF 2 1 M(x;y)∈nhánh trái :      −= −−= M M x a c aMF x a c aMF 2 1  Đường chuẩn ∆ 1 : e a y −= ∆ 2 : e a y =  phương trình 2 đường tiệm cận x a b y ±=  Phương trình tiếp tuyến tại M 0 (x o ;y o )∈(H) TRƯỜNG PTTH THỚI LONG Giáo viên biên soạn: Nguyễn Văn Tùng Trang 4 1 22 =− b yy a xx oo  ĐK để đường thẳng (∆): Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (H) : a 2 A 2 - b 2 B 2 = C 2  PARABOL Phương trình y 2 =2px (x ≥ 0)  Trục đối xứng Ox  Tiêu điểm )0; 2 ( p F  Bán kính qua tiêu điểm 2 p M xFM +=  Đường chuẩn 2 : p x −=∆  Phương trình tiếp tuyến tại y o y=p(x o +x) điểm M o (x o ;y o ) ∈(P)  ĐK để (P) tiếp xúc với đường B 2 p =2AC thẳng (∆): Ax + By + C = 0 M(x;y)∈nhánh trên:      +−= += M M y a c bMF y a c bMF 2 1 M(x;y)∈nhánh dưới :      −= −−= M M y a c bMF y a c bMF 2 1  Đường chuẩn ∆ 1 : e b x −= ∆ 2 : e b x =  phương trình 2 đường tiệm cận x a b y ±=  Phương trình tiếp tuyến tại M 0 (x o ;y o )∈(H) 1 22 =− a xx b yy oo  ĐK để đường thẳng (∆): Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (H) : a 2 A 2 - b 2 B 2 = -C 2 y 2 =-2px x 2 =2py x 2 =-2py (x ≤ 0) (y ≥ 0) (y ≤ 0) Ox Oy Oy )0; 2 ( p F − ) 2 ;0( p F ) 2 ;0( p F − 2 p M xFM +−= 2 p M yFM += 2 p M yFM +−= 2 : p x =∆ 2 : p y −=∆ 2 : p y =∆ y o y=-p(x o +x) x o x=p(y o +y) x o x=-p(y o +y) B 2 p =-2AC A 2 p =2BC A 2 p =-2BC ĐẠO HÀM (c)’=0 (với c là một hằng số) (x)’=1 x x 2 1 )'( = (x>0) ; '. 2 1 )'( u u u = (u>0) (u 1 ± u 2 ± ± u n )’=u 1 ’± u 2 ’±…………± u n ’ (uv)’=u’v+uv’ 2 , '' v uvvu v u − =       ( với v≠0) 2 , '1 v v v −=       ( với v≠0) (x α )’=αx α -1 ; (u α )’=αu α -1 .u’ (sinx)’=cosx (cosx)’=-sinx (tgx)’= x 2 cos 1 (ĐK: Zkkx ∈+≠ , 2 π π ) (cotgx)’= x 2 sin 1 − (ĐK: Zkkx ∈≠ , π ) (sinu)’=cosu.u’ TRƯỜNG PTTH THỚI LONG Giáo viên biên soạn: Nguyễn Văn Tùng Trang 5 (cosu)’=-sinu.u’ (tgu)’= '. cos 1 2 u u (ĐK: Zkku ∈+≠ , 2 π π ) (cotgu)’= '. sin 1 2 u u − (ĐK: Zkku ∈≠ , π ) (e x )’=e x (e u )’=e u .u ‘ (a x )’=a x .lna ( với 0 <a≠1 ) (a u )’=a u .lna.u ’ ( với 0 < a≠1 ) (lnx)’= x 1 (với x>0) (lnu)’= u 1 .u ‘ (với u>0) (log a x)’= ax ln 1 (với x>0, 0<a≠1) (log a u)’= au ln 1 .u ‘ (với u>0, 0<a≠1) 2 )( ' dcx bcad y dcx bax y + − =⇒ + + = 2 11 111 2 1 11 2 )( ' bxa cabbxabxaa y bxa cbxax y + −++ =⇒ + ++ = NGUYÊN HÀM ∫ += Cxdx ∫ += Cx x dx ln ∫ ++= + Cbax a dx bax dx ln 1 )( ∫ + + = + C x dxx 1 1 α α α ∫ + + + =+ + C na bax dxbax n n )1( )( )( 1 n≠-1 ∫ += Cedxe xx ∫ += ++ Ce a dxe baxbax 1 ∫ += C a a dxa x x ln ∫ +−= Cxxdx cossin ∫ += Cxxdx sincos ∫ ++−=+ Cbax a dxbax )cos( 1 )sin( ∫ ++=+ Cbax a dxbax )sin( 1 )cos( ∫ += Ctgxdx x dx 2 cos ∫ +−= Cgxdx x dx cot sin 2 ∫ + + − = − Cx ax ax a ax dx ln 2 1 22 ∫ ++++ − = ++ Cbxbaxa babxax dx lnln( 1 ))(( DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH ∫ = b a dxxfS )( ( y=f(x) ; ox ; x=a ; x=b ) ∫ −= b a dxxfxfS )()( 12 ( y=f 1 (x) ; y=f 2 (x) ; x=a ; x=b ) ∫ = b a dxyV 2 π ( Hình phẳng quay quanh ox) ∫ = b a dyxV 2 π ( Hình phẳng quay quanh oy) PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1. Đổi biến: Dạng 1: Tính ∫ b a dxxf )( + Đặt t=u(x) ⇒ dt= ? + Đổi cận bx ax = = ⇒ )( )( 2 1 but aut = = + Thay vào ∫ ∫ = b a t t dttutufdxxf 1 2 )(')]([)( 2. Tích phân từng phần: [ ] ∫ ∫ −= b a b a b a vduuvudv Phương pháp:  Đặt: u=? du=? dv=? V=? GIẢI TÍCH TỔ HỢP !nP n = (Hoán vị n ptử) TRƯỜNG PTTH THỚI LONG Giáo viên biên soạn: Nguyễn Văn Tùng Trang 6 )!( ! kn n A k n − = (Chỉnh hợp chập k của n ptử) !)!( ! kkn n C k n − = (Tổ hợp chập k của n ptử) kn n k n CC − = ; 1 11 − −− += k n k n k n CCC ∑ = − =+ n k kknk n n baCba 0 )( (Công thức NIUTƠN) 0!=1 ; 1!=1 ; n!=n(n-1)(n-2)(n-3)…3.2.1  Dạng 2: Tính ∫ b a dxxf )( + Đặt x=ϕ(t) ⇒ dx= ? + Đổi cận bx ax = = ⇒ ) ) 2 1 β α = = t t + Thay vào ∫ ∫ = b a t t dttgdxxf 1 2 )()( CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 2 2cos1 sin 2 x x − = ; 2 2cos1 cos 2 x x + = x xtg 2 2 cos 1 1 =+ ; x xg 2 2 sin 1 cot1 =+ [ ] )cos()cos( 2 1 coscos βαβαβα −++= [ ] )cos()cos( 2 1 sinsin βαβαβα −−+−= [ ] )sin()sin( 2 1 cossin βαβαβα −++= cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinb cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb sin(a – b) = sina.cosb – cosa.sinb sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb tgb.tga1 tgbtga )ba(tg − + =+ ; tgbtga tgbtga batg .1 )( + − =− Bang giá trị đặc biệt: Góc GTLG 0 0 0 30 0 6 π 45 0 4 π 60 0 3 π 90 0 2 π 180 0 π 270 0 2 3π 360 0 2π sinα 0 2 1 2 2 2 3 1 0 - 1 0 cosα 1 2 3 2 2 2 1 0 - 1 0 1 tgα 0 3 1 1 3 || 0 || 0 cotgα || 3 1 3 1 0 || 0 || Chú ý: 1/Một số cách đặt trong tích phân từng phần DẠNG1: ∫           + + + b a x dx x x e xP )cos( )sin()( βα βα βα → Đặt u=P(x) , dv= dx x x e x           + + + )cos( )sin( βα ββ βα DẠNG2: ∫       + + + b a x dx x x e )cos( )sin( βα βα βα → Đặt u=e α x+ β , dv= dx x x       + + )cos( )sin( βα βα TRƯỜNG PTTH THỚI LONG Giáo viên biên soạn: Nguyễn Văn Tùng Trang 7 DẠNG3: ∫ + b a dxxxP )ln().( βα → Đặt u=ln(αx+β) , dv=P(x) ( Trong P(x) là một đa thức ) 2/Một số cách đặt trong tích phân đổi biến dạng 1 Nếu trong biểu thức dưới dấu tích phân có các dạng sau: Sinx.dx  Đặt t= cosx → dt=? , x dx 2 cos  Đặt t= tgx → dt=? Cosx.dx  Đặt t= sinx → dt=? , x dx 2 sin  Đặt t= cotgx → dt=? x dx  Đặt t= lnx → dt=? VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG: Cho 2 đường thẳng 321 :)( a zz a yy a xx d ooo − = − = − và 321 ' ' ' ' ' ' :)'( a zz a yy a xx d ooo − = − = − */ Đường thẳng (d) và (d’) đồng phẳng : [ ] 0.', = o MMaa  (d) cắt (d’) ⇔ [ ] 0.', = o MMaa và 3 3 2 2 1 1 ''' : a a a a a a ≠≠  (d) song song (d’) ⇔ 3 3 2 2 1 1 ''' : a a a a a a == và oooooo zz a yy a xx a − ≠ − ≠ − ''' : 3 21  (d) trùng với (d’) ⇔ 3 3 2 2 1 1 ''' : a a a a a a == và oooooo zz a yy a xx a − = − = − ''' : 3 21 */ Đường thẳng (d) và (d’) chéo nhau : [ ] 0.', ≠ o MMaa VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG: Cho đường thẳng (d): 321 :)( a zz a yy a xx d ooo − = − = − và mặt phẳng (α): Ax+By+Cz+D=0  (d) cắt (α) 0 ≠++⇔ CcBbAa  (d) song song (α)    ≠+++ =++ ⇔ 0 0 DCzByAx CcBbAa ooo  (d) nằm trên mp(α)    =+++ =++ ⇔ 0 0 DCzByAx CcBbAa ooo  (d)⊥(α) 321 a C a B a A ==⇔ TRƯỜNG PTTH THỚI LONG Giáo viên biên soạn: Nguyễn Văn Tùng Trang 8 KHOẢNG CÁCH:  Khoảng cách từ điểm M(x;y;z) đến đường thẳng (∆) Cho đường thẳng 321 :)( a zz a yy a xx ooo − = − = − ∆ và điểm M(x;y;z) thì k/c từ điểm M đến đường thẳng (d) là [ ] a aMM Md , ))(,( 0 =∆ M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 )∈(∆) , VTCP );;( 321 aaaa =  Khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau: Cho 2 đường thẳng chéo nhau : 321 :)( a zz a yy a xx ooo − = − = − ∆ và 321 ' ' ' ' ' ' :)'( a zz a yy a xx ooo − = − = − ∆ khoảng cách được tính: [ ] [ ] ', '.', )',( 00 aa MMaa d =∆∆ GÓC:  Góc của 2 đường thẳng: 321 :)( a zz a yy a xx ooo − = − = − ∆ và 321 ' ' ' ' ' ' :)'( a zz a yy a xx ooo − = − = − ∆ 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 ' 33 ' 22 ' 11 ''' cos aaaaaa aaaaaa ++++ ++ = ϕ  Góc giữa đường thẳng: 321 :)( a zz a yy a xx ooo − = − = − ∆ và mp(α): Ax + By + Cz + D=0 2 3 2 2 2 1 222 321 sin aaaCBA CaBaAa ++++ ++ = ϕ  Góc giữa 2 mặt phẳng : (α): A 1 x + B 1 y + C 1 z +D 1 = 0 và (β): A 2 x + B 2 y + C 2 z +D 2 = 0 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 cos CBACBA CCBBAA ++++ ++ = ϕ ( Mong các thầy cô đồng nghiệp đóng góp ý kiến cho tài liệu được hoàn chỉnh hơn ! ) TRƯỜNG PTTH THỚI LONG Giáo viên biên soạn: Nguyễn Văn Tùng Trang 9 TRƯỜNG PTTH THỚI LONG . Giáo viên biên soạn: Nguyễn Văn Tùng Trang 1 CÔNG THỨC TOÁN HỌC LỚP 12  PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MP  VÉCTƠ Cho 2 vectơ );( 21 aaa = , );( 21 bbb. ptử) kn n k n CC − = ; 1 11 − −− += k n k n k n CCC ∑ = − =+ n k kknk n n baCba 0 )( (Công thức NIUTƠN) 0!=1 ; 1!=1 ; n!=n(n-1)(n-2)(n-3)…3.2.1  Dạng 2: Tính ∫ b a dxxf )( + Đặt. ? + Đổi cận bx ax = = ⇒ ) ) 2 1 β α = = t t + Thay vào ∫ ∫ = b a t t dttgdxxf 1 2 )()( CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 2 2cos1 sin 2 x x − = ; 2 2cos1 cos 2 x x + = x xtg 2 2 cos 1 1 =+ ; x xg 2 2 sin 1 cot1