PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN KHOÁI CHÂU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học: 2014 - 2015 Môn thi: TOÁN 9 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1. (1,5 điểm). 1. Tính giá trị của biểu thức A = (x 3 + 12x – 31) 2015 tại x = 33 58165816 ++− 2. Cho biểu thức B = a aab a b 2 − − a) Tìm điều kiện đối với a, b để biểu thức B xác định b) Rút gọn biểu thức B Bài 2. (1,5 điểm). Cho phương trình x 2 – (m - 2)x – m 2 + 3m – 4 = 0 (m là tham số) a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m b) Tìm m để tỉ số giữa hai nghiệm của phương trình có giá trị tuyệt đối bằng 2 Bài 3. (1,0 điểm). Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) có phương trình: 2kx + (k-1)y = 2 (k là tham số) a) Với giá trị nào của k thì đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = x 3 ? Khi đó hãy tính góc tạo bởi (d) với trục Ox b) Tìm k để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất Bài 4. (1,5 điểm). a) Giải phương trình: 3111 2 =−+−++ xxx b) Giải hệ phương trình:        =+ =+ 2 1 2 2 2 y x y x y x Bài 5. (3,5 điểm). Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Một đường thẳng (d) thay đổi nhưng luôn đi qua A cắt hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) tương ứng tại M và N. Giả sử (d) cắt lại đường tròn (O) tại E (E ≠ A). MC cắt BN tại F. Chứng minh rằng: a) ∆ ACN ∆ MBA và ∆ MBC ∆ BCN. b) Tứ giác BMEF là tứ giác nội tiếp. c) Đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định khi (d) thay đổi nhưng luôn đi qua A. Bài 6. (1,0 điểm). Cho các số thực dương , ,x y z thỏa mãn 3x y z+ + ≤ . Chứng minh rằng: 2 2 2 1 2012 671 x y z xy yz zx + ≥ + + + + HẾT Họ và tên thí sinh: Chữ ký của giám thị 1: Số báo danh: Phòng thi số: ĐỀ CHÍNH THỨC PHềNG GIO DC & O TO HUYN KHOI CHU HNG DN CHM THI CHN HC SINH GII CP HUYN Nm hc: 2014 - 2015 Mụn: TON 9 I. Hớng dẫn chung 1) Hớng dẫn chấm thi này chỉ trình bày các bớc chính của lời giải hoặc nêu kết quả. Trong bài làm, thí sinh phải trình bày lập luận đầy đủ. 2) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần nh hớng dẫn quy định. 3) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hớng dẫn phải đảm bảo không sai lệch với hớng dẫn chấm và đợc thống nhất thực hiện trong Hội đồng chấm thi. 4) Các điểm thành phần và điểm cộng toàn bài phải giữ nguyên không đợc làm tròn. II. Đáp án và thang điểm Bi ỏp ỏn im a) Ta cú x = 3 3 3 3 )51()51( ++ =2 Nờn A = (2 3 + 12.2 31) 2015 = 1 2015 = 1 0,5 0,25 K: 0 0 a ab b) Rỳt gn biu thc B + Vi 0ab v a > 0 ta cú: B = a aab a b 2 = a aab a ab 2 = 1 2 = + a aabab + Vi 0 ab v a < 0 thỡ b 0 ta cú: B = a aab a b 2 = a aab a ab 2 = 1 22 = a ab a aab 0,25 0,25 0,25 Bi 2 (1,5 ) a) Phng trỡnh bc hai ny cú a = 1, c = m 2 + 3m 4 = 0 4 7 ) 2 3 ( 2 < m vi mi m Nờn a.c < 0 Vy phng trỡnh cú 2 nghim phõn bit trỏi du vi mi giỏ tr ca m 0,25 0,25 0,25 b) Tỡm m t s gia hai nghim ca phng trỡnh cú giỏ tr tuyt i bng 2. PT cú hai nghim trỏi du nờn hoc x 1 = -2x 2 hoc x 2 = -2x 1 hay (x 1 + 2x 2 )(x 2 + 2x 1 ) = 0 x 1 x 2 + 2(x 1 + x 2 ) 2 = 0 (*) Theo h thc Vi-ột thỡ x 1 + x 2 = m 2, x 1 x 2 = m 2 + 3m 4 0,25 0,25 Thay vào (*) ta được: m 2 – 5m + 4 = 0    = = ⇔ 4 1 m m Vậy { } 4;1∈m thì tỉ số giữa hai nghiệm của phương trình có giá trị tuyệt đối bằng 2 0,25đ Bài 3 (1,0 đ) a) Với k = 1 thì pt (d) là x = 1, (d) không song song với đường thẳng y = x 3 - Với k ≠ 1 đưa pt (d) về dạng 1 2 1 2 − + − −= k x k k y Khi đó (d) song song với đường thẳng y = x 3 ⇔ 1 2 − − k k = 3 ⇔ k = 32 3 + Khi đó góc α tạo bởi (d) và trục Ox có tan α = 3 => α = 60 0 0,25đ 0,25đ b) Với k = 1 thì pt (d) là x = 1 => khoảng cách từ O đến (d) là 1 + Với k = 0 thì pt (d) là y = -2 => khoảng cách từ O đến (d) là 2 + Với k ≠ 0 và k ≠ 1. Gọi giao điểm của (d) với Ox, Oy là A, B tương ứng. Thay y = 0 vào ptdt (d) được x A = k 1 => OA = k 1 Thay x = 0 vào ptdt (d) được y B = 1 2 −k => OB = 1 2 −k Vì (d) không đi qua gốc tọa độ O với mọi k ≠ 0 và k ≠ 1 Nên trong tam giác vuông AOB có: 222 111 OBOAOH += (OH ⊥ AB) Từ đó OH = 125 2 2 +− kk Ta có 5 4 5 4 ) 5 1 (5125 22 ≥+−=+− kkk (với ∀ k) Do đó OH 5≤ và OH = 5 khi k = 5 1 Vậy khi k = 5 1 thì khoảng cách từ O đến (d) là lớn nhất 0,25đ 0,25đ Bài 4 (1,5 đ) ĐK: 11 ≤≤− x Đặt t = xx −++ 11 (t>0) => t 2 = 2 + 2 2 1 x− Khi đó pt (1) trở thành t 2 + 2t – 8 = 0 ⇔ t = 2 hoặc t = -4 (loại) Với t = 2 ta có 211 =−++ xx ⇔ 2 1 x− =1 ⇔ x = 0 (tm) 0,25đ 0,25 Vậy nghiệm của phương trình là x = 0 0,25đ b) Giải hệ phương trình:        =+ =+ 2 1 2 2 2 y x y x y x ĐK: x, y ≠ 0 Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có y = x x −2 2 , thế vào phương trình thứ hai của hệ được: 3x 3 + 4x 2 – 4x = 0 ⇔ x(3x 2 + 4x – 4) = 0 ⇔ (3x 2 + 4x – 4) = 0 (do x ≠ 0) ⇔ x = -2 hoặc x = 3 2 Vậy hpt có hai nghiệm (x; y) là (-2; 1); ( 3 1 ; 3 2 ) 0,25đ 0,25đ 0,25đ Bài 5 (3,5 đ) O I E F N M C B A 0,25đ a) Từ GT có 0 60===== ∧∧∧∧∧ BACACNABCACBABM Suy ra AC // MB và CN // BA. Nên ∧∧ = NACNMB (đồng vị). Do đó ACN∆ MBA∆ Suy ra BA CN MB AC = mà AC = BA = BC nên BC CN MB BC = Hơn nữa 0 120== ∧∧ BCNMBC Suy ra ∆ MBC ∆ BCN (c.g.c) 1,25đ b) Theo câu a ta có: ∧∧ = CBNBMC Do đó 00 60180 =−=+=+= ∧∧∧∧∧∧ MBCCMBBCMFBCBCMBFM Mặt khác 0 60== ∧∧ BCABEM , do đó ∧∧ = BFMBEM Vậy BMEF là tứ giác nội tiếp 1,0đ c) Gọi I là giao điểm của BC và EF, ta có: ∧∧∧∧ === BEFBMCCBNIBF ⇒ ∆ IBF ∆ IEB Do đó: IFIEIB IB IF IE IB . 2 =⇒= Chứng minh tương tự CNEF là tứ giác nội tiếp và ∆ ICE ∆ IFC Nên IFIEIC . 2 = Do đó IB =IC 1,0đ Vậy đường thẳng EF luôn đi qua một điểm I cố định là trung điểm của BC Baøi 6 (1,0 đ) Cm BĐT cbacba ++ ≥++ 9111 và áp dụng ta được : 2 2 2 2 1 1 1 9 1 ( )x y z xy yz zx xy yz zx x y z + + ≥ ≥ + + + + + + + + (3) Lại có : 3(xy+yz+zx) ≤ (x+y+z) 2 Suy ra : 670 )( 2010.32010 2 ≥ ++ ≥ ++ zyx zxyzxy (4) Từ (3), (4) suy ra đpcm Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1 0,5đ 0,5đ HẾT . PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN KHOÁI CHÂU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học: 2014 - 2015 Môn thi: TOÁN 9 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1. (1,5 điểm). 1. Tính. tên thí sinh: Chữ ký của giám thị 1: Số báo danh: Phòng thi số: ĐỀ CHÍNH THỨC PHềNG GIO DC & O TO HUYN KHOI CHU HNG DN CHM THI CHN HC SINH GII CP HUYN Nm hc: 2014 - 2015 Mụn: TON 9 I dẫn chấm thi này chỉ trình bày các bớc chính của lời giải hoặc nêu kết quả. Trong bài làm, thí sinh phải trình bày lập luận đầy đủ. 2) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà