Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước Năm học 2009-2010 http://www.ebook.edu.vn I-Bất đẳng thức cô si 1.Chứng minh rằng 222 2 abcabc bc ca ab ++ ++≥ ++ + với a,b,c>0 2.Chứng minh rằng ()()() 333 1113 2 abc bca cab ++≥ ++ + với a,b,c>0 và abc =1 3.Cho a,b,c>0 và abc=1.Cm: ()()()()()() 333 a3 11 11 11 4 bc bc ca ab ++≥ ++ ++ ++ 4.Cho k số không âm 12 , , , k aa a thoả 12 1 k aa a = Cm: 12 12 mm mnn n kk aa a aa a+++≥+++ với ;,mnmnN≥∈ 5.Cho 3 số thực x,y,z thoả mãn: 2004 2004 2004 3xyz++= .Tìm GTLN của biểu thức 333 A xyz=++ 6.Cho a+b+c =0 .Chứng minh rằng 888222 abc abc ++≥++ 7.Cho số tự nhiên 2k ≥ . 12 , , , k aa a là các số thực dương Cmr: 12 12 23 1 m mm mn mn mn k n nn n a aa aa a aa a −− − +++≥ + ++ 8.Cho x,y,z là ba số thực thoả mãn 111 1 x yz ++= .Tìm GTNN của biểu thức 2006 2006 2006 2007 2007 2007 xyz A yzx =++ 9.Tìm GTNN của 20 20 20 11 11 11 x yz A yzx =++ với 1 x yz++= 10.Cho n số thực 12 , , , n x xxthuộc đoạn [ ] ,, 0ab a> Cmr: () () () 2 12 12 11 1 4 n n na b xx x xx x ab + ⎛⎞ +++ + ++ ≤ ⎜⎟ ⎝⎠ 11.Cho n là số nguyên dương;lấy [ ] 2000;2001 i x ∈ với mọi i=1,2…,n Tìm GTLN của ()( ) 12 1 2 2 2 2 2 2 2 nn x x xx x x F − −− =+++ + ++ 12.Xét các số thực 1 2 2006 , , ,xx x thoả 1 2 2006 , , , 62 xx x ππ ≤≤ Tìm GTLN của biểu thức () 1 2 2006 1 2 2006 11 1 sin sin sin sin sin sin Axx x xx x ⎛⎞ =+++ +++ ⎜⎟ ⎝⎠ 13.Cho n số dương 12 , , , n aa a Đặt : { } { } 12 12 min , , , , ax , , , nn maaaMMaaa== 11 1 , nn i ii i AaB a == == ∑∑ .Cmr: () 1 B nm M A mM ≤+−⎡⎤ ⎣⎦ Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước Năm học 2009-2010 http://www.ebook.edu.vn 14.Cho 0, 0, 1, ii ab in≥≥∀=.Chứng minh rằng: ()( )( ) 11 2 2 12 12 nn n nn n n abab ab aaa bbb++ +≥ + 15.Cho 0, 1, i ain≥∀= .Chứng minh rằng: ()()( ) () 12 12 1 1 1 1 n n nn aa a aaa++ +≥+ 16.Chứng minh () 1.2 1 1 1.2 n n nn+≥+ với 2,nnN≥∈ 17.Chứng minh trong tam giác ABC ta có : 1/ 3 111 2 111 1 sin sin sin 3 ABC ⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞⎛⎞ +++≥+ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠ 2/ 3 111 2 111 1 BC 3 os os os 222 A ccc ⎛⎞⎛⎞⎛⎞ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎛⎞ +++≥+ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠ 3/ 3 111 2 111 1 3 abc mmm R ⎛⎞⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞ +++≥+ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠ 18.Cho a,b,x,y,z > 0 và x+y+z = 1.Chứng minh: () 4 44 4 33 bbc aaa ab xyz ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ +++++≥+ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ 19.Cho 1 ,0, 0 1, ; 1 n ii i ab x i n x = >>∀= = ∑ . Cmr: () 12 m mm m n bb b aa ananb xx x ⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞ ++++++ ≥+ ⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠ với m > 0 20.Cho , , 0, 1abc a b c>++= .Chứng minh rằng: 3 111 1118 ab bc ca ⎛⎞⎛⎞⎛⎞ −−−≥ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠ 21.Cho [ ] ;∈ x ab .Tìm GTLN của biểu thức () ( )( ) mn F xxabx=- - với * , ΝmnÎ 22.Cho 0 2 ;x π é ù ê ú Î ê ú ë û .Tìm GTLN của biểu thức () p sin . os q Fx xc x= với * , ΝpqÎ 23.Cho a,b,c không âm và có a + b + c =1.Tìm GTLN của biểu thức () 30 4 2004 ,,F abc a bc= 24.Cho , 0, 6xy x y³+£ .Tìm GTLN của các biểu thức sau : 1/ () ( ) 2002 , 6Fxy x y x y= 2/ () ( ) 2002 , 4Fxy x y x y= 25.Xét các số thực dương thỏa mãn a + b +c =1.Tìm GTNN của biểu thức 222 1111 P ab bc ca abc =+++ ++ 26.Xét các số thực dương thỏa mãn a +b +c + d =1.Tìm GTNN của biểu thức 222 2 11111 P acd abd abc bcd abcd =++++ +++ 27.Giả sử 12 , , , n x xx>0 thỏa mãn điều kiện 1 1 1 n i i i x x = = å + . Cmr: () 1 1 1 n i n i x n = £ Õ - 28.Giả sử a,b,c >0 thỏa mãn 23 1 111 abc abc ++= +++ . Cmr: 23 6 1 5 ab c £ Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước Năm học 2009-2010 http://www.ebook.edu.vn 29. Giả sử 12 , , , n x xx>0 thỏa mãn điều kiện 1 1 n i i x = = å .Cmr: () 1 1 1 1 n i n i i x x n = £ Õ - - 30. (QG-98) Giả sử 12 , , , n x xx>0 thỏa mãn điều kiện 1 11 1998 1998 n i i x = = å + Cmr: 12 . 1998 1 n n xx x n ³ - 31.Cho n số dương thỏa mãn điều kiện 1 1 n i i a = < å Cmr: () () ()() () 1 12 1 2 12 1 2 1 1 1 1 1 n nn nn aa a a a a aa a a a a n + éù -+++ æö ëû ÷ ç £ ÷ ç ÷ ç èø +++ - - - 33.Cmr: ,2nNn"Î ³ ta có 112 nn nn nn nn -++< 34.Cho [] ,, 0;1xyzÎ .Cmr: ( ) ( ) 333222 23xyz xyyzzx++ - + + £ 35. Cho [] ,, 0;2xyzÎ .Cmr: ( ) ( ) 666 424242 2 192xyz xyyzzx++ - + + £ 36.Cho [] 1; 2 i x Î với i=1,…,2000.Thỏa mãn 2000 1 2005 i i x = = å Tìm GTLN của 2000 3 1 i i Ax = = å 37.Chứng minh : 222 111 3.2abc ab bc ca ααα α ⎛⎞⎛⎞⎛⎞ +++++≥ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠ Trong đó , , , 0abc α > 38.Cho số dương a .Xét bộ số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện:xy + yz + zx = 1 Tìm GTNN của biểu thức () 22 2 Pax y z=++ 39.Xét các số thực x,y,z thỏa mãn : 222 2 16 25 x yz xya+++ =.Trong đó a là một số dương cho trước .Tìm GTLN của biểu thức :P = xy + yz + zx 40.Xét các số thực a,b,c,d thỏa mãn : 222 2 1 1 2 abcd≤+++≤ Tìm GTLN và GTNN của : ()()()() 2222 2222Pabc bcd b a c d=−+ +−+ +− +− 41.Cho hàm số () fx thỏa mãn pt () 44 2cot f tgx tgx gx=+ Cmr: ()() sinx cosx 196ff+³ ( OLP-30-4-99) II. PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC 1.Cho a,b,c,d là các số thực thoả mãn 22 4ab+= và c+d=4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=ac+bd+cd 2.Cho a,b,c,d là các số thực thoả mãn 22 1ab+= và c+d=3 Cmr: 962 ac+bd+cd 4 + ≤ 3(HSG-NA-2005) a,b,c,d là các số thực thoả mãn 22 1ab+= và c-d=3 Cmr: 962 ac+bd-cd 4 + ≤ 4.Cho các số a,b,c,d,x,y thỏa mãn : 22 2 2 40 8 10 ; 12 4 6 ;3 2 13ab a bcd cdx y++=+ ++=+ =+ Tìm GTNN của ()()()( ) 22 2 2 Pxayb xcyd= − +− + − +− Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước Năm học 2009-2010 http://www.ebook.edu.vn 5.Cho hai số a,b thỏa mãn điều kiện a - 2b + 2 = 0 Chứng minh rằng : 22 22 61034 1014746ab a b ab a b+−− + + +− − + ≥ 6.Cho bốn số a,b,c,d thỏa mãn điều kiện:a + 2b = 9;c + 2d = 4 Cmr: 22 222 2 2 2 12 8 52 2 2 4 8 20 4 5ab ab abcd acbd cd cd+− −+ + +++ − − + +−+ + ≥ 7.Cho bốn số thực a,b,c,d thỏa mãn : 22 6; 1cd a b+= + = Cmr: 22 221862c d ac bd+− − ≥− 8.Cho a,b,c,d là bốn số thỏa mãn điều kiện : () ( ) 22 2 2 2; 4 1ab abcd cd+= + + = +− Cmr: () 422 2422abcd−≤+++≤+ 9. .Cho a,b,c,d là bốn số thỏa mãn điều kiện : 22 2 2 5abcd+=+= Cmr: 330 52525 2 a b c d ac bd −− + −− + − − ≤ .Xét dấu bằng xẩy ra khi nào? 10.Cmr với mọi x,y ta đều có: 22 22 469 4212105xyx xyxy+++++−−+≥ 11.Cho a,b,c,d là bốn số thực thỏa mãn () () 22 2 2 12 ; 3612ab abcd cd++= + + += + Cm: () ()() () 66 22 21 21ac bd−≤−+− ≤ + 12.Cho x,y là hai số thực thỏa mãn : 23 2 39 0, 0 xy xy xy +≥ ⎧ ⎪ +≤ ⎨ ⎪ ≥≥ ⎩ Cmr: 22 35 48 45 2 xy xy−≤+−−≤ 13.Cho các số x,y thỏa mãn : 280 20 240 xy xy yx −+ −≤ ⎧ ⎪ ++≥ ⎨ ⎪ −−≥ ⎩ Cm: 22 16 20 5 xy≤+≤ III. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1Chứng minh rằng với mọi α ta có 22 17 os 4 os +6 os 2 os +3 2 11cc cc αα αα ≤+ +− ≤+ 2.Tìm GTNN của hàm số 22 412 23yxx xx=−++−−++ 3.a)Chứng minh bất đẳng thức: sin 2 ; 0; 2 tgt t t t π ⎡ ⎞ +≥∀∈ ⎟ ⎢ ⎣ ⎠ b)Cho tam giác ABC có các góc là A,B,C . Chứng minh : ABC 1os 1os 1os 222 33 ABC ccc+++ ++> ( A,B,C đo bằng rađian) 4.Cho [ ] ,0;1ab∈ Chứng minh rằng ()()() 111 1 111 xba xab ab xa xb +++−−−≤ ++ ++ ++ với [ ] 0;1x∀∈ 5.Cho hàm số 2 2 os -2x+cos x2os+1 xc y xc αα α = − với () 0; απ ∈ Chứng minh : 11;yx−≤ ≤ ∀ Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước Năm học 2009-2010 http://www.ebook.edu.vn 6.Chứng minh sin sin sin 2 A B C tgA tgB tgC π +++++>.với A,B,C là ba góc của một tam giác. 7.Chứng minh sinx 1 222;0 2 tgx x x π + +> << 8.Giả sử f(x) là một đa thức bậc n thỏa mãn điều kiện () 0, f xx≥∀ Cmr: () () () () () ,,, 0, n f xfxfx fx x++ ++ ≥∀ 9.Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có 111 cot cot cot 3 3 2 sin sin sin gA gB gC ABC ⎛⎞ +++≤ ++ ⎜⎟ ⎝⎠ 10.Cho tam giác ABC không tù ,thỏa mãn hệ thức: ()() 11 5 os3A+cos3B os2A+cos2B osA+cosB= 32 6 ccc−+.Chứng minh tam giác ABC đều 11.Cho 0 2 ab π <<< .Chứng minh rằng : () a.sina-bsinb>2 cosb-cosa 12.Cho a1 0qpq+1 ≥ ⎧ ⎨ ≤≤≤ ⎩ .Chứng minh rằng () () 1 pq p q apqaa + −≥ + − 13.Cho π <<0 2 x .Chứng minh rằng : 3 sinx osx x c ⎛⎞ > ⎜⎟ ⎝⎠ 14.Cho tam giác ABC nhọn .Cmr: () 6 sin sin sin 12 3tgA tgB tgC A B C+++ + + ≥ 15.Cho a,b,c là các số không âm thỏa 222 1abc++=. Chứng minh rằng: 22 22 22 33 2 abc bc ca ab ++≥ ++ + 16.Chứng minh trong tam giác nhọn ABC ta có ()() 21 sin sin sin 33 A B C tgA tgB tgC π ++ + ++> 17.Cho π <<0 2 x .Cmr: 3 1 2sinx 2 222 x tgx + +> 18Cho số nguyên lẻ 3n ≥ .Cmr: 0x∀≠ta luôn có : 23 23 1 1 1 2! 3! ! 2! 3! ! nn xx x xx x xx nn ⎛⎞⎛⎞ ++ + + + −+ − + − < ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ 19.với giá trị nào của m thì 33 sin os , x cxmx+≥∀ 20.Cho x,y >0 .Chứng minh rằng : 2 3 22 41 8 4 xy xx y ≤ ⎛⎞ ++ ⎜⎟ ⎝⎠ 21.Cho 0, 0xy≠≠ là hai số thực thay đổi thỏa mãn () 22 x yxy x y xy+=+− Tìm GTLN của biểu thức 33 11 A x y =+ 22.Cho a,b,c là các số thỏa mãn điều kiện 3 ,, 4 abc≥− Chứng minh ta có bất đẳng thức 222 9 10 111 abc abc ++≤ +++ Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước Năm học 2009-2010 http://www.ebook.edu.vn 23 .(HSG Bà Rịa12-04-05) 1/Tìm cực trị của hàm số 2 1 1 x y xx + −+ 2/ Cho các số x,y,z thỏa mãn x + y + z = 3 Tìm GTNN của 222 111Pxx yy zz=−++−++−+ 24.Tìm GTNN của () 222 31 1 12Px y z xyz ⎛⎞ =+++++−++ ⎜⎟ ⎝⎠ 25. Cho ,, 0abc> và 6abc++=. Cmr: 444 333 2( )abc abc++≥ ++ 26. Cho ,, 0abc> và 222 1abc++= . Cmr: 111 ()()23abc abc ++ − ++ ≥ 27Cho a,b,c>0 .Cmr : 222 9 4( ) ()()() abc abc bc ca ab ++≥ ++ ++ + 28. (Olp -2006)Cho ,, 0abc> .Cmr: 222222 () () () 6 5 () () () ab c bc a ca b abc bca cab ++ + ++≤ ++ ++ ++ 39.(Olp nhật 1997)Cho ,, 0abc> .Cmr: 222 22 22 22 ()()()3 5 () () () bca cab abc bc a ca b ab c +− +− +− ++≥ ++ ++ ++ 40.xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện : 4 2 xyz xyz ++= ⎧ ⎨ = ⎩ . Tìm GTLN và NN của biểu thức 444 Px y z=++ (QG -B-2004) 41. xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện () 3 32 x yz xyz++ = Tìm GTLN và GTNN của () 444 4 x yz P x yz ++ = ++ (QG-A-2004) 42.Các số thực dương a,b,c,d thỏa mãn abcd≤≤≤và bc a d≤ .Chứng minh rằng bcd a d ab c abc d a bcd≥ 43.Xét các số thực x,y thỏa mãn điều kiện: 313 2 x xyy−+=+− Tìm GTLN và GTNN của P = x + y ( QG –B-2005) 44.Cho hàm số f xác định trên R lấy giá trị trên R và thỏa mãn () cotgx sin 2 os2xfxc=+ , () 0;x πÎ Tìm GTNN và GTLN của hàm số () ( ) ( ) 22 sin osgx f xfc x= QG –B-2003 ) 45.Cho hàm số f xác định trên R lấy giá trị trên R và thỏa mãn () cotgx sin 2 os2xfxc=+, () 0;x πÎ Tìm GTNN và GTLN của hàm số () () ( ) [ ] 1, 1;1gx f xf x x=-Î- ( QG –A-2003) 46.Cho x>0 và ,0;; 2 π ab a b æö ÷ ç ι ÷ ç ÷ ç èø Cmr: sin sin sina sin sin sin x bb xa xb b + æö æö + ÷÷ çç > ÷÷ çç ÷÷ çç èø èø + IV-ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ LA GRĂNG 1.Chứng minh rằng nếu 0 < b < a thì ln ab a ab abb −− << 2.Chứng minh rằng nếu 0 2 ab π <<< thì 22 os os ba ba tgb tga ca cb −− <−< Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước Năm học 2009-2010 http://www.ebook.edu.vn 3.Chứng minh () 1 1;0;1 2 n xx x ne −< ∀∈ 4.Cho m > 0 còn a,b,c là 3 số bất kỳ thỏa mãn điều kiện 0 21 abc mmm ++= ++ .Chưng minh pt 2 0ax bx c++=có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng () 0;1 5.Cho pt bậc n: 1 110 0 nn nn ax a x ax a − − ++++=trong đó 110 0, , , , nn aa aa − ≠ là số thực thỏa mãn : 11 0 0 12 nn aa a a nn − ++++= + .Chứng minh pt đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc khỏang () 0;1 6.Cho các số thực a,b,c và số nguyên n > 0 thỏa mãn ()() 526 0cn a b++ += Chứng minh pt : sin cos sin 0 nn axb xcxc+++= có nghiệm thuộc khoảng 0; 2 π ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ 7.Cho hàm số liên tục : [ ] [ ] :0;1 0;1f → có đạo hàm trên khoảng () 0;1 Thỏa mãn () () 00,11ff==.Chứng minh tồn tại () ,0;1ab∈ sao cho ab≠ và () () ,, 1fafb= 8.Giải các pt sau : a) 35 2.4 x xx += b) osx osx 32 osx cc c−= c) () () osx osx 1osx24 3.4 cc c++= d) 2003 2005 4006 2 xx x+=+ 9.Xét phương trình : 22 11 1 11 14 1 2 11 xx kx nx +++ ++ = −− −− Trong đó n là tham số nguyên dương a)Cmr với mối số nguyên dương n ,pt nêu trên có duy nhất nghiệm lớn hơn 1 Kí hiệu nghiệm đó là n x b)Cmr dãy số { } n x có giới hạn bằng 4 khi n →+∞ (QG-A-2002) 10.Cho hàm số () fx và () , fx đồng biến trên đoạn [] ;ab ,với () ()()() , 11 , 22 f aabfbba=- =- Chứng minh rằng tồn tại ,,αβδ phân biệt trong () ;ab sao cho () () () 1 ,,, fffαβδ= 11.Cho [][] 01 01:; ;f ® thoả mãn các điều kiện () [ ] 001 , ;;fx x>"Î và () () 0011,ff== Cm:tồn tại dãy số 12 0 1 n aa a£ < < < £ sao cho () 1 1 , n i i fa = ³ Õ (n là số nguyên dương 2n ³) 12.Cho a,b,c,d là độ dài các cạnh của một tứ giác CMR: 3 46 abc abd bcd acd ab ac ad bd cd+++ ++++ £ Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước Năm học 2009-2010 http://www.ebook.edu.vn V .DÙNG ĐỊNH NGHĨA ĐỂ TÍNH ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM 1.Tính đạo hàm các hs sau tại các điểm đã chỉ ra: a) () 2 1 osxcos2x cosnx khi x 0 0 khi x=0 c fx x − ⎧ ≠ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎩ tại x=0 b) () ln osx khi 0 x 0 khi 0 c x fx x ⎧ ≠ ⎪ = ⎨ ⎪ = ⎩ tại x=0 2.Xác định a,b để hàm số : () () 2 khi 0 1 khi 0 bx xae x fx ax bx x − ⎧ +< ⎪ = ⎨ ⎪ ++ ≥ ⎩ có đạo hàm tại x=0 3.Cho hàm số () p cosx +qsinx khi 0 px+q+1 khi 0 x fx x ≤ ⎧ = ⎨ > ⎩ Chứng tỏ rằng mọi cách chọn p,q hàm số f(x) không thể có đạo hàm tại x=0 VI. ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1.Giải bpt : 32 23616234 x xx x+++> +− 2.Xác định a để bất pt sau có nghiệm duy nhất 22 1 2 log 11 log ax 2 3.log ax 2 1 1 0 aa xx ⎛⎞ +−+ −++≤ ⎜⎟ ⎝⎠ 3. Xác định a để bất pt sau có nghiệm duy nhất () 22 15 log 3 log x ax+5 1 .log ax+6 0 a a x ⎛⎞ +++ +≥ ⎜⎟ ⎝⎠ 4.Tìm mọi giá trị của tham số a soa cho với mối giá trị đó pt sau có đúng 3 nghiệm phân biệt. () () 2 22 1 3 3 4 log 2 3 2 log 2 2 0 xa xx xx xa −− −+ −++ −+= 5.Tìm những giá trị của a để với mỗi giá trị đó pt: ()() 22 2 3192 x aax+=− − có số nghiệm không nhiều hơn số nghiệm của pt () () 2 3 3 1 32.3 84log3 3 2 xa a x ax ⎛⎞ +− =− −− ⎜⎟ ⎝⎠ 6. Tìm những giá trị của a để pt: () 22 42 15 2 6 1 3 2 0xmxmm−+−+=có số nghiệm không nhiều hơn số nghiệm của pt : () () 2 368 31.12 2 6 3 92 0,25 xmm axx−++=− − 7.Giải pt : () 3 32 3log 1 2log x xx++ = 8.Giải hệ 5 23 4 tgx tgy y x xy π −=− ⎧ ⎪ ⎨ += ⎪ ⎩ 9.Giải bất pt () 73 log log 2 x x>+ Phan Ngọc Việt Gian nan không lùi bước Năm học 2009-2010 http://www.ebook.edu.vn 10.Giải pt : 22 11 1 22 xx aa aa ⎛⎞⎛⎞ +− −= ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ với tham số () 0;1a∈ 11. Giải hệ: (1) 1 1 8 (2) tgx tgy y x yxy −=− ⎧ ⎪ ⎨ +−= − + ⎪ ⎩ 12 Giải pt: 2 osx=2 + tg x ec với ; 22 x ππ ⎛⎞ ∈− ⎜⎟ ⎝⎠ 13 Giải pt: 22 3(2 9 3) (4 2)(1 1) 0xx x xx+++++++= 14.Giải pt: =+ + + 3 31 log(12) x x x VII.TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ PT CÓ NGHIỆM 1.Tìm m để pt sau có nghiệm : 22 11 x xxxm++− −+= 2. Tìm tất cả các giá trị của a để pt: 2 1cosax x+= có đúng một nghiêm 0; 2 x π ⎛⎞ ∈ ⎜⎟ ⎝⎠ 3.Cho hàm số =− + + +()() y xxaxb với a,b là hai số thực dương khác nhau cho trước .Cmr với mọi () ∈ 0;1s đều tồn tại duy nhất số thực αα ⎛⎞ + >= ⎜⎟ ⎝⎠ 1 0: ( ) 2 ss s ab f (QG-A-2006) 4.Cho pt : () 2 cos2x= m+1 cos 1 x tgx+ a)Giải khi m = 0 b)Tìm m để pt có nghiệm trong đoạn 0; 3 π ⎡⎤ ⎢⎥ ⎣⎦ 5.Tìm m để pt sau có nghiệm: () () 43 3341 10mx m xm−++−−+−= 6.Tìm m để tồn tại cặp số (x;y) không đồng thời bằng 0 thỏa mãn pt: ()()() 22 43 34 1 0mxm ym xy−+− +− += 7.Tìm m để pt : 1cos8 62cos4 x m x + = + có nghiệm. 8.Tìm a đ pt : 2 2cos 2ax x+= đúng 2 nghiệm thuộc 0 2 ; π é ù ê ú ê ú ë û 9.Cho hàm số: () 2 2 x sinx+ x fx e=- a) Tìm GTNN của hàm số b) Cm pt () 3fx= có đúng hai nghiệm. 10.Chứng minh pt () 1 1 x x xx + =+ có một nghiệm dương duy nhất 11. Cho () ( ) 32 x0;0f x ax bx c a=+ ++= ¹ có 3 nghiệm phân biêt a)Hỏi pt: () () () 2 ,, , 20fxf x f x éù -= êú ëû có bao nhiêu nghiệm Phan Ngc Vit Gian nan khụng lựi bc Nm hc 2009-2010 http://www.ebook.edu.vn b)Chng minh rng: () 3 32 27 2 9 2 3ca ab a b+- < - 12.Cho pt : 2 0 2 22 n tg x tg x tg x ổử ổử ổử ữữ ỗỗ ữ ỗ ++ + ++ + = ữữ ữ ỗỗ ỗ ữữ ữ ỗ ỗỗ ữữ ốứ ốứ ốứ ( n l tham s) a) Cmr v i mi s nguy ờn 2n ,pt c ú mt nghim duy nht trong khong 0 4 ; ổử ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ốứ .k ớ hiờ ng ú l n x b)Cm dóy s ( n x ) cú gii hn 13.Chng minh pt () 432 421210fx x x x x=+ - - += cú 4 nghim phõn bit 14;, i xi= v hóy tớnh tng () 2 4 2 1 21 1 i i i x S x = + = ồ - VIII MT S BI TON V H PHNG TRèNH 1.Tỡm a ủeồ heọ sau coự nghieọm duy nhaỏt: 23 2 23 2 4ax x4 yx x yyay = + = + 2. Tỡm m h pt sau cú nghim 2x+ y-1 21 m yx m = += 3.Gii h 2 2 2 1 2 1 y x y x y x = = 4.Chng t rng vi mi 0a thỡ h sau cú nghim duy nht 2 2 2 2 2 2 a xy y a yx x =+ =+ 5.Tỡm a h sinx=a si n x y y ya x + += cú nghim duy nht 02,02xy < < 6.Gii h: ++ += ++ += ++ += 32 32 32 33ln( 1) 33ln( 1) 33ln( 1) x xxxy y yyyz z zzzx [...]... 3 2 7.Gii h: y 2 y + 6 log 3 (6 z ) = y ( QG A- 2006) 2 z 2 z + 6 log 3 (6 x) = z 8.Tỡm a h cú nghim duy nht (HSG1 2-2006) 2 3 2 x1 = x2 4 x2 + ax 2 2 3 2 x2 = x3 4 x3 + ax 3 2 3 2 xn = x1 4 x1 + ax1 ( ) 1 + 42x y 51 2x + y = 1 + 22x y +1 6.Gii h: ( HSGQG 1999) 2 2 y + 4x + 1 + ln y + 2x = 0 log2 (1 + 3cosx ) = log3 ( sin y ) + 2 7.Gii h: (THTT) log2 (1 + 3sin y ) =... M,N nm trờn ng trũn x 2 + y 2 = 4 v ng thng Nm hc 2009-2010 http://www.ebook.edu.vn Phan Ngc Vit Gian nan khụng lựi bc x + y = 4 D thy 2 ( ac + bd + cd ) = ( a c ) + (b d ) 20 = MN 2 20 2 2 M MN 2 12 8 2 nờn 2 ( ac + bd + cd ) 8 8 2 ac + bd + cd 4 + 4 2 Vy maxP=4+4 2 khi a = b = 2; c = d = 2 2.v 3 tng t 4.Gi N ( a; b ) ,Q ( c ,d ) , M ( x ; y ) T gt suy ra N,Q,M ln lt thuc cỏc ng trũn ( C1... ( x ) = 0 T gt bi toỏn suy ra f l a thc bc chn cú h s cao nht dng do ú F t GTNN.Gi s F t GTNN ti x 0 Thỡ F , (x0 ) = 0 vy t (1) suy ra F ( x 0 ) = F , ( x 0 ) + f ( x 0 ) = f ( x 0 ) 0 (pcm) ( ) ( ) 12 a p + q 1 ( p+q ) a p a q a p + q ( p + q ) a p a q 1 0 ( ) Hm s: f ( x ) = x p + q ( p + q ) x p x q 1 ng bin trờn [1; + ) V cú f (1) = 0 nờn t a 1 ta cú (pcm) Nm hc 2009-2010 http://www.ebook.edu.vn . mọi x,y ta đều có: 22 22 469 4 2121 05xyx xyxy+++++−−+≥ 11.Cho a,b,c,d là bốn số thực thỏa mãn () () 22 2 2 12 ; 3612ab abcd cd++= + + += + Cm: () ()() () 66 22 21 21ac bd−≤−+− ≤ + 12. Cho x,y. để hệ có nghiệm duy nhất (HSG1 2-2006) 23 2 12 2 2 23 2 23 3 3 23 2 111 4ax 4ax 4ax n xx x xx x xx x ⎧ =− + ⎪ =− + ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ =− + ⎩ 6.Giải hệ: () () 212 21 22 14 .5 12 41ln 2 0 xy xy xy yx. 1, ii ab in≥≥∀=.Chứng minh rằng: ()( )( ) 11 2 2 12 12 nn n nn n n abab ab aaa bbb++ +≥ + 15.Cho 0, 1, i ain≥∀= .Chứng minh rằng: ()()( ) () 12 12 1 1 1 1 n n nn aa a aaa++ +≥+ 16.Chứng minh