Đang tải... (xem toàn văn)
Nhằm giúp các bạn sĩ tử có tài liệu hay nhất trong việc giải câu 10: Bài toán tìm maxmin (hoặc chứng minh bất đẳng thức). Thầy cung cấp tới các bạn một tài liệu gồm 14 ví dụ có lời giải chi tiết, mỗi bài đều sử dụng kết hợp giữa bất đẳng thức Cauchy và tính đơn điệu của hàm số để giải. Một trong những dạng toán khó nhất trong việc giải đề thi tuyển sinh Đại học. Thầy hy vọng các bạn sĩ tử đọc và nếu các bạn có ví dụ hay tương tự, hãy chia sẻ với thầy theo email hoặc trên facebook có địa chỉ trên tài liệu CHÚC CÁC BẠN ÔN THI TỐT
nguyenchithanh.maths@gmail.com-01688783999 F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h Page 1 SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY ĐỂ GIẢI MỘT VÀI VÍ DỤ BÀI TOÁN MAX, MIN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Với lớp các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (tìm max, min), chứng minh bất đẳng thức, có rất nhiều phương pháp để giải quyết. Sau đây, tôi xin giới thiệu phương pháp kết hợp bất đẳng thức Cauchy và tính đơn điệu của hàm số để giải một vài ví dụ về lớp bài toán này. Kiến thức: 1.Tính đơn điệu của hàm số: Cho hàm số ()y f x xác định trên D. +) Nếu ' '( ) 0y f x (dấu “=” chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm) thì ()y f x đồng biến trên D. Khi đó, 00 ,:x D x D x x ta có: 0 ( ) ( )f x f x . Đặc biệt: Nếu ()y f x đồng biến trên đoạn ;ab thì min ( ) ( )f x f a và max ( ) (b)f x f . +) Nếu ' '( ) 0y f x (dấu “=” chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm) thì ()y f x nghịch biến trên D. Khi đó, 00 ,:x D x D x x ta có: 0 ( ) ( )f x f x . Đặc biệt: Nếu ()y f x nghịch biến trên đoạn ;ab thì max ( ) ( )f x f a và min ( ) (b)f x f . +) Nếu ()y f x liên tục trên đoạn ;ab thì ta chỉ cần tìm các nghiệm i x của phương trình '( ) 0fx rồi so sánh để đi đến kết luận: 12 min ( ) min ( ); ; ; ;f x f a f x f x f b ; 12 max ( ) max ( ); ; ; ;f x f a f x f x f b . nguyenchithanh.maths@gmail.com-01688783999 F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h Page 2 2.Bất đẳng thức Cauchy: Với 0, 1, i a i n ta có: 1 1 n n n ii i i a n a . Dấu “=” xảy ra 12 a n aa . Ví dụ 1.(Đề 78II.2-Bộ đề) CMR nếu 0 2 x thì sinx tan 1 2 2 2 xx (1). Bài giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: sinx tan 1 sinx tan sinx tan 2 2 2 2 2 .2 2 x xx . Để có (1), ta cần chứng minh: sinx tan 1 1 2 sinx tan 2 2 1 1 sinx tan 2 sinx tan 2 0 2 x x x x x x x x Xét hàm số ( ) sinx tan 2f x x x trên 0; 2 , ta có: 22 2 2 2 1 1 1 '( ) os 2 os 2 2 os . 2 0 cauchy f x c x c x c x cos x cos x cos x . ()fx đồng biến trên 0; 2 0; 2 x ta luôn có: ( ) (0) sinx tan 2 0f x f x x đpcm. Ví dụ 2. (đề 113II.2-bộ đề) CMR nếu 0 2 x thì 3 1 2sin tan 2 2 2 2 x xx (2). Bài giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: 2sin tanx 1 2sin tan 2sin tan 2 2 2 2 2 .2 2 x x x x x . Để có (2), ta cần chứng minh: nguyenchithanh.maths@gmail.com-01688783999 F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h Page 3 2sin tanx 3 11 22 2sin tanx 3 2 2 1 1 2sin tanx 3 0 22 xx xx xx Xét hàm số: (x) 2sin tanx 3 f x x trên 0; 2 . Ta có: 2 1 '( ) 2cos 3 cos f x x x . Đến đây chúng ta có hai cách biến đổi sau để xét được dấu của '( )fx Cách 1: 2 2 cosx-1 2cos 1 '( ) 0, 0; cos 2 x f x x x . Suy ra hàm số ()fx đồng biến trên 0; 2 . 0; 2 x ta có ( ) (0)f x f đpcm. Cách 2: ta có 3 22 11 '( ) osx+ osx 3 3 osx. osx. 3 0 os x os x cauchy f x c c c c cc . đpcm. Ví dụ 3. Tìm max, min của hàm số: 22 24 1 os 11 xx y cos c xx . Bài giải: Đặt 2 2 1 x t x . Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: 22 2 2 1 2 2 1 1 1 x x x x t x . và 2 1 ost + cos2t = 2cos osty c t c . nguyenchithanh.maths@gmail.com-01688783999 F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h Page 4 Đặt 2 ost y = 2XX c X với cos1 X 1 . Ta có ' 4 1 0yX (vì cos1 0X ). Suy ra hàm số 2 y = 2X X đồng biến trên đoạn 1;1cos Vậy maxy = 3 cost = 1 t = 0 x = 0 . 2 min 2cos 1 cos1 ost = cos1 1 1 y c t x . N.Xét: Bài toán giúp học sinh củng cố tính đơn điệu của hàm số, bất đẳng thức Cauchy và giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn về kí hiệu cos1, cos2, … Ví dụ 4.(D-2009) Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn 1xy . Tìm max, min của biểu thức: 22 4 3 4 3 25A x y y x xy . Bài giải: Ta có: 2 2 3 33 16 12 34 16 12 3 34A xy x y xy xy x y xy x y xy Do 1xy 22 16 12 1 3 34 16 2 12A xy xy xy xy xy . Đặt 2 1 0 44 cauchy xy t xy t xy . Xét hàm số 2 ( ) 16 2 12f t t t trên đoạn 1 0; 4 . Ta có: 1 '( ) 32 2 '( ) 0 16 f t t f x x . Suy ra: 1 1 1 191 min ( ) min (0); ; 16 4 16 16 f t f f f f nguyenchithanh.maths@gmail.com-01688783999 F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h Page 5 khi 1 1 2 3 2 3 2 3 2 3 ; ; ; ; 16 16 4 4 4 4 1 xy t x y xy . 1 1 1 25 max ( ) max (0); ; 16 4 4 2 f t f f f f khi 1 1 1 1 ;; 4 4 2 2 1 xy t x y xy . Vậy 191 min 16 A khi 2 3 2 3 2 3 2 3 ; ; ; ; 4 4 4 4 xy . 25 max 2 A khi 11 ;; 22 xy . N.Xét: +) Mấu chôt của bài toán trên là vấn đề đặt ẩn phụ t xy . Sau khi đặt ẩn phụ, chúng ta cần tìm điều kiện cho ẩn mới (trong đó chúng ta phải dùng đến bất đẳng thức Cauchy để tìm điều kiện của ẩn). +) Khi 1 max ( ) 4 f t f chúng ta có thể tìm giá trị của x, y khi bất đẳng thức Cauchy xảy ra x,y 0 1 xy 1 xy 4 2 xy . Chúng ta có thể tổng quát bài toán như sau: BTTQ: Cho ,0xy và 1xy . Hãy tìm max, min của biểu thức: 22 T ax by ay bx cxy , a,b,c . Ví dụ 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 42 42 1 1 1 y x x x x x x . Phân tích và tìm hướng giải: nguyenchithanh.maths@gmail.com-01688783999 F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h Page 6 Ta có: 44 4 3 2 2 4 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 x x 4x 6x 4x x 4 x 6 x x x x x x x . 2 2 2 11 x x 2 xx . Do đó chúng ta có thể biến đổi hàm số đã cho về hàm số với ẩn mới t ( 1 tx x ). Cái khó còn lại là chúng ta cần tìm miền xác định của hàm số với biến t. Chúng ta sẽ làm như thế nào để tìm được miền xác định đây? Bài giải: +) Điều kiện: x0 . +) Đặt 2 2 2 22 1 1 1 2 2 . 2 4 2 Cauchy t x t x x t x x x . Ta có: 42 1 1 1 54y x x x x x x Xét hàm số 42 ( ) 5 4f t t t t với 2t . Ta có: 32 '( ) 4 10 1; ''( ) 12 10f t t t f t t . +) Khi 2 ''( ) 0 '( ) '(2) 0 ( ) (2) 2t f t f t f f t f . +) Khi 2 ''( ) 0 '( ) '( 2) 0 ( ) ( 2) 2t f t f t f f t f . Vậy min 2y khi 1 21xx x . N.Xét: Nhiều bạn sẽ nói tại sao chúng ta không áp dụng ngay bất đẳng thức Cauchy khi đặt 1 tx x . Vì chúng ta chỉ được áp dụng bất đẳng thức Cauchy khi các hạng tử không âm và dấu “=” có xảy ra không, nhưng ở đây chúng ta chưa biết dấu của 1 x, x , nên chúng ta không được áp dụng ngay bất đẳng thức Cauchy. nguyenchithanh.maths@gmail.com-01688783999 F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h Page 7 Ví dụ 6. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn 22 22x y xy x y xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 2 2 3 3 2 2 49 x y x y P y x y x . Phân tích tìm hướng giải: Ta có: 3 33 33 x y x y x y 3 y x y x y x ; 2 22 22 x y x y 2 y x y x . Do đó, chúng ta sẽ tư duy đưa biểu thức P về hàm số ẩn t với xy t yx . Bài giải: Từ x,y 0 ta có: 22 x y 1 1 2 x y xy x y xy 2 2 1 xy 2 y x y x Cauchy x y 2 2 x y 2 1 x y 2 2 y x y x y x (*) Dấu “=” xảy ra 2 x xy 2 y . Đặt x y x y t t 2 y x y x , t2 . Khi đó: t2 2 5 2t 1 2 2 t 2 4t 4t 15 0 t 2 . Ta có biểu thức: 3 2 3 2 P 4 t 3t 9 t 2 4t 9t 12t 18 . Xét hàm số: 32 f(t) 4t 9t 12t 18 với 5 t 2 . nguyenchithanh.maths@gmail.com-01688783999 F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h Page 8 Ta có: 2 t2 f '(t) 12t 18t 12 f '(t) 0 1 t 2 , suy ra hàm số f(t) đồng biến trên 1 ; 2 và 2; f(t) đồng biến trên 5 ; 2 5 23 f(t) f 24 . Dấu “=” xảy ra x y 5 y x 2 x;y 1;2 ; 2;1 xy 2 . Vậy 23 minP 4 khi x;y 1;2 ; 2;1 N.Xét: Tại sao chúng ta không áp dụng bất đẳng thức Cauchy tiếp trong khi biến đổi (*). Giả sử ta biến đổi tiếp, ta có: Cauchy Cauchy x y 2 2 x y 2 1 x y 2 2 4 2 y x y x y x (**) Dấu “=” xảy ra x,y 0 2 x y x y 2 xy yx . Nhưng khi thay x y 2 vào (**), ta được: (**) VT 3 4 2 . Do đó, chúng ta có một bài học ở đây là không phải lúc nào chúng ta cũng áp dụng bất đẳng thức Cauchy, kể cả khi biểu thức cho rất đẹp, nhưng vấn đề là dấu “=” trong bất đẳng thức Cauchy khi áp dụng có xảy ra hay không. Ví dụ 7. Cho x,y 0 và thỏa mãn 22 x y xy x y 3xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 22 1 2xy 3 A x y 2xy . Bài giải: Ta có: 22 x y xy x y 3xy xy x y x y 3xy (1) nguyenchithanh.maths@gmail.com-01688783999 F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h Page 9 Do x,y 0 x y 0 . Cauchy 2 1 1 4 (1) x y 3 3 x y 3 x y 4 0 x y 1 x y 4 0 x y x y x y 4 . Mặt khác 1 3 1 3 (1) 1 1 xy x y xy x y . Nên 22 22 1 4xy 4x y 3 3 A x y 2xy x y 1 2xy x y . Đặt t x y t 4 . Ta xét hàm số: 2 3 f(t) t 1 t trên 4; . Ta có: 3 22 3 2t 3 f '(t) 2t 0, t 4 tt f(t) đồng biến trên 4; . 71 f(t) f(4) 4 . Dấu “=” đạt được khi x y 4 t 4 x y 2 xy . Vậy 71 minA 4 tại x2 y2 . Ví dụ 8. Cho , , 0x y z và thỏa mãn 3 2 x y z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 5 5 5 2 2 2 x y z x y z T y z z x x y y z x . Bài giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với ba hạng tử, ta có: 4 3 3 2 1 T 3 3 xyz xyz . Đặt 3 t xyz , ta có: 3 x y z 1 0 t xyz 32 . nguyenchithanh.maths@gmail.com-01688783999 F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h Page 10 Xét hàm số 4 2 3 f(t) 3t t trên 1 0; 2 . Ta có 6 3 33 6 2t 1 61 f '(t) 12t 0/ 0; t t 2 1 195 f(t) f 2 16 , Dấu “=” xảy ra 3 x y z x y z 2 1 xyz 2 . Vậy 195 minT 16 khi x y z 2 . Ví dụ 9. Cho x, y, z là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 23 T x xy xyz x y z . Bài giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: 33 11 x xy xyz x 2x.8y 2x.8y.32z 48 Cauchy 2x 8y 2x 8y 32z 32 4 x x y z x y z 8 24 24 3 . Đặt 2 33 t x y z,t 0 P f(t) 2t t trên 0; . Ta có: 32 33 f '(t) f '(t) 0 t 1 tt . Suy ra: 3 minf(t) f(1) 2 . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 16 x 21 x y z 1 4 2x 8y y 21 2x 32z 1 z 21 . [...]... có thể gặp những bài toán như ví dụ 5, chúng ta cần tìm cách đưa các số hạng chưa rõ dấu về các số hạng dương, sau đó mới được áp dụng bất đẳng thức Cauchy Bài tập vận dụng: Bài 1 Chứng minh rằng nếu 2.3sinx 3tan x 3x1 Bài 2 Tìm max, min của hàm số y 2015 cos 2x 2 4x 4 cos 2 x 2x 2 x 2x 1 2 Bài 3 Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn x y 1 Tìm max, min của biểu thức:... nguyenchithanh.maths@gmail.com-01688783999 1 Cái khó nhất trong các bài toán dạng trên là ta cần tìm ra ẩn mới để đưa biểu thức (hoặc hàm số) đã cho về hàm số mới và từ biến mới đó, ta cần tìm điều kiện của biến để đưa ra miền khảo sát cho hàm mới (miền xác định) 2 Khi đề toán cho các giá trị của biến không âm (hoặc dương) thì thường ta sẽ nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy Chú ý khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy xem dấu “=” có xảy... Bài 3 Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn x y 1 Tìm max, min của biểu thức: A 2015 5x 2 2 y 5 y 2 2 x 2 x Bài 4 Tìm min của hàm số y 4 16 4 x x2 x4 2 x x Bài 5 Cho x, y > 0 và thỏa mãn 2 x 2 y2 xy x y xy 2 Tìm max của biểu x 3 y3 x 2 y 2 3 9 2 2 3 x y x y thức: P 4 Facebook: hocmainguyenchithanh Page 16 ... 2 Áp dụng bất đăng thức Cauchy, ta có: xy2 P P t 3 t 2 xy 3t 2 xy t 1 x y xy xy 4 2 t2 4 t2 t2 Do t 2 3t 2 0 và xy xy nên ta có: 4 4 t2 3t 2 t 2 4 t2 t2 t 1 4 t3 t 2 Xét hàm số f (t) Ta có f '(t) t2 trên 2; t2 t 2 4t t 2 2 t 0 f '(t) 0 t 4 x y 4 x y 2 x y Lập bảng biến thiên ta có: min. ..nguyenchithanh.maths@gmail.com-01688783999 Vậy min P 16 4 1 3 khi x; y; z ; ; 2 21 21 21 Ví dụ 10 Cho a, b, c là các số thực dương, thỏa mãn: a b c 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 2 abc 3 3 ab bc ca 1 a 1 b 1 c Bài giải: Áp dụng bất đẳng thức x y z 3 xy yz zx , x, y, z 2 ab bc ca... b b c a c 3 4 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: 2 2 2 2 a b b c a c Và 4 a2 b2 c2 ab bc ca 2 a b 2 b c 2 a c 2 2 2 4 a 2 b2 c 2 ab bc ca 3 a c 4 5 x 3 a c 0 2 0 x 5 5 x 0 a c 2 3 (2) a c Từ (1) và (2), ta có: P 4 Xét hàm số f ( x) Ta có: f '( x) ... 2 2 2 Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên 0;1 f (t) f (1) 6 abc 1 Dấu “=” xảy ra t 1 a b c Vậy maxP = 5 5 P f (1) 6 6 a b c 1 5 khi a b c 1 6 Facebook: hocmainguyenchithanh Page 11 3 nguyenchithanh.maths@gmail.com-01688783999 x Ví dụ 11 Cho các số thực x, y > 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của T 3 y3 x 2 y 2 x 1 y 1 Bài giải: Đặt t... thiên ta có: min f (t) f (4) 8 tại t 4 Vậy min T 8 khi x y 2 Ví dụ 12 Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn 2x 3y 7 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 2xy y 5 x 2 y2 24 3 8 x y x 2 y2 3 Bài giải: Ta có: 6 x 1 y 1 2 x 2 3 y 3 2x 2 3 y 3 36 x y xy 5 2 Cauchy Facebook: hocmainguyenchithanh 2 Page 12... y 2 x 2 Vậy min A 10 48 3 2 khi y 1 Ví dụ 13 Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x2 y 2 z 2 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P xy yz zx 4 x yz Bài giải: 1 2 Ta có xy yz zx x y z x 2 y 2 z 2 2 Facebook: hocmainguyenchithanh Page 13 nguyenchithanh.maths@gmail.com-01688783999 x y z Do đó: P 2 3 2 Cauchy 4 x yz... 2 t t2 3 4 Xét hàm số f (t ) trên 3;3 2 t Ta có: f '(t ) t 4 f '(t ) 0 t 3 4 2 t Từ bảng biến thiên, ta có maxf(t) f (3) 3;3 13 3 x y z 3 Dấu “=” xảy ra x 2 y 2 z 2 3 x y z 1 x y z Vậy max P 13 khi x y z 1 3 Ví dụ 14 (mở rộng) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a b c và a2 b2 c2 5 Chứng minh rằng: a b . 1; ''( ) 12 10f t t t f t t . +) Khi 2 ''( ) 0 '( ) '(2) 0 ( ) (2) 2t f t f t f f t f . +) Khi 2 ''( ) 0 '( ) '(. 0; 2 . Ta có: 2 1 '( ) 2cos 3 cos f x x x . Đến đây chúng ta có hai cách biến đổi sau để xét được dấu của '( )fx Cách 1: 2 2 cosx-1 2cos 1 '( ) 0, 0; cos 2 . . Đặt 2 1 0 44 cauchy xy t xy t xy . Xét hàm số 2 ( ) 16 2 12f t t t trên đoạn 1 0; 4 . Ta có: 1 '( ) 32 2 '( ) 0 16 f t t f x x