Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Tóm tắt kết quả nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 Tính bão hòa nguyên tố 8 1.1 Biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Tính bo hòa nguyên tố của môđun Artin . . . . . . . . . 8 1.3 Chiều Noether và tính bo hòa nguyên tố . . . . . . . . . 9 1.4 Tính bo hòa nguyên tố của H d m (M) . . . . . . . . . . 10 2 Tính catenary phổ dụng và tính không trộn lẫn 11 2.1 Đặc trng tính bo hoà nguyên tố của H i m (M) . . . . . . 11 2.2 Tính catenary phổ dụng và tính không trộn lẫn . . . . . . 13 3 Quỹ tích không Cohen-Macaulay 15 3.1 Một số tính chất của giả giá . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2 Mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay qua giả giá . . . 16 3.3 Quỹ tích không Cohen-Macaulay và điều kiện Serre . . . 18 1 2 Tóm tắt kết quả nghiên cứu 1. Thông tin chung - Tên đề tài: Một số bi toán về điều kiện dy nguyên tố trên vành Noether, địa phơng - M số: B2009-TN07-06 Thời gian thực hiên: 2009-2010 - Chủ nhiệm đề tài: PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Điện thoại: 0915643746 E-mail: nhanltt@tnu.edu.vn - Cơ quan chủ trì đề tài: Trờng ĐHKH - Đại học Thái Nguyên - Cơ quan phối hợp: Khoa Toán, Trờng ĐHSP - ĐH Thái Nguyên 2. Mục tiêu. Đề tài hớng đến 2 mục tiêu sau đây: Nghiên cứu một số bài toán về điều kiện dy nguyên tố trong vành Noether, địa phơng, cụ thể là: - Nghiên cứu các bài toán về tính catenary của vành (cho trớc hai iđêan nguyên tố lồng nhau, luôn tồn tại một dy nguyên tố bo hòa giữa chúng và mọi dy bo hòa nh thế đều có chung độ dài) - Nghiên cứu bài toán về tính catenary phổ dụng (mọi đại số hữu hạn sinh trên nó đều catenary). - Nghiên cứu bài toán về tính không trộn lẫn (trên đầy đủ, mọi iđêan nguyên tố liên kết đều có cùng chiều). - Nghiên cứu tính đóng của một số tập iđêan nguyên tố nh các tập giả giá, quỹ tích không Cohen-Macaulay trong mối quan hệ với các điều kiện dy nguyên tố. Nâng cao năng lực nghiên cứu cho nhóm thực hiện đề tài và phục vụ hiệu quả cho công tác NCKH và đào tạo SĐH chuyên ngành Toán Đại số của Đại học. 3 3. Nội dung chính Trong đề tài này, chúng tôi trình bày một số kết quả mới về các bài toán liên quan đến điều kiện dy nguyên tố nh tính catenary, catenary phổ dụng, tính đóng của giả giá của một một môđun hữu hạn sinh, tính đóng (theo tôpô Zariski) của quỹ tích không Cohen-Macaulay. Các kết quả chính thu đợc là: - Đặc trng tính chất bo hòa nguyên tố của các môđun đối đồng điều địa phơng. - Trình bày một ứng dụng của tính bo hòa nguyên tố để chứng minh công thức bội liên kết cho môđun đối đồng điều địa phơng. - Đa ra một số tiêu chuẩn để vành cơ sở là catenary phổ dụng - Đa ra một số điều kiện đủ cho vành là tựa không trộn lẫn. - Mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay của một môđun hữu hạn sinh. - Đa ra mối liên hệ giữa tính đóng của quỹ tích không Cohen- Macaulay và tính đóng của tập giả giá. 4. Kết quả chính đạt đợc - Các kết quả của đề tài đợc viết thành 02 bài báo đăng trên tạp chí quốc tế uy tín ISI. - Đang hớng dẫn 04 luận án tiến sĩ, đ hớng dẫn 04 luận văn thạc sĩ, đ hớng dẫn 03 đề tài sinh viên NCKH và luận văn tốt nghiệp đại học. 4 Summary 1. General information - Project title: Some problems on the conditions of prime ideal chains for Noetherian local rings - Code number: B2009-TN07-06 Duration: From 2009 to 2010 - Project manager: Associate Professor Le Thi Thanh Nhan Tel.: 02803856215 E-mail: nhanltt@tnu.edu.vn - Implementing institution: College of Sciences - TNU. - Cooperating institution: Department of Mathematics, College of Ed- ucation, Thai Nguyen University. 2. Objectives. The purpose of this project is to study some problems on the conditions of prime ideal chains such as: - The catenaricity on the Noetherian local rings. - The universal catenaricity on the Noetherian local rings. - The unmixedness on the Noetherian local rings. - The closedness of the non Coehen-Macaulay locus and the pseudo supports of a finitely generated module. 3. Main contends - In this project, we present some new results on the problems of the prime ideal chain conditions: the catenaricity, the universal catenaricity, the unmixedness, the closedness of the pseudo supports, the closedness of the non Cohen-Macaulay locus. Here are the main results: - Giving a characterization for the local cohomology modules (with respect to the maximal ideal) to satisfy the prime saturation. - Applying the above characterization to present an associativity for- mula for multiplicity of local cohomology modules. 5 - Giving some necessary conditions for a ring to be catenary and universally catenary. - Giving some necessary conditions for a ring to be unmixed. - Showing a relation between the closedness of the pseudo supports and the closedness of the non Cohen-Macaulay locus. 4. Results obtained - The results of the project are written into 02 articles published on international journals approved by ISI. - During 2 years, from 2009 to 2010, the principle investigator has given certain lectures to postgraduate students Courses No. 2,3 of the College of Sciences, Courses No. 16, 17 of the College of Education - TNU. She instructs 04 PhD theses; 04 Master theses; 03 scientific research projects and dissertations of undergraduate students. 6 Mở đầu Các bài toán về điều kiện dy nguyên tố đ đợc quan tâm từ những năm 1930. Bài toán đầu tiên là xét tính catenary của các vành giao hoán. Nhắc lại rằng một vành gọi là catenary nếu giữa hai iđêan nguyên tố lồng nhau bất kì luôn tồn tại một dy nguyên tố bo hòa và mọi dy nguyên tố bo hòa nh thế đều có chung độ dài. Lớp vành catenary đầu tiên đợc khám phá bởi W. Krull từ năm 1937, ông chỉ ra rằng mọi đại số hữu hạn sinh trên một trờng là catenary. Những công trình tiếp theo của W. Krull, M. Nagata, I. S. Cohen, D. Ferand và M. Raynaud, L. J. Ratliff, R. Heitmann, M. Brodmann về tính catenary đ làm giàu đẹp lí thuyết này, nó cho thấy sự liên quan chặt chẽ với nhiều lĩnh vực khác của Đại số Giao hoán nh vành định chuẩn, môđun Cohen-Macaulay tối đại, vành Rees, vành phân bậc liên kết, các phơng pháp đồng điều, các mở rộng vành siêu việt Phát triển lí thuyết vành catenary là lí thuyết vành catenary phổ dụng, vành tựa không trộn lẫn và vành không trộn lẫn. Các lí thuyết này đóng vai trò đặc biệt quan trọng trong Đại số giao hoán, nhất là trong lí thuyết vành giao hoán. Cho đến nay, việc nghiên cứu tính catenary, tính catenary phổ dụng, tính tựa không trộn lẫn, tính không trộn lẫn và những bài toán liên quan cho các vành vẫn rất đợc quan tâm bởi nhiều nhà toán học trên thế giới. Đặc biệt, Nguyễn Tự Cờng, Nguyễn Thị Dung và Lê Thanh Nhàn 2007 đ thông qua nghiên cứu môđun Artin đối đồng điều địa phơng cấp cao nhất với giá cực đại để đặc trng tính catenary cho các vành Noether và giá không trộn lẫn của các môđun hữu hạn sinh. Mục đích của đề tài này là phát triển các kết quả trên của Nguyễn Tự Cờng, Nguyễn Thị Dung và Lê Thanh Nhàn 2007 cho những bài toán về điều kiện dy nguyên tố khác nh xét tính catenary phổ dụng, tính tựa 7 không trộn lẫn, tính không trộn lẫn của các vành Noether địa phơng, đồng thời xét một số bài toán liên quan nh công thức bội liên kết cho môđun đối đồng điều địa phơng, tính đóng của các tập giả giá và tính đóng của quỹ tích không Cohen-Macaulay. Công cụ nghiên cứu của đề tài là dùng những tính chất đặc thù của tất cả các môđun đối đồng điều địa phơng với giá cực đại. Đề tài gồm 3 chơng. Chơng I nói về tính chất bo hòa nguyên tố của môđun Artin, đặc biệt là môđun đối đồng điều địa phơng với giá cực đại nhằm phục vụ cho việc trình bày các kết quả cho 2 chơng sau. Chơng 2 đặc trng tính bo hòa nguyên tố cho các môđun đối đồng điều địa phơng, từ đó xét tính catenary, catenary phổ dụng, tính không trộn lẫn của các vành Noether địa phơng. Nh một ứng dụng, trong Chơng 2 còn trình bày công thức bội liên kết cho các môđun đối đồng điều địa phơng. Chơng 3 nghiên cứu tính đóng của quỹ tích không Cohen-Macaulay thông qua các tập giả giá, qua các điều kiện Serre và tính không trộn lẫn của vành. Chơng 1 Tính bão hòa nguyên tố Trong suốt chơng này, cho (R, m) là một vành Noether địa phơng với iđêan tối đại duy nhất m, cho A là R-môđun Artin và M là R-môđun hữu hạn sinh. Với mỗi iđêan I của R ta kí hiệu V (I) là tập các iđêan nguyên tố của R chứa I. 1.1 Biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin Tiết này nhằm trình bày một số khái niệm và tính chất của biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin trong một bài báo của I. G. Macdonald 1973. 1.2 Tính bão hòa nguyên tố của môđun Artin Ta luôn có Ann R (M/pM) = p với mọi iđêan nguyên tố p Ann R M. Rất tự nhiên, theo suy nghĩ đối ngẫu, N. T. Cuong và L. T. Nhan 2002 đ xét tính chất sau đối với các môđun Artin A: Ann R (0 : A p) = p với mọi iđêan nguyên tố p Ann R A. () Tuy nhiên tính chất (*) lại không đúng cho các môđun Artin A (xem Ví dụ 1.2.3). Vì thế ta có định nghĩa sau đây. 8 9 1.2.1. Định nghĩa. Môđun A đợc gọi là có tính chất bo hòa nguyên tố nếu nó thỏa mn tính chất (*). Các kết quả sau đây đợc trích từ một bài báo của NT Cờng và LT Nhàn 2002 và một bài báo của NT Cờng, NT Dung và LT Nhàn 2007. 1.2.2. Chú ý. Mọi môđun Artin trên vành địa phơng đầy đủ đều bo hoà nguyên tố. 1.2.3. Ví dụ. Tồn tại một môđun Artin trên vành Noether địa phơng không bo hoà nguyên tố. 1.2.4. Mệnh đề. Các điều kiện sau là tơng đơng: (i) A bo hoà nguyên tố. (ii) V (Ann R A) = { p R : p V (Ann R A)}. 1.3 Chiều Noether và tính bão hòa nguyên tố Trong tiết này chúng ta trình bày lại một số kết quả về chiều Noether đ biết trong các bài báo của RN Roberts 1975, D. Kirby 1990 và NT Cờng-LT Nhàn 2002. 1.3.1. Mệnh đề. Kí hiệu N-dim A là chiều Noether của A. Nếu q là iđêan sao cho (0 : A q) < thì có một đa thức Q(n) với hệ số hữu tỷ sao cho R (0 : A q n+1 ) = Q(n) khi n 0 và N-dim R A = deg( R (0 : A q n+1 )) = inf{t 0 : x 1 , . . . , x t m : R (0 : A (x 1 , . . . , x t )R) < }. Kí hiệu dim R A = dim(R/ Ann R A). Ta chỉ có N-dim R A dim R A. Hơn nữa, với môđun Artin A = H 1 m (R) nh trong Ví dụ 1.2.3 ta có dim R A = 2 > 1 = N-dim R A. Mệnh đề sau đây chỉ ra rằng tính chất bo hòa nguyên tố là đủ để đẳng thức về chiều ở trên xảy ra. 10 1.3.2. Mệnh đề. [CN]. (i) N-dim R A dim(R/ Ann A). (ii) Nếu A bo hòa nguyên tố thì N-dim R A = dim R A. 1.4 Tính bão hòa nguyên tố của H d m (M) Kí hiệu U M (0) là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn d = dim M. Khi đó Ass(M/U M (0)) = {p Ass M : dim R/p = d}. Vì thế các iđêan nguyên tố liên kết của M/U M (0) đều có chiều nh nhau. Tập Supp(M/U M (0)) đợc gọi là giá không trộn lẫn của môđun M và đợc kí hiệu bởi Usupp M. Chú ý rằng Usupp M = Var(Ann R H d m (M)). Do đó ta nói Usupp M là catenary nếu vành R/ Ann R H d m (M) là catenary. Sau đây là một kết quả đ đợc chứng minh trong một bài báo của NT Cờng, NT Dung và LT Nhàn 2007. 1.4.1. Định lý. Các phát biểu sau là tơng đơng: (i) H d m (M) bo hoà nguyên tố. (ii) Usupp M = { p R : p Usupp R M}. (iii) Usupp M là catenary. [...]... Hm (M ) cũng b o ho nguyên tố M Nagata 1980 hỏi rằng nếu (R, m) l miền Noether địa phơng không trộn lẫn v p Spec R thì liệu R/p có l miền không trộn lẫn? Brodmann v Rotthaus 1983 đ xây dựng một miền Noether địa phơng (R, m) chiều 3 sao cho R l miền nguyên v R/pR có một iđêan nguyên tố nhúng với một iđêan nguyên tố p Spec R Đây l phản ví dụ cho câu 2 hỏi trên của Nagata Với miền nguyên n y, ta có thể... tính b o ho nguyên tố của tất cả các i môđun đối đồng điều địa phơng Hm (M) với bậc i < d, từ đó chúng ta nhạn đợc một số kết quả về tính catenary phổ dụng v tính không trộn lẫn của các v nh địa phơng i 2.2.1 Định lý Giả sử Hm (M ) b o ho nguyên tố với mọi i < d Khi đó R/p l không trộn lẫn với mọi p Ass M v v nh thơng R/ AnnR M l catenary phổ dụng i 2.2.2 Hệ quả Giả sử Hm (M ) b o ho nguyên tố với mọi... ho nguyên tố Vì thế điều ngợc lại của Định lí 2.2.1 không 14 đúng Kết quả sau cho ta một tiêu chuẩn về tính không trộn lẫn của v nh R/p với một số iđêan nguyên tố p Supp M i 2.2.3 Định lý Giả sử M không trộn lẫn chiều d v Hm (M) b o ho nguyên tố với mọi i < d Khi đó R/p l không trộn lẫn với mọi p Supp M thoả m n dim(R/p) d 1 Chơng 3 Quỹ tích không Cohen-Macaulay Giả sử R l v nh thơng của v nh địa. .. AssR M Cho r > 0 l một số nguyên M đợc gọi l thoả m n điều kiện Serre (Sr ) nếu depth(Mp) min{r, dim(Mp )} for all p SuppR (M ) 3.3.3 Bổ đề Giả sử M l đẳng chiều v R/ AnnR M l catenary Khi đó M thoả m n điều kiện Serre (Sr ) nếu v chỉ nếu psdi (M) ir với mọi i < d Đặc biệy, nếu M thoả m n điều kiện Serre (Sr ) thì dim(R/p) d r 1 với mọi p nCM(M ) 3.3.4 Định lý Cho r 1 l một số nguyên Giả sử M l... kết sau i i đây l đúng: Với kí hiệu e (q, Hm (M )) l số bội của Hm (M ) ứng với iđêan m -nguyên sơ q, ta có idim(R/p) i e (q, Hm (M)) = Rp HpRp (Mp ) e(q, R/p) pPsuppi (M ) R i dim(R/p)=psd (M ) 2.1.1 Định lý Cho số nguyên i 0 Các điều kiện sau l tơng đơng: 11 12 i (i) Hm(M ) l b o ho nguyên tố i (ii) Var AnnR (Hm (M )) = Psuppi M R Nếu các điều kiện (i), (ii) đều thoả m n thì psdi M = psdi M = i N-dimR... của M , tính catenary của v nh R/ AnnR M , điều kiện Serre trên M v tính không 15 16 trộn lẫn của một số miền nguyên R/p với p SuppR (M ) Các kết quả thu đợc chỉ ra rằng thậm chí v n cơ sở có thể xấu, thậm chí các tập giả giá có thể không đóng, nhng việc nghiên cứu các tập giả giá vẫn cho ta nhiều thông tin hữu ích về M v v nh cơ sở R 3.1 Một số tính chất của giả giá Với mỗi tập con T của Spec(R), đặt... quả 3.2.3 l không đúng 3.2.6 Ví dụ Tồn tại một miền Noether địa phơng R có chiều 3 sao cho quỹ tích không Cohen-Macaulay của R l đóng nhng Psupp2 (R) v Psupp3(R) không đóng 3.3 Quỹ tích không Cohen-Macaulay v điều kiện Serre i Từ nay đến hết luận văn, với mỗi i ta đặt ai (M ) = AnnR Hm (M) v a(M ) = a0(M )a1 (M ) ad1 (M ) 3.3.1 Hệ quả Cho i 0 l một số nguyên Giả sử R/ AnnR M l catenary phổ dụng... R/ AnnR M l catenary phổ dụng v mọi thớ hình i thức của nó l Cohen-Macaulay thì Hm (M ) b o ho nguyên tố với mọi i d i 2.1.3 Hệ quả Cho i 0 l một số nguyên Cho N-dimR (Hm (M )) = s Với mỗi p Psuppi M , đặt T (p) = {p Psuppi (M ) : dim(R/p) = R R i dim(R/p), p R = p} Giả thiết rằng Hm (M ) b o ho nguyên tố Khi đó các phát biểu sau l đúng (i) Psuppi M l đóng R (ii) Nếu p Psuppi M với dim(R/p) = s... i . Thái Nguyên - Cơ quan phối hợp: Khoa Toán, Trờng ĐHSP - ĐH Thái Nguyên 2. Mục tiêu. Đề tài hớng đến 2 mục tiêu sau đây: Nghiên cứu một số bài toán về điều kiện dy nguyên tố trong vành Noether, địa. 18 1 2 Tóm tắt kết quả nghiên cứu 1. Thông tin chung - Tên đề tài: Một số bi toán về điều kiện dy nguyên tố trên vành Noether, địa phơng - M số: B2009-TN07-06 Thời gian thực hiên: 2009-2010 - Chủ nhiệm. bài toán về điều kiện dy nguyên tố đ đợc quan tâm từ những năm 1930. Bài toán đầu tiên là xét tính catenary của các vành giao hoán. Nhắc lại rằng một vành gọi là catenary nếu giữa hai iđêan nguyên