HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX Bài 1. Giải các phương trình sau : a. 2 sin os 3 osx=2 2 2 x x c c   + +  ÷   b. ( ) ( ) ( ) 1 2sin osx 3 1 2sin 1 sinx x c x − = + − c. ( ) 3 sinx+cosxsin2x+ 3 os3x=2 cos4x+sinc x d. 3 os5x-2sin3xcos2x-sinx=0c Giải a. 2 1 3 1 sin os 3 osx=2 1+sinx+ 3 osx=2 sinx+ osx= 2 2 2 2 2 x x c c c c   + + ⇔ ⇔  ÷   ( ) 2 2 3 6 6 sin sin 5 3 6 2 2 3 6 2 x k x k x k Z x k x k π π π π π π π π π π π π   + = + = − +     ⇔ + = ⇔ ⇔ ∈    ÷     + = + = +     b. ( ) ( ) ( ) 1 2sin osx 3 1 2sin 1 sinx x c x − = + − . Điều kiện : 2 6 1 sinx - 7 2 2 6 sinx 1 2 2 x k x k x k π π π π π π  ≠ − +    ≠   ⇔ ≠ +     ≠   ≠ +   Khi đó : ( ) ( ) ( ) 2 1 2sin osx 3 osx-sin2x=1-sinx+2sinx-2sin 1 2sin 1 sinx x c c x x − = ⇔ + − osx-sinx=sin2x+cos2x 2 os 2x- 2 os 4 4 c c c x π π     ⇔ ⇔ = +  ÷  ÷     ( ) 2 2 2 2 2 4 4 2 3 2 2 3 4 4 x k x x k x k k Z k x x x k π π π π π π π π π π   = + − = + +   ⇔ ⇔ ⇒ = ∈     = − = − − +     c. ( ) 3 sin3x+sinx 3sinx-sin3x sinx+cosxsin2x+ 3 os3x=2 cos4x+sin sinx+ 3 os3x=2cos4x+ 2 2 c x c⇔ + 3sinx sin 3 2 3 os3x=4cos4x+3sinx-sin3xx c⇔ + + 1 3 2sin 3 2 3 os3x=4cos4x sin 3 os3x=cos4x 2 2 x c x c⇔ + ⇔ + ( ) 4 3 2 2 6 6 os4x=cos 3x+ 2 6 4 3 2 6 42 7 x x k x k c k Z k x x k x π π π π π π π π π   = + + = +     ⇔ ⇔ ⇔ ∈    ÷     = − − + = − +     d. ( ) 3 os5x-2sin3xcos2x-sinx=0 3 os5x- sin5x+sinx sinx=0c c⇔ − 3 1 3 os5x-sin5x=2sinx os5x- sin 5 sinx 2 2 c c x⇔ ⇔ = hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 Trang 1 HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN ( ) 5 2 6 2 18 3 os 5x+ sinx=cos 6 2 5 2 6 2 6 2 k x x k x c x k Z k x x k x π π π π π π π π π π π π   + = − + = +       ⇔ = − ⇔ ⇒ ∈    ÷  ÷       + = − + = − +     Bài 2. Giải các phương trình sau : a. ( ) 4 4 4 sin os 3sin 4 2x c x x+ + = b. ( ) 2 2 sinx+cosx osx=3+cos2xc c. ( ) cos2 3 sin 2 2 sinx+cosxx x= + d. 4 4 sin os 2 3sinxcosx+1x c x− = Giải a. ( ) 4 4 2 1 4 sin os 3sin 4 2 4 1 sin 2 3 sin 4 2 2 x c x x x x   + + = ⇔ − + =  ÷   ( ) 2 3 1 2sin 2 3sin 4 2 os4x+ 3 sin 4 1x x c x⇔ + − + = ⇔ = − 1 3 1 1 2 os4x+ sin 4 os 4x- os 2 2 2 3 2 3 c x c c π π   ⇔ = − ⇔ = − =  ÷   ( ) 2 4 2 3 3 4 2 2 4 2 3 3 12 2 k x k x k Z k x k x π π π π π π π π π π   − = + = +   ⇔ ⇔ ∈     − = − + = − +     b. ( ) 2 2 2 sinx+cosx osx=3+cos2x 2sin 2 2 2 os 3 os2xc x c x c⇔ + = + ( ) ( ) 2 sin 2 2 1 os2x 3 os2x 2 sin 2 2 1 os2x=3- 2x c c x c⇔ + + = + ⇔ − Ta có : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 5 2 2, 3 2 11 6 2a b c+ = + − = − = − = − . Do đó : ( ) ( ) 2 2 2 11 6 2 5 2 2 6 4 2 36 32 0 c a b− − − = − = − > ⇒ > + . Phương trình vô nghiệm . c. ( ) cos2 3 sin 2 2 sinx+cosx os2x- 3 sin 2 2sin 4 x x c x x π   = + ⇔ = +  ÷   1 3 os2x- sin 2 sin sin 2 sin 2 2 4 6 4 c x x x x π π π       ⇔ = + ⇔ − = +  ÷  ÷  ÷       ( ) 5 2 2 2 6 4 12 11 2 3 2 2 36 3 6 4 x x k x k k Z k x x x k π π π π π π π π π π   − = + + = +   ⇔ ⇔ ∈     = + − = − +     d. 4 4 sin os 2 3sinxcosx+1 cos2x+ 3sin 2 1x c x x− = ⇔ = − 1 3 2 os2x+ sin 2 1 os 2x- os 2 2 2 2 3 3 3 c x c c x k x k π π π π π π π   ⇔ = − ⇔ = ⇔ − = + ⇒ = +  ÷   Bài 3. Giải các phương trình sau : a. 2 4 4sin sin sin 4 3 osx cos os 2 3 3 3 3 x x x c x c x π π π π         + − + + + =  ÷  ÷  ÷  ÷         b. 3 2sin 4 16sin . osx 3cos 2 5x x c x+ + = c. 6 6 3 1 sin 4 os sin 8 x c x x+ = + Giải a. 2 4 4sin sin sin 4 3 osx.cos os 2 3 3 3 3 x x x c x c x π π π π         + − + + + =  ÷  ÷  ÷  ÷         Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 Trang 2 HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN ( ) 2 2 2sin os2x-cos 2 3 osx os 2 2 os 2 3 3 x c c c x c π π π       ⇔ + + + =  ÷  ÷         1 1 2sin os2x+2sinx. 2 3 osx. os2x-2 3 osx. 2 2 2 xc c c c⇔ + = ( ) sin 3 sinx+sinx 3 os3x+ osx - 3 osx 2x c c c⇔ − + = 1 3 2 sin 3 3 os3x= 2 sin3 os3x= os 3x- os 2 2 2 6 4 x c x c c c π π   ⇔ + ⇔ + ⇔ =  ÷   ( ) 2 36 3 2 36 3 k x k Z k x π π π π  = +  ⇒ ∈   = − +   b. 3 2sin 4 16sin . osx 3cos 2 5x x c x+ + = Ta có : ( ) 3 16sin osx 4cos 3sin sin 3x 6sin 2 2.2sin 3 . osxxc x x x x c= − = − ( ) =6sin2x-2 sin4x+sin2x 4sin 2 2sin 4x x= − Cho nên (1) : 2sin 4 4sin 2 2sin 4 +3cos2x=5 4sin2x.+3cos2x=5x x x + − ⇔ ( ) ( ) 4 3 sin 2 os2x=1 cos 2x- 1 2 2 5 5 2 x c x k x k k Z α α α π π ⇔ + ⇔ = ⇔ − = ⇒ = + ∈ Và : 3 4 os = ;sin 5 5 c α α = c. 6 6 3 1 sin 4 os sin 8 x c x x+ = + Do : 6 6 2 3 3 1 os4x 5 3 sin os 1 sin 2 1 os4x 4 4 2 8 8 c x c x x c −   + = − = − = +  ÷   Cho nên (c) trở thành : 3 5 3 1 sin 4 os4x cos4x-sin4x=1 2 os 4x+ 1 8 8 8 4 x c c π   + = + ⇔ ⇔ =  ÷   ( ) 4x+ 2 2 2 4 4 os 4x+ os 4 2 4 4x+ 2 8 2 4 4 k x k c c k Z k x k π π π π π π π π π π π   = = +     ⇔ = = ⇔ ⇔ ∈    ÷     = − + = − +     Bài 4. Giải các phương trình sau : a. ( ) sin8 os6x= 3 sin 6 os8xx c x c− + b. ( ) os7x-sin5x= 3 os5x-sin7xc c c. 3 3sin 3 3 os9x=1+4sin 3x c x− d. 3 os5x+sin5x-2cos2x=0c Giải a. ( ) sin8 os6x= 3 sin 6 os8x sin8 3 os8x= 3sin 6 os6xx c x c x c x c− + ⇔ − + Chia hai vế ơhw[ng trình cho 2 ta có : 1 3 3 1 sin8 os8x= sin 6 os6x sin 8x- sin 6 2 2 2 2 3 6 x c x c x π π     ⇔ − + ⇔ = +  ÷  ÷     ( ) 8 6 2 2 2 3 6 2 4 7 5 14 2 8 6 2 6 12 7 3 6 x x k x k x k k Z k x k x x x k π π π π π π π π π π π π π π    − = + + = + = +    ⇔ ⇔ ⇔ ∈       = + = + − = − + +       b. ( ) os7x-sin5x= 3 os5x-sin7x os7x+ 3sin 7 3 os5x+sin5xc c c x c⇔ = Chia hai vế phương trình cho 2 ta có kết quả : Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 Trang 3 HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN 1 3 3 1 os7x+ sin 7 os5x+ sin5x cos 7x+ os 5x- 2 2 2 2 3 6 c x c c π π     ⇔ = ⇔ =  ÷  ÷     ( ) 7 5 2 2 2 3 6 2 4 12 2 7 5 2 6 72 6 3 6 x x k x k x k k Z k x k x x x k π π π π π π π π π π π π π π    + = − + = − + = − +    ⇔ ⇔ ⇔ ∈       = − + = − + + = − + +       c. 3 3sin 3 3 os9x=1+4sin 3x c x− ⇔ Từ công thức nhân ba : 3 sin 9 3sin 3 4sin 3x x x= − cho nên phương trình (c) viết lại : 3 1 3 1 3sin 3 4sin 3 3 os9x=1 sin 9 3 os9x=1 sin9 os9x= 2 2 2 x x c x c x c− + ⇔ + ⇔ + ( ) 2 9x- 2 1 6 3 18 9 os 9x- = os 2 6 2 3 9x- 2 6 3 27 9 k k x c c k Z k k x π π π π π π π π π π π π   = = +     ⇔ = ⇔ ⇔ ∈    ÷     = − + = − +     d. 3 1 3 os5x+sin5x-2cos2x=0 os5x+ sin5x=cos2x cos 5x- os2x 2 2 6 c c c π   ⇔ ⇔ =  ÷   ( ) 2 5 2 6 3 30 5 2 5 2 6 3 10 5 k x k x k Z k x k x π π π π π π π π π π   − = − + = − +   ⇔ ⇔ ∈     − = + = +     II. PHƯƠNG TRÌNH : BẬC NHẤT - BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài 1. Giải các phương trình sau : a. cos3x+sin3x 5 sinx+ 3 os2x 1 2sin 2 c x   = +  ÷ +   b. 2 2 cos 3 . os2x-cos 0x c x = c. 4 4 3 cos sin os x- .sin 3 0 4 4 2 x x c x π π     + + − − =  ÷  ÷     d. 2 4.sinxcosx+3sin 6sinx x= Giải a. cos3x+sin3x 5 sinx+ 3 os2x 1 2sin 2 c x   = +  ÷ +   . Điều kiện : 1 sin 2 2 x ≠ − (*) Phương trình (a) trở thành : sinx+2sinx.sin2x+cos3x+sin3x sinx+cosx-cos3x+cos3x+sin3x 5 3 os2x 5 3 os2x 1 2sin 2 1 2sin 2 c c x x     ⇔ = + ⇔ = +  ÷  ÷ + +     ( ) ( ) sinx+sin3x osx osx 1+2sin2x sinx+cosx+sin3x 2sin 2 . osx+cosx osx 1 2sin 2 1 2sin 2 1 2sin 2 1 2sin 2 c c x c c x x x x + ⇔ = = = = + + + + Cho nên (a) 2 2 1 osx= 5cos 2 2cos 2cos 5cos 2 0 2 osx=2>1 c x x x x c   ⇔ = + ⇔ − + = ⇔   Vậy : 2 1 3 cos 2 2 2 x k x x k π π π π  = +  = ⇒   = − +   . Kiểm tra điều kiện : Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 Trang 4 HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN - 2 1 2sin 4 1 2. 1 2 0 3 2 k π π   + + = + = ≠  ÷   . Cho nên nghiệm phương trình là 2 3 x k π π = + - 2 1 2sin 4 1 2. 1 0 3 2 k π π     − + + = − + =  ÷  ÷     Vi phạm điều kiện , cho nên loại . Tóm lại phương trình có một họ nghiệm : 2 3 x k π π = + b. 2 2 2 1+cos2x cos 3 . os2x-cos 0 cos 3 . os2x- 0 2 x c x x c= ⇔ = ( ) ( ) 2 2cos 3 . os2x- 1+cos2x 0 os2x 1+cos6x 1 os2x=0 cos6x.cos2x=1x c c c⇔ = ⇔ − − ⇔ 2 cos4x=1 os8x+cos4x=2 2cos 4 os4x-3=0 3 cos4x=- 1 2 c x c   ⇔ ⇔ + ⇔  < −  Do đó : ( ) cos 4 1 4 2 2 k x x k x k Z π π = ⇔ = ⇒ = ∈ c. 4 4 2 3 1 1 3 cos sin os x- .sin 3 0 1 sin 2 sin 4 sin 2 0 4 4 2 2 2 2 2 x x c x x x x π π π         + + − − = ⇔ − + − + − =  ÷  ÷  ÷           [ ] ( ) 2 2 2 1 1 3 1 sin 2 os4x sin 2 0 2 sin 2 1 2sin 2 sin 2 3 0 2 2 2 x c x x x x   ⇔ − + − + − = ⇔ − + − − + − =   2 sin2x=1 sin 2 sin 2x-2=0 sin2x=-2<-1 x  ⇔ + ⇔   ( ) sin 2 1 2 2 2 4 x x k x k k Z π π π π ⇒ = ⇔ = + ⇒ = + ∈ d. ( ) 2 sinx=0 4.sinxcosx+3sin 6sin sinx 4cosx+3sinx-6 0 4 osx+3sinx=6 x x c  = ⇔ = ⇔   - Với sinx =0 ( ) x k k Z π ⇒ = ∈ - Do : 2 2 2 4 3 25 6 36+ = < = . Cho nên phương trình 4 osx+3sinx=6c vô nghiệm . Bài 2. Giải các phương trình sau a. 2 2 2 2 sin 3 os 4 sin 5 os 6x c x x c x− = − b. 2 2 2 sin tan os 0 2 4 2 x x x c π   − − =  ÷   c. tan 2 tan 2 2 2 2 x x π π     − + + =  ÷  ÷     d. ( ) 2 5.sinx-2=3 1-sinx .tan x Giải a. 2 2 2 2 sin 3 os 4 sin 5 os 6x c x x c x− = − ( ) ( ) 1 os6x 1 os8x 1 os10x 1 os12x os8x+cos6x os10x+cos12x 2 2 2 2 c c c c c c − + − + ⇔ − = − ⇔ = ( ) 2 2 cosx=0 2 os7xcosx 2 os11xcosx 11 7 2 cos11x=cos7x 2 11 7 2 9 x k x k k c c x x k x k Z x x k k x π π π π π π π π  = +   = +      ⇔ = ⇔ ⇔ = + ⇔ = ∈      = − +    =    b. 2 2 2 sin tan os 0 2 4 2 x x x c π   − − =  ÷   . Điều kiện : cosx khác không . Khi đó phương trình trở thành : Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 Trang 5 HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 os x- 1 os 1 sinx sin 1 osx 1 osx 2 0 0 2 os 2 2 2 1 sin c c x x c c c x x π   −  ÷ − − + +   ⇔ − = ⇔ − = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 osx 1 os 1 osx 1 osx 1 osx 0 1 0 2 1 sin 2 2 1 sinx c c x c c c x   − + − + + ⇔ − = ⇔ − =   + +   ( ) ( ) ( ) 2 osx=-1 osx=-1 osx-sinx 1 osx 0 sinx+cosx= t anx 1 2 1 sinx 4 x k c c c c k Z x k π π π π = +    −   +  ⇔ = ⇔ ⇔ ⇔ ∈      = − + = − +      c. tan 2 tan 2 2 2 2 x x π π     − + + =  ÷  ÷     . Điều kiện : ( ) sinx 0 sinx 0 sin 2 0 cosx 0 2 x k k Z x π ≠ ≠   ⇔ ⇒ ≠ ∈   ≠ ≠   Phương trình (c) 2 osx 2 os2x 2cos os2x cot 2cot 2 2 2 2 sinx sin 2 sinx.cosx c c x c x x x − ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = ( ) ( ) 2 2cos os2x sin 2 1 os2x os2x=sin2x sin2x=1 x= 4 x c x c c k k Z π π ⇔ − = ⇒ + − ⇔ ⇔ + ∈ Nghiệm này thỏa mãn điều kiện . d. ( ) 2 5.sinx-2=3 1-sinx .tan x . Điều kiện : ( ) cos 0 2 x x k k Z π π ≠ ⇔ ≠ + ∈ d ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 1 sinx sin sin 3sin 3sin 5.sinx-2=3 1-sinx . 5.sinx-2= os 1 sin 1 sinx 1 sinx x x x x c x x − ⇔ = = ⇒ − + + ( ) ( ) 2 2 1 sinx=- 5.sinx-2 1 sinx =3sin 2sin 3sin 2 0 2 sinx=2>1 x x x   ⇔ + ⇔ + − = ⇔   Vậy phương trình có nghiệm : ( ) 2 1 6 sin 7 2 2 6 x k x k Z x k π π π π  = − +  = − ⇔ ∈   = +   ( Thỏa mãn diều kiện ) Bài 3. Giải các phương trình sau : a. 1 1 2sin 3 2cos3 sinx osx x x c − = + b. ( ) 2 osx 2sinx+3 2 2cos 1 1 1 sin 2 c x x − − = + c. x x x 3 1 cos . os . os sinx.sin .sin 2 2 2 2 2 x x c c − = d. 3 4cos 3 2 sin 2 8cosx x x+ = Giải a. 1 1 2sin 3 2cos3 sinx osx x x c − = + . Điều kiện : ( ) sinx 0 cosx 0 2 x k k Z π ≠  ⇒ ≠ ∈  ≠  Khi đó : 1 1 2sin 3 .sinx-1 2cos3 . osx 1 2sin 3 2cos3 sinx osx sinx osx x x c x x c c + − = + ⇔ = 2 2 os2x-cos4x-1 os4x+cos2x 1 os2x-2cos 2 os2x+2cos 2 sinx osx sinx osx c c c x c x c c + ⇔ = ⇔ = ( ) cosx-sinx-2cos2x cosx-sinx 1-2cos2 1+2cos2 os2x 0 os2x 0 sinx osx sinx.cosx x x c c c   ⇔ − = ⇔ =     Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 Trang 6 HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN ( ) ( ) 4 2 os2x=0 1-2cos2x 4 2 os2x cosx-sinx 0 tanx=1 sinx.cosx 4 1 cos2x= 6 2 6 k x k c x c x k k Z x k x k π π π π π π π π π π  = +      = +      ⇔ = ⇔ ⇔ = + ⇒ ∈   ÷       = ± +      = ± +    Các họ nghiệm này thỏa mãn điều kiện . b. ( ) 2 osx 2sinx+3 2 2cos 1 1 1 sin 2 c x x − − = + . Điều kiện : ( ) sin 2 1 4 x x k k Z π π ≠ ⇔ ≠ + ∈ (*) Khi đó : ( ) 2 2 osx 2sinx+3 2 2cos 1 1 sin 2 +3 2 osx 2cos 1 1 sin 2 1 sin 2 c x x c x x x − − = ⇔ − − = + + 2 2 osx= 2 2cos 3 2 osx 2 0 osx= 2 2 2 4 osx= 2 1 c x c c x k c π π   ⇔ − + = ⇔ ⇒ ⇔ = ± +   >  Nhưng do điều kiện (*) Ta chỉ có nghiệm : 2 4 x k π π = − + , thỏa mãn .Đó cũng là nghiệm c. ( ) ( ) x 3x x 3 1 cos . os . os sinx.sin .sin osx cos2x+cosx sinx cosx-cos2x 1 2 2 2 2 2 x x c c c− = ⇔ − = ( ) ( ) 2 2 os2x cosx+sinx os sin osx 1 os2x cosx+sinx sinxcosx-sin 0c c x xc c x⇔ + − = ⇔ − = ( ) ( ) ( ) ( ) os2x cosx+sinx sinx cosx+sin 0 osx+sinx os2x-sinx 0c x c c⇔ − = ⇔ = ( ) ( ) ( ) 4 t anx=-1 osx+sinx 0 2 cos2x=sinx=cos 6 3 os2x-sinx 0 2 2 2 x k c k x k Z x c x k π π π π π π π  = − +    =   ⇔ ⇔ ⇔ = + ∈      − =   ÷        = − +   d. ( ) 3 2 4cos 3 2 sin 2 8cos 2cos 2cos 3 2 sinx-4 0x x x x x+ = ⇔ + = . ( ) 2 2 osx=0 2cos 0 osx=0 2 sinx= 2 1 sin 3 2 sinx-4=0 2 2sin 3 2 sinx+2=0 sinx= 2 1 c x c x x   =    ⇔ ⇔ ⇔    − + −     >   Do đó Phương trình có nghiệm : ( ) 2 osx=0 2 2 4 sinx= 2 3 2 4 x k c x k k Z x k π π π π π π  = +      ⇔ = + ∈       = +   Bài 4. Giải các phương trình sau : a. ( ) cos 2 os 2x- 4sin 2 2 1 sinx 4 4 x c x π π     + + + = + −  ÷  ÷     b. ( ) 2 2 3cot 2 2 sin 2 3 2 osxx x c+ = + c. 2 2 4sin 2 6sin 9 3cos2 0 osx x x x c + − − = Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 Trang 7 HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN d. Cho : 1 2 ( ) sinx+ sin 3 sin5 3 5 f x x x= + . Hãy giải phương trình : f'(x)=0. Giải a. ( ) ( ) cos 2 os 2x- 4sin 2 2 1 sinx 4 4 2cos 2 . os 4sin 2 2 1 sinx 2 x c x x c x π π π     ⇒ + + + = + −  ÷  ÷     ⇔ + = + − ( ) ( ) 2 2+ 2 sin 4 2 2 2 sinx= sin 2 4 2 x k x k Z x k α π α π α π = +  ⇔ + = + ⇔ = ⇔ ∈  = − + +  b. ( ) 2 2 3cot 2 2 sin 2 3 2 osxx x c+ = + . Điều kiện : sin 0x x k π ≠ ⇒ ≠ Chia hai vế phương trình cho : 2 sin 0x ≠ . Khi đó phương trình có dạng : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 osx osx 3cot 2 2 sin 2 3 2 osx 3 2 2 2 3 2 sin sin x c c x x c x     ⇒ + = + ⇔ + = +  ÷  ÷     Đặt : ( ) 2 2 2 osx 3 2 3 2 2 2 0 2 sin 3 t c t t t x t  =  = ⇒ − + + = ⇔  =   2 2 2 2 osx=- 2 1 2 2 osx= 2 sin osx= osx= 2 os osx- 2 0 2 2 2 1 osx= sin 2cos 3cos 2 0 1 osx= osx= 3 2 2 osx=-2<-1 c c x c c c x c c x x x c c c  < −       + =    ⇔ ⇔ ⇔ ⇔     + − =           Do đó phương trình có nghiệm : ( ) 2 2 osx= 4 2 1 2 osx= 3 2 x k c k Z x k c π π π π   = ± +    ⇔ ⇔ ∈    = ± +     c. 2 2 4sin 2 6sin 9 3cos2 0 osx x x x c + − − = . Điều kiện : ( ) osx 0 x 2 c k k Z π π ≠ ⇒ ≠ + ∈ Khi đó : ( ) ( ) 2 2 2 4sin 2 6sin 9 3cos2 0 4 1 os 2 3 1 os2x 9 3cos2 0 osx x x x c x c x c + − − = ⇔ − + − − − = 2 2 os2x; t 1 1 os2x; t 1 1 4 os 2 6cos 2 2 0 1 2 3 1 0 1 2 2 t c t t c t c x x t t t t  = ≤ = −    = ≤   = −   ⇔ + + = ⇔ ⇔ ⇔     = − + + =      = −    os2x 1 2 1 os2x 2 3 c x k c x k π π π π  = − = +    ⇔ ⇔   = −  = ± +    . Nhưng nghiệm : 2 x k π π = + vi phạm điều kiện . Vậy phương trình có nghiệm : ( ) 2 3 x k k Z π π = ± + ∈ d. Cho : 1 2 ( ) sinx+ sin 3 sin5 3 5 f x x x= + . Hãy giải phương trình : f'(x)=0. Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 Trang 8 HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN Ta có : ( ) ( ) ( ) ' osx+cos3x+2cos5x=0 cos5x+cosx oss5x+cos3x 0f x c c= ⇔ + = ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 osx; t 1 2cos3 os2x 2cos4 cos 0 4 3 2 1 2 2 1 1 0 t c xc x x t t t t t  = ≤  ⇔ + = ⇔    − − + − − =       ( ) 4 2 2 2 5 3 0 osx 0 osx; t 1 osx; t 1 9 17 9 17 2 8 9 2 0 2cos 16 18 4 0 16 8 t c t c t c t t t t x t t t = =    = ≤  = ≤     ⇔ ⇔ ⇔ ⇔   ± ±   − + = = = − + =         osx 0 osx 0 9 17 9 17 1 17 os2x 1 os2x 1 8 8 8 c c c c = =     ⇔ ⇔ ± ± ±   = − = − =     - Trường hợp : cosx=0 2 x k π π ⇒ = + - Trường hợp : ( ) 1- 17 os2x= os x= +k 2x= +k2 8 2 2x= 2 1+ 17 x= cos2x= os 2 2 c c k Z k k c α α π α π β π β π β   = ±   ±   ⇔ ⇔ ⇔ ∈   ± +    ± + =     Bài 5. Giải các phương trình sau : a. 2 5 sin 5cos .sin 2 2 x x x= b. ( ) 2 sin 2 cot tan 2 4cosx x x x+ = c. 2 6 2cos 1 3cos 5 5 x x + = d. 3 tan t anx-1 4 x π   − =  ÷   Giải a. 2 5 sin 5cos .sin 2 2 x x x= Đặt : 2 2 x t x t= ⇒ = . Khi đó phương trình trở thành : 2 sin 5 5cos 2 sint t t= (2) Nhan hai vế với 2cost ta được : 2 2 2sin5 . ost=5cos 2t.2cost.sint sin6t+sin4t=5cos 2 .sin 2t c t t⇔ ⇔ 5 5 sin6t+sin4t= cos2 .2cos 2 sin 2 sin 4 . os2t 2 2 t t t t c⇔ = 3 2 3sin 2 4sin 2 2sin 2 . os2t- 5 os 2t.sin2t=0t t t c c⇔ − + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 sin 2 3 4sin 2 2. os2t- 5 os 2t =0 sin 2 3 4 1 os 2 2. os2t- 5 os 2t =0t t c c t c t c c⇔ − + ⇔ − − + ( ) 2 sin2t=0 2 2 sin 2 1 2. os2t+ os 2t =0 2 cos2t=1 2 2 t k t c c x k t k π π π =   ⇔ − ⇔ ⇔ ⇒ =   =   b. ( ) 2 sin 2 cot tan 2 4cosx x x x+ = Điều kiện : sin 0 os2t 0 t c ≠   ≠  . Khi đó phương trình trở thành : 2 2 os sin 2 cos os2x+sin2x.sinx sin 2 4cos sin 2 4cos sinx os2x sinxcos2x c x x xc x x x x c     ⇔ + = ⇔ =  ÷  ÷     2 2 osx 1 2sin . osx 4cos 2 os x 2 0 sinxcos2x cos2x c x c x c     ⇔ = ⇔ − =  ÷  ÷     Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 Trang 9 HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN ( ) 2 2 os x=0 2 1 cos2x= 2 6 x k c k Z x k π π π π   = +   ⇔ ⇔ ∈    = ± +     Các nghiệm thỏa mãn điều kiện . c. 2 6 2cos 1 3cos 5 5 x x + = . Đặt : 5 5 x t x t= ⇒ = . Khi đó phương trình có dạng : 2 2cos 6 1 3cos 2 os12t=3cost 3cost-cos12t=2t t c⇔ + = ⇔ + ⇔ Chỉ xảy ra khi : 2 ost=1 2 cos12t=1 12 2 6 t k c t k l t l t π π π π =  =    ⇔ ⇔    = =     . Nếu phương trình có nghiệm thì tồn tại k,l thuộc Z sao cho hệ có nghiệm chung . Có nghĩa là : ( ) 2 , 6 l k k l Z π π = ∈ ⇔ ( ) 12 2 , 12 2 6 6 l k k k l Z k l x k π π π π = ∈ ⇔ = ⇒ = = d. 3 tan t anx-1 4 x π   − =  ÷   Điều kiện : ( ) os x- 0 * 4 osx 0 c c π    ≠   ÷     ≠  . Khi đó phương trình trở thành : ( ) ( ) tan tan t anx=1 tanx-1 1 4 t anx-1 t anx-1 0 tanx-1 1 0 tanx=0 tanx+1 tanx+1 1 t anx.tan 4 x π π −    ⇔ = ⇔ − = ⇔ − = ⇔  ÷     + = 4 x=k x k π π π  +  ⇔   Nghiệm này thỏa mãn điều kiện (*) Bài 6. Giải các phương trình sau : a. 4 4 4 sin 2 os 2 os 4 tan tan 4 4 x c x c x x x π π + =     − +  ÷  ÷     b. ( ) 4 2 1 2 48 1 cot 2 .cot 0 os sin x x c x x − − + = c. ( ) 8 8 10 10 5 sin os 2 sin os os2x 4 x c x x c x c+ = + + d. 2 os2x 1 cot 1 sin sin 2 1+tanx 2 c x x x− = + − Giải a. 4 4 4 sin 2 os 2 os 4 tan tan 4 4 x c x c x x x π π + =     − +  ÷  ÷     . Do : tan tan tan cot 1 4 4 4 4 x x x x π π π π         − + = + + =  ÷  ÷  ÷  ÷         . Cho nên mẫu số khác không . Phương trình trở thành : 4 4 4 2 4 1 sin 2 os 2 os 4 1 sin 4 os 4 2 x c x c x x c x+ = ⇔ − = Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 Trang 10 [...]... ( t 2 − 3 ) = 0 ⇔  t = ± 3 Bài 5 Cho phương trình : ( 4 − 6m ) sin 3 x + 3 ( 2m − 1) s inx+2 ( m-2 ) sin 2 x cos x − ( 4m − 3 ) cosx=0 a Giải phương trình với m=2  π b Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất thuộc đoạn 0;   4 Giải Trang 32 Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN Phương trình : ( 4 − 6m ) sin x + 3 ( 2m − 1) s... x = 5π − α + k 2π   4 Trang 20 Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN c Cho phương trình : m ( s inx+cosx+1) = 1 + sin 2 x ⇔ m ( s inx+cosx ) = ( s inx+cosx )  π Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 0;  2  2 Giải Đặt : t = s inx+cosx → t ≤ 2 ↔ sin 2 x = t − 1 Thay vào phương trình ta được : 2 s inx+cosx=0 ⇔ mt = 1 +... − + k 2π 2   4    2  Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 Trang 19 HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN Bài 3 Giải các phương trình sau : 2 3 3 a tan x ( 1 − sin x ) + cos x − 1 = 0 b 2sin x + cot x = 2 sin 2 x + 1 c Cho phương trình : m ( s inx+cosx+1) = 1 + sin 2 x  π Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 0;   2 Giải a tan x ( 1 − sin x ) + cos x... b/ Để phương trình có nghiệm thì đường thẳng d: y=m cắt đồ thị hàm số : f(t)= − 1+ t2 t ( t ≥ 2 ) ⇒ f '(t ) = 1− t2 = 0 ⇔ t = ±1 t Ta có bảng biến thiên : t f'(t) f(t) -∞ +∞ -2 - - -1 0 1 0 +∞ - 2 3 2 3 2 3  m ≥ 2 Qua bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm khi  3  m≤−  2  Trang 26 Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 -∞ HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN... kiện , nên bị loại 2  2   x = kπ ( k ∈Z) Vậy phương trình còn có nghiệm là : ⇔   x= ± arccos 5 + k 2π 8  Bài 10 Giải các phương trình sau : 6 6 a cos x + sin x = 13 cos 2 2 x 8  3π x  1  π 3 x  − ÷ = sin  + ÷  10 2  2  10 2  b sin  Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 Trang 15 HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN cos 6 x + sin 6 x 1 = tan 2 x c cos 2 x −... a Giải phương trình với m=2 Đặt : t = cosx-sinx; t ≤ 2 → s inxcosx= 2 π  π  t anx=-1  x = − + kπ cosx+sinx=0   x = − 4 + kπ ⇔  2 4 ⇔ ⇔ ⇔   t+ 1-t − 2 = 0 2 2 cosx-sinx+sinxcosx-2=0 ( t − 1) + 2 ≥ 2  t − 2t + 3 = 0  2   π Vậy phương trình có nghiệm duy nhât : x = − + kπ 4 Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 Trang 25 HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN...  2  Trang 16 Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN III PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO SINX, COSX Bài 1 Giải các phương trình sau : 3 2 d 3 ( cot x − cosx ) − 5 ( t anx-sinx ) = 2 3 3 b sin x + cos x − 1 = sin 2 x a s inx+sin 2 x + cos3 x = 0 c 2 ( s inx+cosx ) = t anx+cotx Giải a s inx+sin x + cos x = 0 2 3 ⇔ s inx+sin 2 x + cos 3 x... '(t ) = 6t + 2 > 0 ∨ t ∈ [ 1;1] Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 Trang 11 HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN Chứng tỏ f(t) đồng biến Khi đó tại f(-1)=1 và f(1)=9 cho nên với mọi t ∈ [ 1;1] ⇒ f (t ) > 0 Vậy phương trình vô nghiệm cosx ≠ 0 ( *)   tanx ≠ -1 cos x cos 2 x − sin 2 x ⇔ −1 = + sin x ( s inx − cosx ) Phương trình trở thành : sinx s inx 1+ cosx  tan... ∈Z) Vậy phương trình có nghiệm : sin 2 x = 2  x = π − α + kπ   2 2 b ( 2 ) s inx 3 2 − 2 cos x − 2sin 2 x − 1 1 − sin 2 x = 1 Điều kiện : sin2x khác 1 (*) Phương trình trở thành : ( ) ⇔ s inx 3 2 − 2 cos x − 2sin 2 x − 1 = 1 − sin 2 x ⇔ 3 2 s inx − sin 2 x − 2sin 2 x − 1 = 1 − sin 2 x Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 Trang 13 HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN... để phương trình có nghiệm thì : f − 2 ≤ m ≤ f ( 2) ⇔ − 2 ≤ m ≤ 2 ⇔ m ∈  − 2; 2    1 1   1 + Bài 5 Cho phương trình : m ( s inx+cosx ) + 1 +  t anx+cotx+ ÷= 0 2 sinx cosx  a Giải phương trình với m=1/2  π b Tìm m để phương trình có nghiệm trên khoảng  0; ÷ 2   Giải a Giải phương trình với m=1/2 Khi đó phương trình trở thành : Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 Trang 21 HƯỚNG . HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX Bài 1. Giải các phương trình sau : a. 2 sin os 3 osx=2 2. +   Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 Trang 16 HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN III. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO SINX, COSX Bài 1. Giải các phương trình sau. − = Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218 Trang 7 HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN d. Cho : 1 2 ( ) sinx+ sin 3 sin5 3 5 f x x x= + . Hãy giải phương trình : f'(x)=0. Giải a.