KIẾN THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ LỚP 11 I- PH ƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN : Phương trìng lượng giác cơ bản: * sinx=sin α     +−= ∈+= παπ πα 2 ;2 kx Zkkx * cosx = cos α     +−= ∈+= πα πα 2 ;2 kx Zkkx * tanx =tan α ⇔ x = α +kπ ; ( ) Zk ∈ * cotx =cot α ⇔ x= α +kπ ( ) Zk ∈ .  Phương trìng lượng giác cơ bản đặc biệt : * sinx =0  π kx = *cosx =0 π π kx +=⇔ 2 * sinx =1 π π 2 2 kx +=⇔ *cosx =1 π 2kx =⇔ với k Z∈ * sinx = -1 π π 2 2 kx +−=⇔ *cosx =-1 ππ 2kx +=⇔ arcsin + 2 sin , sin + 2 x a k x a k x arc a k π π π =  = ⇔ ∈  = −  ¢ arc os + 2 os , sin + 2 x c a k c x a k x arc a k π π =  = ⇔ ∈  = −  ¢ tan 1 , 4 tan 0 , tan 1 , 4 x x k k x x k k x x k k π π π π π =− ⇔ =− + ∈ = ⇔ = ∈ = ⇔ = + ∈ ¢ ¢ ¢ BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT x rad -π - - - - 0 π độ -180 o -90 o -60 o -45 o -30 o 0 30 o 45 o 60 o 90 o 120 o 135 o 150 o 180 o sin 0 -1 - - - 0 1 0 cos -1 0 1 0 - - - -1 tan 0 || - -1 - 0 1 || - -1 - 0 cot || 0 - -1 - || 1 0 - -1 - || Chú ý: Công thức chuyển đổi từ độ sang rađian và ngược lại: ( ) . 180 x x rad π   =  ÷   o ; 180 ( ) .x rad x π   =  ÷   o  Một số phương trình lượng giác thường gặp 1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác: a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản. k Z∈ k Z∈ - arc cosa + k2 π tan arc tan + ,x a x a k k π = ⇔ = ∈¢ ot ot ot + ,c x a c x c x k k α α π = ⇔ = ⇔ = ∈ ¢ k Z∈ k Z∈ ot 1 , 4 ot 0 , 2 ot 1 , 4 c x x k k c x x k k c x x k k π π π π π π =−⇔ =− + ∈ = ⇔ = + ∈ = ⇔ = + ∈ ¢ ¢ ¢ k Z∈ k Z∈ k Z∈ k Z∈ k Z∈ k Z∈ 1 180 0 = π ; 90 2 0 = π b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng a.sin 2 x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos 2 x+b.cosx+c=0, a.tan 2 x+b.tanx+c=0, a.cot 2 x+b.cotx+c=0) để giải các phương trình này ta đặt t bằng hàm số LG (Chú ý điều kiện của t khi đặt t=sinx hoặc t=cosx) 2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: Dạng: asinx+bcosx=c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là 2 2 2 a b c + ≥ . C ách giải : Chia hai vế phương trình cho 2 2 a b + , ta được: 2 2 2 2 2 2 sin cos a b c x x a b a b a b + = + + + Đặt: 2 2 2 2 cos ; sin a b a b a b β β = = + + . Khi đó phương trình tương đương: 2 2 cos sin sin cos c x x a b β β + = + hay ( ) 2 2 sin sin c x a b β ϕ + = = + . 3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx: Dạng: asin 2 x+bsinxcosx+ccos 2 x=0 (*). Cách giải : + Kiểm tra nghiệm với 2 x k π π = + . + Giả sử cosx≠0: chia hai vế phương trình cho cos 2 x ta được: atan 2 x+btanx+c=0. Chú ý: 2 2 1 tan 1 2 cos x x k x π π   = + ≠ +  ÷   4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx: Dạng: a(sinx ± cosx)+ bsinxcosx=c. Cách giải: Đặt t= sinx ± cosx. Điều kiện | t | 2 ≤ . II- CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI 1) Công thức cộng:  cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb  cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb  tan(a - b) =  sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb  tan(a + b) =  sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb 2) Công thức nhân đôi :  sin2x = 2sinxcosx  cos2x = cos 2 x – sin 2 x = 2cos 2 x - 1 = 1 – 2sin 2 x  tan2x = 2 2 1 tanx tan x−  cot2x = 2 1 2 cot x cotx − 3) Công thức nhân 3 :  sin3x = xx 3 sin4sin3 −  cos3x = 4cos 3 x – 3cosx  tan3x = 3 2 3 1 3 tanx tan x tan x − − 4) Công thức hạ bậc:  2 1 2 os 2 cos x c x + =  2 1 os2 sin 2 c x x − = 5) Công thức tích thành tổng.  cosxcosy= [ ] 1 ( ) ( ) 2 cos x y cos x y+ + −  sinxcosy= [ ] )()( 2 1 yxSinyxSin −++  sinxsiny= [ ] 1 ( ) ( ) 2 cos x y cos x y− + − − 6) Công thức tổng(hiệu) thành tích:  sinx + siny = 2sin 2 2 x y x y cos + −      ÷  ÷      sinx – siny = 2 os 2 2 x y x y c sin + −      ÷  ÷      cosx + cosy = 2cos 2 2 x y x y cos + −      ÷  ÷      cosx – cosy = 2sin 2 2 x y x y sin + −     −  ÷  ÷      tanx + tany = ( ) cos sin x y xcosy +  tanx – tany = ( ) cos sin x y xcosy −  cotx + coty = ( ) sin sin x y xsiny +  cotx – coty = ( ) sin sin y x xsiny − III- GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC (CUNG) CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT 1) Cung đối nhau:  cos(–x) = cosx  sin(–x) = – sinx  tan(–x) = – tanx  cot(–x) = – cotx 2) Cung bù nhau:  sin =− )( x π sinx  cos −=− )( x π cosx  tan −=− )( x π tanx 3) Cung hơn kém:  sin −=+ )( x π sinx  cos −=+ )( x π cosx  tan =+ )( x π tanx  cot =+ )( x π cotx 2 XUÂN TÂN – 11A 9NĐC  cot −=− )( x π cotx 4) Cung phụ nhau.  sin ) 2 ( x− π = cosx  cosx = sin (90 0 – x )  cos ) 2 ( x− π = sinx  sinx = cos (90 0 – x )  tan ) 2 ( x− π = cotx  cotx = tan (90 0 – x )  cot ) 2 ( x− π = tanx  tanx = cotx (90 0 – x ) 5) Cung hơn kém.  sin( ) 2 x cosx π + =  cosx = sin (90 0 + x )  cos ) 2 ( x+ π = sinx−  - sinx = cos (90 0 + x )  tan ) 2 ( x+ π = cotx−  - cotx = tan (90 0 + x )  cot ) 2 ( x+ π = tanx−  - tanx = cotx (90 0 + x ) Ghi nhớ : Cos đối – Sin bù – Phụ chéo VI- CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN:  sinx t anx= ,(x k ) cosx 2 π ≠ + π  cosx cotx= ,(x k ) sinx ≠ π  2 2 sin x cos x 1+ =  2 2 1 1 tan x,(x k ) 2 cos x π = + ≠ + π  2 2 1 1 cot x,(x k ) sin x = + ≠ π  k t anx.cotx=1,(x ) 2 π ≠  3 3 sin os (sinx cos )(1 sinx.cos )x c x x x+ = + −  3 3 sin os (sinx cos )(1 sinx.cos )x c x x x− = − +  4 4 2 1 sin cos 1 sin 2 2 x x x+ = −  6 6 2 3 sin cos 1 sin 2 4 x x x+ = −  ( ) 2 1 sin 2 sin cosx x x± = ±  sin cos 2 2 4 4 x x sin x cos x π π     + = + = −  ÷  ÷      sin cos 2 2 4 4 x x sin x cos x π π     − = − = − +  ÷  ÷     VI- KIẾN THỨC CƠ BẢN y = sinx y = cosx y = tanx y = cotx Taäp xaùc ñònh D = R D = R D = R \ { 2 π + kπ} D = R \ {kπ} Taäp T = [– 1 ; 1 ] T = [– 1 ; 1 ] R R 3 XUÂN TÂN – 11A 9NĐC giá trò Chu kỳ T = 2π T = 2π T = π T = π Tính chẵn lẻ Lẻ Chẵn Lẻ Lẻ Sự biến thiên Đồng biến trên: k2 ; k2 2 2   π π − + π + π  ÷   Nghòch biến trên: 3 k2 ; k2 2 2   π π + π + π  ÷   Đồng biến trên: ( ) k2 ; k2 −π + π π Nghòch biến trên: ( ) k2 ; k2 π π+ π Đồng biến trên mỗi khoảng: k ; k 2 2   π π − + π + π  ÷   Nghòch biến trên mỗi khoảng: ( ) k ; k π π+ π Bảng biến thiên x –π 2 π − 0 2 π π y = sinx 0 –1 0 1 0 x –π 0 π y =cosx – 1 1 – 1 a x 2 π − 2 π y = tanx –∞ +∞ x 0 π y = cotx +∞ –∞ a Đồ thò y = sinx ………………………………………………………………………………. y = cosx y = tanx ……………………………………………………………………………………. y = cotx 4 XN TÂN – 11A 9NĐC . đối với một hàm số lượng giác: a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản. k Z∈ k Z∈ -. ý: Công thức chuyển đổi từ độ sang rađian và ngược lại: ( ) . 180 x x rad π   =  ÷   o ; 180 ( ) .x rad x π   =  ÷   o  Một số phương trình lượng giác thường gặp 1. Phương trình. 90 2 0 = π b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng a.sin 2 x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos 2 x+b.cosx+c=0, a.tan 2 x+b.tanx+c=0, a.cot 2 x+b.cotx+c=0) để giải các phương