triminhng@gmail.com 1 Các bài toán về dãy số Những kiến thức cần lưu ý: 1. Cần tìm ra quy luật của dãy số: các số hạng cách đều nhau; số hạng sau có thể là tổng của hai số hạng đứng liền trước nó; các số hạng của dãy chia hết cho một số nào đó 2. Kiểm tra một số có nằm trong dãy số hay không. Ta cần tìm ra qui luật của dãy số, sau đó xem số cần xét có thỏa mãn qui luật đó không 3. Tính xem dãy số có bao nhiêu số hạng. Đối với các bài toán dạng này, nếu các số hạng cách đều nhau thì thì ta áp dụng công thức về toán trồng cây. Số cây = Số khoảng cách + 1 Số số hạng của dãy = (Số hạng cuối – Số hạng đầu) : khoảng cách + 1 Chú ý: Số các số hạng luôn nhiều hơn số khoảng cách là 1. Khoảng cách từ số hạng đầu đến số hạng cuối bằng khoảng cách nhân với số khoảng cách . 4. Tìm tổng các số hạng của một dãy số ta thường dùng phương pháp phân thành các cặp số có tổng bằng nhau. 5. Tìm số hạng thứ n của dãy. Cần tìm ra qui luật của dãy số hay công thức tổng quát của dãy số. Ví dụ 1: Cho dãy số: 1, 4, 7, 10, , 31, 34, a. Tìm số thứ 100 trong dãy. b. Số 2002 có thuộc dãy này không? Giải: a. Các số trong dãy đều chia 3 dư 1 nên có dạng: 3 x k + 1 (k = 0, 1, 2, ) Số thứ 100 trong dãy ứng với k = 99 nên số thứ 100 là: 3 x 99 + 1 = 298 b. Số 2002 chia 3 dư 1 nên 2002 thuộc dãy số đã cho. Ví dụ 2: Cho dãy số : 14; 16 ; 18 …. 94 ; 96 ; 98 . a. Tính tổng giá trị của dãy số trên . b. Tìm số có giá trị lớn hơn trung bình cộng của dãy số là 8? Cho biết số đó là số thứ bao nhiêu của dãy số trên ? Giải: triminhng@gmail.com 2 Các số hạng cách đều nhau, khoảng cách giữa các số hạng là 2 đơn vị. Số số hạng của dãy: (98 - 14) : 2 + 1 = 43 a. Tính tổng của dãy Ta gộp hai số thành các cặp có tổng bằng nhau: gồm 21 cặp và 1 số (14 + 98) + (16 + 96) + … + (54 + 58) + 56 = 112 x 21 + 56 = 2048 (Tổng trên gồm 21 cặp, tổng của mỗi cặp là 112, số hạng đứng riêng một mình là 112 : 2 = 56) b. Trung bình cộng của dãy số là: 2048 : 43 = 56 Số có giá trị lớn hơn trung bình cộng 8 đơn vị là: 56 + 8 = 64 Theo cách tính tổng ở câu a thì 56 là số hạng thứ 22 do đó 64 là số hạng thứ 26 Ví dụ 3: Cho dãy số: 2; 4; 6; 8; 10; …; 2010. a. Hỏi dãy số đó có bao nhiêu chữ số? b. Nếu phải viết 184 chữ số thì viết đến số nào? c. Tìm chữ số thứ 2000 của dãy số. Giải: a. Các số hạng trong dãy số cách đều nhau. Hai số chẵn liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị. Ta thấy trong dãy số đó: + Số các số có 1 chữ số là: (8 – 2) : 2 + 1 = 4 (số) + Số các số có 2 chữ số (từ 10 đến 98) là: (98 – 10) : 2 + 1 = 45 (số) + Số các số có 3 chữ số (từ 100 đến 998) là: (998 – 100) : 2 + 1 = 450 (số) + Số các số có 4 chữ số (từ 1000 đến 2010) là: (2010 – 1000) : 2 + 1 = 506 (số) Vậy số lượng các chữ số của dãy số là: 1 x 4 + 2 x 45 + 3 x 450 + 4 x 506 = 3468 (chữ số) b. Nếu viết các số chẵn liên tiếp từ 2 đến 98 thì số chữ số phải viết là: 1 x 4 + 2 x 45 = 94 (chữ số) Nếu viết các số chẵn liên tiếp từ 2 đến 998 thì số chữ số phải viết là: 1 x 4 + 2 x 45 + 3 x 450 = 1444 (chữ số) Do 94 < 184 < 1444 nên khi dùng 184 chữ số để viết các số chẵn thì sẽ viết đến số có 3 chữ số. Số lượng chữ số dùng để viết các số chẵn có 3 chữ số là: triminhng@gmail.com 3 184 – 94 = 90 (chữ số) Số lượng số chẵn có 3 chữ số viết được là: 90 : 3 = 30 ( số). Hai số chẵn liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị và số khoảng cách ít hơn số lượng số là 1 nên: Số khoảng cách (mỗi khoảng cách 2 đơn vị) là: 30 – 1 = 29 (khoảng cách) Số chẵn có 3 chữ số thứ 30 hơn số 100 là: 2 x 29 = 58 (đơn vị) Số chẵn có 3 chữ số thứ 30 của dãy số là: 100 + 58 = 158. Vậy nếu 184 chữ số thì viết đến số 158. c. Nếu viết các số chẵn liên tiếp từ 2 đến 998 thì số chữ số phải viết là: 1 4 2 45 3 450 1444      (chữ số) Nếu viết các số chẵn liên tiếp từ 2 đến 2010 thì phải viết tới 3468 chữ số (theo câu a). Do 1444 < 2000 < 3456 nên chữ số thứ 2000 thuộc các số có 4 chữ số. Số lượng chữ số dùng để viết các số chẵn có 4 chữ số là: 2000 – 1444 = 556 (chữ số) Số lượng số chẵn có 4 chữ số là: 556 : 4 = 139 (số) Số chẵn có 4 chữ số đầu tiên là 1000, số chẵn có 4 chữ số thứ 139 là:   1000 139 1 2 1276    Vậy dãy số chẵn liên tiếp từ 2 đến 1276 có đúng 2000 chữ số. Do đó chữ số thứ 2000 của dãy số là 6 (của số 1276). Ví dụ 4: Tính tổng: 1 2 3 5 8 13 233       Giải: Nhận xét: Trong tổng trên, từ số hạng thứ 3 trở đi, số hạng tiếp theo bằng tổng của 2 số hạng đứng trước nó. Do đó tổng trên được viết lại là: (1 2) 3 (5 8) 13 (21 34) 55 (89 144) 233 3 3 13 13 55 55 233 233 (3 13 55 233) 2 304 2 608                           Ví dụ 5: Cho dãy số: 123, 234, 345, 456, 567, 678, 789. Từ các số đó và các dấu phép tính cộng hoặc trừ, hãy lập biểu thức có giá trị là 1368. Giải: Tổng các số đã cho là: triminhng@gmail.com 4 123+234+345+456+567+678+789=3192 Mà 3192>1368, như vậy muốn có kết quả băng 3192 thì trong biểu thức phải có dấu trừ. Trong biểu thức trên, mỗi lần thay dấu + bằng dấu – thì tổng giảm đi 2 lần số hạng đứng sau dấu trừ. Tổng các số hạng đứng ngay sau dấu trừ là: (3192-1368):2=912 Trong các tổng đã cho, chỉ xảy ra 3 trường hợp: 123+789=912 234+678=912 345+567=912 Vậy từ các số đã cho có thể lập được nhiều biểu thức nhận giá trị là 1368 như sau: 234+345+456+567+678-123-789 123+345+456+567+789-234-678 123+234+456+678+789-345-567 Ví dụ 6: Một dãy số tự nhiên cách đều 9 có 49 số hạng. Tổng của các số hạng đó bằng 17199. Hãy viết dãy số đó. Giải: Số hạng đững giữa dãy là: 17199 : 49 = 351 Đây là số hạng thứ 25 của dãy. Hiệu của số hạng thứ 25 và số hạng đầu tiên của dãy là: (25 1) 9 216   Số hạng đầu tiên của dãy là: 351-216=135 Số hạng cuối cùng của dãy là: 135+(49-1)x9=567 Dãy số đó là: 135, 144, 153,…,567 Bài tập Bài 1: Cho dãy số: 99, 100, 101, . . ., 689. Dãy này có bao nhiêu chữ số? Bài 2: Cho dãy số 100, 101, . . ., 689. Chữ số thứ 912 của dãy số là chữ số nào? triminhng@gmail.com 5 Bài 3: Các số 666, 1000, 9999 có thuộc dãy số 3, 6, 12, 24, ? Bài 4: Cho một số tự nhiên gồm các số tự nhiên liên tiếp nhau từ 1 đến 2010. Tính tổng các chữ số của số đó. HD: Chia thành các cặp số có tổng là 2000 (gồm các số từ 1 đến 2000), lưu ý các số trò chục, trăm, nghìn. ĐS: 28068 Bài 5: Một dãy số tự nhiên cách đều nhau cứ 2 số đứng liền nhau hơn (kém) nhau 6 đơn vị. Tìm số hạng cuối dùng của dãy. Biết tổng các số hạng của dãy là 3330 và dãy đó có 30 số hạng. ĐS: 198 Bài 6: Có bao nhiêu chữ số trước chữ số 9 thứ 100 trong dãy số 979779777977779777779 Bài 7: Tìm một số tự nhiên n để số chữ số của dãy 1, 2, 3, . . ., n gấp 4,5 số các số trong dãy. HD: Có thể dùng cấu tạo số. HD: Thêm vào mỗi số (ít hơn 5 chữ số) để được số có 5 chữ số, như vậy mỗi số sẽ dư ta 0,5 chữ số. Bài 8: Để đánh số trang của một cuốn sách bạn Lan đã dùng 282 chữ số. Hỏi cuốn sách đó có bao nhiêu trang? Bài 9: Tìm tổng của 100 số đầu tiên trong dãy số sau : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5, Bài 10: Số A = 123456789101112 , được viết bởi các số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1. Chữ số thứ 2010 là từ trái sang phải của chữ số A là chữ số nào? . nhiêu số hạng. Đối với các bài toán dạng này, nếu các số hạng cách đều nhau thì thì ta áp dụng công thức về toán trồng cây. Số cây = Số khoảng cách + 1 Số số hạng của dãy = (Số hạng cuối – Số. Các bài toán về dãy số Những kiến thức cần lưu ý: 1. Cần tìm ra quy luật của dãy số: các số hạng cách đều nhau; số hạng sau có thể là tổng của hai số hạng đứng liền trước nó; các số hạng. c. Tìm chữ số thứ 2000 của dãy số. Giải: a. Các số hạng trong dãy số cách đều nhau. Hai số chẵn liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị. Ta thấy trong dãy số đó: + Số các số có 1 chữ số là: (8