1 Bộ giáo dục đào tạo đề thi tuyển sinh Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2015-2016 Môn thi: Toán học (Dùng cho mọi thí sinh thi vào trờng chuyên) Thời gian làm bài :120 phút Cõu 1: 1) Gi s a,b l hai s thc phõn bit tha món 2 2 3 3 2a a b b+ = + = a) Chng minh rng 3a b + = b) Chng minh rng 3 3 45a b+ = 2) Gii h phng trỡnh 2 2 2 2 3 5 4 5 x y xy x y xy + = + = Cõu 2 1) Tỡm cỏc s nguyờn ,x y khụng nh hn 2 sao cho 1xy chia ht cho ( ) ( ) 1 1x y 2) Vi ,x y l nhng s thc tha món ng thc 2 2 2 1 0.x y y+ + = Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca biu thc 3 1 xy P y = + Cõu 3. Cho tam giỏc nhn ABC khụng cõn cú tõm ng trũn ni tip l im I. ng thng AI ct BC ti D. Gi E,F ln lt l cỏc im i xng ca D qua IC,IB. 1) Chng minh rng EF song song vi BC. 2) Gi M,N,J ln lt l trung im ca cỏc on thng DE,DF,EF. ng trũn ngoi tip tam giỏc AEM ct ng trỡn ngoi tip tam giỏc AFN ti P khỏc A. Chng minh rng bn im M,N,P,J cựng nm trờn mt ng trũn. 3) Chng minh rng ba im A,J,P thng hng. Cõu 4. 1) Cho bng ụ vuụng 2015 2015ì . Kớ hiu ụ ( ) ,i j l ụ hng th i , ct th j. Ta vit cỏc s nguyờn dng t 1 n 2015 vo cỏc ụ ca bng theo quy tc sau : i) S 1 c vit vo ụ (1,1). ii) Nu s k c vit vo ụ ( ) ( ) , , 1i j i > thỡ s k+1 c vit vo ụ ( ) 1, 1i j + . iii) Nu s k c vit vo ụ ( ) 1, j thỡ s k+1 c vit vo ụ ( ) 1,1j + . (Xem hỡnh 1.) Khi ú s 2015 c vit vo ụ ( ) , .m n . Hóy xỏc nh m v n. 1 3 6 10 2 5 9 4 8 7 Hỡnh 1 2) Gi s a,b,c l cỏc s thc dng tha món 4.ab bc ac abc + + + Chng minh rng ( ) 2 2 2 2a b c a b c ab bc ac+ + + + + + + Hng dn. Câu 1. a) Giả sử a,b là hai số thực phân biệt thỏa mãn a) 2 2 3 2 3 2 a b b a  + =   + =   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 3 0 3 0 3 0 3 − = ⇔ − + − = ⇔ − + + − = ⇔ − + + = ⇔  + = −  a b loai a b a b a b a b a b a b a b a b b) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 27 3 27 9 27+ = − ⇔ + + + = − ⇔ + − = −a b a b ab a b a b ab vì ( ) ( ) 2 2 2 3 3 4 2 3 4 2+ + + = ⇔ + − + + = ⇔ = −a a b b a b ab a b ab vậy 3 3 45a b+ = − b). Giải hệ phương trình 2 2 2 2 3 5 4 5 x y xy x y xy + =   + =  Ta thấy x-y =0 là nghiệm của phương trình. Nếu 0y ≠ nhân hai vế của phương trình với y 2 2 2 2 2 2 3 5 4 5 xy y xy x y xy  + =   + =   ⇔ 2 2 2 2 3 5 4 5 x y xy x y xy + =   + =  ⇔ 2 2 2 3 5 2 0 x y xy x xy y + =   − − =  ⇔ 2 2 2 2 3 5 4 5 x y xy x y xy + =   + =  ⇔ ( ) ( ) 2 3 5 2 0 x y xy x y x y + =   ⇔  − + =   ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 5 1 0 2 3 5 2 0 2 3 5 2 4 , 0 5 5 x y xy x y x y x y xy x y x y x y xy x y x y  + =   ⇔ = =   − = + =     ⇔   − + = + =      ⇔ = = −   − =    Câu 2. a)Tìm các số nguyên ,x y không nhỏ hơn 2 sao cho 1xy − chia hết cho ( ) ( ) 1 1x y− − Ta có xy – 1 M ( ) ( ) 1 1x y− − suy ra xy - 1 M xy +1- x –y Mà xy +1- x –y M xy +1- x –y Suy ra : (x-1) + (y -1) M ( ) ( ) 1 1x y− − suy ra x-1 M y -1 và y-1 M x -1 Suy ra x= y X 2 – 1 M (x -1) 2 ta có x+1 M x-1 suy ra 2 M x- 1 suy ra x= 2 hoặc x= 3 3) Với ,x y là những số thực thỏa mãn đẳng thức 2 2 2 1 0.x y y+ + = Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 3 1 xy P y = + 3 3 2 1 0.x y y+ + = 2 2 2 2 1 2 1 2 x y y x y y − − ⇔ = − − ⇔ = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 2 0 3 1 2 3 1 = = ⇔ + + = − − + − − xy xy P px y xy p x y x y Phương trình có nghiêm khi 0∆ ≥ suy ra 4 – 12p 2 0≥ 2 3 3 3p p ≥⇔≥≥− Vây max P = 3 khi 1 3 3 xy = − suy ra 1 1 14 1 27 27 . 2 27 14 3 3 y x − − = = − ⇒ = Câu 3: a)Ta có : AD là phân giác BD AB DC AC ⇒ = mà ,BED CDF∆ ∆ là tam giác cân, BE AB BC FE CF AC ⇒ = ⇒ P b) Ta có : · · · BC FE FED EDB BED⇒ = =P mà · · · 180APM AEM BED= °− = · · APM DEF⇒ = Tương tự : · · DFE APN= · · · · · APN APM DFE FED MPN⇒ + = + = mà · · · · · 180MJN MDN EDF MJN MPN MPNJ= = ⇒ + = ° ⇒ nội tiếp c) Ta có : · · APM DEF= và · · · · · ,JPM JNM JEM JPM APM A PJ= = ⇒ = ⇒ thẳng hàng Câu 4 : 1) Theo đề bài, các số nguyên dương được sắp xếp theo từng hàng chéo của bảng: Hàng chéo thứ nhất có 1 số, hàng chéo thứ hai có 2 số, Giả sử số x nằm ở hàng chéo thứ k thì ta có: ( 1) ( 1) 1 1 8 1 1 8 1 1 8 2 2 2 2 2 k k k k x x x x k k   − + − + + + + − + + < ≤ ⇒ ≤ < ⇒ =     Áp dụng 2015x = ta có 1 1 8.2015 63 2 k   − + + = =     Số đầu tiên ở hàng chéo thứ 63k = là ( 1) 1 1954 2 k k − + = Như vậy số 2015 nằm ở vị trí thứ 2015 1954 1 62 − + = của hàng chéo thứ 63 (Vị trí áp chót) Tọa độ của nó là (2,62) 2) Theo Cauchy 4 số ta có : 3 3 34 4 4 1abc ab bc ac a b c abc ≥ + + + ≥ ⇒ ≥ 3 2 2 2 3 3 3a b c abc a b c⇒ + + ≥ ≥ BĐT tương đương : ( ) 32 2 2 2 2 2 3 2a b c a b c ab bc ac+ + + ≥ + + (1) Đặt ( ) 3 3 32 2 2 , , , , 0a x b y c z x y z= = = > ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 3 2 2 2x y z xyz x y z x z y⇔ + + + ≥ + + Áp dụng BĐT Schur bậc 3: ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3x y z xyz xy x y yz y z xz x z+ + + ≥ + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0x x y x z y y x y z z z x z y⇔ − − + − − + − − ≥ với mọi số thực không âm , ,x y z Chứng minh BĐT : Do vai trò , ,x y z như nhau , giả sử x y z≥ ≥ ( ) ( ) 0z z x z y⇒ − − ≥ Ta xét ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0x x z y y z x xz yz y x y x y z− − − = − + − = − + − ≥ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ⇒ − − − − − ≥ ⇔ − − + − − ≥ ⇒ − − + − − + − − ≥ ⇒ x x z x y y y z x y x x z x y y y z y x x x y x z y y x y z z z x z y dpcm Ta có : ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2x y z xyz xy x y yz y z xz x z x y z x z y+ + + ≥ + + + + + ≥ + + Dấu = xảy ra khi 1 , 0 x y z a b c x y z = =  ⇒ = = =  = =  Đề 2 TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC VÀ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2015 MÔN THI:TOÁN(VÒNG II) Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu I.(3 điểm) 1)Với , ,a b c là các số thực thỏa mãn: 3 3 3 3 (3 3 3 ) 24 (3 ) (3 ) (3 )a b c a b c b c a c a b+ + = + + − + + − + + − Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) : a 2b b 2c c 2a 1+ + + = 2) Giải hệ phương trình: 3 3 2 2 2 5 27( ) 7 26 27 9 x y xy x y y x x x + + =   + + + = + +  Câu II.(3 điểm) 1)Tìm số tự nhiên n để 5n + và 30n + đều là số chính phương (số chính phương là bình phương của một số nguyên) 2)Tìm ,x y nguyên thỏa mãn đẳng thức: 1 3x y x y+ + + = + 3)Giả sử , ,x y z là các số thực lớn hơn 2.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 4 4 x y z P y z z x x y = + + + − + − + − Câu III.(3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn không cân với .AB AC< Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC.Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên đoạn AM.Trên tia đối của tia AM lấy điểm N sao cho 2AN MH= 1) Chứng minh rằng BN AC= 2) Gọi Q là điểm đối xứng với A qua N .Đường thẳng AC cắt BQ tại D .Chứng minh rằng bốn điểm , , ,B D N C cùng thuộc một đường tròn,gọi đường tròn này là ( ) O 3) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AQD cắt ( ) O tại G khác D .Chứng minh rằng NG song song với BC Câu IV.(1 điểm) Ký hiệu S là tập hợp gồm 2015 điểm phân biệt trên một mặt phẳng.Giả sử tất cả các điểm của S không cùng nằm trên một đường thẳng.Chứng minh rằng có ít nhất 2015 đường thẳng phân biệt mà mỗi đường thẳng đi qua ít nhất hai điểm của S Câu 1: 1. Đặt 3 3 3 a b c x b c a y c a b z + − =   + − =   + − =  Ta có: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 (3 3 3 ) 24 (3 ) (3 ) (3 ) ( ) 24 ( ) 24 ( ) 3( )( )( ) 24 3( )( )( ) 0 24 3(2 4 )(2 4 )(2 4 ) 0 24 24( 2 )( 2 )( 2 ) 0 ( 2 )( 2 )( 2 ) 1 + + = + + − + + − + + − ⇔ + + = + + + ⇔ + + = + + + − + + + ⇔ − + + + = ⇔ − + + + = ⇔ − + + + = ⇔ + + + = a b c a b c b c a c a b x y z x y z x y z x y z x y y z z x x y y z z x a b b c c a a b b c c a a b b c c a 2. Ta có : ( ) 3 3 2 3 3 2 3 3 3 2 3 3 2 3 3 3 2 2 5 ( 2)( 2) 9 27( ) 7 26 27 9 27( ) 7 26 27 9 7 3( )( 2)( 2) 27 27 9 8 3 ( ) 12( ) 6( ) (3 1) ( 2) (3 1) 2 3 1 1 2 2 2 + + = + + =   ⇔   + + + = + + + + + = + +   ⇔ + + + + + + = + + ⇔ + + + + + + + + = + ⇔ + + = + ⇒ + + = + ⇔ + = ⇒ + + x y xy x y x y y x x x x y y x x x y x x y x y x x x y x xy x y x y x y x x y x x y x y x x x ( ) 1 1 1 9 3,5 8 = ⇒ =  = ⇒  = − ⇒ = −  x y x y Vậy ( ) ( ) ( ) { } , 1,1 ; 3,5, 8x y ∈ − − Câu 2: 1) Đặt 2 2 5 30 n x n y  + =  + =  ( ) , , , 0x y x y ∈ > ¥ 2 2 25 ( )( ) 1.25y x y x y x⇔ − = ⇔ − + = vì ( ) , , , 0x y x y∈ >¥ Lại có y x y x − < + nên 1 13 25 12 y x y y x x − = =   ⇔   + = =   Thay vào ta tính được 139n = thoả mãn 2) Ta thấy : 1 3x y x y+ + + = + và , ,x y x y∈ ⇒¥ là các số chính phương. 3, ,x y x y⇒ + + ∈¥ Đặt ( ) , , 3 , ,x a y b x y c a b c= = + + = ∈¥ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 2 2 2 3 1 1 2 3 3 2 4 3 9 3 9 2 4 + = +  + = +   ⇒ + = + ⇒ ⇒ + − − − = ⇔ + − = − ⇔ − − =   − − =   + + =   = =   ⇒    = =    ⇒  = =    ⇒   = =     a b c a b c x y a b a b a b a b ab a b c a b x y c a x b y a x b y 3) Ta có : 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 6 4 4 4 4 4 4 = + + ⇔ = + + + − + − + − + − + − + −   ≥ + + = + + ≥  ÷ + − + + − + + − + + + +   x y z x y z P P y z z x x y y z z x x y x y z x y z y z x z x y y z x z x y Dấu = xảy ra khi 4x y z= = = 4 9 x y =  ⇒  =  Câu 3: a P là điểm đối xứng của A qua M.  HP = HM + MB = 2HM + AH = AN + AH = HN  H là trung điểm của NP.Mà BH ⊥ NP P G D Q N H M A B C  Tam giác PNB cân tại B BN = BP. Mặt khác lại có: M là trung điểm của BC, AP  Tứ giác ACPB là hình bình hành  AC = BP  AC = BN b,Do tứ giác ACPB là hình bình hành  PAC APB∠ = ∠ Mà tam giác PBN cân tại B  APB ANB∠ = ∠  ANB PAC∠ = ∠  CAN BNQ∠ = ∠ Có: AC = NB, NQ = AN  BNQ CAN=V V  NBD NCD∠ = ∠  N, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. c, G là giao điểm (DQG) với (DBC)  CAG BQG∠ = ∠ Mà GBQ GCA∠ = ∠  Tam giác GBQ đồng dạng tam giác GCA  GA GQ AC QB =  GA GQ NB NC = Mà BNC BDC AGQ∠ = ∠ = ∠  Tam giác NBC đồng dạng với tam giác GAQ  GQA NCB NCB GDC∠ = ∠ → ∠ = ∠  GC = NB  NG//BC Câu 4. Giả sử trên mặt phẳng có n điểm thẳng hang thì tồn tại một đường thẳng . Theo bài ra các điểm đã cho không cùng nằm trên một đường thẳng nên tồn tại ít nhất một điểm không cùng nằm trên đường thẳng đó nối điểm đó với n- 1 điểm đã cho ta được n-1 đường thẳng với đường thẳng đi qua n-1 điểm ta được n đường thẳng. Thay n = 2015 thì tồn tại ít nhất 2015 đường thẳng Đề 3 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Trường đại học sư phạm Độc lập – Tự do – Hạnh phúc ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2015 Môn thi :TOÁN ( Dùng cho mọi thí sinh vào trường chuyên ) Thời gian làm bài 120 phút Câu 1 (2.5 điểm ) Cho biểu thức 2 2 2 2 2 1 1 1 a b b a a b P a b a b b a b a    + + −  ÷ ÷    =   + − +  ÷   với a>0 , b>0 a b≠ 1 Chứng minh 1 p ab = ; 2 Giả sử a, b thay đổi sao cho 4 1a b ab+ + = . Tìm min P Câu 2 ( 2 điểm ) cho hệ phương trình. 2 4 3 1 x my m mx y m − = −   + = +  Với m là tham số 1 Giải phương trình khi m = 2 2. Chứng minh hệ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. Giả sử (x 0, y 0 ) là một nghiệm của của hệ phương trình .chứn minh đẳng thức ( ) 2 2 0 0 0 0 5 10 0x y x y+ − + + = Câu 3(1.5điểm )Cho a, b là các số thực khác o.Biết rằng phương trình ( ) ( ) 2 2 0a x a b x b − + − = Có nghiệm duy nhất . Chứng minh a b= Câu 4. ( 3điểm ) Cho tam giác ABC có các góc ABC và góc ACB nhọn góc BAC = 60 0 . Các đường phân giác trong BB 1 , CC 1 của tam giác ABC cắt nhau tại I. 1> Chứng minh tứ giác AB 1 IC 1 nội tiếp . 2. Gọi K là giao điểm thứ hai khác B của đường thẳng BC với đường tròn ngoại tiếp tam giác BC 1 I . Chứng minh tứ giác CKIB 1 nội tiếp 2 Chứng minh 1 1 AK B C⊥ Câu 5 ( 1 điểm) . Tìm các số thực không âm a và b thỏa mãn 2 2 3 3 1 1 2 2 4 4 2 2 a b b a a b       + + + + = + +  ÷ ÷  ÷ ÷       Hướng dẫn giải Câu 1 (2.5 điểm ) 1.Cho biểu thức 2 2 2 2 2 1 1 1 a b b a a b P a b a b b a b a    + + −  ÷ ÷    =   + − +  ÷   với a>0 , b>0 a b ≠ ( ) 2 2 2 2 2 4 4 3 3 2 2 3 3 2 2 4 4 3 3 4 4 3 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 a ab b a b ab a b a b a b ab ab a b b a a b a b P a b a b a b a b ab a b a b ab ab b a b a a b a b − +   + +    + − − + + −  ÷  ÷ ÷      = = = = + − − + − −   + − +  ÷   2 Giả sử a, b thay đổi sao cho 4 1a b ab+ + = . Tìm min P Áp dụng bât đẳng thức cosi ta có 1 1 4 5 25= + + ≥ ⇒ ≥a b ab ab ab dấu bằng xảy ra khi b = 4a và 1 = 25ab suy ra 1 = 100b 2 suy ra 1 2 10 5 b a= ⇒ = Câu 2 ( 2 điểm ) cho hệ phương trình. 2 4 3 1 x my m mx y m − = −   + = +  Với m là tham số 1 Giải phương trình khi m = 2 2. Chứng minh hệ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. Giả sử (x 0, y 0 ) là một nghiệm của của hệ phương trình .chứn minh đẳng thức ( ) 2 2 0 0 0 0 5 10 0x y x y+ − + + = 1. 1. Thay m = 2 ta có 19 19 2 6 2 4 12 5 19 5 5 2 7 2 7 2 7 19 9 2 7 5 5   = =   − =− − =− − =−      ⇔ ⇔ ⇔ ⇔      + = + = + =      + = =     y y x y x y y x y x y x y x x 2. 2 4 2 4 3 1 ( 2 4 ) 3 1 − = − = + −   ⇔   + = + + − + = +   x my m x my m mx y m m my m y m 2 2 2 4 2 4 3 1 = + −  ⇔  + − + = +  x my m m y m m y m 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 4 2 4 1 1 4 ( 1) 1 4 1 4 1 1  − + = + −  =  = + −    + ⇔ ⇔ ⇔    + + + = + + = + +    = +   +  m m x my m x x my m m m m m y m m y m m y m m vì m 2 +1 khác 0 phương trình có nghiệm duy nhất với mọi m 2. Chứng minh hệ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. Giả sử (x 0, y 0 ) là một nghiệm của của hệ phương trình .chứn minh đẳng thức ( ) 2 2 0 0 0 0 5 10 0x y x y+ − + + = 1. Thay 2 0 2 2 0 2 3 3 2 1 1 4 1 m m x m m m y m  − + =   +  + +  =  +  Ta có : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 5 10 3 4 3 15+ − + + = − + − + + −x y x y x y x y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 3 3 4 1 4 4 3 3 2 3 3 12 15 1 1 1 1     − + − − + + − − − + + + = + + + +  ÷  ÷ + + + +     m m m m m m m m m m m m m m 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 3 3 3 2 3 3 12 15 0 1 1 1 1 − − − − + + +     = + + + + =  ÷  ÷ + + + +     m m m m m m m m m m Cách 2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 10 0 5 6 5 4 0 3 2 1 4 0 + − + + = ⇔ − + + − + = ⇔ − − + − − = x y x y x x y y x x y y Thay 2 0 2 2 0 2 3 3 2 1 1 4 1 m m x m m m y m  − + =   +  + +  =  +  ta đươc . ( ) 2 2 0 0 0 0 5 10 0x y x y+ − + + = Câu 3 ( 1.5điểm ) Cho a, b là các số thực khác o . Biết rằng phương trình ( ) ( ) 2 2 0a x a b x b− + − = Có nghiệm duy nhất . Chứng minh a b= ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3 3 0 ax 2 x 2 0 2 0 a x a b x b ax a b bx b x a b x a b a b − + − = ⇔ − + + − + = ⇔ + − + + + = Nếu a + b = 0 thi phương trình có nghiệm x = 0. Nếu a + b 0. ≠ ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2∆ = − + − + + = − − = − −a b a b a b a b ab a b ab a b Nếu a và b khác dấu thì phương trình có nghiệm với mọi m Nếu a và b cùng dấu thì phương trình vô nghiệm Phương trình có nghiêm duy nhất khi a và b khác dấu và 0 ∆ = suy ra a b= . Câu 4 1.Ta có · · · · 0 1 1 1 1 120 120 60 180 o o o B IC BIC B IC BAC= = ⇒ + = + = . Mà hai góc này đối nhau Nên tứ giác AB 1 IC 1 nội tiếp (đpcm). 2. Vì tứ giác BC 1 IK nội tiếp nên · · 1 1 60 o BIC BKC= = ( góc nội tiếp cùng chắn ¼ 1 BC ) Và · · 1 BIK BC K= ( góc nội tiếp cùng chắn » BK ) Xét tam giác ABC: · · · · · 0 1 180 180 60 120 o o o KCB BAC ABC ABC ABC= − − = − − = − Xét tam giác BC 1 K: · · · · · · 0 1 1 180 180 60 120 o o o BIK BC K BKC ABC ABC ABC= = − − = − − = − Suy ra · · 1 KCB BIK= ⇒ Tứ giác CKIB 1 nội tiếp (đpcm). 3. Vì · · 1 60 o BIC BAC= = ⇒ Tứ giác ACKC 1 nội tiếp ⇒ · · 1 1 KAC KCC= (cùng chắn cung KC 1 ) Và · · 1 1 AKC ACC= (cùng chắn cung AC 1 ). Mà · · 1 1 ACC KCC= (GT) Suy ra · · 1 1 KAC AKC= ⇒ Tam giác C 1 AK cân tại C 1 ⇒ C 1 A = C 1 K (1) CMTT: B 1 A = B 1 K (2) Từ (1), (2) suy ra B 1 C 1 là đường trung trực của AK nên AK ⊥ B 1 C 1 (đpcm Câu 5 ( 1 điểm) . Tìm các số thực không âm a và b thỏa mãn 2 2 3 3 1 1 2 2 4 4 2 2 a b b a a b       + + + + = + +  ÷ ÷  ÷ ÷       Áp dụng bất đẳng thức cosi 2 2 2 2 2 3 3 1 1 1 1 1 4 4 4 2 4 2 2 a b b a a b b a a b         + + + + = + + + + + + ≥ + +  ÷ ÷  ÷ ÷  ÷         2 1 1 1 2 2 2 2 2 a b a b      + + ≤ + +  ÷  ÷ ÷      Dấu bằng xảy ra khi a= b = ½ Đề 4 ĐỀ THI TUYỂN SINH TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2015 Môn thi: Toán ( Dùng cho học sinh chuyên toán và chuyên tin) Thời gian : 120 phút Câu 1: (2,5 điểm) 1. Cho a ≥ 0, a # 1. Rút gọn biểu thức 3 3 1 6 4 2. 20 14 2 ( 3) 3 1 : 1 2( 1) a S a a a a   − = − + + + − − −   −   2. Cho x,y thỏa mãn 0< x <1, 0 < y <1 và 1 1 1 x y x y + = − − Tìm giá trị của biểu thức 2 2 P x y x xy y= + + − + Câu 2: (2 điểm) Một xe tải có chiều rộng 2,4m và chiều cao 2,5m muốn đi qua một cái cổng có hình parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m và khoảng cách từ đỉnh cổng (đỉnh parabol) tới mỗi chân cổng là 2 5 m (bỏ qua độ dầy của cổng) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi parabol (P) 2 axy = với a < 0 là hình biểu diễn cổng mà xe tải muốn đi qua. Chứng minh a = -1 2. Hỏi xe tải có thể qua cổng được không? Tại sao? Câu 3: (1,5 điểm) Cho 2 số nguyên a,b thỏa mãn 2 2 1 2( )a b ab a b+ + = + + Chứng minh a và b là hai số chính phương liên tiếp. Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC). M là trung điểm của cạnh BC. O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng quy tại H. Các tiếp tuyến với (O) tại B,C cắt nhau tại S. Gọi X,Y lần lượt là giao điểm của đường thẳng È với các đường thẳng BS,AO. Chứng minh rằng: 1. MX BF⊥ ; 2. Hai tam giác SMX và DHF đồng dạng ; 3. EF BC FY CD = Câu 5: (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có các đỉnh là các điểm nguyên (một điểm được gọi là điểm nguyên nếu hoành độ và tung độ của điểm đó là các số nguyên).Chứng minh rằng hai lần diện tích của tam giác ABC là một số nguyên. Hướng dẫn giải Câu 1: (2,5 điểm) 1. Cho a ≥ 0, a # 1. Rút gọn biểu thức 3 3 1 6 4 2. 20 14 2 ( 3) 3 1 : 1 2( 1) a S a a a a   − = − + + + − − −   −   ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 1 6 4 2. 20 14 2 ( 3) 3 1 : 1 2( 1) 2 1 2 2 2 2 1 : 2 2 4 2 1   − = − + + + − − −   −     − +  ÷ = − + + − = + =  ÷ −   a S a a a a a a a a 2. Cho x,y thỏa mãn 0< x <1, 0 < y <1 Ta có . ( ) 1 3 1 2 1 3 1 1 2 + + = ⇔ + = + ⇔ + = − − x y xy x y xy x y x y 1. Tìm giá trị của biểu thức 2 2 P x y x xy y= + + − + Thay 1 3 2 xy x y + + = Ta có ( ) 2 2 2 2 2 1 3 1 3 3 3 2 2 1 3 1 3 1 3 1 3 2 2 2 2 + +   = + + − + = + + + − = + −  ÷   + − + −   = + = +  ÷   xy xy P x y x xy y x y x y xy xy xy xy xy xy Nếu xy> 1/3 Thì P = 2 ; Nếu xy < 1/3n thì P = 3xy Câu 2: (2 điểm) Một xe tải có chiều rộng 2,4m và chiều cao 2,5m muốn đi qua một cái cổng có hình parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m và khoảng cách từ đỉnh cổng (đỉnh parabol) tới mỗi chân cổng là 2 5 m (bỏ qua độ dầy của cổng) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi parabol (P) 2 axy = với a < 0 là hình biểu diễn cổng mà xe tải muốn đi qua. Chứng minh a = -1 2. Hỏi xe tải có thể qua cổng được không? Tại sao? 1. Áp dụng định lý py ta go ta có /y/ = 4 thay x = 2 4 = /a/4 suy ra a= -1 ta được y = - x 2 2. Thay x= 1.2 ta có y = 1.44 Khoảng cách còn lại 4- 1.44 = 2.56 vậy ô tô đi qua được Câu 3: (1,5 điểm) [...]... + y)2 4xy Do ú 12 = (x + y)2 4xy 1 1 1 4 2 8 B 9 2 2 4 xy ( x + y ) xy ( x + y ) xy 1 Vy min B = 9 khi x = y = 2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Đề 7 Sở giáo dục và đào tạo Hng yên kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt Năm học 2015 2016 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 120 phút Cõu 1: ( 2 im ) x y = 3 Rỳt gn P = ( 3 + 2)2 + ( 3 2) 2 ; 2) Gii h phng trỡnh 3 x + y = 1 Cõu 2: ( 1,5 im ) 1) Xỏc nh... MEO hay tam giỏc FEM cõn ti M Cõu 6 a2 Ta cú + 4(b 1) 4a (Cụsi) b 1 Tng t: a2 b2 c2 Vy + + 4(a + b + c) 4(b 1 + c 1 + a 1) = 12 b 1 c 1 a 1 Đề 8 Đề 9 Đề 10 S GIO DC V O TO VNH LONG Bi 1 (1.0 im) K THI TUYN SINH LP 10 THPT NM HC 2015 2016 Mụn thi: TON Thi gian lm bi: 120 phỳt a) Tớnh: A = 2 5 + 3 45 500 ; b) Rỳt gn biu thc B = ( ) 5 1 6+2 5 Bi 2 (2.5 im) Gii cỏc phng trỡnh v h phng trỡnh sau:... din tớch tam giỏc ABC l s nguyờn 5 6 K THI TUYN SINH LP 10 THPT Nm hoc: 2015 2016 Mụn thi : TON Thi gian: 120 phỳt (khụng kờ thi gian giao ờ) S GIO DC &O TO BèNH DNG CHNH THC Bi 1 : (1 im) Tớnh: A = 3 x 2 2 x x 2 1 vi x = 2 x2 Bi 2: (1,5 im) 1) V th (P) hm s y = 4 y = ax + b i qua gc ta v ct (P) ti im A 2) Xỏc nh a, b ng thng cú honh bng 3 x + 2 y = 10 Bi 3 :(2,0 im) 1) Gii h phng trỡnh:... 2) Chng minh DB l phõn giỏc ca gúc ADN 3) Chng minh OM l tip tuyn ca ng trũn ng kớnh MC 4) BA v CD kộo di ct nhau ti P Chng minh ba im P M, N thng hng Đề 7 THI TUYN SINH VO LP 10 THPT Nm hc: 2015 2016 MễN THI: TON Hi Phũng Thi gian: 120 phỳt (khụng k thi gian giao ) I Phn 1: Trc nghim (2,0 im) Hóy chn ch mt ch cỏi ng trc cõu tr li ỳng 1 iu kin xỏc nh ca biu thc A = A x 1 2 B x 1 2 2 2x 1 l C x... (O)) + T (3) v (4) MAE = ABE (b) - T (a) v (b) EMA EAB (g-g) EA2 = EM.EB (**) T (*) v (**) EC2 = EA2 EC = EA Vy BM i qua trung im E ca AC Đề 18 S GIO DC V O TO NGH AN Cõu 1 (2,5 im) Kè THI TUYN SINH VO LP 10 THPT NM HC 2015 2016 Mụn thi : Toỏn Thi ngy 10 / 9 / 2015 Cho biu thc P= 1 4 x 4 x 2 1 a)Tỡm iu kin xỏc nh v rỳt gn biu thc P;b)Tớnh giỏ tr ca biu thc P khi x = 4 Cõu 2 (1,5 im) S tin mua... + 2015 10 + + 3 a c b c 2 2 2 1 1 1 + -3 + b c a 2 1 1 1 1 1 1 + + 3.2015 => + + 3.2015 (IV) a b c b c a 11 1 1 1 2015 T (I) v (IV) => P + + 3.2015 = 3 a b c 3 3 1 1 1 1 1 1 2015 Vy GTLN ca P = khi a=b=c v 7 2 + 2 + 2 = 6 + + + 2015 b c a ab bc ca 3 a=b=c= 3 2015 Đề 13 S GIO DC V O TO K THI TUYN SINH VO LP 10 THPT CHUYấN NM HC 2015 - 2016 BèNH NH TRNG THPT CHUYấN... + + < 89 Trỏi vi k ca bi a1 a2 a2015 Vy trong 2015 s nguyờn dng ú tn ti ớt nht 2 s bng nhau Đề 17 S GIO DC V O TO TP. NNG K THI TUYN SINH LP 10 THPT Nm hoc: 2015 2016 Khúa ngy : 9, 10 06 2015 MễN: TON Bi 1: (1,5 im) 1) a th s ra ngoi du cn ca biu thc 2) Tớnh giỏ tr ca biu thc : A = ( 21 - 7 + 3- 1 28a 4 10 - 5 1 ): 2- 1 7- 5 3 2x y = 6 Bi 2: (1,0 im) Gii h phng trỡnh 1 + 2 y = 4 x Bi 3: (2,0... giỏc trong BAC ct (O) ti D (D khỏc A) a) Tớnh BAC ; BCD b) K DK AC (K thuc AC) Chng minh rng ODKC ni tip c) Tớnh din tớch hỡnh trũn ngoi tip ODKC theo R Đề 12 S GIO DC & O TO PH TH K THI TUYN SINH LP 10 THPTNm hoc: 2015 2016 Mụn thi : TON Ngy thi: 06/6/2015 Cõu 1 a) Gii phng trỡnh : x+2015=2016 b) Trong cỏc hỡnh sau : Hỡnh vuụng, Hỡnh ch nht, Hỡnh thang cõn, Hỡnh thang vuụng Hỡnh no ni tip c ng... vuụng gúc vi AB v ba im E, I, F thng hng Cõu 6 (1 im) Cho ba s thc x; y; z tha món: x 2 + y 2 + z 2 9 Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P = x + y + z (xy + yz + zx) Đề 16 S GIO DC V O TO HI DNG K THI TUYN SINH LP 10 THPNM HC 2015 2016 Mụn thi : TON Thi gian lm bi: 120 phỳt Cõu I (2,0 im) Gii cỏc phng trỡnh v h phng trỡnh sau: x = 3 2y 1) 2x + 1 = 0 ; 2) ; 3) x 4 + 8x 2 9 = 0 y = 1 + 2x Cõu II(2,0im) 1)... K ln lt l hỡnh chiu ca A lờn cỏc tip tuyn ti B v C ca ng trũn (O) a) CMR cỏc t giỏc AHBI v AHCK ni tip ng trũn b) CMR AHI v AKH ng dng c) Gi M, N ln lt l trung im ca AI v AK ABC phi tha món iu kin gỡ AH = AM + AN ? Bi 4 (1,0 im) Cho hai s dng x v y cú tng bng 1 Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc B = (1 1 1 )(1 2 ) 2 x y HI PHềNG P N THI TUYN SINH VO LP 10 THPT Nm hc 2015 2016 MễN THI: TON Phn 1 Trc . hàng. §Ò 7 Hải Phòng ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT Năm học: 2015 – 2016 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) I. Phần 1: Trắc nghiệm (2,0 điểm). Hãy chọn chỉ một chữ. diện tích tam giác ABC là số nguyên Đề 5 Đề 6 SỞ GIÁO DỤC &ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT BÌNH DƯƠNG Năm học: 2015 – 2016 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi : TOÁN Thời gian: 120 phút (không kể. 1 Bộ giáo dục đào tạo đề thi tuyển sinh Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2015-2016 Môn thi: Toán học (Dùng cho mọi thí sinh thi vào trờng chuyên) Thời gian làm