Huỳnh Minh Khai Trường THCS Thị Trấn cầu Kè, Trà Vinh Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only MỘT PHƯƠNG PHÁP VẼ ĐƯỜNG PHỤ DỰNG HÌNH BẰNG DỤNG CỤ HẠN CHẾ LÀM QUEN VỚI BẤT ĐẲNG THỨC TRÊ-BƯ-SEP PHƯƠNG PHÁP HỐN VỊ VỊNG QUANH NHỮNG KHAI THÁC TỪ MỘT ĐA THỨC QUEN THUỘC KHÔNG CHỈ DỪNG LẠI Ở VIỆC GIẢI TOÁN ! 11 VẬN DỤNG BỔ ĐỀ HÌNH THANG VÀO GIẢI TOÁN 14 MỞ RỘNG ĐỊNH LÍ VỀ ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA HÌNH THANG 16 MỘT KĨ NĂNG CÓ NHIỀU ỨNG DỤNG 20 MỘT SỐ DẠNG TỐN SỬ DỤNG PHÉP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 21 TỪ MỘT BÀI TOÁN THI HỌC SINH GIỎI 23 TỪ MỘT BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN GIẢN 25 RÚT GỌN BIỂU THỨC 26 TỪ MỘT PHÉP BIẾN ĐỔI TRUNG GIAN TRONG PHÉP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC TRÊ - BƯ - SÉP 29 "TÁCH" HẠNG TỬ NHƯ THẾ NÀO ĐỂ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ ? 30 TỪ MỘT ĐIỀU HIỂN NHIÊN ĐÚNG 31 KHÔNG COI NHẸ KIẾN THỰC CƠ BẢN 33 TIẾP TỤC KHAI THÁC MỘT BÀI TOÁN 35 NHẨM NGHIỆM ĐỂ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 36 MỘT LẦN VÀO "BẾP" 37 ĐẶC BIỆT HOÁ ĐỂ CĨ BÀI TỐN MỚI 39 CÁC BÀI TỐN VỀ DIỆN TÍCH 43 XÂY DỰNG CHUỖI BÀI TOÁN TỪ BÀI TOÁN QUEN THUỘC 45 LÀM QUEN VỚI CHỮNG MINH BẰNG PHẢN CHỨNG TRONG HÌNH HỌC48 HỌC CÁCH DỰNG HÌNH PHỤ QUA VIỆC CHỨNG MINH MỘT ĐỊNH LÍ 50 HỌC TỐN CẦN PHẢI BIẾT THẮC MẮC 53 BÀN VỚI CÁC BẠN LỚP VỀ PHƯƠNG PHÁP 58 MỘT PHƯƠNG PHÁP VẼ ĐƯỜNG PHỤ Trong trình học tốn bậc THCS, có lẽ hấp dẫn khó khăn việc vượt qua tốn hình học, mà để giải chúng cần phải vẽ thêm đường phụ Trong báo này, xin nêu phương pháp thường dùng để tìm đường phụ cần thiết giải tốn hình học : Xét vị trí đặc biệt yếu tố hình học có tốn cần giải Bài tốn : Cho góc xOy Trên Ox lấy hai điểm A, B Oy lấy hai điểm C, D cho AB = CD Gọi M N trung điểm AC BD Chứng minh đường thẳng MN song song với phân giác góc xOy Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Suy luận : Vị trí đặc biệt CD CD đối xứng với AB qua Oz, phân giác góc xOy Gọi C1 D1 điểm đối xứng A B qua Oz ; E F giao điểm AC1 BD1 với Oz Khi E F trung điểm AC1 BD1, vị trí MN EF Vì ta cần chứng minh MN // EF đủ (xem hình 1) Thật vậy, AB = CD (gt), AB = C1D1 (tính chất đối xứng) nên CD = C1D1 Mặt khác ME NF đường trung bình tam giác ACC1 BDD1 nên NF // DD1, NF = 1/2DD1 , ME // CC1 , ME = 1/2 CC1 => ME // NF NE = 1/2 NF => tứ giác MEFN hình bình hành => MN // EF => đpcm Bài tốn có nhiều biến dạng” thú vị, sau vài biến dạng nó, đề nghị bạn giải xem tập nhỏ ; sau đề xuất “biến dạng” tương tự Bài toán : Cho tam giác ABC Trên AB CD có hai điểm D E chuyển động cho BD = CE Đường thẳng qua trung điểm BC DE cắt AB AC I J Chứng minh ΔAIJ cân Bài toán : Cho tam giác ABC, AB ≠ AC AD AE phân giác trung tuyến tam giác ABC Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE cắt AB AC M N Gọi F trung điểm MN Chứng minh AD // EF Trong việc giải toán chứa điểm di động, việc xét vị trí đặc biệt tỏ hữu ích, đặc biệt tốn “tìm tập hợp điểm” Bài tốn : Cho nửa đường trịn đường kính AB cố định điểm C chuyển động nửa đường trịn Dựng hình vng BCDE Tìm tập hợp C, D tâm hình vng Ta xét trường hợp hình vng BCDE “nằm ngồi” nửa đường trịn cho (trường hợp hình vng BCDE nằm đường tròn cho xét tương tự, đề nghị bạn tự làm lấy xem tập) Suy luận : Xét trường hợp C trùng với B Khi hình vng BCDE thu lại điểm B điểm I, D, E trùng với B, I tâm hình vng BCDE Vậy B điểm thuộc tập hợp cần tìm Xét trường hợp C trùng với A Dựng hình vng BAD1E1 D trùng với D1, E trùng với E1 I trùng với I1 (trung điểm cung AB ) Trước hết, ta tìm tập hợp E Vì B E1 thuộc tập hợp cần tìm nên ta nghĩ đến việc thử chứng minh  BEE1 khơng đổi Điều khơng khó  ACB = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ΔBEE1 = ΔBCA (c g c) =>  BEE1 =  BCA = 90o => E nằm nửa đường trịn đường kính BE1 (1/2 đường trịn 1/2 đường tròn cho nằm hai nửa mặt phẳng khác với “bờ” đường thằng BE1) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Vì  DEB =  E1EB = 90o nên D nằm EE1 (xem hình 2) =>  ADE1 = 90o =  ABE1 => D nằm đường trịn đường kính AE1, ABE1D1 hình vng nên đường trịn đường kính AE1 đường trịn đường kính BD1 Chú ý B D1 vị trí giới hạn tập hợp cần tìm, ta => tập hợp D nửa đường trịn đường kính BD1 (nửa đường tròn điểm A hai nửa mặt phẳng khác với bờ đường thẳng BD1) Cuối cùng, để tìm tập hợp I, ta cần ý II1 đường trung bình ΔBDD1 nên II1 // DD1 =>  BII1 = 90 => tập hợp I nửa đường trịn đường kính BI1 (đường tròn A hai nửa mặt phẳng khác với bờ BD1) Để kết thúc, xin mời bạn giải toán sau : Bài tốn : Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB cố định điểm C chuyển động nửa đường trịn Kẻ CH vng góc với AB Trên đoạn thẳng OC lấy điểm M cho OM = CH Tìm tập hợp M DỰNG HÌNH BẰNG DỤNG CỤ HẠN CHẾ Các em biết : Các tốn dựng hình trường phổ thơng sử dụng hai dụng cụ : compa thước thẳng để dựng hình (theo quy ước từ thời cổ Hi Lạp) Tuy nhiên thi học sinh giỏi toán “đố vui học tập” có tốn dựng hình địi hỏi dựng dụng cụ thước thẳng compa Những tốn thú vị, bổ ích địi hỏi nhiều thông minh sáng tạo việc vận dụng kiến thức học Các nhà toán học nghiên cứu sâu sắc toán Nhà tốn học ý : Máckêrơni (1750 - 1800) nhà toán học Đan Mạch : MoRơ (1640 - 1697) chun nghiên cứu tốn dựng hình compa Đến 1890 nhà toán học áo Adler chứng minh : Mọi tốn dựng hình giải compa thước thẳng giải với compa thơi Ngược lại nhà tốn học Thụy Sĩ Iacốp Stây Ne (1796 - 1863) lại nghiên cứu tốn dựng hình thước thẳng Ơng chứng minh : Mọi toán dựng hình (hình học phẳng) compa thước thẳng giải được, dựng thước thẳng mặt phẳng cho đường tròn tâm Xin giới thiệu với em vài toán Bài toán : Cho đường trịn đường kính AOB điểm S ngồi đường trịn Chỉ dùng thước thẳng dựng đường thẳng qua S vng góc với AB Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Giải : Nối SA cắt (O) F (xem hình 1) Nối SB cắt (O) E Nối AE cắt BF H Đường thẳng SH đường thẳng cần dựng Bài toán : Trên mặt phẳng cho điểm A, B Chỉ dùng compa dựng hai điểm có khoảng cách gấp đơi độ dài AB (chú ý cho điểm A, B chưa có đường thẳng chứa A B) Giải : - Dựng đường trịn (B ; BA) (xem hình 2) - Dựng đường tròn (A ; AB) cắt đường tròn E - Dựng đường tròn (E ; EA) cắt đường tròn (B) F - Dựng đường tròn (F ; FE) cắt đường tròn (B) C Dễ dàng chứng minh ΔAEB ; ΔEBF ; ΔFBC Từ => A, B, C thẳng hàng AC = AB Bài toán : Cho hai điểm A, B Chỉ dùng compa dựng trung điểm I đoạn AB Giải : Xem hình Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only - Đặt AB = a Dựng đoạn dài 2a (bài toán 2) - Dựng đường tròn (B ; 2a) đường tròn (A ; 2a), hai đường tròn cắt C - Dựng đường tròn (B ; a) đường tròn (C ; a), hai đường tròn tiếp xúc M, M trung điểm BC - Dựng đường tròn (A ; a) đường tròn (C ; a), hai đường tròn tiếp xúc N, N trung điểm AC - Dựng đường tròn (N ; a) đường tròn (M ; a), hai đường tròn cắt giao điểm thứ hai I, I trung điểm AB Phần chứng minh dễ dàng, xin dành cho bạn đọc Bây mời em giải thử toán sau : Bài : Cho hai điểm A, B Chỉ dùng compa dựng điểm I thuộc đoạn AB chia AB theo tỉ số IA/IB = k (k thuộc N) cho trước Bài : Cho đường tròn tâm O hai điểm A, B ngồi đường trịn Chỉ dùng compa dựng giao điểm đường thẳng AB với đường tròn (O) Bài : Cho tứ giác ABCD Chỉ dùng compa kiểm tra xem tứ giác ABCD có phải tứ giác nội tiếp hay không ? LÀM QUEN VỚI BẤT ĐẲNG THỨC TRÊ-BƯ-SEP Các bạn làm quen với bất đẳng thức Cô si, Bunhiacôpski không bạn chưa biết bất đẳng thức Trê - bư - sép Con đường đến bất đẳng thức thật giản dị, gần gũi với kiến thức bạn bậc THCS Các bạn thấy : Nếu a1 ≤ a2 b1 ≤ b2 (a2 - a1) (b2 - b1) ≥ Khai triển vế trái bất đẳng thức ta có : a1b1 + a2b2 - a1b2 - a2b1 ≥ => : a1b1 + a2b2 ≥ a1b2 + a2b1 Nếu cộng thêm a1b1 + a2b2 vào hai vế ta : (a1b1 + a2b2) ≥ a1 (b1 + b2) + a2 (b1 + b2) => : (a1b1 + a2b2) ≥ (a1 + a2) (b1 + b2) (*) Bất đẳng thức (*) bất đẳng thức Trê - bư - sép với n = Nếu thay đổi giả thiết, cho a1 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software ≤ a2 b1 ≥ b2 tất bất đẳng thức đổi chiều ta có : evaluation only http://www.foxitsoftware.com For (a1b1 + a2b2) ≤ (a1 + a2) (b1 + b2) (**) Các bất đẳng thức (*) (**) trở thành đẳng thức a1 = a2 b1 = b2 Làm theo đường tới (*) (**), bạn giải nhiều toán thú vị Bài toán : Biết x + y = Chứng minh x2003 + y2003 ≤ x2004 + y2004 Lời giải : Do vai trị bình đẳng x y nên giả sử x ≤ y Từ => : x2003 ≤ y2003 Do (y2003 - x2003).(y - x) ≥ => : x2004 + y2004 ≥ x.y2003 + y.x2003 Cộng thêm x2004 + y2004 vào hai vế ta có : 2.(x2004 + y2004) ≥ (x+y) (x2003 + y2003) = 2.(x2003 + y2003) => : x2004 + y2004 ≥ x2003 + y2003 (đpcm) Để ý : Bất đẳng thức vừa chứng minh trở thành đẳng thức x = y = ; bạn có lời giải toán sau : Bài toán : Giải hệ phương trình : Nếu bạn quan tâm tới yếu tố tam giác vận dụng bất đẳng thức (*) (**) dẫn đến nhiều toán Bài tốn : Cho tam giác ABC có diện tích AH BK đường cao tam giác Chứng minh : (BC + CA).(AH + BK) ≥ Lời giải : Ta có AH x BC = BK x CA = Do vai trị bình đẳng BC CA nên giả sử BC ≤ CA => 2/BC ≥ 2/CA => AH ≥ BK Do (CA - BC).(BK - AH) ≤ => : CA x BK + BC x AH ≤ BC x BK + CA x AH Cộng thêm CA x BK + BC x AH vào vế ta có : 2.(CA x BK + BC x AH) ≤ (BC + CA) (AH + BK) => : (BC + CA).(AH + BK) ≥ Đẳng thức xảy BC = CA BK = AH tương đương với BC = CA hay tam giác ABC tam giác cân đỉnh C Bài toán : Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c đường cao tương ứng cạnh có độ dài ha, hb, hc Chứng minh : với S diện tích tam giác ABC Lời giải : Do vai trị bình đẳng cạnh tam giác nên giả sử a ≤ b ≤ c => : 2S/a ≥ 2S/b ≥ 2S/c => ≥ hb ≥ hc Làm lời giải tốn ta có : (a + b).(ha + hb) ≥ 8S => : 1/(ha + hb) ≤ (a + b)/(8S) (1) Tương tự ta : 1/(hb + hb) ≤ (b + c)/(8S) (2) 1/(hc + ha) ≤ (c + a)/(8S) (3) Cộng vế (1), (2), (3) dẫn đến : Bất đẳng thức (4) trở thành đẳng thức bất đẳng thức (1), (2), (3) đồng thời Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software trở thành đẳng thức tương đương với a = b = http://www.foxitsoftware.com tamevaluation only c hay tam giác ABC For giác Bây bạn thử giải tập sau : 1) Biết x2 + y2 = Tìm giá trị lớn F = (x4 + y4) / (x6 + y6) 2) Cho số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Chứng minh : 3) Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a, b, c độ dài đường phân giác thuộc cạnh la, lb, lc Chứng minh : 4) Hãy dự đoán chứng minh bất đẳng thức Trê - bư - sép với n = Từ sáng tạo toán Nếu bạn thấy thú vị với khám phá tập này, gửi gấp viết cho chuyên mục EUREKA TTT2 PHƯƠNG PHÁP HỐN VỊ VỊNG QUANH Phân tích thành nhân tử kĩ chương trình đại số bậc THCS Kĩ sử dụng giải toán : biến đổi đồng biểu thức toán học, giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức giải toán cực trị Sách giáo khoa lớp giới thiệu nhiều phương pháp phân tích thành nhân tử Sau xin nêu phương pháp thường sử dụng, dựa vào việc kết hợp phương pháp quen thuộc đặt nhân tử chung, nhóm số hạng, đẳng thức Phương pháp dựa vào số nhận xét sau : 1/ Giả sử phải phân tích biểu thức F(a, b, c) thành nhân tử, a, b, c có vai trị biểu thức Nếu F(a, b, c) = a = b F(a, b, c) chứa nhân tử a - b, b - c c - a Bài toán : Phân tích thành nhân tử : F(a, b, c) = a2(b - c) + b2(c - a) + c2(a - b) Nhận xét : Khi a = b ta có : F(a, b, c) = a2(a - c) + a2(c - a) = 0, F(a, b, c) có chứa nhân tử a - b Tương tự F(a, b, c) chứa nhân tử b - c, c - a Vì F(a, b, c) biểu thức bậc ba, F(a, b, c) = k.(a - b)(b - c)(c - a) Cho a = 1, b = 0, c = -1 ta có : + = k.1.1.(-2) => k = -1 Vậy : F(a, b, c) = -(a - b)(b - c)(c - a) Bài toán : Phân tích thành nhân tử : F(a, b, c) = a3(b - c) + b3(c - a) + c3(a - b) Nhận xét : Tương tự toán 1, ta thấy F(a, b, c) phải chứa nhân tử a - b, b - c, c - a Nhưng F(a, b, c) biểu thức bậc bốn, (a - b)(b - c)(c - a) bậc ba, F(a, b, c) phải có thừa số bậc a, b, c Do vai trò a, b, c nên thừa số có dạng k(a + b + c) Do : F(a, b, c) = k(a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c) Cho a = ; b = ; c = => k = -1 Vậy : F(a, b, c) = -(a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c) 2/ Trong số toán, F(a, b, c) biểu thức đối xứng a, b, c F(a, b, c) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software ≠ a = b ta thử xem a = -b, F(a,http://www.foxitsoftware.com Fornếu thỏaonly b, c) có triệt tiêu khơng, evaluation mãn F(a, b, c) chứa nhân tử a + b, từ chứa nhân tử b + c, c + a Bài toán : Chứng minh : Nếu : 1/x + 1/y + 1/z = 1/(x + y + z) 1/xn + 1/yn + 1/zn = 1/(xn + yn + zn) với số nguyên lẻ n Nhận xét : Từ giả thiết 1/x + 1/y + 1/z = 1/(x + y + z) => : (xy + xz + yz)(x + y + z) - xyz = (*) Do ta thử phân tích biểu thức F(x, y, z) = (xy + xz + yz)(x + y + z) - xyz thành nhân tử Chú ý x = - y F(x, y, z) = - y2z + y2z = nên F(x, y, z) chứa nhân tử x + y Lập luận tương tự tốn 1, ta có F(x, y, z) = (x + y)(y + z)(x + z) Do (*) trở thành : (x + y)(y + z)(x + z) = Tương đương với : x + y = y + z = z + x = Nếu x + y = chẳng hạn x = - y n lẻ nên xn = (-y)n = -yn Vậy : 1/xn + 1/yn + 1/zn = 1/(xn + yn + zn) Tương tự cho trường hợp cịn lại, ta có đpcm Có ta phải linh hoạt tình mà hai ngun tắc khơng thỏa mãn : Bài tốn : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : F(x, y, z) = x3 + y3 + z3 - 3xyz Nhận xét : Ta thấy x = y hay x = -y F(x, y, z) ≠ Nhưng thay x = -(y + z) F(x, y, z) = nên F(x, y, z) có nhân tử x + y + z Chia F(x, y, z) cho x + y + z, ta thương x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx dư Do : F(x, y, z) = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) Ta thêm bớt vào F(x, y, z) lượng 3x2y + 3xy2 để nhân kết Các bạn dùng phương pháp kết nêu để giải tập sau Bài tốn : Tính tổng : k = 1, 2, 3, Bài toán : Chứng minh (a - b)5 + (b - c)5 + (c - a)5 chia hết cho 5(a - b)(b - c)(c - a) NHỮNG KHAI THÁC TỪ MỘT ĐA THỨC QUEN THUỘC Bài tốn : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a3 + b3 + c3 - 3abc Lời giải : Ta có a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b)3 - 3a2b - 3ab2 + c3 - 3abc = [(a + b)3 + c3] - 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b)2 - (a + b)c + c2 - 3ab] = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software = 1/2.(a + b + c)[ (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 ] http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Nhận xét : Nếu a3 + b3 + c3 = 3abc a3 + b3 + c3 - 3abc = Tương đương 1/2.(a + b + c)[ (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 ] Hay tương đương với a + b + c = a = b = c Nếu cho a = x - y ; b = y - z ; c = z - x a + b + c = 0, ta có toán : Bài toán : (Đề thi học sinh giỏi tốn cấp II, miền Bắc 1962) Phân tích đa thức (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 thành nhân tử Lời giải : Từ nhận xét ta có : (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3(x - y)(y - z)(z - x) * Với a = x2 + y2 ; b = z2 - x2 ; c = - y2 - z2 cho a + b + c = ta lại có tốn : Bài tốn : (Thi vơ địch tốn - Belarussia - 1957) Phân tích thành nhân tử : (x2 + y2)3 + (z2 - x2) - (y2 + z2)3 Lời giải : (x2 + y2)3 + (z2 - x2)3 - (y2 + z2)3 = (x2 + y2)3 + (z2 - x2)3 + (- y2 - z2)3 = 3(x2 + y2)(z2 - x2)(- y2 - z2) = 3(x2 + y2)(y2 + z2)(x + z)(x - z) * Lại cho a = 1/x ; b = 1/y ; c = 1/z , ta có tốn khác : Bài tốn : Cho 1/x + 1/y + 1/z = Tính : P = xy/z2 + yz/x2 + zx/y2 Lời giải : 1/x + 1/y + 1/z = => 1/x3 + 1/y3 + 1/z3 = 3/(xyz) Ta có : P = xy/z2 + yz/x2 + zx/y2 = xyz.(1/x3 + 1/y3 + 1/z3) = xyz.3/(xyz) = Vậy P = Bài toán : Cho abc ≠ 0, a3 + b3 + c3 = 3abc Tính giá trị : A = (1 + a/b)(1 + b/c)(1 + c/a) Lời giải : Theo toán 1, a3 + b3 + c3 = 3abc Tương đương với : a + b + c = a = b = c + Nếu a + b + c = : A = (a + b)/b (b + c)/c (c + a)/a = (- c/b).(- a/c).(- b/a) = - + Nếu a = b = c : A = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = = Vậy A nhận hai giá trị -1 * Với a = yz ; b = zx ; c = xy : a3 + b3 + c3 = 3abc Tương đương y3z3 + z3x3 + x3y3 = 3x2y2z2 Từ hình thành tốn : Bài toán : Cho xyz ≠ thỏa mãn : x3y3 + y3z3 + z3x3 = 3x2y2z2 Tính giá trị biểu thức : M = (1 + x/y).(1 + y/z).(1 + z/x) Lời giải : Theo cách đặt nêu trên, dễ dàng đưa toán toán Kết M = - M = Bài toán : Giải hệ : Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software (Thi học sinh giỏi TP Hồ Chí Minh, 1986-1987) http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Lời giải : Theo 1, ta có : a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) Tương đương - 3abc = - ab - bc - ca Hay 3abc = ab + bc + ca (1) Mặt khác (a + b + c)2 = Tương đương a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = Hay ab + bc + ca = (2) Từ (1) (2) => abc = tương đương với a = b = c = Từ => nghiệm hệ : (a, b, c) = (0, 0, 1) ; (0, 1, 0) ; (1, 0, 0) ; Bài toán : Cho : Tính giá trị biểu thức : P = a2002 + b2003 + c2004 Lời giải : áp dụng 7, ta có kết P = Bài toán : (Thi vào lớp 10 chuyên toán THPT Lê Hồng Phong, TP Hồ Chí Minh, 1998) Cho ΔABC có ba cạnh a, b, c thỏa mãn : a3 + b3 + c3 = 3abc Hỏi ΔABC tam giác ? Lời giải : a3 + b3 + c3 = 3abc tương đương với a + b + c = ( khơng xảy a, b, c > 0) a = b = c tương đương với ΔABC tam giác Bài tốn 10 : Cho : Tính x3 + y3 + z3 theo a, b, c Lời giải : áp dụng : x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) Tương đương x3 + y3 + z3 = 3xyz + a(b2 - (xy + yz + zx)) (1) Mặt khác, a2 = (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) => : xy + yz = [ a2 - (x2 + y2 + z2) ]/2 = (a2 - b2)/2 (2) Từ 1/x + 1/y + 1/z = 1/c tương đương với (xy + yz + zx)/xyz = 1/c hay xyz = c.(xy + yz + zx) Tương đương xyz = c.(a2 - b2)/2 (theo (2)) (3) Thay (2) ; (3) vào (1) ta có : x3 + y3 + z3 = 3c(a2 - b2)/2 + a[ b2 - (a2 - b2)/2 ] = [ 3c(a2 - b2) + a(3b2 - a2) ]/2 Bài toán 11 : Biết : Chứng minh a3 + b3 + c3 = 3abc Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Mặt khác, gọi F giao điểm AB CE ; G giao điểm BN CE ta có  EFA =  BFG (hai góc đối đỉnh)  EFA +  FAE +  AEF =  BFG +  BGF +  FBG = 180o (tổng ba góc tam giác) Suy  FAE =  BGF = 90o hay BN  CE Vậy BN = CE BN  CE Nhận xét : Bài toán quen thuộc “loay hoay” với việc kẻ thêm hình phụ nhằm thay đổi điều kiện tốn, tơi phát thêm nhiều kết thú vị Trước hết, vẽ thêm phía ngồi tam giác ABC hình vng BCPQ vẽ tiếp hình bình hành CMKP, ta nhận thấy : ∆ABC = ∆CKM theo trường hợp c.g.c (CM = CA ; BC = CP = MK ;  ACB =  CMK - hai góc có cạnh tương ứng vng góc) => CK = AB = AE  BAC =  MCK =>  BAC +  EAB =  MCK +  ACM =>  ACK =  CAE, hai góc vị trí so le => AE // CK => tứ giác AECK hình bình hành => AK // CE AK = CE Hoàn toàn tương tự, vẽ hình bình hành BDIQ ta có AI // BN AI = BN Từ ta đề xuất toán Bài toán : Cho tam giác ABC có  A nhọn Dựng phía ngồi tam giác ABC hình vng ABDE, ACMN, BCPQ ; hình bình hành CMKP BDIQ Chứng minh AIK tam giác vuông cân Bài tốn cịn chứng minh cách khác ta chưa dừng lại kết Nếu gọi O tâm hình vng BCPQ ta chứng minh O trung điểm đoạn thẳng IK (chú ý ∆OIQ = ∆OKC) Như AO  IK Tiếp tục khai thác mối liên hệ đoạn thẳng IK với đoạn thẳng khác ta thấy KI // DM ; KI = DM ; DM // O1O2 ; DM = 2O1O2 => KI // O1O2 ; KI = 2O1O2 (O1, O2 tâm hình vng ABDE, ACMN - hình 2) => AO  O1O2 AO = O1O2 (*) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Thay đổi điều kiện toán (bỏ chi tiết gợi ý cho kết (*), ta có tốn khơng dễ Bài tốn : Cho tam giác ABC có  A nhọn Dựng phía ngồi tam giác ABC tam giác BOC, AO1B, AO2C vuông cân O, O1, O2 Chứng minh AO  O1O2 AO = O1O2 Khi xem xét, tơi thấy tốn cho trường hợp  A vuông tù, đề nghị bạn tự kiểm tra Từ ta phát biểu chứng minh toán sau Bài toán : Cho tam giác ABC Dựng phía ngồi tam giác ABC tam giác vuông cân BOC, AO1B, AO2C O, O1, O2 Chứng minh đường thẳng AO, BO2, CO1 đồng quy Đến nhớ lại 5(13) nghĩ có liên hệ với kết Tơi tìm cách chứng minh lại thành công sử dụng kết tốn Bài 5(13) : Cho hình thang ABCD có AB song song nửa CD Điểm M nằm ngồi hình thang cho MH vng góc phần tư CD Bên ngồi hình thang, ta dựng tam giác ADE BCF vuông cân E F Chứng minh tam giác MEF vuông cân M Hướng dẫn : Xét tam giác ADH, dựng phía ngồi tam giác ADH tam giác vuông cân AIH DPH I P ; hình chữ nhật DHMK (hình 3) Theo tốn (với  A bất kì) ta có EH = PI EH  PI Các bạn chứng minh : - P trung điểm KM - ∆IPK = ∆EHM => KI = EM KI  EM Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software - KM // IF KM = IF => KIFM hình bình hành => KI // FM KI =evaluation only http://www.foxitsoftware.com For FM LÀM QUEN VỚI CHỮNG MINH BẰNG PHẢN CHỨNG TRONG HÌNH HỌC Phản chứng phương pháp chứng minh gián tiếp hiệu quả, ta phải chứng minh mệnh đề phủ định sai Trong trình giảng dạy trường phổ thơng, tơi nhận thấy học sinh cịn chưa thục áp dụng phương pháp để chứng minh tốn hình học Hi vọng qua ví dụ đây, bạn nắm vững phương pháp chứng minh đặc biệt Ví dụ : Chứng minh tứ giác ABCD, A = B; D > C AD < BC Lời giải : Ta chứng minh AD ≥ BC sai Thật vậy, gọi giao điểm AD BC E ta có : DAB = ABC (giả thiết) suy EAB = EBA => ∆ EAB cân E => EA = EB Giả sử AD = BC => AD + EA = BC + EB => ED = EC => ∆ EDC cân E => trái với giả thiết Giả sử AD > BC => AD + EA > BC + EB => ED > EC => C > D, tráI với giả thiết Vậy AD < BC Ghi : Ta hồn tồn chứng minh trực tiếp kết Ví dụ : Cho hình vng ABCD có cạnh a ; M trung điểm cạnh AD ; điểm E nằm BC thỏa mãn điều kiện < CE < a/2 Qua M kẻ đường thẳng song song với AE, cắt cạnh CD F Chứng minh hình thang AMFE khơng thể hình thang cân Lời giải : Giả sử AMFE hình thang cân AM = FE (*) MAE = FEA, mà MAE = BEA => FEA = BEA => EA phân giác (góc ngồi ∆ EFC) Mặt khác CA phân giác BCD (tính chất đường Foxit PDF Creator vng), suy A tâm chéo hình © Foxit Software Generated by http://www.foxitsoftware.com For evaluation only đường tròn bàng tiếp ECF ∆ EFC (đường tròn tiếp xúc với CE CF lầ lượt B D) Lại có < CE < a/2 => BE > a/2 EF = BE + DF > BE > a/2 => EF > AM, Mâu thuẫn với (*) Vậy AMFE hình thang cân Ví dụ : Cho đường trịn tâm O có hai đường kính AB CD vng góc với Gọi I K trung điểm OA, OB Tia CK cắt (O) F Chứng minh khơng phải góc vng Lời giải : Giả sử CIF = 90 o suy : OIF + OIC = ICD + OIC = 90 o => OIF = ICD Như gọi E giao điểm tia CI với (O) ; P Q giao điểm tia FI với (O) đường kính CD sđ ED = sđ AP + sd FB Mặt khác AB, CD hai đường kính vng góc (O) nên sđ AD = sd DB ; OI = OK (bằng nửa bán kính (O)) nên CD trung trực đoạn IK => CD phân giác ECF => sd DE = sđ DF Suy : sđ AE = sd AD - sđ DE = sđ DB - sđ DF = sđ FB => sđ FB Từ (1) (2) => sđ DE = sđ EP => CE phân giác PCD, lại có CI PQ nên ∆ CPQ cân C IP = IQ Ta dễ dàng chứng minh ∆ AIP = ∆ OIQ (c.g.c) Suy => ∆ BAP có điều vơ lí Vậy khơng phải góc vng Ví dụ sau toán thách đấu số (TTT2 số 12) quen thuộc với bạn, tốn có nhiều cách chứng minh Nhân viết xin trình bày thêm cách chứng minh khác Ví dụ : Cho hình vng ABCD Điểm M thuộc miền hình vng, thỏa mãn điều kiện MAD = MDA = 15 o Chứng minh MBC tam giác Lời giải : Theo giả thiết ta suy : BAM = CDM = 75 o (1) ; AMD = 150 o (2) ; ∆ MAD cân M => MA = MD => ∆ BMA = ∆ CMD (c.g.c) => MB = MC (4) => ∆ MBC cân M =>MBC = MCN (5) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Giả sử ∆ MBC không đều, từ (4) suy : MB > BC MB < BC Nếu MB > BC => MB > AB => BMA < BAM => BMA < 75 o, từ (1), (2), (3) ta có : AMD + BMA + CMD < 300 o => BMC > 60o, từ (5) => MBC < BMC => MB < MC , mâu thuẫn với giả thiết ban đầu Tương tự trên, từ MB < BC ta lại chứng minh MB > BC, điều vơ lí Vậy BC = MB = MC hay ∆ MBC tam giác Bài tập vận dụng Bài : Cho tam giác ABC Chứng minh ma > a/2 A nhọn, a ma độ dài cạnh BC đường trung tuyến kẻ từ A) Bài : Cho đường tròn (O) I, K trung điểm dây cung AB, CD Biết AB > CD tia AB cắt tia CD P, chứng minh PI > PK HỌC CÁCH DỰNG HÌNH PHỤ QUA VIỆC CHỨNG MINH MỘT ĐỊNH LÍ Các bạn biết khơng ? Định lí “Trong tam giác, đường phân giác góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy” lớp có nhiều cách chứng minh Xin giới thiệu số cách chứng minh định lí trên, hi vọng qua bạn tơi, tích lũy nhiều kinh nghiệm dựng hình phụ để giải tốn hình học Khơng tính tổng qt, ta xét tam giác ABC có phân giác AD (D thuộc BC), ABC ≥ ACB Ta cần chứng minh AB/AC = DB/DC (*) Cách : Dựng BE (E thuộc AD) cho  ABE =  ACD (hình 1) Ta có ∆ABE đồng dạng với ACD (g-g) suy AB/AC = EB/DC (1) ;  AEB =  ADC =>  BED =  BDE => ∆BDE cân B => BD = BE (2) Từ (1) (2) suy (*) Cách : Dựng BE  AD, CF  AD (E, F thuộc AD, hình 2) Ta Creator © Foxit Software với có ∆ABE đồng dạng Generated by Foxit PDF ∆ACF (g-g) ; ∆BDE đồng dạng với ∆CDF (g-g) suy AB/AC = EB/FCevaluation only http://www.foxitsoftware.com For = DB/DC (đpcm) Cách : Dựng AH  BC, DM  AB, DN  AC (H, M, N thuộc BC, AB, AC, hình 3) Ta có ∆ADM = ∆ADN (cạch huyền-góc nhọn) suy DM = DN Do : S(ABD)/S(ACD) = DM.AB/(DN.AC) = AB/AC (1) Lại có S(ABD)/S(ACD) = AH.DB/(AH.DC) = DB/DC (2) Từ (1) (2) suy (*) Cách : Qua B vẽ đường thẳng song song với AD, cắt đường thẳng AC E (hình 4) Xét ∆CBE, AD // BE, ta có DB/DC = AE/AC (1) Cũng AD // BE mà AD lại phân giác  BAC, dễ dàng chứng minh  AEB =  ABE => ∆ABE cân A => AB = AE (2) Từ (1) (2) suy (*) Cách : Qua D dựng đường thẳng song song với AB, AC, cắt AC, AB E, F (hình 5) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Ta có ∆BFD đồng dạng với ∆DEC (g-g) suy DB/DC = BF/DE = DF/CE = (BF + DF)/(DE + CE) Mặt khác, dễ thấy AEDF hình thoi nên suy DB/DC = AB/AC (đpcm) * Với cách kẻ hình phụ sau, bạn thử tiếp tục chứng minh định lí cách khác : Cách (SGK Toán 8, tập 2, trang 66) : Qua B vẽ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng AD E (hình 6) Cách : Qua D dựng đường thẳng song song với AB, qua A dựng đường thẳng song song với BC, hai đường thẳng cắt E DE cắt AC F (hình 7) Cách : Trong ∆ABC, dựng hai đường cao CE BF, chúng cắt AD K, H Đường thẳng qua C song song với AD cắt BF I (hình 8) Cách : Dựng qua B đường thẳng vng góc với AB ; dựng qua C đường thẳng vng góc Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software với AC, hai đường thẳng cắt K http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.qua B AD cắt BK, CK E, F Dựng đường thẳng song song với AD, cắt CK G (hình 9) Cách 10 : Qua B, C dựng đường thẳng song song với AD, cắt đường thẳng qua D song song với AC F, E Đường thẳng qua F song song với AB cắt AD M HỌC TỐN CẦN PHẢI BIẾT THẮC MẮC Ln tự đặt câu hỏi tìm cách giải đáp trước vấn đề học toán phẩm chất đáng khích lệ Nó khơng giúp bạn hiểu kĩ vấn đề mà tạo cho bạn phong cách học tập chủ động thói quen suy nghĩ sâu sắc, đầy đủ Tôi thực kinh nghiệm học tốn từ cịn ngồi ghế nhà trường, hôm xin chia sẻ với bạn thơng qua ví dụ Khi học “Đường trung bình tam giác - áp dụng vào tam giác vng”, SGK Hình Học cũ (trang 51) có nêu hai định lí sau : Định lí : Trong tam giác vng, trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền Định lí : Trong tam giác trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh tam giác tam giác vng * Việc chứng minh hai định lí khơng khó (dựa vào tính chất đường trung bình tam giác) vấn đề nảy sinh định lí phát biểu cách khác : “Trong tam giác, trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vng nửa cạnh đối diện với đỉnh đó” Câu hỏi tơi đặt : Trong tam giác, trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc nhọn (hay đỉnh góc tù) so với cạnh đối diện với đỉnh ? Khơng khó khăn để có trả lời cho câu hỏi Trường hợp (trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc nhọn) : Cho tam giác ABC có  A = 90o M trung điểm BC Ta so sánh AM với BC/2; Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Khơng tính tổng qt, giả sử  B < 90o(hình 1) Gọi H hình chiếu vng góc C AB H phải thuộc đoạn thẳng AB (H khác A H khác B) Suy :  AHM =  AHC +  CHM >  AHC = 90o =>  H góc lớn tam giác AHM => AM > HM Mặt khác, theo định lí HM = BC/2 nên : AM > BC/2 Trường hợp (trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc tù) : Cho tam giác ABC có  A > 90o, M trung điểm BC Ta so sánh AM với BC/2 : Dựng hình bình hành ABDC (hình 2) Dễ thấy M trung điểm AD  ACD < 90o, theo định lí AD/2 < CM Suy AM = BC/2 Như ta có thêm hai định lí sau : Định lí 1.1 : Trong tam giác, trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc nhọn lớn nửa cạnh đối diện với đỉnh Định lí 1.2 : Trong tam giác, trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc tù nhỏ nửa cạnh đối diện với đỉnh Bằng phương pháp phản chứng ta dễ dàng chứng minh hai định lí khác : Định lí 2.1 : Trong tam giác trung tuyến ứng với cạnh lớn nửa cạnh góc đối diện với cạnh nhọn Định lí 2.2 : Trong tam giác trung tuyến ứng với cạnh nhỏ nửa cạnh góc đối diện với cạnh tù * Tôi vui sướng đem kết khoe với người anh họ Anh khen đặt thêm cho câu hỏi : Với tam giác vuông ABC vuông A, trung tuyến AM Đặt BC = a, AM = ma định lí viết dạng hệ thức : ma = a/2 (*), có hệ thức tổng qt tính Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software độ dài đường trung tuyến ABC tam giác khơng ? http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Phải đợi đến học định lí Py-ta-go lớp tơi trả lời câu hỏi này, định lí sau (trong SGK mới, định lí Py-ta-go giới thiệu từ lớp 7) Định lí : Một tam giác có độ dài ba cạnh a, b, c độ dài ba đường trung tuyến tương ứng ma, mb, mc : Chứng minh (**) : Dựng đường cao AH (hình 3), khơng tổng qt, giả sử H thuộc tia MB Theo định lí Py-ta-go ta có : AB2 = AH2 + HB2 = AH2 + |MB - MH|2 = AH2 + MH2 + MB2 - 2.MB.MH = AM2 + BC2/4 - 2,MB.MH ; AC2 = AH2 + HC2 = AH2 + (MC + MH)2 = AH2 + MH2 + MC2 + 2.MC.MH = AM2 + BC2/4 + 2.MB.MH * Tơi tiếp tục dự đốn chứng minh định lí bao trùm định lí ; 1.1 ; 1.2 Ta có : Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Việc dự đoán chứng minh dẫn tơi đến kết (1), (2), mở rộng định lí Py-ta-go Đảo lại định lí Py-ta-go kết (1), (2) Chứng minh (1) : Tam giác ABC có  A < 90o Khơng tính tổng qt, giả sử  B < 90o (hình 4) Gọi H hình chiếu vng góc C AB H phải thuộc đoạn thẳng AB (H khác A H khác B) Suy : BC2 = BH2 + CH2 = (BA - AH)2 + AC2 - AH2 = AB2 + AC2 - 2.AB.AH < AB2 + AC2 => a2 < b2 + c2 Chứng minh (2) : Tam giác ABC có  B < 90o (hình 5) Gọi H hình chiếu vng góc C AB A phải nằm B H Suy : BC2 = Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software BH2 + CH2 = (BA + AH)2 + AC2 - AH2 http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 2 2 = AB + AC + 2.AB.AH > AB + AC => a2 > b2 + c2 Liệu lại có cơng thức bao trùm định lí Py-ta-go mở rộng khơng, bạn thử tìm xem ? Và bạn quan tâm cịn nhiều câu hỏi, thắc mắc chờ giải đáp Các bạn thấy đấy, với cách học phát mối quan hệ khăng khít khái niệm, kiến thức Toán học ; chủ động phát chứng minh kiến thức mà không thiết phải chờ thầy dạy BÀN VỚI CÁC BẠN LỚP VỀ PHƯƠNG PHÁP Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Chứng minh số hệ thức : Bài toán : Cho tam giác ABC Từ điểm M cạnh BC vẽ đường thẳng song song với AB AC, cắt AC AB Q P Chứng minh : AP/AB + AQ/AC = Lời giải : Nối AM, AB // MQ nên ta có S(AMQ) = S(BMQ) suy S(AMQ) + S(CMQ) = S(BMQ) + S(CMQ) ị S(AMC) = S(BQC), mà S(AMC) = S(APC) (do AC // MP) nên S(BQC) = S(APC) Vậy Bài toán : Lấy tam giác ABC điểm M tùy ý AM, BM, CM cắt cạnh BC, CA, AB A1, B1, C1 Chứng minh : Lời giải : a) Ta có Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Tương tự ta có : Suy b) Ta lại có Tương tự ta có : Suy Bài toán : Cho tam giác ABC Gọi ha, hb, hc độ dài đường cao thuộc cạch BC, CA, AB ; d khoảng cách từ giao điểm đường phân giác đến ba cạnh Chứng minh : Hướng dẫn : Gọi I giao điểm ba đường phân giác tam giác ABC, dựng IE, IF, ID vng góc với AB, AC, BC Ta có ID = IE = IF = d, Suy Chứng minh đường thẳng song song : Bài toán : Cho tam giác ABC D E thuộc cạnh AB AC Chứng minh DE // BC AD/AB = AE/AC Lời giải : Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Ta có DE // BC S(BDE) = S(CDE) S(BDE) + S(ADE) = S(CDE) + S(ADE) S(ABE) = S(ACD) S(ABE)/S(ABC) = S(ACD)/S(ABC) AE/AC = AD/AB (đpcm) Lời bình : Đây định lí Ta-lét tam giác học lớp 8, ta chứng minh dễ dàng nhờ diện tích tam giác Bài toán : Cho tam giác ABC, đường thẳng song song với BC cắt cạnh AB, AC D E Qua D, E vẽ đường thẳng song song với AC , AB cắt BE, DC M, N Chứng minh : MN // BC Lời giải : Giả sử BE cắt CD O, EN // AB nên : S(BEN) = S(DEN) suy S(BON) = S(DOE) Tương tự, S(COM) = S(DOE) suy S(BON) = S(DOE) => S(BMN) = S(CMN) => MN // BC Các ví dụ phần minh chứng cho sức mạnh “cơng cụ” diện tích tam giác việc giải số dạng toán Một loạt kiến thức học, chứng minh lớp dễ dàng chứng minh cách vận dụng khéo léo kiến thức đơn giản diện tích tam giác Mong bạn tiếp tục khám phá ứng dụng khác phương pháp ... thức học Các nhà toán học nghiên cứu sâu sắc tốn Nhà tốn học ý : Máckêrơni (1750 - 180 0) nhà toán học Đan Mạch : MoRơ (1640 - 1697) chun nghiên cứu tốn dựng hình compa Đến 189 0 nhà toán học áo... ≥ 2/(1 + ab) Chứng minh với số nguyên lẻ n (n86 - n4 + n2) chia hết cho 1152 TỪ MỘT BÀI TOÁN THI HỌC SINH GIỎI Trong đề thi học sinh giỏi lớp năm học 2000 - 2001 có tốn sau : Bài tốn : Cho a,... giải : Theo cách đặt nêu trên, dễ dàng đưa toán toán Kết M = - M = Bài toán : Giải hệ : Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software (Thi học sinh giỏi TP Hồ Chí Minh, 1 986 -1 987 ) http://www.foxitsoftware.com