Phân loại và phương pháp giải bài toán cực trị trong chương trình Vật lí THPT

63 928 0
Phân loại và phương pháp giải bài toán cực trị trong chương trình Vật lí THPT

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

1 MỞ ĐẦU 1. Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài Vật lí học là một trong những môn khoa học tự nhiên nghiên cứu những quy luật đơn giản nhất và tổng quát nhất của các hiện tượng tự nhiên, nghiên cứu tính chất và cấu trúc của vật chất và những định luật vận động của vật chất. Các kiến thức Vật lí được áp dụng nhiều trong khoa học công nghệ và đời sống. Trong đó vật lí đại cương là kiến thức cơ bản và phổ thông nhất. Nó bao gồm nhiều phần khác nhau: Cơ, nhiệt, điện, quang, vật lí hạt nhân,… Bài tập vật lí được hiểu là một vấn đề đặt ra đòi hỏi phải giải quyết nhờ những suy lí lôgic, những phép toán và thí nghiệm dựa trên cơ sở các định luật và các phương pháp Vật lí. Trong chương trình Vật lí trung học phổ thông (THPT), bài tập vật lí có tầm quan trọng đặc biệt. Chúng được sử dụng theo những mục đích khác nhau như: là phương tiện nghiên cứu tài liệu mới; phương tiện rèn luyện cho học sinh (HS) khả năng vận dụng kiến thức, liên hệ lí thuyết với thực tế, học tập với đời sống; phương tiện ôn tập, củng cố kiến thức đã học một cách sinh động và có hiệu quả;… Quá trình giải một bài toán vật lí thực chất là quá trình tìm hiểu điều kiện của bài toán, xem xét hiện tượng vật lí được đề cập và dựa trên kiến thức vật lí, toán để nghĩ tới những mối liên hệ có thể có của cái đã cho và cái phải tìm, sao cho có thể thấy được cái phải tìm có liên hệ trực tiếp hoặc gián tiếp với cái đã cho. Từ đó đi tới việc chỉ rõ mối liên hệ tường minh trực tiếp của cái phải tìm với cái đã biết. Bài tập trong chương trình Vật lí THPT rất đa dạng và phong phú trong đó các dạng bài tập về cực trị cũng khá phổ biến. Các dạng bài tập này thường tập trung nhiều vào phần Cơ học và Điện học. Mỗi dạng bài toán đều có cách giải nhất định. Song, để chọn cách giải phù hợp là điều còn khó khăn đối với nhiều học sinh và một số giáo viên trẻ. Trên thực tế cũng chưa có nhiều tài liệu viết về vấn đề này có tính hệ thống và đầy đủ. 2 Qua quá trình tìm hiểu, chúng tôi chỉ thấy một số tài liệu có đề cập tới bài toán cực trị trong Vật lí. Tác giả Phùng Thị Tuyết, [10] với khóa luận về “Bài toán cực trị trong dòng điện xoay chiều”. Hay công trình: “Ứng dụng của đạo hàm, tích phân các bài toán vật lí” của tác giả Nguyễn Thị Kim Thoa,[11] thì chỉ tập trung vào phương pháp tích phân đạo hàm để giải các bài toán định lượng. Ngoài ra trong “Một số cách giải bài toán cực trị trong vật lí sơ cấp” của Nguyễn Thọ Hoài, [6] cũng chỉ mới đưa ra được những ví dụ cơ bản áp dụng một số công cụ để giải bài tập. Trong các công trình nêu trên các tác giả cũng chỉ tập trung nhiều về các bài cực trị trong dòng điện xoay chiều mà chưa đề cập nhiều tới các bài toán cực trị trong những lĩnh vực vật lí khác. 2. Tính cấp thiết của đề tài Vật lý là môn khoa học thực nghiệm, các định luật, công thức vật lý được xây dựng trên biểu thức toán học phù hợp với kết quả thực nghiệm. Để xác định các đại lượng vật lý, giải thích sự thay đổi các đại lượng vật lý, giải thích các hiện tượng vật lý nhất thiết phải dùng các công thức toán học như các hàm số sơ cấp hàm siêu việt, phép tính đạo hàm tích phân,… Tuy nhiên, việc sử dụng toán học có ý nghĩa và hiệu quả vào giải bài toán vật lí nhất là các bài toán cực trị vẫn là vấn đề khó đối với nhiều học sinh phổ thông và giáo viên mới ra trường. Hiện nay, để bồi dưỡng được khả năng vận dụng toán học vào giải bài toán Vật lí thì giáo viên và HS có thể tham khảo những tài liệu về các dạng bài tập vật lí theo từng cấp học do nhiều nhà xuất bản đã ấn hành. Các tài liệu này rất phong phú và đa dạng có thể thấy cùng một vấn đề có nhiều tác giả viết nhưng tài liệu chuyên viết về vấn đề cực trị trong Vật lí THPT một cách hệ thống còn khá khiêm tốn. Thêm vào đó, trong các bài thi kiểm tra đánh giá học sinh hiện nay, những bài tập mang tính phân loại học sinh cũng có khá nhiều bài tập liên quan tới cực trị. Nhưng trên thực tế là không phải học sinh nào cũng có thể giải các bài tập loại này một cách thành thạo. Nhất là với hình thức thi trắc nghiệm học sinh 3 không có nhiều thời gian để giải, do vậy việc cung cấp cho học sinh một hệ thống các bài toán cực trị cũng cách thức giải chung những dạng bài này kèm theo đó là những ví dụ minh họa là điều cần thiết giúp cho HS có thể rèn luyện thêm về kĩ năng giải toán Vật lí. Xuất phát từ thực tiễn nêu trên, và với mong muốn cung cấp cho HS cũng như sinh viên sư phạm cách nhận diện và đưa ra cách giải bài toán cực trị trong Vật lí một cách nhanh chóng và hiệu quả chúng tôi lựa chọn đề tài “Phân loại và phương pháp giải bài toán cực trị trong chương trình Vật lí THPT". 3. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài 3.1. Mục tiêu của đề tài Phân loại và đưa ra phương pháp giải các bài toán cực trị trong chương trình Vật lí THPT. 3.2. Nhiệm vụ của đề tài - Tìm hiểu các kiến thức toán học bổ trợ cho việc giải các bài toán cực trị; - Hệ thống hóa các kiến thức vật lí có liên quan tới bài toán cực trị; - Phân loại các dạng bài toán cực trị theo các lĩnh vực Vật lí; - Đưa ra phương pháp giải chung cho các dạng bài cực trị; - Giải một số ví dụ mẫu và cung cấp một số bài tập tương tự trong từng dạng. 4. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 4.1. Đối tượng nghiên cứu: Các dạng bài tập Vật lí THPT và phương pháp giải tương ứng. 4.2. Phạm vi nghiên cứu: Các bài tập cực trị trong Vật lí THPT. 5. Nội dung nghiên cứu - Nội dung 1: Tìm hiểu những kiến thức toán học về cực trị và kiến thức Vật lí THPT có liên quan tới bài toán cực trị. 4 - Nội dung 2: Phân loại các dạng bài tập cực trị theo các lĩnh vực Vật lí rồi đưa ra phương pháp giải chung. - Nội dung 3: Giải cụ thể một số ví dụ mẫu theo từng dạng. Dựa trên những nội dung nghiên cứu, đề tài dự kiến có cấu trúc như sau: CHƯƠNG 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC VÀ VẬT LÍ HỌC CỦA BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG CHƯƠNG TRÌNH VẬT LÍ THPT 1.1. Bài toán cực trị 1.2. Một số kiến thức về tìm cực trị trong toán học 1.3. Một số kiến thức Vật lí THPT có liên quan khi giải bài tập cực trị CHƯƠNG 2. PHÂN LOẠI DẠNG BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG CHƯƠNG TRÌNH VẬT LÍ THPT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TƯƠNG ỨNG 2.1. Dạng bài toán cực trị trong Cơ học 2.2. Dạng bài toán cực trị trong điện học 2.3. Dạng bài tập cực trị trong quang hình học KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO 6. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nhóm nghiên cứu sưu tầm những tài liệu liên quan đến đề tài: đọc, phân tích, tổng hợp, hệ thống những kiến thức của tài liệu thành kiến thức toán học về cực trị và kiến thức Vật lí THPT có liên quan tới bài toán cực trị sử dụng trong đề tài. - Phương pháp chuyên gia: Nhóm nghiên cứu tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn, các thầy cô bộ môn Lí và giáo viên THPT về tính phù hợp của việc đưa ra các dạng toán và phương pháp giải. 5 CHƯƠNG 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC VÀ VẬT LÍ HỌC CỦA BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG CHƯƠNG TRÌNH VẬT LÍ THPT 1.1. Bài toán cực trị Trong toán học, bài toán cực trị là một dạng toán thường gặp. Ở đó đề bài thường yêu cầu xác định cực đại hoặc cực tiểu của một biểu thức hay một hàm số nào đó cho trước. Trong Vật lí học, bài toán cực trị cũng được sử dụng khá phổ biến như: tìm cực đại trong chuyển động ném xiên hay tìm hiệu điện thế cực đại trong bài toán dòng điện xoay chiều, … Để giải các bài toán cực trị trong vật lí học nói chung người ta thường sử dụng các kiến thức có sẵn có trong toán học như: bất đẳng thức Côsi, bất đẳng thức Bunhiacopxki, các định lí về hàm số lượng giác trong tam giác,… 1.2. Một số kiến thức về tìm cực trị trong toán học 1.2.1. Tìm cực trị dựa vào tính chất của phân thức đại số Xét một phân số P có dạng: , với A là hằng số dương, (phụ thuộc vào một biến số nào đó). Khi đó: - Phân số P đạt giá trị lớn nhất khi mẫu số B là nhỏ nhất. - Phân số P đạt giá trị nhỏ nhất khi mẫu số B là lớn nhất. Tính chất của phân thức đại số có nhiều ứng dụng trong giải bài toán công suất trong dòng điện xoay chiều. 1.2.2. Tìm cực trị dựa vào bất đẳng thức Côsi Bất đẳng thức cho ta biết: trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau. + Áp dụng cho 2 số dương a, b ta có: 6 Dấu “=” xảy ra khi a = b + Áp dụng cho n số hạng : ; Dấu “=” xảy ra khi : Bất đẳng thức Côsi có nhiều vận dụng trong việc giải các bài toán vật lí, nhất là các bài toán về cơ học và điện xoay chiều. 1.2.3. Tìm cực trị dựa vào bất đẳng thức Bunhiacopxki Cho 2 cặp số ( a 1 , b 1 ) và (a 2 , b 2 ), giữa hai cặp số có mối liên hệ như sau : Dấu “=” xảy ra khi : Mở rộng: cho n cặp số ( a 1 , b 1 ), ( a 2 , b 2 ),…, ( a n , b n ) ta có : Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: 1.1.4. Tìm cực trị bằng công thức tam thức bậc hai Giả sử có tam thức bậc hai sau : ( a ) Tam thức bậc hai có đồ thị là một parabol với đặc điểm : + Nếu a > 0 thì tại , bề lõm quay lên trên. + Nếu a < 0 thì tại , bề lõm quay xuống dưới. + Tọa độ đỉnh A( , ). Các công thức về tam thức bậc hai thường được áp dụng trong giải các bài tập về chuyển động cơ học và bài tập điện xoay chiều. 1.2.5. Tìm cực trị của các hàm số lượng giác a) Định lí hàm số sin và cos trong tam giác 7 Cho tam giác ABC với các góc ở đỉnh là , , và các cạnh ứng với các góc là a, b, c . Ta có : - Định lí hàm số sin trong tam giác : . Suy ra: a b .sin B sin A = : nếu a, sinA là những hằng số thì b đạt giá trị cực đại khi sinB =1 hay o ˆ B 90 = . - Định lí hàm số cos trong tam giác : . b) Cực trị của hàm số lượng giác : Hàm số: y = sinx thì khi x = + k với k Z khi x = k . Hàm số: y = cosx thì khi x = k khi x = + k . 1.2.6. Tìm cực trị bằng phương pháp đạo hàm Xét hàm số y = f(x), hàm số y = f(x) có cực trị khi f’(x) = 0 : + Hàm số có cực đại tại x = x 0 khi và chỉ khi : f"(x 0 ) < 0 ; + Hàm số có cực tiểu tại x = x 0 khi và chỉ khi : f"(x 0 ) > 0 . 1.3. Một số kiến thức Vật lí THPT có liên quan khi giải bài tập cực trị Trong chương trình Vật lí THPT các bài tập cực trị thường tập trung ở phần Cơ học, Dao động cơ học, Quang hình học, Điện và từ (nhất là phần Điện xoay chiều). 1.3.1. Kiến thức phần Cơ học Trong phần Cơ học, khi giải các bài toán cực trị thường phải sử dụng các kiến thức về các định luật Niu - tơn, định luật bảo toàn cơ năng, định luật bảo toàn động lượng, định lí động năng, … a. Ba định luật Niu - tơn 8 - Định luật 1 Niu - tơn: Một vật sẽ đứng yên hay chuyển động thẳng đều nếu không chịu một lực nào tác dụng hoặc nếu các lực tác dụng vào nó cân bằng nhau. - Định luật 2 Niu - tơn: + Nội dung: Gia tốc của một vật tỉ lệ thuận với lực tác dụng vào vật và tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật. + Biểu thức: (1.1) - Định luật 3 Niu - tơn: + Nội dung: Hai vật tương tác nhau với những lực bằng nhau về độ lớn, cùng giá nhưng ngược chiều. + Biểu thức: (1.2) b. Định luật bảo toàn cơ năng + Nội dung: Cơ năng của một vật chỉ chịu tác dụng của những lực thế luôn được bảo toàn. + Biểu thức : (1.3) Trong đó W A , W B là cơ năng của vật ở vị trí A, B bất kì. - Trường hợp vật chỉ chịu tác dụng của trọng lực, định luật bảo toàn cơ năng được viết dưới dạng : (1.4) Trong đó m là khối lượng của vật, v 1 và v 2 là vận tốc của vật tại A và B, z 1 và z 2 là độ cao của vật so với mốc thế năng. + Trường hợp vật chỉ chịu tác dụng của lực đàn hồi: (1.5) Trong đó m là khối lượng của vật, v 1 và v 2 là vận tốc của vật tại A và B, k là độ cứng của lò xo, x 1 và x 2 là li độ của vật tại vị trí A và B. c. Định lí động năng + Nội dung định lí: Độ biến thiên động năng của một vật bằng công của ngoại lực tác dụng lên vật 9 + Biểu thức: W đ = - = A (1.6) Trong đó A là công của ngoại lực tác dụng lên vật. d. Định luật bảo toàn động lượng + Nội dung định luật: Vectơ tổng động lượng của hệ kín được bảo toàn. + Biểu thức : (1.7) Trong đó là tổng động lượng của hệ. 1.3.2. Kiến thức phần Điện học a. Định luật bảo toàn điện tích + Nội dung: Ở một hệ vật cô lập về điện (nghĩa là hệ không trao đổi điện tích với các hệ khác) thì tổng đại số các điện tích trong hệ là một hằng số. b. Định luật Cu-lông + Nội dung : Độ lớn của lực tương tác giữa hai điện tích điểm tỉ lệ thuận với tích các độ lớn của hai điện tích đó và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng. Phương của lực tương tác giữa hai điện tích điểm là đường thẳng nối hai điện tích điểm đó. Hai điện tích cùng dấu thì đẩy nhau, hai điện tích trái dấu thì hút nhau. + Biểu thức: F = (1.8) Trong đó ), r là khoảng cách giữa hai điện tích điểm, ε là hằng số điện môi; |q 1 |, |q 2 | là độ lớn hai điện tích điểm (C) c. Tương tác của nhiều điện tích Nếu điện tích q cùng lúc tương tác với các điện tích điểm q 1, q 2, q 3, thì lực tổng hợp tác dụng lên là: = 1 + 2 + 3 +……+ …. (1.9) Trong đó 1 , 2 , 3 , là lực tương tác của của các điện tích điểm q 1, q 2, q 3 , lên điện tích q được xác định theo công thức định luật Cu-lông. d. Điện trường 10 + Khái niệm: Điện trường là một dạng vật chất bao quanh điện tích trong không gian. - Vectơ cường độ điện trường tại một điểm là một đại lượng vectơ có trị số bằng lực tác dụng của điện trường lên một đơn vị điện tích đặt tại điểm đó. + Biểu thức : (1.10) - Nếu hạt mang điện được đặt trong điện trường có cường độ điện trường E  thì hạt mang điện chịu tác dụng của lực : = q (1.11) • Nếu q > 0 thì cùng chiều với . • Nếu q < 0 thì ngược chiều với . e. Dòng điện xoay chiều Điện áp biến đổi điều hòa theo thời gian là điện áp xoay chiều : (1.12) Khi đặt điện áp xoay chiều vào hai đầu vào hai đầu của một đoạn mạch điện, trong mạch có một dao động điện từ cưỡng bức. Đó là dòng điện xoay chiều biến đổi cùng tần số nhưng nói chung lệch pha so với Cường độ dòng điện : (1.13) Với là độ lệch pha của so với . + Các giá trị hiệu dụng của dòng xoay chiều được xác định: (1.14) + Các công thức dùng cho một đoạn mạch xoay chiều : - Công suất tỏa nhiệt : = (1.15) - Định luật Ôm : + Các công thức dùng cho một đoạn mạch nối tiếp để xác định • Tổng trở : [...]... BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG CHƯƠNG TRÌNH VẬT LÍ THPT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TƯƠNG ỨNG 2.1 Dạng bài toán cực trị trong Cơ học 2.1.1 Tìm độ cao cực đại, cực tiểu của vật bị ném xiên a Bài toán tổng quát Ném một vật từ mặt đất với vận tốc ban đầu v0 theo phương ngang 1 góc a) Viết phương trình chuyển động của vật b) Tìm quỹ đạo của vật c) Tính thời gian kể từ lúc vật ném đến khi chạm đất d) Xác định tầm xa của vật. .. giá trị cực tiểu? Đáp số: a) h = R (1 + cos b) + ) = 45 2.1.4 Tìm cực trị trong bài toán va chạm của các vật Phương pháp giải • Sử dụng hai định luật bảo toàn: bảo toàn cơ năng (đối với va chạm đàn hồi), bảo toàn động lượng • Sử dụng điều kiện đầu bài kết hợp với các kiến thức toán học: bất đẳng thức cosi, đạo hàm, giá trị cực trị của hàm lượng giác …tìm được giá trị cực trị mà bài yêu cầu a Bài tập... của vật là bao nhiêu Đáp số: T = 1,2 s 2.2 Dạng bài toán cực trị trong điện học 2.2.1 Các bài toán cực trị trong điện xoay chiều a Xác định công suất tiêu thụ cực đại trong mạch RLC không phân nhánh Các bước như sau: Bước 1: • Biểu diễn công suất thành một phân số với tử số là một hằng số, mẫu số là một hàm của giá trị thay đổi ( nếu tử số chứa yếu tố thay đổi thì ta chia cả tử và mẫu cho giá trị đó... hợp với phương thẳng đứng một góc αo Tìm vận tốc cực đại và lực căng cực đại của sợi dây trong quá trình chon lắc chuyển động Biết con lắc có khối lượng m, dây treo có chiều dài l, bỏ qua khối lượng của sợi dây Phương pháp giải - Tìm vận tốc của con lắc: + Ta thấy khó giải bài toán bằng định luật II Newton vì hợp lực của trọng lực αo và lực căng dây tác dụng lên vật luôn biến đổi trong quá trình vật T... Khi α = 600 ⇒ vmin = 0 - Tmin = m.g.cosα0 = 0,245 N Nhận xét : Trong bài toán vật lí này kiến thức toán học chỉ là sử dụng giá trị cực trị của hàm lượng giác, kiến thức vật lí chủ yếu là đi từ định luật bảo toàn sử dụng đinh luật II Newton có thể tìm được biểu thức của lực căng T d Bài tập tương tự Bài tập1: (Sách rèn luyện kĩ năng giải toán Vật li 12) Một con lắc đơn gồm một dây mảnh gắn với của cầu... tầm xa của vật e) Tính độ cao cực đại mà vật có thể đạt được Phương pháp giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxy, Ox nằm ngang, Oy hướng lên trên gốc O tại vị trí ném vật gốc thời gian t = 0 tại thời điểm ném vật Với x0 = y0 = 0 Có a) Phương trình chuyển động của vật (1) (2) b) Phương trình quỹ đạo (chính là dạng quỹ đạo ) 14 Từ (1) ⇒ thay vào (2) ⇒ ⇒ c) Tính thời gian kể từ lúc vật ném đến lúc chạm đất gọi... đạt cực đại khi vật qua VTCB (x = 0): v max = ωA (1.35) + Vận tốc nhỏ nhất khi vật ở 2 VT biên ( x = ± A ): v min = 0 (1.36) - Phương trình vận tốc: a = v' = x" = −ω2Asin(ωt + φ) = −ω2 x (1.37) + Gia tốc cực đại khi vật ở VT biên: a max = ω2 A (1.38) + Gia tốc cực tiểu khi vật ở VTCB (x = 0): a min = 0 (1.39) Công thức liên hệ giữa v, A, ω, x: v 2 = ω2 (A 2 − x 2 ) (1.40) 13 CHƯƠNG 2 PHÂN LOẠI DẠNG BÀI... tròn vào để giải bài tập dạng này cần : xác định quanh vị trí cân bằng Smax , vtb max quanh vị trí biên Smin , vtb min để có thể chọn được yếu tố Smin hay Smax b Bài tập tương tự Bài tập 1 Một vật nhỏ dao động điều hòa theo phương trình x= so sánh trong những khoảng thời gian cm, s như nhau, quãng đường dài nhất và ngắn nhất mà vật có thể đi được là bao nhiêu ? Đáp số: Smax= 82 cm , Smin = 77 cm Bài. .. của bài toán cho, tức Mặt khác khi xuất phát từ VTCB, sau khoảng thời gian độ x = ⇒ tức là đã đi được quãng đường dài S = Smax = 2S = =6 cm 31 , vật sẽ đạt tọa Chú ý 1 : Bài toán trên được trình bày theo cách diễn giải, khi đã hiểu có thể giải nhanh theo công thức đã nêu ở trên, giải như sau : = +) = +) Smax = 2Asin = = = 2Asin = 2Asin = 2A =A =6 Ví dụ 2 Một vật nhỏ dao động điều hòa theo phương trình. .. đường đi được lớn nhất và nhỏ nhất của vật dao động điều hòa 29 Dạng bài toán 1: Tính quãng đường lớn nhất , nhỏ nhất mà vật đi được khoảng thời gian o < t < Ta có vận tốc lớn nhất khi qua vị trí cân bằng , nhỏ nhất khi qua vị trí biên nên trong cùng một khoảng thời gian , quãng đường đi được càng dài khi vật ở càng gần vị trí cân bằng và càng ngắn khi càng gần vị trí biên Phương pháp giải Theo thời gian . áp dụng nhiều trong khoa học công nghệ và đời sống. Trong đó vật lí đại cương là kiến thức cơ bản và phổ thông nhất. Nó bao gồm nhiều phần khác nhau: Cơ, nhiệt, điện, quang, vật lí hạt nhân,…. cực trị trong vật lí sơ cấp” của Nguyễn Thọ Hoài, [6] cũng chỉ mới đưa ra được những ví dụ cơ bản áp dụng một số công cụ để giải bài tập. Trong các công trình nêu trên các tác giả cũng chỉ. có thể tham khảo những tài liệu về các dạng bài tập vật lí theo từng cấp học do nhiều nhà xuất bản đã ấn hành. Các tài liệu này rất phong phú và đa dạng có thể thấy cùng một vấn đề có nhiều

Ngày đăng: 20/06/2015, 16:51

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan