CHỦ ĐỀ III    PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC I / MỤC TIÊU CHỦ ĐỀ:  Kiến thức: - Ôn lại cho HS công thức diện tích học, vận dụng vào tính toán  Rèn kỹ năng: - Có kó vận dụng công thức diện tích để giải toán chứng minh hình học Chứng minh đẳng thức , bất đẳng thức quan hệ độ dài , Tập dượt cách vẽ hình phụ để xuất yếu tố diện tích  Giáo dục: Giáo dục HS ý thức việc học lý thiết để vận dụng vào tập Đồng thời giáo dục tính xác, cẩn thận II/ TÀI LIỆU THAM KHẢO: - SGK Toaùn - SGV Toaùn - Saùch tập - Chủ đề tự chọn Toán học lớp - Bài tập nâng cao số chủ đề Toán III / THỜI LƯNG: TIẾT 1+2 3+4 5+6 7+8 TÊN BÀI Một số tính chất diện tích Một số công thức tính diện tích Một số công thức tính diện tích (tt) Một số tính chất suy từ diện tích    Ngày dạy: TIẾT:59 + 60 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA DIỆN TÍCH I / KIẾN THỨC CƠ BẢN: - Mỗi đa giác có diện tích xác định luôn dương - Hai đa giác diện tích - Nếu đa giác phân thành số hữu hạn đa giác thành phần rời diện tích đa giác ban đầu tổng diện tích đa giác thành phần II / BÀI TẬP MẪU: µ A Cho hình bình hành ABCD, phân giác µ B cắt đường chéo BD tai E F Chứng minh hai đa giác ABCFE ADCFE có diện tích Hình bình hành ABCD có: AE, CF hai phân giác AE ∩ BD = { E} CF ∩ BD = { F} SABCFE = SADCFE Chứng minh: SABCFE = ? (= SABE + SBCF) Ta coù : SABCFE = SABE + SBCF SACDFE = ? (= SCDF + SDAE) (1) SACDFE = SCDF + SDAE ABE ? CDF (bằng nhau) Hãy chứng minh điều ? (HS tự chứng minh) Xét ABE CDF : Tương tự chứng minh BFC = DEA ? Kết hợp (1), (2) (3) suy điều ? Chứng minh tương tửù: AB = DC (caùnh cuỷa hbh) ả B1 = D1 (so le trong) ABE = CDF 1µ 1µ · · EAB = FCD (= A = C ) (g.c.g) (2) 2 BFC = DEA (g.c.g) Từ (1), (2) (3) suy ra: SABCFE = SADCFE (đpcm) III / BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Một đám đất có diện tích 2,7.10 m Tính diện tích chọn đơn vị đo là: a/ km b/ hecta Giải Ta có: 1 km = ? m 1 km = ? m 1 = ?m  10 = ? (= 1000000) km = 1000m ⇒ km2 = 1000000 m2 = 106 m2 = 10000 m 2 a/ Vaäy: 2,7.10 m = 2,7 km 2 b/ 2,7.10 m = 2,7 1000000 m = 270 Bài 2: Cắt từ bìa hai tam giác vuông Hãy ghép hai tam giác để tạo thành : a/ Một tam giác cân b/ Một hìønh chữ nhật c/ Một hình bình hành khác với hình chữ nhật (3) Vì diện tích hình ? Các hình chúng có diện tích hai tam giác vuông Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD, đường chéo AC, BD cắt O Chứng minh bốn tam giác : OAB, OBC, OCD, ODA có diện tích GT Hình chữ nhật ABCD có: AC ∩ BD = { O} KL SOAB = SOBC = SOCD = SODA Trong hình chữ nhật ABCD, đường MN, HK gọi ? (trục đối xứng) Có nhận xét tam giác NOC, NDO, HDO, HAO, MAO, MBO, Chứng minh: KBO, KCO ? (bằng nhau) Theo trường hợp ? (c.g.c) Qua O kẻ đường vuông góc với AB,DC, AD, BC cắt cạnh M, N, H, K Ta có: MN, HK hai trục đối xứng hình chữ nhật Nên tam giác: NOC = NDO = HDO = HAO = MAO = = MBO = KBO = KCO ( c.g.c) Vaäy: SOAB = SOBC = SOCD =SODA (= 2SNOC) Bài 4: a Tính cạnh hình chữ nhật, biết tỉ số cạnh b = diện tích 144 cm Giải  Gọi a, b kích thước hình chữ nhật diện tích hình chữ nhật tính ? (S = a.b) a Theo đề ta có = ? ( ) b Suy a = ? ( ×b ) S = a.b = ? (= 144) Thay (1) vào (2) để tìm b ? Hãy tìm a ? Ta có: Diện tích hình chữ nhật là: S = a.b Gọi a, b kích thước hình chữ nhật a, b > a 4 ⇒ a = ×b (1) Theo đề ta có: = b 9 Vàø S = a.b = 144 (2) Thay (1) vaøo (2) ta được: ×b ×b = 144 b = 144 ⇒ b2 = 144 : Do đó: b = 18 (cm) 144 = (cm) a = 18 Vậy kích thước hình chữ nhật là: 8cm 18cm IV / CỦNG CỐ: - Nhắc lại kiến thức phần I V / HƯỚNG DẪN HS TỰ HỌC Ở NHÀ: - Xem làm lại BT giải - Ôn lại công thức tính diện tích tam giác , hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi * RÚT KINH NGHIỆM: - -Ngày dạy: TIẾ : 61 + 62 MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH CƠ BẢN I / KIẾN THỨC CƠ BẢN: / Diện tích hình thang: S= ( a + b) h 2/ Diện tích hình bình hành: S = a.h 3/ Diện tích hình chữ nhật: S = a.b 4/ Diện tích hình vuông: S=a 5/ Diện tích hình tam giác: S = ah 6/ Diện tích hình tứ giác có hai đường chéo vuông góc: S= ×d1 d 2 / Diện tích hình thoi: S= ×d1 d 2 II / BÀI TẬP MẪU: * Bài 1: Chứng minh trung tuyến tam giác chia tam giác thành hai hình có diện tích ABC có: GT AM: trung tuyến KL SABM = SMAC - GV: Gợi ý HS phân tích sơ đồ chứng Chứng minh: Kẻ AH ⊥ BC minh Ta có: SABM = Hãy vẽ hình ghi GT – KL ? AH ×BM SAMC = AH ×MC SABM = SMAC ⇓ SABM = AH ×BM BM = MC SAMC = AH ×MC (1) (2) Mà: BM = MC (vì AM trung tuyến) (3) Từ (1), (2) (3) suy ra: SABM = SMAC (AM : trung tuyeán) * Bài 2: Cho tam giác ABC (không có góc tù) với ba đường cao AA’, BB’, CC’ Gọi H HA ' HB ' HC ' + + =1 trực tâm tam giác ABC Chứng minh rằng: AA ' BB ' CC ' ABC có: GT KL H: trực taâm ; AA’ ⊥ BC ; BB’ ⊥ AC CC’ ⊥ AB HA ' HB ' HC ' + + =1 AA ' BB ' CC ' Chứng minh: - GV: Gọi diện tích tam giác ABC Gọi diện tích ABC S S Có nhận xét cạnh hai tam giác HBC ABC ? (Chung cạnh đáy BC) Tỉ số hai đường cao với tỉ số hai diện tích ? (bằng nhau) Vậy ta có tỉ lệ thức ?  S HBC HA '   S = AA ' ÷   Các tam giác HBC ABC có chung đáy BC - GV: Tương tự đới với tỉ số đường cao diện tích hai tam giác Nên tỉ số hai đường cao tỉ số hai diện tích : HA '×BC S HBC HA ' = = S AA ' AA '×BC HB ' sHAC HC ' S HAB = ; = Tương tự ta có: BB ' S CC ' S Do đó: HA ' HB ' HC ' S HBC + S HAC + S HAB S + + = = =1 AA ' BB ' CC ' S S HAC HAB III / BÀI TẬP ÁP DỤNG: * Bài 1: Hai đường chéo hình thang vuông góc với có độ dài 5,6dm 6dm Tính diện tích hình thang GT ABCD hình thang có: AC ⊥ BD AC = 3,6dm ; BD = 6dm KL SABCD = ? Giải: Xét hình thang ABCD (AB // CD) có: AC ⊥ BD ; AC = 3,6dm ; BD = 6dm Ta coù: SABCD = SABC + SADC 1 ×AC.BH + ×AC ×DH 2 1 ×3, = ×AC ( BH + DH ) = AC ×BD = = 10,8 ( dm ) 2 = Baøi 2: Cho tam giác ABC vuông góc A, đường cao AH Chứng minh rằng: AH.BC = AB.AC GT ABC có: µ = 900 A AH ⊥ BC KL AH.BC = AB.AC Chứng minh: Ta có: SABC = SABC = ⇒ AH ×BC AB ×AC 1 AH ×BC = AB ×AC 2 Hay: AH.BC = AB.AC Bài 3: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD AB DB = Chứng minh rằng: AC BC Hai đường chéo hình thang vuông góc với có độ dài 5,6dm 6dm Tính diện tích hình thang ABC có: GT AD: phân giác AB DB = AC BC KL Chứng minh: Kẻ DK ⊥ AB ; DH ⊥ AC Ta coù: SABD = DK ×AB SADC = DH ×AC Suy ra: DK ×AB S ABD BD = = S ADC DC DH ×AC BD AB ⇒ = DC AC Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có diện tích 30 cm M điểm nằm hình bình hành.Tính tổng diện tích tam giác MABvà MCD ABCD hình bình hành có: GT SABCD = 30 cm M naèm KL SAMB + SDMC = ? Chứng minh: Kẻ MH ⊥ AB; MK ⊥ DC Ta có: SAMB = MH ×AB SMDC = MK ×DC 2 Cho hình bình hành ABCD có diện tích 30 cm M điểm nằm hình bình hành.Tính tổng diện tích tam giác MABvà MCD Mà AB = DC (Vì ABCD hình bình hành) ⇒ SAMB + SMDC = MH ×AB + MK ×DC = AB ( MH + MK ) = AB ×HK = ×30 = 15 ( cm ) Bài 5: Cho tứ giác ABCD có diện tích S Điểm M trung diểm AC Chứng minh : SABMD = S Tứ giác ABCD có: GT Diện tích S AM = MC SABMD = S KL Chứng minh: Vì AM = MC ⇒ BM trung tuyến ABC Nên: SABM = SABC Tương tự DM trung tuyến ADC Nên: SADM = SADC ⇒ SABM + SADM = ( S ABC + S ADC ) Hay: SABMD = S IV / CỦNG CỐ: - Nhắc lại công thức phần I V / HƯỚNG DẪN HS TỰ HỌC Ở NHÀ: - Xem làm lại BT giải - Ôn lại công thức tính diện tích tam giác - Tiết sau tìm hiểu tiếp nội dung “một số công thức khác để tính diện tích tam giác” * RÚT KINH NGHIỆM: Ngày dạy: TIẾT : MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH CƠ BẢN (TT) I / KIẾN THỨC CƠ BẢN:  CÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH KHÁC VỀ TAM GIÁC  Công thức 1: S = p.r Trong đó: + r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác  Công thức 2: + p chu vi S= p ( p − a) ( p − b) ( p − c) Trong đó: a, b, c độ dài ba cạnh tam giác II / BÀI TẬP MẪU: Cho tam giác ABC Từ điểm O tam giác ta vẽ OH ⊥ AB ; OI ⊥ BC ; OK ⊥ CA Chứng minh rằng: Khi O di động tam giác tổng OH + OI + OK không đổi ABC có : GT AB = BC = CA OH ⊥ AB; OI ⊥ BC OK ⊥ CA Khi O di động tam KL giác tổng OH + OI + OK không đổi Chứng minh: Gọi độ dài cạnh tam giác a, chiều cao h Ta có: SOAB + SOBC + SOCA = SABC 1 Hay: OH.a + OI.a + 2 OK.a = a.h a.(OH + OI + OK) = 2 a.h Suy ra: OH + OI + OK = h (không đổi) Vậy: Khi O di động tam giác tổng OH + OI + OK không đổi III / BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài tập 1: Cho tam giác ABC cân A, điểm M thuộc đáy BC Gọi BD đường cao tam giác ABC H, K chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC Dùng công thức tính diện tích để chứng minh MH + MK = BD GT ABC coù : AB = BC , M ∈ BC MH ⊥ AB; MK ⊥ AC BD ⊥ AC KL MH + MK = BD Chứng minh: Đặt AB = AC = a Ta coù: SAMB + SAMC = SABC 1 Hay: a.MH + a MK = 2 a.BD Suy ra: 1 a.(MH + MK) = a BD 2 ⇒ MH + MK = BD Bài 2: Cho tam giác ABC = 60cm, chiều cao tương ứng 40cm Gọi D, E theo thứ tự trung điểm AB, AC Tính diện tích tứ giác BDEC ABC có : GT BC = 60cm; AH = 40cm AH ⊥ BC; DB = DB EA = EC KL SBDEC = ? Giải Vì AD = BD (gt) ⇒ AE đường trung bình AE = EC (gt) ABC Nên DE // BC Do đó:Tứ giác BDEC hình thang 1 ⇒ DE = BC = 60 = 30 (cm) 2 Xét ADH có: AD = BD (gt) ⇒ AI = IH DI // BC (Vì I ∈ DE ) 1 ⇒ AI = IH = HA = 40 = 20 (cm) 2 ( DE + BC ) ×AH Vậy : S BDEC = = ( 30 + 60 ) ×20 = 900 ( cm ) Baøi 3: Cho tam giác ABC vuông A Phân giác AD vẽ DH ⊥ AB Daët DH = d, 1 AB = c, AC = Chứng minh + = b c d ABC có : GT KL BD tia phân giác DH ⊥ AB; DH = d AB = c; AC = b 1 + = b c d Chứng minh Vẽ DK ⊥ AC Ta có tứ giác AHDK hình vuông có góc vuông có đường chéo phân giác góc A Nên: DH = DK = d Ta coù: SABD + SADC = SABC 1 Hay: dc + db = bc 2 Suy ra: dc + db = bc Chia vế với bcd ta được: dc bd bc + = bcd bcd bcd 1 Hay: + = (ñpcm) b c d Bài 4: Cho tam giác ABC ba điểm A’, B’, C’ lần lược nằm ba cạnh BC, CA, AB cho AA’, BB’, CC’ đồng quy (A’, B’, C’ không trùng với đỉnh tam giác.) Chứng minh rằng: A ' B B 'C C ' A × × =1 AC B ' A C ' B GT KL ABC coù : A’ ∈ BC, B’ ∈ AC, C’ ∈ AB AA’ ∩ BB’ ∩ CC’= { O} A ' B B 'C C ' A × × =1 A 'C B ' A C ' B Chứng minh Kẻ BH ⊥ AA’ ; CK ⊥ AA’ AA’B AA’C có chiều cao hạ từ A có hai đáy tương ứng BA’ AC’ Neân: S AA ' B A ' B = (1) S AA ' C A ' C Tương tự: AA’B AA’C có chung cạnh AA’ có chiều cao tương ứng BH CK Nên S AA ' B BH = (2) S AA ' C CK AOB AOC có chung cạnh AO chiều cao tương ứng BH CK Nên: S AOB BH = (3) S AOC CK Từ (1) , (2) vaø (3) suy ra: S AOB A ' B = S AOC A ' C (4) Chứng minh tương tự ta coù: S BOC B ' C = (5) S BOA B ' A SCOA C ' A = (6) SCOB C ' B Nhân vế đẳng thức (4) , (5), (6) ta được: S AOB S BOC SCOA A ' B B ' C C ' A × ×= = × × =1 S AOC S BOA SCOB A ' C B ' A C ' B IV / CỦNG CỐ: - Nhắc lại công thức phần I V / HƯỚNG DẪN HS TỰ HỌC Ở NHÀ: - Xem làm lại BT giải - Ôn lại công thức tính diện tích tam giác - Tiết sau tìm hiểu tiếp nội dung “một số tính chất suy tư ødiện tích” * RÚT KINH NGHIỆM: Ngày dạy: TIẾT MỘT SỐ TÍNH CHẤT SUY RA TỪ DIỆN TÍCH I / KIẾN THỨC CƠ BẢN: - Tỉ số diện tích hai tam giác đáybằng tỉ số hai đường cao tương ứng đáy - Tỉ số diện tích hai tam giác có đường cao bằn tỉ số hai đáy tương ứng hai đường cao - SACD = SBCD ⇔ AB // CD II / BÀI TẬP MẪU Dựng hai đường chéo tứ giác lồi ABCD cắt O Biết SAOB = SBOC = SCOD = SDOA Chứng minh rằng: ABCD hình bình hành Tứ giác ABCD có: AC ∩ BD = { O} GT SAOB = SBOC = SCOD = SDOA KL ABCD laø hình bình hành Chứng minh: * Cách 1: Ta có: SADC = SAOD + SDOC SBCD = SBOC + SDOC Maø SAOD = SDOC + SBOC (gt) Suy ra: SADC = SBCD Do đó: AB // CD (tính chất 3) (1) Tương tự: SABD = SDCB => AO // BC (2) Từ (1) (2) suy ra: ABCD hình bình hành * Cách 2: Kẻ AH BD Ta có: SAOD = SAOB = AH OD AH.OB Maø : SAOD = SAOB (gt) Suy ra: OB = OD (1) Tương tự: SBOA = SBOC Nên: OA = OC (2) Từ (1) (2) suy ra: Tứ giác ABCD hình bình hành III / BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Cho hình bình hành ABCD Trên AB lấy điểm M, Trên AD lấy điểm N Gọi O giao điểm BN với DM Biết OC tia phân giác góc BOD Chứng minh rằng: BN = DM ... = ×b (1 ) Theo đề ta c? ?: = b 9 Vàø S = a.b = 144 (2 ) Thay (1 ) vào (2 ) ta được: ×b ×b = 144 b = 144 ⇒ b2 = 144 : Do ño? ?: b = 18 (cm) 144 = (cm) a = 18 Vậy kích thước hình chữ nhật l? ?: 8cm 18cm IV... ×BM BM = MC SAMC = AH ×MC (1 ) (2 ) M? ?: BM = MC (vì AM trung tuyến) (3 ) Từ (1 ), (2 ) (3 ) suy ra: SABM = SMAC (AM : trung tuyến) * Bài 2: Cho tam giác ABC (không có góc t? ?) với ba đường cao AA’, BB’,... C ) (g.c.g) (2 ) 2 BFC = DEA (g.c.g) Từ (1 ), (2 ) (3 ) suy ra: SABCFE = SADCFE (? ?pcm) III / BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Một đám đất có diện tích 2,7.10 m Tính diện tích chọn đơn vị đo l? ?: a/ km b/