HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CẦN NẮM Chương I ĐẠO HÀM – VI PHÂN I. ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN CẦN NẮM Nhóm Đạo hàm của các hàm số hợp (u = u(x)) Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản Đa thức α ' α 1 ' (u )α.u . u − = ' 1 u ' ( ) 2 u u = − ' u ' ( u) 2 u = α ' α 1 (x )α.x − = 1 1 ' ( ) 2 x x = − 1 ' ( x) 2 x = Lượng giác (sinu) ’ = u ’ .cosu (cosu) ’ = - u ’ .sinu (tgu) ’ = ' u ' 2 u .(1 tg u) 2 cos u = + (cotgu) ’ = - ' u 2 sin u (sinx) ’ = cosx (cosx) ’ = - sinx (tgx) ’ = 1 2 (1 tg x) 2 cos x = + (cotgx) ’ = - 1 2 (1 cotg x) 2 sin x = − + Mũ (e u ) ’ = u ’ .e u (a u ) ’ = u ’ .a u .lna (e x ) ’ = e x (a x ) ’ = a x .lna Lôgarit (ln|u|) ’ = u u ' (ln|x|) ’ = x 1 1 ' u ' (log |u|) a u.lna = 1 ' (log |x|) a x.lna = II. VI PHÂN: 1. Định nghĩa: df(x) = f ’ (x).dx 2. Qui tắc: • d(u ± v) = du ± dv • d(uv) = udv + vdu • u vdu udv d( ) (v 0) 2 v v − = ≠ Chương II ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM I. ĐỊNH LÝ LAGRĂNG: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] và có đạo hàm trong (a ; b) thì tồn tại điểm c ∈ (a ; b) sao cho: f ’ (c) = f(b) f(a) b a − − II. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ: 1. Hàm số không đổi: f ’ (x) = 0 ⇔ f(x) = c 2. Điều kiện cần: f(x) có đạo hàm trong (a ; b) a) Nếu f(x) tăng trong (a ; b) ⇒ f ’ (x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a ; b) b) Nếu f(x) giảm trong (a ; b) ⇒ f ’ (x) ≤ 0 ∀ x ∈ (a ; b) 3. Điều kiện đủ: f(x) có đạo hàm trong (a ; b) a) Nếu f ’ (x) > 0 ∀x ∈ (a ; b) ⇒ f(x) tăng trong (a ; b) 2 b) Nếu f ’ (x) < 0 ∀x ∈ (a ; b) ⇒ f(x) giảm trong (a ; b) • Chú ý: Nếu trong điều kiện đủ, nếu f ’ (x) = 0 tại một số hữu hạn điểm thuộc (a ; b) thì kết luận vẫn đúng. III. QUY TẮC TÌM ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y = f(x) Qui tắc 1: 1) Tính đạo hàm y ’ = f ’ (x) 2) Tìm các điểm tới hạn x i : Là nghiệm của phương trình f ’ (x) = 0 hoặc tại các điểm đó f ’ (x) không xác định 3) Lập bảng xét dấu của f ’ (x) 4) Tại mỗi điểm x i mà qua đó nếu: a) f ’ (x) đổi dấu từ âm sang dương thì f(x) đạt cực tiểu tại điểm đó b) f ’ (x) đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạt cực đại tại điểm đó c) f ’ (x) không đổi dấu thì f(x) không đạt cực trị tại điểm đó Qui tắc 2: 1) Tính f ’ (x), f ’’ (x) 2) Tìm các điểm x i tại đó f ’ (x) = 0 (nghiệm của phương trình này) 3) Tính f ’’ (x i ): a) Nếu f ’’ (x i ) > 0 thì f(x) đạt cực tiểu tại điểm đó b) Nếu f ’’ (x i ) < 0 thì f(x) đạt cực đại tại điểm đó CHÚ Ý: • Giữa hai điểm tới hạn kề nhau x 1 và x 2 , f ’ (x) luôn giữ nguyên một dấu 3 • Cách tính giá trị điểm cực trị của hàm số: - Trong trường hợp điểm cực trị x 0 (x CĐ , x CT ) là số vô tỉ thì: 1) Nếu f(x) là hàm hữu tỉ U(x) f (x) V(x) = thì ' 0 0 ' 0 U (x ) f(x ) = V (x ) 2) Nếu f(x) là hàm đa thức: Ví dụ hàm đa thức bậc 3 f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) Ta chia f(x) cho f ’ (x) được dư là hàm bậc nhất (mx + n) vậy ta có: f(x) = f ’ (x).(px + q) + (mx + n) thì f(x 0 ) = (mx 0 + n) (vì f ’ (x 0 ) = 0) VD: Hãy tìm các điểm cực trị và giá trị của chúng trong các trường hợp sau: 1) 2 x 2x 3 f (x) x 1 + + = − 2) f(x) = 3 x 2 2x x 1 3 − + + IV. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 1. Qui tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên khoảng (a ; b) - Lập bảng biến thiên của hàm số để kết luận, chú ý: + Nếu chỉ có một điểm cực tiểu x 0 thì f(x 0 ) = Min y + Nếu chỉ có một điểm cực đại x 0 thì f(x 0 ) = Max y + Nếu có cả điểm cực đại và cực tiểu thì ta phải tìm thêm giới hạn của f(x) tại các biên a, b để kết luận thích hợp. 2. Qui tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a ; b] - Giải phương trình f ’ (x) = 0, tìm các nghiệm x 1 , x 2, …, x n (Chỉ chọn các nghiệm thuộc đoạn [a ; b]) 4 - Tính f(a),f(b), f(x 1 ), f(x 2 ) , …, f(x n ) - So sánh f(a), f(b), f(x 1 ), f(x 2 ) , …, f(x n ) ⇒ • Số lớn nhất M là GTLN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a ; b], KH: M = max ( ) [ ; ] f x a b • Số nhỏ nhất m là GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a ; b], KH: m = min ( ) [ ; ] f x a b CHÚ Ý: • Nếu giải phương trình f ’ (x) = 0 vô nghiệm ⇒ f(x) đơn điệu trên [a ; b] ta chỉ cần so sánh f(a) và f(b): Số lớn là Max y và số nhỏ là Min y. • Ngoài ra ta có thể dùng các phương pháp sau: ⊕ Dùng bất đẳng thức để tìm GTNN, GTLN của hàm số (xem chuyên đề bất đẳng thức) ⊕ Giải phương trình f(x) = y với x ∈ [a ; b] và tìm điều kiện để phương trình có nghiệm trong [a ; b] V. TÍNH LỒI LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA MỘT ĐƯỜNG CONG 1. Dấu hiệu lồi, lõm: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai f ’’ (x) trên khoảng (a ; b) khi đó: a) Nếu f ’’ (x) < 0 với mọi x ∈ (a ; b) thì đồ thị của hàm số là lồi trên khoảng đó b) Nếu f ’’ (x) > 0 với mọi x ∈ (a ; b) thì đồ thị của hàm số là lõm trên khoảng đó 5 2. Điểm uốn: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai f ’’ (x) trên khoảng (a ; b) khi đó: a) Nếu f ’’ (x) đổi dấu khi đối số x đi qua x 0 thì M 0 (x 0 ; f(x 0 )) là một điểm uốn của đồ thị b) Nếu f ’’ (x) không đổi dấu khi đối số x đi qua x 0 thì điểm M 0 (x 0 ; f(x 0 )) không phải là điểm uốn của đồ thị. VI. TIỆM CẬN CỦA ĐƯỜNG CONG (C): y = f(x) 1. Tiệm cận đứng • Nếu lim f(x) x x o = ∞ → thì đường thẳng x = x o là tiệm cận đứng của (C) 2. Tiệm cận ngang • Nếu lim f(x) x = →∞ y o thì đường thẳng y = y o là tiệm cận ngang của (C) 3. Tiệm cận xiên • Đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b là một tiệm cận xiên của (C) ⇔ lim x → ∞ [f(x) – (ax +b)] = 0 • Cách xác định hệ số a, b của đường tiệm cận xiên y = ax +b theo công thức: a = f(x) lim x x →∞ , b = lim x→∞ [f(x) – ax ] 4. Phương pháp tìm tiệm cận của (C): y = f(x): - Tìm TXĐ của f(x) là D suy ra các mút (biên) của nó - Tính giới hạn của hàm số tại các mút 6 + Nếu thoả mãn (1), (2) thì ta có TC đứng, ngang. + Nếu f(x) =lim x ∞ →∞ thì ta tính a = f(x) lim x x →∞ : • Nếu a ≠ 0, ∞ thì ta tính b = lim x→∞ [f(x) – ax ]. Nếu b ≠ ∞ thì ta có tiệm cận xiên: y = ax + b. VII. KHẢO SÁT HÀM SỐ 1. Các bước khảo sát 1 hàm số: B 1 : Tìm TXĐ B 2 : Xét sự biến thiên (đồng biến, nghịch biến) của hàm số và chỉ ra các điểm cực trị (cực đại, cực tiểu) B 3 : • Tính các giới hạn đặc biệt (tại các mút của TXĐ) • Tìm các tiệm cận (Đối với các hàm phân thức hữu tỉ B 4 : Xét tính lồi, lõm và tìm điểm uốn (Đối với các hàm đa thức) B 5 : Lập bảng biến thiên B 6 : Đồ thị: + Tìm giao điểm với trục Ox, Oy (nếu được) + Lập bảng giá trị nếu cần (khi tìm giao với Ox không được…) + Vẽ đồ thị + Nhận xét: Nêu tâm đối xứng, trục đối xứng (nếu có) của đồ thị. 2. Khảo sát một số hàm số thường gặp a) Hàm đa thức • y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) • y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) 7 • y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0) b) Hàm phân thức hữu tỉ • y = ax b cx d + + (c ≠ 0, D = ad – bc ≠ 0) B. CÁC DẠNG TOÁN CHỦ ĐIỂM 1 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VẤN ĐỀ 1: TÌM CÁC ĐƯỜNG TIỆM CẬN Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau: 1) 2 1y x x= + − 2) 2 4 3y x x= − + 3) 2 4y x= + 4) y = 2 2 1 1 x x x + + − 5) y = 2 2 2 3 x x x − + − 6) y = 3 23 3x x− + VẤN ĐỀ 2: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau: 1) y = 2x 3 – 9x 2 + 12x – 4 (ĐH KA – 2006) 2) y = -x 3 + 3x 2 - 4 (ĐH KB – 2007) Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số trùng phương sau: 1) y = x 4 - 8x 2 + 10 (ĐH KB – 2002) 2) 4 2 x y 2(x 1) 2 = − − (ĐH DB KA – 2006) 8 Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số nhất biến sau: 1) 3x 1 y x 1 − − = − (ĐH KD – 2002) 2) 2x y x 1 = + (ĐH KB – 2007) VẤN ĐỀ 3: ĐỒ THỊ CỦA HÀM CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI ⊗ PHƯƠNG PHÁP: Nếu hàm số y = f(x) có chứa dấu giá trị tuyệt đối thì: • Xét dấu các biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối. • Phân định miền xác định thành nhiều khoảng, trong mỗi khoảng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối. • Vẽ đồ thị từng phần tương ứng trong các khoảng của miền xác định. Đồ thị của f(x) là hợp của các phần này. Các hàm có dạng: y = |f(x)| , y = f(|x|) ♦ Hàm số dạng: y = |f(x)| - Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (C) - Lấy phần đồ thị của (C) ở phía trên Ox - Lấy đối xứng phần (C) nằm dưới Ox qua trục Ox. Hợp hai phần trên lại ta có đồ thị (C ’ ) của y = |f(x)| ♦ Hàm số dạng: y = f(|x|) (Là hàm số chẵn: Có đồ thị đối xứng qua Oy) - Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (C) - Lấy phần bên phải Oy của (C) (ứng với x ≥ 0) ta có (C 0 ) - Lấy đối xứng phần (C 0 ) qua trục Oy ta có (C 1 ) 9 Hợp hai phần (C 0 ) và (C 1 ) trên lại ta có đồ thị (C ’ ) của y = f(|x|) ⊗ BÀI TẬP TỰ LUYỆN: 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = f(x) = x 1 x 2 + + 2) Từ (C) hãy suy ra đồ thị của các hàm số: a) y = | x | 1 | x | 2 + + b) y = | x 1| x 2 + + c) y = x 1 | | x 2 + + d) y = x 1 | x 2| + + 3) Một số bài toán áp dụng (bài giảng) CHỦ ĐIỂM 2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG HÀM SỐ VẤN ĐỀ 1 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ A. Phương pháp: 10 [...]... thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2005) x2 + x −1 Bài 13: Cho hàm số: y = (C) x+2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên 2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên của (C) (ĐH KB – 2006) Bài 14: Cho hàm số: y = x3 - 3x2 + 2 (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên 2) Gọi (d) là đường thẳng qua A(3; 20) và có hệ số góc... biệt 1 3 Bài 7: Cho hàm số: y = x - 2x2 + 3x (C) (ĐH KB – 3 2004) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên 2) Viết phương trình tiếp tuyến Δ của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng Δ là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất Bài 8: Cho hàm số: y = x3 – 3mx2 + 9x + 1 (Cm) (ĐH KD – 2004) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2 2) Tìm m để điểm uốn của (Cm) thuộc đường... tại A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1 4 Bài 17: Cho hàm số: y = - x3 + 3x2 + 3(m2 – 1)x – 3m2 - 1 (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 2) Tìm m để hàm số trên có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của (Cm) cách đều gốc tọa độ O (ĐH KB – 2007) x 2 + 2(m + 1)x + m 2 + 4m Bài 18: Cho hàm số: y = (Cm) x+2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi... tham số) Bài 1: Cho hàm số: y = – x3 + 3mx2 +3(1 - m2)x + m3 - m2 (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 2) Tìm k để phương trình: – x3 + 3x2 + k3 – 3k2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt 3) Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của (C) (ĐH KA – 2002) Bài 2: Cho hàm số: y = mx4 + (m2 – 9)x2 + 10 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 2) Tìm m để hàm số. .. -1 2) Tìm m để hàm số trên có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của (Cm) cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O (ĐH KA – 2007) 30 mx 2 + (3m2 − 2) x − 2 Bài 19: Cho hàm số: y = (1) (m là tham số) x + 3m 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của đồ thị hàm số (1) ứng với m = −1 2) Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 450... KA2008) Bài 20: Cho hàm số y = 4x3-6x2 +1 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1),biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M (-1;-9) (ĐH KB2008) Bài 21: Cho y = x 3 − 3x 2 + 4 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) 2) Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua I(1;2) với hệ số góc k ( k >−3) đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại 3 điểm... Cho hàm số y = x−m a) CMR với mọi m, hàm số luôn có CĐ, CT b) Tìm m để yCĐ.yCT > 0 (ĐS: m > −3 + 2 3 ∨ m < − 3 − 2 3 ) 16 c) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (ĐS : y=2x+m+1) 2x 2 − 3x + m Tìm m để hàm số y có cực đại, cực Bài 4: Cho hàm số y = x−m tiểu thỏa mãn: |yCĐ – yCT| > 8 (ĐS: m < 1− 5 1+ 5 ) ∨m 2 2 Bài 5: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx +1 a) Tìm m để hàm số. .. 2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2 2 Bài 5: Cho hàm số: y = mx + x + m (Cm) (ĐH KA – x −1 2003) 27 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = -1 2) Tìm m để (C) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương 2 Bài 6: Cho hàm số: y = x − 2x + 4 (C) (ĐH KD – x−2 2003) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên 2) Tìm m để đường thẳng dm: y =... = g ' (x)  ’ ♦ Tìm tọa độ giao điểm của y = f(x) và trục tung (Oy): Cho x = 0 ⇒ y ♦ Tìm tọa độ giao điểm của y = f(x) và trục hoành (Ox): Cho y = 0 ⇒ x 22 ♦ Với (Cm): y = f(x, m), ta có thể biện luận được số điểm chung của (Cm) với trục hoành nhờ vào dạng của (Cm) và vị trí của (Cm) đối với hệ trục ⊕ Đặc biệt chú ý đồ thị của hàm số bậc ba giao với Ox: Cho hàm số bậc 3: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (C)... KD – 2005) 2 Bài 11: Cho hàm số: y = x + (m + 1)x + m + 1 (Cm) x +1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 2) CMR với mọi m, (Cm) luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu và khoảng cách giữa 2 điểm đó bằng 20 (ĐH KB – 2005) Bài 12: Cho hàm số: y = mx + 1 x (Cm) 1 4 2) Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) 1 đến tiệm cận xiên của (Cm) bằng (ĐH K A – . HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CẦN NẮM Chương I ĐẠO HÀM – VI PHÂN I. ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN CẦN NẮM Nhóm Đạo hàm của các hàm số hợp (u = u(x)) Đạo hàm của các hàm số. đồ thị của hàm số là lồi trên khoảng đó b) Nếu f ’’ (x) > 0 với mọi x ∈ (a ; b) thì đồ thị của hàm số là lõm trên khoảng đó 5 2. Điểm uốn: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp. phần tương ứng trong các khoảng của miền xác định. Đồ thị của f(x) là hợp của các phần này. Các hàm có dạng: y = |f(x)| , y = f(|x|) ♦ Hàm số dạng: y = |f(x)| - Vẽ đồ thị hàm số y = f(x)