TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA LUỸ THỪA A. ĐẶT VẤN ĐỀ Các dạng toán liên quan đến luỹ thừa trong chương trình số học 6 có thể khai thác ở nhiều khía cạnh. Ngoài những dạng toán như so sánh luỹ thừa, tính giá trị các biểu thức luỹ thừa, tìm x thoả mãn một đẳng thức luỹ thừa, chứng minh tính chia hết,… thì tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa cũng là một trong những dạng toán hay có thể khai thác để giúp học sinh nắm chắc, hiểu sâu hơn các công thức liên quan đến luỹ thừa, một mặt vừa luyện được kỹ năng biến đổi biểu thức hợp lý, vừa vận dụng được những kiến thức các em được học ở tiểu học biết xác định chữ số tận cùng của một tổng , một tích, vừa có thể liên hệ với việc xác định quan hệ chia hết hay chia có dư với các số đặc biệt như 5, 10, 25, 100, Khai thác được các kỹ năng đó góp phần bồi dưỡng năng lực toán học cho học sinh, rèn luyện tư duy linh hoạt, sáng tạo. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1. Nội dung chuyên đề Dạng 1 :Tìm chữ số tận cùng của A n , n ¹ 0 *Nhận xét: “Nếu chữ số tận cùng của A là a, thì chữ số tận cùng của A n cũng là chữ số tận cùng của a n ”. Từ nhận xét suy ra: 1)Nếu A có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 thì A n có chữ số tận cùng tương ứng là 0, 1, 5, 6 2)Nếu A có chữ số tận cùng là 4, 9 thì A 2k có chữ số tận cùng tương ứng là 6, 1 3)Nếu A có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8 thì A 4k có chữ số tận cùng tương ứng là 6, 1, 1, 6 *Áp dụng: VD1: Tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa sau: 19 2008 ; 12 100 ; 12 103 Lời giải: a) 19 2008 =19 2.1004 =(19 2 ) 1004 =361 1004 361 1004 có tận cùng là 1 ⇒ 19 2008 có tận cùng là 1 b) 12 100 =12 4.25 =(12 4 ) 25 1 12 4 có tận cùng là 6 ⇒ (12 4 ) 25 có tận cùng là 6 Vậy 12 100 có tận cùng là 6 c) 12 103 =12 3 . 12 102 có tận cùng là 8. VD2: Tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa sau: 17 2007 , 19 21 ; 13 1003 Lời giải: Ta sẽ tìm cách liên hệ các luỹ thừa trên với luỹ thừa dạng A 2k , A 4k để vận dụng các ý trong nhận xét ở trên đ ây. Thật vậy, 17 2007 =17. 17 2006 =17. 17 4.501 =17.(17 4 ) 501 17 4 có tận cùng là 1 (17 4 ) 501 có tận cùng là 1 17.(17 4 ) 501 có tận cùng là 7 Vậy 17 2007 có tận cùng là 7. Tương tự 19 21 =19. 19 2.10 suy ra 19 21 có tận cùng là 9. 13 1003 =13 3 . 13 4.250 suy ra 13 1001 có tận cùng là 7. VD3: Chứng minh rằng 33 66 +77 55 – 2 chia hết cho 5 Lời giải: Ta chứng minh 33 66 +77 55 -2 có tận cùng là 0 sau đó vận dụng dấu hiệu chia hết cho 5 Thật vậy, 33 66 có cùng chữ số tận cùng với 3 66 , mà 3 66 =9 33 =9.9 2.16 suy ra 3 66 có tận cùng là 9, 77 55 có cùng chữ số tận cùng với 7 55 , vì 7 55 =7 3 .7 4.13 nên 7 55 có tận cùng là 3. Do đó 33 66 , 77 55 có chữ số tận cùng lần lượt là 9, 3 suy ra 33 66 +77 55 – 2 tận cùng là 0 (đpcm) Dạng 2:Tìm hai chữ số tận cùng của A n , n ¹ 0 *Nhận xét: 1) Giả sử A có hai chữ số tận cùng là ab , B có hai chữ số tận cùng là cd Khi đó A.B và ab . cd có cùng hai chữ số tận cùng. 2) “Nếu hai chữ số tận cùng của A là ab , thì hai chữ số tận cùng của A n cũng là hai chữ số tận cùng của ab n ” Đặc biệt các số có tận cùng bằng 01, 25, 76 nâng lên luỹ thừa nào khác 0 cũng có tận cùng lần lượt bằng 01, 25,76. *Áp dụng: 2 VD1:Tìm hai chữ số tận cùng của 4001 2 7 Lời giải: Ta có 4001 2 7 = 3999 4.2 7 = 3999 2 2401 có hai chữ số tận cùng là 01 VD2: Chứng minh rằng 4 1 2 7 n + + 4 1 3 4 n+ - 65 chia hết cho 100 Lời giải: Ta sẽ chứng minh hai chữ số cuối cùng của 4 1 2 7 n + + 4 1 3 4 n+ - 65 sẽ là 00. Thật vậy, 4 1 2 7 n + = 4 2.2 7 n = 4 2.2 7 n = 4. 7 k = 2401 k có hai chữ số tận cùng là 01 Mặt khác 4 1 3 4 n+ = 3.81 4 n = 10 3 4 l + =4 3 . 10 4 l = 64. 10 4 l , 10 4 l = 2 1024 l , 2 24 l = 576 l , mà 76 l có hai chữ số tận cùng là 76, do đó 4 1 3 4 n+ = 64. 10 4 l và 64.76 có cùng hai chữ số tận cùng suy ra 4 1 3 4 n+ có hai chữ số tận cùng là 64. Vì vậy 4 1 2 7 n + + 4 1 3 4 n+ - 65 có hai chữ số tận cùng là 00 Dạng 3: Tìm ba chữ số tận cùng của A n , n ¹ 0 *Nhận xét: “Nếu 3 chữ số tận cùng của A là abc , thì ba chữ số tận cùng của A n cũng là ba chữ số tận cùng của abc n ” Đặc biệt các số có tận cùng bằng 001, 376, 625 nâng lên luỹ thừa nào khác 0 cũng có tận cùng lần lượt bằng 001, 376, 625 *Áp dụng: VD: Tìm 3 chữ số tận cùng của 5 2008 Lời giải: 5 2008 =5 4.502 =(5 4 ) 502 5 4 có tận cùng là 625 suy ra (5 4 ) 502 có tận cùng là 625 Vậy 5 2008 có 3 chữ số tận cùng là 625 2. Giáo án thực hiện tiết 1 Hoạt động của thày Hoạt động của trò Nội dung Treo bảng phụ Y/c HS điền thông tin còn thiếu trong bảng phụ Học sinh quan sát bảng phụ, suy nghĩ, phát biểu 1. Tìm một chữ số tận cùng của luỹ thừa 3 Gv nx chốt lại, bước đầu gợi mở pp tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa Y/c HS làm VD1 Gọi một HS nêu cách làm, GV HD trình bày mẫu một ý Gọi tiếp 3 HS lên bảng trình bày các ý còn lại Cho HS nx, chữa bài GV chốt lại *Khai thác: 2 4k+3 có tận cùng là gì? *Gv định hướng cách tìm cstc của luỹ thừa Ra VD2 Y/c HS nêu phương pháp giải Gv chốt lại PP Yêu cầu HS trình bày từng phần lời gải a) HS1: tìm cstc của 12 100 HS2: tìm cstc của 19 21 và KL Gọi một HS trình bày b) Hs trình bày theo mẫu: 4 2k = (4 2 ) k = 16 k 16 k có tận cùng là 6 ⇒ 4 2k có tận cùng là 6 Các ý khác học sinh trình bày tương tự Trả lời: 2 4k+3 = 2 4k .2 3 = 2 4k .8 2 4k có tận cùng là 6 ⇒ 2 4k+3 có tận cùng là 6 PP:Tìm chữ số tận cùng của biểu thức cần c/m chia hết 2HS lần lượt lên hoàn thiện a) * 12 100 =12 4.25 = (12 4 ) 25 12 4 có tận cùng là 6 ⇒ (12 4 ) 25 có tận cùng là 6 ⇒ 12 100 có tận cùng là 6 * 19 21 = 19.(19 2 ) 10 19 2 có tận cùng là 1 ⇒ (19 2 ) 10 có tận cùng là 1 ⇒ 19.(19 2 ) 10 có tận cùng là 9 ⇒ 19 21 có tận cùng là 9 * Vậy 12 100 + 19 21 có tận cùng là 5 ⇒ 12 100 + 19 21 chia hết cho 5 b) HS trình bày tương tự VD1: Tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa sau: a) 4 2k ; 9 2k ( k ¹ 0) b) 2 4k ; 3 4k ; 7 4k ;8 4k ( k ¹ 0) VD2: Chứng minh rằng: a) 12 100 + 19 21 chia hết cho 5 b) 33 66 +77 55 - 2 chia hết cho 10 VD3: Tìm n sao cho 9 n +4 n =5 n +6 n 4 Ra VD3 Y/c HS nêu phương pháp giải ( hoặc GV gợi mở) Gv dẫn dắt HS phân chia TH và trình bày lời giải PP: Chứng tỏ chỉ có duy nhất n =0 thoả mãn, n ¹ 0 không thoả mãn bằng cách so sánh chữ số tận cùng của hai vế. Nhận xét: n =0 thoả mãn Nếu n>0 5 n +6 n luôn tận cùng là 1 Th1: n chẵn 9 n tận cùng là 1, 4 n tận cùng là 6 ⇒ 9 n +4 n tận cùng là 7 ⇒ mâu thuẫn Th2: n lẻ 9 n =9.9 n-1 tận cùng là 9 4 n =4.4 n-1 tận cùng là 4 ⇒ 9 n +4 n tận cùng là 3 ⇒ mâu thuẫn Vậy chỉ có n=0 thoả mãn. *Củng cố: Phương pháp tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa Vận dụng trong bài toán chứng minh chia hết cho 5, cho 10; tìm số dư trong phép chia cho 5, cho 10 *Hướng dẫn HS nghiên cứu tiếp: Tìm hai, ba chữ số tận cùng của một luỹ thừa Đọc thêm NC&PT 6 tr 62-63 Bài tập: 1. Chứng minh: 17 5 +24 4 -13 21 M 10 2. Chứng minh: a) 7 4n -1 M 5 b) 9 2n+1 +1 M 10 3. Chứng minh: 7 1999 -43 M 100 5 Nội dung bảng phụ: Luỹ thừa 4 2 9 2 2 4 3 4 7 4 8 4 A0 n A1 n A5 n A6 n Chữ số tận cùng Ghi chú n ¹ 0 Đáp án bảng phụ: Luỹ thừa 4 2 9 2 2 4 3 4 7 4 8 4 A0 n A1 n A5 n A6 n Chữ số tận cùng 6 1 6 1 1 6 0 1 5 6 Ghi chú n ¹ 0 C. PHẠM VI NGHIÊN CỨU Trên đây là các bài toán tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa giải bằng phương pháp số học lớp 6. Vấn đề này sẽ được nghiên cứu đầy đủ hơn bằng cách dùng các hằng đẳng thức ở lớp 8 sau này. D. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Như vậy việc đi tìm một, hai, ba hay nhiều hơn nữa các chữ tận cùng của một luỹ thừa đều dựa trên một ý tưởng là tìm cách liên hệ luỹ thừa đã cho với các luỹ thừa đã biết quy luật về chữ số tận cùng (như đã nêu trong các nhận xét trên), cần rèn luyện cho học sinh các kỹ năng phân tích luỹ thừa để thực hiện ý tưởng đó. Việc tìm được các chữ số tận cùng sẽ có ứng dụng cho nhiều bài toán hay, trong phạm vi của chuyên đề tôi đã nêu ứng dụng trong một số bài toán chia hêt, đề nghị các đồng nghiệp cùng trao đổi góp ý cho tôi về chuyên đề này. Tôi xin trân thành cảm ơn! Bình Giang, ngày… , tháng …., năm……. Người viết chuyên đề: 6 . chuyên đề Dạng 1 :Tìm chữ số tận cùng của A n , n ¹ 0 *Nhận xét: “Nếu chữ số tận cùng của A là a, thì chữ số tận cùng của A n cũng là chữ số tận cùng của a n ”. Từ nhận xét suy ra: 1)Nếu A có chữ. có hai chữ số tận cùng là cd Khi đó A.B và ab . cd có cùng hai chữ số tận cùng. 2) “Nếu hai chữ số tận cùng của A là ab , thì hai chữ số tận cùng của A n cũng là hai chữ số tận cùng của ab n ” Đặc. phát biểu 1. Tìm một chữ số tận cùng của luỹ thừa 3 Gv nx chốt lại, bước đầu gợi mở pp tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa Y/c HS làm VD1 Gọi một HS nêu cách làm, GV HD trình bày mẫu một ý Gọi