Chuyên đề 2. Phương trình Logarit PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Dạng 1 : Phương pháp đưa về cùng cơ số Dùng các phép biến đổi để đưa phương trình đã cho về dạng 2 vế có cùng cơ số a [ ] [ ] log ( ) log ( ) a a f x g x= 0 1 ( ) ( ) 0 a f x g x < ≠  ⇔  = >  Hoặc : [ ] 0 1 log ( ) ( ) a b a f x b f x a < ≠  = ⇔  =  BÀI TẬP DẠNG 1 Giải các phương trình sau 1. 2 log (5 1) 4x + = ĐS : 3 2. 3 9 27 log log log 11x x x+ + = ĐS : 729 3. 3 3 log log ( 2) 1x x+ + = ĐS : 1 4. 2 2 2 log ( 3) log (6 10) 1 0x x− − − + = ĐS : 2 5. 3 2 1 log( 1) log( 2 1) log 2 x x x x+ − + + = ĐS : 1 6. 3 2 2 log (1 1) 3log 40 0x x+ + − − = ĐS : 48 7. 4 2 log ( 3) log ( 7) 2 0x x+ − + + = ĐS : 1 8. 2 1 8 log ( 2) 6log 3 5 2x x− − − = ĐS : 3 9. 3 1 8 2 2 log 1 log (3 ) log ( 1)x x x+ − − = − ĐS : 1 17 2 + 10. 2 3 3 log ( 1) log (2 1) 2x x− + − = ĐS : 2 11. 4 2 2 1 1 1 log ( 1) log 2 log 4 2 x x x + − + = + + ĐS : 5 2 Dạng 2 : Phương pháp đặt ẩn phụ Biến đổi phương trình về dạng chỉ chứa một loại hàm số lôgarit, đặt ẩn phụ t để đưa phương trình biến số x đã cho về phương trình mới với biến t, giải phương trình này tìm t rồi từ đó tìm x. BÀI TẬP DẠNG 2 : Giải các phương trình sau 1. 2 2 2 log 2log 2 0x x+ − = ĐS : 1 2; 4 2. 2 2 3 log log (8 ) 1 0x x− + = ĐS : 2; 16 3. 2 1 1 log ( 1) log 4 x x − + − = ĐS : 5 3; 4 4. 2 2 log 16 log 64 3 x x + = ĐS : 1 3 4;2 − 5. 2 2 3 log (3 ).log 3 1 x x = ĐS : 1 2 3 ± 6. 2 2 log (2 ) log 2 x x x x + + + = ĐS : 2 7. 2 5 5 5 log log ( ) 1 x x x + = ĐS : 1 1;5; 25 8. 2 2 log 2 2log 4 log 8 x x x + = ĐS : 2 9. 1 3 3 log (3 1).log (3 3) 6 x x+ − − = ĐS : 3 3 28 log 10;log 27 10. 2 2 1 2 1 3 log (6 5 1) log (4 4 1) 2 0 x x x x x x − − − + − − + − = 11. 2 lg(10 ) lg lg(100 ) 4 6 2.3 x x x − = ĐS : 1 100 12. 2 2 2 log 9 log log 3 2 .3 x x x x= − ĐS : 2 13 . log 4 (log 2 x) + log 2 (log 4 x) = 2 (đặt t= 4 log x ) Dạng 3 : Phương pháp mũ hóa Đưa phương trình đã cho về một trong các dạng sau • ( ) 0 1 log ( ) ( ) ( ) a g x a f x g x f x a < ≠  = ⇔  =  • log ( ) log ( ) a b f x g x= đặt t= suy ra ( ) ( ) t t f x a g x b  =   =   . Khử x trong hpt để thu được phương trình theo ẩn t, giải pt này tìm t, từ đó tìm x. BÀI TẬP DẠNG 3 : Giải các phương trình sau 1. 3 log (9 8) 2 x x+ = + ĐS : 3 0;log 8 2. 1 5 log (5 20) 2 x x + + − = ĐS : 1 3. 3 3 2 3log (1 ) 2logx x x+ + = ĐS : 4096 4. 3 2 2log tan log sinx x= ĐS : 2 6 k π π + 5. 2 5 3 log ( 6 2) logx x x− − = ĐS : 9 6. 4 6 4 2log ( ) logx x x+ = ĐS : 16 Dạng 4 : Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số. Cách 1 : (Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là nghiệm duy nhất) Đưa phương trình đã cho về dạng ( ) ( )f x g x= (*) • Bước 1 : Chỉ ra 0 x là một nghiệm của phương trình (*) • Bước 2 : Chứng minh ( )f x là hàm đồng biến, ( )g x là hàm nghịch biến hoặc ( )f x là hàm đồng biến, ( )g x là hàm hằng hoặc ( )f x là hàm nghịch biến, ( )g x là hàm hằng. Từ đó suy ra tính duy nhất nghiệm Cách 2 : Chuyên đề 2. Phương trình Logarit Đưa phương trình đã cho về dạng ( ) ( )f u f v= , rồi chứng minh f là hàm số luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến trên D). Từ đó suy ra ( ) ( )f u f v u v= ⇔ = . Bài 1 : Giải các phương trình sau 1. 5 log ( 3) 4x x− = − ĐS : 4 2. 2 lg( 12) lg( 3) 5x x x x− − + = + + ĐS : 5 3. 2 2 2 log ( 3).log 2 0x x x x+ − − + = ĐS : 2; 4 4. 2 3 3 (log 3) 4 log 0x x x x+ − − + = ĐS : 3 5. 2 2 2 ln( 1) ln(2 1)x x x x x+ + − + = − ĐS : 0; 1 Bài 2 : Giải các phương trình sau 1. 2 2 2 log ( 1)log 6 2x x x x+ − = − (ĐH Đông Đô-1997) ĐS : 1 ;2 4 2. 2 2 3 2 3 log 3 2 2 4 5 x x x x x x + + = + + + + (ĐH Ngoại Thương-2001) ĐS : 1; 2− − MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG CÁC ĐỀ THI ĐH A. Giải các phương trình sau 1. 3 3 2 2 4 log log 3 x x+ = (ĐH Công Đoàn-2000) ĐS : 2 2. 2 2 2 log ( 1) 6log 1 2 0x x+ − + + = (Cao Đẳng -2008) ĐS : 1; 3 3. 9 4log log 3 3 x x + = (ĐH KT Công Nghệ TPHCM-1998) ĐS : 3; 3 4. 4 2 2 3 log ( 1) log ( 1) 25x x− + − = (ĐH Y HN-2000) 5. 2 2 log 2 log 4 3 x x+ = (HV CNBCVT-1999) ĐS : 1; 4 6. 1 5 25 log (5 1).log (5 5) 1 x x+ − − = (ĐH Sư Phạm HN-1998) ĐS : 5 5 26 log 6;log 25 7. 2 2 2 2 log 2 log 6 log 4 4 2.3 x x x− = (ĐH Sư Phạm TPHCM-2001) ĐS : 1 4 8. 2 2 2 1 1 log (2 1) log (2 1) 4 x x x x x − + + − + − = (ĐH Khối A-2008) ĐS : 5 2; 4 9. 2 2 3 7 2 3 log (9 12 4 ) log (6 23 21) 4 x x x x x x + + + + + + + = (ĐH Kinh Tế Quốc Dân-2001) ĐS : 1 4 − 10. 2 2 log log 2 (2 2) (2 2) 1 x x x x+ + − = + (ĐH Quốc Gia HN-2000) ĐS : 0;1 11. 2 2 2 4 5 20 log ( 1).log ( 1) log ( 1)x x x x x x− − + − = − − (ĐHSP Vinh-2001) ĐS : 1; 20 20 log 4 log 4 1 1 (5 ) 2 5 + B.Giải các phương trình sau: 1. 2 2 1 log (4 15.2 27) 2log 0 4.2 3 x x x + + + = − 2 log 3 2. 4 log ( 2).log 2 1 x x + = ĐS : 2 3. 2 2 2 2 2 log ( 3 2) log ( 7 12) 3 log 3x x x x+ + + + + = + (ĐH Quốc Gia HN-1998) ĐS : 0;-5 4. 2 9 3 3 2log log .log ( 2 1 1)x x x= + − (ĐH Thủy Lợi-1998) ĐS : 1; 4 5. 2 3 2 3 log log log .logx x x x+ = (ĐH Đông Đô-1999) ĐS : 1; 6 6. 5 3 5 9 log log log 3.log 225x x+ = (ĐH Y Hà Nội-1999) ĐS : 3 7. 2 3 4 8 2 log ( 1) 2 log 4 log ( 4)x x x+ + = − + + (ĐH Bách Khoa HN-2000) ĐS : 2;2 2 6− 8. 2 2 2 2 3 2 3 log ( 1 ) log ( 1 ) 6x x x x + − + + + + − = (ĐH Y Thái Bình-1998) ĐS : 4 3 9. 2 2 9 3 3 1 1 log ( 5 6) log log 3 2 2 x x x x − − + = + − (HV BCVT-2000) ĐS : 3 2 C. Giải các phương trình sau: 1. 2 log (9 2 ) 3 x x + − = (ĐH Huế-2000) ĐS : 0; 3 2. 5 7 log log ( 2)x x= + (ĐH Quốc Gia HN-2000)ĐS : 5 3. 7 3 log log ( 2)x x= + (ĐH TNguyên-2000) ĐS : 49 4. 8 4 6 4 2log ( ) logx x x+ = (ĐH Y HN-1998) ĐS: 256 5. 3 2 2log cot log cosx x= (ĐH Y Dược TPHCM-1986) ĐS : 2 3 k π π + . Chuyên đề 2. Phương trình Logarit PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Dạng 1 : Phương pháp đưa về cùng cơ số Dùng các phép biến đổi để đưa phương trình đã cho về dạng 2 vế có. 2 : Phương pháp đặt ẩn phụ Biến đổi phương trình về dạng chỉ chứa một loại hàm số lôgarit, đặt ẩn phụ t để đưa phương trình biến số x đã cho về phương trình mới với biến t, giải phương trình. nghịch biến, ( )g x là hàm hằng. Từ đó suy ra tính duy nhất nghiệm Cách 2 : Chuyên đề 2. Phương trình Logarit Đưa phương trình đã cho về dạng ( ) ( )f u f v= , rồi chứng minh f là hàm số