BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 1 TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ §1. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số A. Tóm tắt lý thuyết Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số, ta có hai quy tắc sau đây: 1. Quy tắc 1 (Sử dụng định nghĩa) Giả sử f xác định trên D   . Ta có   max x D M f x        0 0 : f x M x D x D f x M            ;   min x D m f x        0 0 : f x m x D x D f x m            2. Quy tắc 2 (Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn): Để tìm giá GTLN, GTNN của hàm số f xác định trên đoạn   ;a b , ta làm như sau:  B1 Tìm các điểm 1 x , 2 x , …, m x thuộc khoảng   ;a b mà tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.  B2 Tính   1 f x ,   2 f x , …,   m f x ,   f a ,   f b .  B3 So sánh các giá trị tìm được ở bước 2. Số lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của f trên đoạn   ;a b ; số nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của f trên đoạn   ;a b .                 1 2 ; max max , , , , , m x a b f x f x f x f x f a f b    .                 1 2 ; min min , , , , , m x a b f x f x f x f x f a f b    . Quy ước. Khi nói đến GTLN, GTNN của hàm số f mà không chỉ rõ GTLN, GTNN trên tập nào thì ta hiểu là GTLN, GTNN trên tập xác định của f . B. Một số ví dụ Ví dụ 1. [ĐHD11] Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 2 3 3 1 x x y x     trên đoạn   0;2 . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 2 Giải. Ta có          2 2 2 2 4 3 1 2 3 3 2 4 ' 0 1 1 x x x x x x y x x              0;2x  . Lại có   0 3y  ,   17 2 3 y  . Suy ra   0;2 min 3 x y   ,   0;2 17 max 3 x y   . Nhận xét.  f đồng biến trên   ;a b              ; ; min max x a b x a b f x f a f x f b          ;  f nghịch biến trên   ;a b              ; ; min max x a b x a b f x f b f x f a          . Ví dụ 2. [ĐHB03] Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 4y x x   . Giải.   2;2TXÑ   . Ta có 2 2 2 4 ' 1 4 4 x x x y x x        (   2;2x   ). Với mọi   2;2x   , ta có ' 0y   2 4 0x x    2 4 x x   2 2 0 4 x x x        2x  . Vậy           min min 2 ; 2 ; 2 min 2;2;2 2 2y y y y      , đạt được  2x   ;           max max 2 ; 2 ; 2 min 2;2;2 2 2 2y y y y     , đạt được  2 . Ví dụ 3. [ĐHD03] Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 1 1 x y x    trên đoạn   1;2 . Giải. Ta có     2 2 2 2 2 1 1 1 1 ' 1 1 1 x x x x x y x x x           . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 3 Với mọi   1;2x   ta có ' 0y   1x  . Vậy         3 5 min min 1 ; 2 ; 1 min 0; ; 2 0 5 y y y y               , đạt được  1x   ;         3 5 max max 1 ; 2 ; 1 max 0; ; 2 2 5 y y y y               , đạt được  1x  . Ví dụ 4. [ĐHB04] Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 ln x y x  trên đoạn 3 1;e     . Giải. Ta có 2 2 2 2 ln 2 . ln 2ln ln ' x x x x x x y x x           . Với mọi   3 1;x e ta có ' 0y   2 2ln ln 0x x   ln 0x  hoặc ln 2x   1x  hoặc 2 x e  2 x e (   3 1 1;e ). Vậy         3 2 3 2 9 4 min min 1 ; ; min 0; ; 0y y y e y e e e          , đạt được  1x  .         3 3 2 2 9 4 4 max max 1 ; ; max 0; ;y y y e y e e e e          , đạt được  2 x e . Ví dụ 5. [ĐHD10] Tìm GTNN của hàm số 2 2 4 21 3 10y x x x x        . Giải. TXÑx   2 2 4 21 0 3 10 0 x x x x               3 7 2 5 x x           2 5x   , suy ra   2;5TXÑ=  . Ta có 2 2 2 2 3 ' 4 21 2 3 10 x x y x x x x            . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 4 ' 0y   2 2 2 2 3 4 21 2 3 10 x x x x x x             2 2 2 2 4 4 4 12 9 4 21 4 3 10 x x x x x x x x                   2 2 2 2 4 3 10 4 4 4 21 4 12 9x x x x x x x x            2 51 104 29 0x x    1 3 x  hoặc 29 17 x  . Thử lại, ta thấy chỉ có 1 3 x  là nghiệm của 'y .   2 3y   ,   5 4y  , 1 2 3 y         min 2y  , đạt được  1 3 x  . C. Bài tập Tìm GTLN, GTNN của các hàm số 1) 2 4y x  . 2) 2 2 5y x x   trên đoạn   2;3 . 3) 2 2 4y x x    trên đoạn   2;4 . 4) 3 3 3y x x   trên đoạn 3 3; 2        . 5) 3 2 1 2 3 4 3 y x x x    trên đoạn   4;0 . 6) 3 2 3 9 1y x x x    trên đoạn   4;4 . 7) 3 5 4y x x   trên đoạn   3;1 . 8) 4 2 8 16y x x   trên đoạn   1;3 . 9) 1 y x x   trên khoảng   0; . 10) 1 1 y x x    trên khoảng   1; . 11) 1 y x x   trên nửa khoảng   0;2 . 12) 2 x y x   trên nửa khoảng   2;4 . 13) 2 2 5 4 2 x x y x     trên đoạn   0;1 . 14) 4 4 sin cosy x x  . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 5 15) 2 2sin 2sin 1y x x   . 16) 2 cos 2 sin cos 4y x x x   . 17) 3 2 cos 6cos 9cos 5y x x x    . 18) 3 sin cos 2 sin 2y x x x    . 19) 3 sin 3 3siny x x   20) 2 2cos cos 1 cos 1 x y     BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 6 §2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức A. Nguyên tắc chung Việc giải bài toán dạng này gồm các bước như sau:  Xác định ẩn phụ t .  Từ giả thiết, tìm miền giá trị của t .  Đưa việc tìm GTLN, GTNN của biểu thức cần xét về việc tìm GTLN, GTNN của một hàm biến t trên miền giá trị của t . B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho x , 0y  thỏa mãn 4x y  . Tìm GTLN, GTNN của    3 3 1 1S x y   . Giải. Đặt t xy , suy ra   2 0 4 4 x y t     . Ta có S        3 2 3 1xy x y x y xy           3 2 4 4 3 1t t         3 12 63t t  . Xét hàm   3 12 63f t t t   , với   0;4t  . Ta có   2 ' 3 12 0f t t     0;4t     f t đồng biến trên   0;4 . Do đó        0;4 min min 0 63 t S f t f      , đạt được khi và chỉ khi 4 0 x y xy            ; 4;0x y  hoặc     ; 0;4x y  .        0;4 max max 4 49 t S f t f     , đạt được khi và chỉ khi 4 4 x y xy            ; 2;2x y  . Ví dụ 2. Cho x , 0y  thỏa mãn 2 2 2x y  . Tìm GTLN, GTNN của S x y xy   . Giải. Đặt t x y   0t  . Ta có     2 2 2 2 2 4t x y x y      2t  ,   2 2 2 2 2 2 2 2t x y x y xy x y         2t  . Suy ra 2;2t      . Lại có     2 2 2 2 1 1 2 2 x y x y xy t          2 1 1 2 S f t t t     . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 7 Ta có   ' 1 0f t t    với mọi   2;2t  ,   2 1f  ,   3 1 2 f  . Do đó    min 2 1S f  , đạt được  2 2 2 2 x y x y         1 1 x y      .    3 max 1 2 S f  , đạt được  2 2 1 2 x y x y         1 3 2 1 3 2 x y            hoặc 1 3 2 1 3 2 x y            . Ví dụ 3. Cho x , 0y  thỏa mãn 2 2 8x y  . Tìm GTLN, GTNN của 1 1 x y S y x     . Giải. Đặt t x y  , ta có     2 2 2 2 2 8 16x y x y       4t  ,   2 2 2 2 2 2 8x y x y xy x y        2 2t  . Suy ra 2 2 4t  . Lại có     2 2 2 2 8 2 2 x y x y t x y        . Ta có biến đổi sau đây S        1 1 1 1 x x y y y x           2 2 1 x y x y xy x y xy           2 2 2 8 8 1 2 t t t t t        2 8 2 2 6 t t t      . Xét hàm   2 8 2 6 t f t t t     với 2 2 4t  . Ta có            2 2 2 2 2 2 2 6 8 2 2 16 22 ' 0 2 6 2 6 t t t t t t f t t t t t                , : 2 2 4t t   . Suy ra f nghịch biến trên 2 2;4     . Do đó     2 2;4 2 min 4 3 t f t f        .     max 2 2 2f t f  . +)   2 2;4 4 2 min 3 t S f t         , dấu bằng xảy ra  2 2 8 4 x y x y         2x y  . Vậy 4 min 3 S  , đạt được  2x y  . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 8 +)   2 2;4 2 max 4 2 t S f t         , dấu bằng xảy ra  2 2 8 2 2 x y x y           0 2 2 x y        hoặc 2 2 0 x y        . Vậy 4 max 3 S  , đạt được  0 2 2 x y        hoặc 2 2 0 x y        . Ví dụ 4. Cho x , 0y  thỏa mãn 3x y xy   . Tìm GTLN, GTNN của 2 2 1 1 1 3 x y S y x x y        . Giải. Đặt t x y   2 3 0 3 4 xy t t t            3 2 3 xy t t        . Ta có S     3 3 2 2 1 1 1 3 x y x y x y x y                  3 2 3 2 1 1 3 x y xy x y x y xy xy x y x y                    3 2 3 3 2 3 1 3 1 3 t t t t t t t t            3 2 7 1 3 4 4 3 2 t t t t      . Xét hàm   3 2 7 1 3 4 4 3 2 t t f t t t       ,   2;3t  . Ta có     2 2 3 7 1 ' 2 0 4 4 3 t f t t t       ,   2;3t     1f đồng biến trên   2;3 . Do đó      4 2 5 S f t f   . Dấu “  ” xảy ra  3 2 x y xy x y          1x y   4 min 5 S  , Đạt được  1x y  .      35 3 6 S f t f   . Dấu “  ” xảy ra  3 3 x y xy x y          0 3 x y      hoặc 3 0 x y      . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 9  35 max 6 S  , Đạt được  0 3 x y      hoặc 3 0 x y      . Ví dụ 5. Cho x , y thỏa mãn 2 2 1x xy y   . Tìm GTLN, GTNN của 2 2 S x xy y   . Giải. Cách 1. Từ giả thiết suy ra         2 2 2 2 3 1 4 4 x y x y x y xy x y          . Do đó, nếu đặt   t x y  thì 2 3 1 4 t  , hay 2 3 2 3 ; 3 3 t         . Ta có   2 2 1 1xy x y t     , suy ra     2 2 2 2 3 3 1 2 3S x y xy t t t         . Xét hàm   2 2 3f t t   với 2 3 2 3 ; 3 3 t         . Ta có   ' 4f t t  ,   'f t có nghiệm duy nhất 2 3 2 3 0 ; 3 3 t            . Ta có   0 3f  , 2 3 2 3 1 3 3 3 f f                    . Do đó  1 min 3 S  , đạt được chẳng hạn khi 2 2 2 3 3 1 x y x xy y              2 2 3 3 1 x y x y xy            2 3 3 1 3 x y xy              1 1 ; ; 3 3 x y        .  max 3S  , đạt được khi và chỉ khi 2 2 0 1 x y x xy y            2 0 1 x y x y xy            0 1 x y xy             ; 1; 1x y   hoặc     ; 1;1x y   . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 10 Cách 2. Ta có 2 2 2 2 x xy y S x xy y      .  Xét 0y  . Khi đó 1S  .  Xét 0y  . Chia cả tử và mẫu của S cho 2 y và đặt x t y  , ta được 2 2 2 1 2 1 1 1 t t t S t t t t          . Xét hàm   2 2 1 1 t f t t t     , ta có       2 2 2 2 1 ' 1 t f t t t     . Bảng biến thiên của hàm   f t :   2 2 lim lim 1 1 1 1 1 t t t f t t t                  . Suy ra: +) 1 min 3 S  , đạt được khi và chỉ khi 2 2 1 1 x y x xy y             1 1 ; ; 3 3 x y        hoặc   1 1 ; ; 3 3 x y          . +) max 3S  . Đạt được khi và chỉ khi 2 2 1 1 x y x xy y                ; 1; 1x y   hoặc     ; 1;1x y   . Ví dụ 6. [ĐHB09] Cho x , y thỏa mãn   3 4 2x y xy   . Tìm GTNN của     4 4 2 2 2 2 3 2 1A x y x y x y      . Giải. Áp dụng bất đẳng thức     2 2 2 3 4 a b ab a b    với 2 a x , 2 b y ta được [...]... GTLN, GTNN của biểu thức P 2  x 2  6 xy  1  2 xy  2 y 2 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 14 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Bài 10 Cho x , y thỏa mãn x 2  y 2  xy  1 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức S  x 2  2 xy  y 2 Bài 11 Cho x , y thỏa mãn 2 x 2  y 2  xy  1 Tìm GTNN của biểu... Tìm GTLN, GTNN của biểu thức S  x4  y 4  x 2 y 2 Bài 6 Cho x , y thỏa mãn x 2  y 2  1 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức S  1 x  1 y Bài 7 [ĐHD12] Cho x , y thỏa mãn  x  4    y  4   2 xy  32 Tìm GTNN của 2 2 A  x 3  y 3  3  xy  1 x  y  2  Bài 8 [ĐHA06] Cho x  0 , y  0 thỏa mãn  x  y  xy  x 2  y 2  xy Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  1 1  x3 y 3 Bài 9 [ĐHB08]... t t  2  2  1  1  99 nghịch biến trên  0;  Vậy min S  3 f    , đạt được khi và chỉ khi  2 2 4 Xét hàm f  t   t 2  THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 12 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ x  y  z 1  3 1  x yz 2  xyz  2  Ví dụ 9 [ĐHA03] Cho x , y , z  0 thỏa... THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 11 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 2  5 3 2t 2  1   2 2t 2  1   2t 2  1  5  t 3  3   t  t  2     2  t  t   4  2t  t  2 2      Xét hàm f  t    t   5 3  2t  t  , với t   36 ; 36  Ta có f '  t    5  6t... 13 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC Cách 2  x  y  z  TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2       81 x  y  z        80  x  y  z  x y z x y z 2 1 1 1 2  2 81 x  y  z       80  x  y  z  x y z 2 1 1 1 2  18  x  y  z       80  x  y  z   18.9 – 80  82 x y z Từ đó suy ra điều phải chứng minh C Bài. ..BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC x 4  y 4  x2 y 2   TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 2 2 3 2  x  y 2   A  9  x2  y 2   2  x2  y 2   1 4 4 Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức 4xy   x  y  , ta có 2  x  y ... Bài tập Bài 1 [ĐHD09] Cho x , y  0 thỏa mãn x  y  1 Tìm GTLN, GTNN của S   4 x 2  3 y  4 y 2  3x   25xy Bài 2 Cho x , y  0 thỏa mãn x  y  1 Tìm GTLN, GTNN của x y  y 1 x 1 Bài 3 Cho x , y  0 thỏa mãn x  y  1 Tìm GTLN, GTNN của S S   x 2  1 y 2  1  x 2  y 2  1 Bài 4 Cho x , y  0 thỏa mãn x  y  xy  3 Tìm GTLN, GTNN của S x y 6   x  2 y  2 x  y 1 Bài 5 Cho... được   x; y    ;  hoặc  x; y     ;   16 2 2  2 2 Ví dụ 7 [ĐHB12] Cho các số thực x , y , z thỏa mãn các điều kiện x  y  z  0 và Vậy min S  x 2  y 2  z 2  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x 5  y 5  z 5 Giải Từ x  y  z  0 suy ra z    x  y  , thay z    x  y  vào đẳng thức thứ hai của giả thiết, ta được 1  x 2  y 2   x  y   2  x  y   2 xy  2 ... GTNN của biểu thức S  x2  y 2 3 Tìm GTNN của biểu thức 2 1 1 1 S  x yz   x y z Bài 13 [ĐHB10] Cho a , b , c  0 thỏa mãn a  b  c  1 Tìm GTNN của biểu thức Bài 12 Cho x , y , z  0 thỏa mãn x  y  z  M  3  a 2b 2  b 2 c 2  c 2 a 2   3  ab  bc  ca   2 a 2  b 2  a 2 Bài 14 Cho x , y , z  0 thỏa mãn x  y  z  P 3 Tìm GTNN của biểu thức 2 x y x x5 y 5 z 5  2  2  ...   x  y 2 1  t   2 2 Đặt t  x 2  y 2   9 2  A  f t  t  2t  1    4 9 1 1 9 Xét hàm f  t   t 2  2t  1 , t  Ta có f '  t   t  2  0 t   f  t  đồng biến trên 4 2 2 2 1 1  1 9  2 ;    f  t   f  2   16 t  2     Như vậy S  9 , dấu “  ” xảy ra khi và chỉ khi 16 x  y  1 1  1 1  2 1   x; y    ;  hoặc  x; y     ;   2 2 2  2 . TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ §1. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số A. Tóm tắt lý thuyết Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức A. Nguyên tắc chung Việc giải bài toán dạng này gồm các bước như sau:  Xác định ẩn phụ t .  Từ giả thiết, tìm miền giá trị của t . .    BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 12 2 2