Tuyển tập một số Đề Thi HSG cấp Huyện (có đáp án)

9 574 0
Tuyển tập một số Đề Thi HSG cấp Huyện (có đáp án)

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

Phòng GD & ĐT quỳ hợp kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2009 2010 Đề chính thức Môn Thi: Toán 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu1. Chứng minh rằng nếu ba số a , a + k , a + 2k đều là số nguyên tố lớn hơn 3 thì k chia hết cho 6. Câu2. Cho biểu thức A = + + 1 2 1 1 : 1 1 x xxxx x a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của biểu thức A khi 223 +=x . c) Tìm các giá trị của x sao cho A < 0. Câu 3. Cho 0 ++ cba . Chứng minh rằng: .0 3 333 ++ cba cbaabc Câu4. a) Giải phơng trình sau: 1)3(13 22 ++=++ xxxx . b) Cho a, b, c, d là các số nguyên không âm thoả mãn: =+ =+++ 622 36432 222 2222 dba dcba Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2222 dcba +++ . Câu5. Cho (O;R) và điểm S nằm ngoài đờng tròn với SA, SB là hai tiếp tuyến. Đờng thẳng a đi qua S cắt (O) tại M và N ( M nằm giữa S và N, a không đi qua O). Gọi I là trung điểm của MN, hai đờng thẳng AB và OI cắt nhau tại E. a) Chứng minh OI. OE = R 2 . b) Cho SO = 2R; MN= R 3 . Hãy tính số đo góc NSO. c) Với SO = 2R; MN = R 3 . Tính diện tích tam giác ESM . ======= Hết ====== L u ý: Học sinh bảng A làm cả 5 câu; Học sinh bảng B không phải làm câu 4b Học sinh bảng C không phải làm câu 4b và Câu5c Giám thị coi thi không giải thích gì thêm) đáp án và biểu điểm 1 Câu Nội dung Bảng A Bảng B Bảng C Câu1 3đ Do a; a + k; a + 2k đều là số nguyên tố lớn hơn 3 nên đều là số lẽ và không chia hết cho 3. + Vì a và a+k đều lẽ nên (a+k) - a = k 2 (1) + Vì a; a+k; a+ 2k đều không chia hết cho 3 nên khi chia cho 3 thì ít nhất có hai số có cùng số d, khi đó * Nếu a và a+k có cùng số d thì (a+k) - a = k 3 *Nếu a và a+ 2k có cùng số d thì (a+2k) - a = 2k 3 nhng (2;3) = 1 nên k 3 * Nếu a+k và a+2k có cùng số d thì (a+2k) - (a+k) =k 3 Vậy ta có k 3 (2) từ (1) và (2) và do (2;3) = 1 ta suy ra k 6 (đpcm) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu2 4đ a) ĐK x > 0 và x 1 A = ( ) ( )( ) + + + 11 2 1 1 : 1 1 1 xxxxxx x = ( ) ( )( ) 11 21 : 1 1. + + xx x xx xx = ( ) ( )( ) 11 1 : 1 1 + + xx x xx x = ( ) ( ) 1 1 : 1 1 xxx x = ( ) ( ) 1 1 . 1 1 x xx x = x x 1 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 b) x= 3+2 2 = ( 1 + 2 ) 2 => x = 1+ 2 => A = ( ) 2 21 212 21 1223 = + + = + + 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 c) A < 0 < => x x 1 < 0 < => x- 1 < 0 x<1 x > 0 < => x>0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu3 3đ Ta có: 3abc - a 3 - b 3 - c 3 = - (a +b) 3 - c 3 + 3a 2 b + 3ab 2 +3abc = - [(a+b) + c][(a+b) 2 - ( a+b)c + c 2 ] + 3ab(a+b+c) = - (a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 - ab - bc - ac) = - ( ) acbcabcba cba 222222 2 222 ++ ++ = - ( ) ( ) ( ) ( ) 222 2 accbba cba ++ ++ Do đó ( ) ( ) ( ) 0 2 3 222 333 ++ = ++ accbba cba cbaabc (đpcm) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,75 0,5 0,5 0,5 0,75 0,5 0,75 0,5 0,5 0,5 0,75 0,5 Câu4 4đ a) (3đ) x 2 + 3x +1 = ( x+3) 1 2 + x < => x 2 + 3x +1 - ( x+3) 1 2 + x = 0 < => ( 1 2 + x ) 2 - x. 1 2 + x + 3x - 3 1 2 + x = 0 < => 1 2 + x ( 1 2 + x - x ) - 3( 1 2 + x - x) = 0 < => ( 1 2 + x - x)( 1 2 + x - 3) = 0 < => 1 2 + x - x = 0 < => 1 2 + x = x 1 2 + x - 3 = 0 1 2 + x = 3 < => x 2 +1 = x 2 ( vô nghiệm) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,75 0,5 0,5 0,5 0,75 0,75 0,5 0,5 0,5 0,75 2 H I N M E O S B A Phòng GD & ĐT yên thành kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2006 2007 Đề chính thức Môn Thi: Toán 9 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bài 1: Cho biểu thức: A = + + + xxx 1 1. 1 1 1 1 a) Tìm tập xác định và rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của x để AA > . Bài 2 : Giải các phơng trình sau: a) 11 =+ xx b) 21212 =++ xxxx c) 5634224 ++=+++ zyxzyx Bài 3: a) Cho 2 số không âm a và b. Chứng minh rằng: ab ba + 2 , dấu =xảy ra khi nào? b) Tìm cặp số x, y sao cho: xyxyyx =+ 11 . c) Cho 0 < a, b, c < 2. Chứng minh có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau đây là sai: a(2 b) > 1; b(2 c) > 1; c(2 a) > 1 Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở A,đờng cao AH. Gọi D và E lần lợt là hình chiếu của điểm H trên AB và AC. Biết BH=4cm, CH=9cm. a) Tính độ dài đoạn DE . b) Chứng minh: AD.AB = AE.AC c) Chứng minh: AH 3 = BC.BD.CE. Bài 5: Cho n số a 1 ; a 2 ; ; a n , mỗi số trong chúng bằng 1 hoặc bằng (1) và a 1 a 2 + a 2 a 3 + + a n a 1 = 0. Hỏi n có thể bằng 2006 đợc không? Tại sao? ======= Hết ====== Giám thị coi thi không giải thích gì thêm) đáp án, biểu điểm chấm môn toán 9 Bài Nội dung Điểm 1 (1,5đ) Câu a:1 điểm, câu b: 0,5 điểm a)TXĐ = { 1;0/ > xxRx } 0.5 3 A= x x x xx 1 . 1 11 + ++ = 1 2 )1)(1( )1(2 )1( )1(2 = + + = + xxx x xx xx b) 10)1( <>> AAAAA (Điều kiện:A 0 101 >> xx ) 93121 1 2 ><<< xxx x (Thỏa mãn) Vậy với x>9 thì AA > 0.5 0.25 0.25 2 (3đ) Câu a:1 điểm. Câu b: 1 điểm. Câu c: 1điểm a) 11 =+ xx Điều kiện:x 1 2 )1(1 =+ xx 0)1( = xx 0 = x (loại) hoặc x=1 (Thỏa mãn) b) 21212 =++ xxxx 22 )11()11( ++ xx =2 1111 ++ xx =2 Điều kiện x 1 Nhận xét: =++ 1111 xx 1111 ++ xx 2 Dấu bằng xẩy ra khi )11 +x .(1- )1x 0 2-x 0 x 2 Vậy nghiệm của phơng trình là:1 2 x 0) x+y+z+4 = 2 56342 ++ zyx Điều Kiện :x 5;3;2 zy [ ] [ ] [ ] 095.6)5(43.4)3(122)2( =+++++ zzyyxx 2 )12( x + 0)35()23( 22 =+ zy = = = 035 023 012 z y x = = = 14 7 3 z y x Là nghiệm 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 3 (2đ) Câu a:0,5 điểm. câu b: 1 điểm. câu c: 0.5 điểm a) vì a và b không âm nên tồn tại a và b Ta có 0)( 2 ba 02 + abba abba 2+ ab ba + 2 Dấu = xảy ra khi a=b 0.25 0.25 4 3 (2,0đ) b) Điều kiện : x 1 ; y 1 2 1 22 11 )1(11 xy xy xx xx = + = (1) Tơng tự 2 1 2 1 xy yx y y (2) Từ (1) và (2) ta có : x xyxyy + 11 Dấu "="xảy ra = = 11 11 y x = = 2 2 y x c) Giả sử các BĐT trên đều đúng. Khi đó nhân vế với vế các BĐT lại với nhau ta đợc: a(2 - b)b(2 - c)c(2 -a) > 1 (1) Ta lại có a(2 - a) = 2a - a 2 = 1 - (1-a) 2 1 Tơng tự b(2 - b) 1 c(2 - c) 1 Do 0 < a, b, c < 2 nên a( 2 - a) > 0; b(2 - b) > 0; c(2 - c) > 0 Suy ra: a(2 - a)b(2 - b)c(2 - c) 1 Mâu thuẫn với (1) Vậy có ít nhất một trong các BĐT đã cho là sai. 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 4 (2,5đ) Câu a: 1điểm; câu b: 1điểm; câu c: 0.5đ a) Tứ giác ABCD là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông DE = AH Tam giác ABC vuông ở A, có AH BC, nên AH 2 =BH.CH=4.9=36 AH=6(cm) Vậy DE=6cm. b) Ta có AH 2 =AD.AB ; AH 2 =AE.AC AD.AB=AE.AC c) Ta có AH 2 =BH.CH AH 4 =BH 2 CH 2 =AB.BD.AC.CE=AH.BC.BD.CE AH 3 =BC.BD.CE 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 5 (1đ) Vì a j = + 1 nên a i a j = + 1 Do đó tổng n số hạng a 1 a 2 + a 2 a 3 + + a n a 1 mỗi số hạng bằng 1 hoặc -1. Mà tổng này bằng 0 (g thiết) nên suy ra n chẵn. Giả sử n = 2k với k số hạng bằng 1, k số hạng bằng -1. Tích của n số hạng đó (a 1 a 2 )(a 2 a 3 ) (a n a 1 ) = (a 1 a 2 a n ) 2 = 1 Nên số hạng bằng -1 phải là số chẵn, k = 2p Vậy n = 2k = 4 p. Mà 2006 không chia hết cho 4, suy ra n không thể bằng 2006. 0.5 0.25 0.25 Các cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa Phòng GD & ĐT quỳ hợp kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2009 2010 Đề chính thức Môn Thi: Toán 9 (Vòng 2) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 A B C D E H Bài 1: Tìm tất cả các số tự nhiên có ba chử số abc sao cho: = = 2 2 )2( 1 ncba nabc . Bài 2: Tìm các nghiệm của phơng trình 0 2 =++ qpxx . Biết rằng chúng là số nguyên và 10=+ qp . Bài 3: Giải phơng trình: 3)1071)(25( 2 =+++++ xxxx Bài 4: a) Cho a, b, c N * . Chứng minh rằng: 21 < + + + + + < ac c cb b ba a b) Cho hai số x, y thoả mãn hệ thức 4 4 1 8 2 22 =++ x yx . Xác định x, y để tích x.y đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 5: Cho nữa đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R. M, N là hai điểm trên nữa đờng tròn (O) sao cho M thuộc cung AN và tổng khoảng cách từ A, B đến đờng thẳng MN bằng R 3 . a) Tính độ dài MN theo R. b) Gọi I là giao điểm của AN với BM, K là giao điểm của AM với BN. Chứng minh M, N, I, K cùng thuộc một đờng tròn. Tính bán kính đờng tròn đó. c) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác KAB theo R khi M, N thay đổi nhng vẩn thoả mãn giả thiết bài toán. ======= Hết ====== Giám thị coi thi không giải thích gì thêm Phòng GD & ĐT nghi lộc kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2009 2010 Đề chính thức Môn Thi: Toán 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bài 1: Chứng minh rằng: A = 2130 3921 + chia hết cho 45. Bài 2: Giải phơng trình và hệ phơng trình sau: a) 5168143 =++++ xxxx . 6 b) += =+ ))(( 2 20102010 22 yxxyyx yx Bài 3: Tìm tích abc biết rằng: =++ =++ 1 1 333 222 cba cba Bài 4: Cho 1 22 =+ yx . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = )2)(2( yx . Bài 5: Cho tam giác ABC có AH là đờng cao, nội tiếp đờng tròn tâm O đờng kính BC. Đờng tròn tâm O đờng kính AH cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ 2 là G, cắt AB và AC lần lợt tại M và N . a) Chứng minh : AM.AB = AN.AC. b) Các tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại M và N cắt BC lần lợt tại I và K. so sánh IK và BC. c) Chứng minh các đờng thẳng : AG; NM và CB cùng đi qua một điểm. ======= Hết ====== Giám thị coi thi không giải thích gì thêm) h ớng dẫn chấm toán lớp 9. Bài 1 (3,0 đ): A= 21 30 + 39 21 = 3 30 . 7 30 + 3 21 . 13 21 0,5 đ A= 3 21 ( 3 9 .7 30 + 13 21 ) Kết luận đợc A chia hết cho 9 (1) 0,5 đ A= 21 30 + 39 21 = (21 30 -1) + (39 21 + 1) 0,5 đ A= (21-1)P + (39+1)Q (P và Q nguyên) 0,5 đ A = 20(P+2Q) chia hết cho 5 (2) 0,5 đ Vì (5;9)=1 kết hợp (1) và (2) ta có A chia hết cho 45. 0,5 đ Bài 2: a, Nhận xét : = (3.0 đ) = 2 3)-1( x Vậy tìm đợc ĐK là: x 1 0,75 đ 0,5 đ HS biến đổi đợc: + 2 3)-1( x = 5 +2+ = 5 0,5 đ + Nếu x 10, ta có : +2+-3=5 x=10 (thoả mãn) 0,5 đ + Nếu 1 x<10, ta có 5=5 (luôn đúng) Vậy nghiệm của phơng trình là 1 x 10 0,75 đ 7 b, Điều kiện x,y 0 (2,0 đ) Từ 2yx 22 =+ (x,y) (0,0) x 2010 +y 2010 > 0 0,5 đ Nếu x>y thì PT thứ 2 có VT > 0 > VP ( Vô nghiệm) Nếu y>x thì PT thứ 2 có VP > 0 > VT (Vô nghiệm) 0,5 đ 0,5 đ Nếu x=y , HS kết luận đợc thoả mãn PT thứ 2. Thay vào PT thứ nhất và tìm đợc: x = y = 1 0,5 đ Bài 3 (2,0 đ): Ta có 1 222 =++ cba nên 1;1;1 cba 0,5 đ Ta có : 0)()( 333222 =++++ cbacba => 0)1()1()1( 222 =++ ccbbaa 0,5 đ Vì 0)1(;0)1(;0)1( 222 ccbbaa => 0)1()1()1( 222 === ccbbaa 0,5 đ Nếu a=b=c=1 thì trái với giả thiết a 2 =b 2 =c 2 =1. HS kết luận đợc có ít nhất 1 số bằng 0 vậy tích abc = 0. 0,5 đ Câu 4: Ta có: S = 4-2x-2y+xy (3,0 đ) 2S = 8 - 4x 4y + 2xy 2S = 1+4+3 - 4x 4y + 2xy 0,5 đ 2S = x 2 + y 2 + 4 - 4x 4y + 2xy +3 2S =(x+y-2) 2 + 3 S = 2 3 2)-y(x 2 ++ 0,25 đ Vậy S max (x+y-2) 2 đạt max và S min (x+y-2) 2 đạt min 0,25 đ Ta có (x-y) 2 0 với mọi x,y 2xy x 2 +y 2 (x+y) 2 2(x 2 +y 2 )=2 - x+y 0,5 đ - -2 x+y-2 -2 < 0 0,5 đ S = = Vậy S Max = Đẳng thức xảy ra x=y= - 0,5 đ S 2 249 2 34242 2 3)22( 2 = ++ = + Vậy S Min = Đẳng thức xảy ra x=y= 0,5 đ 8 Bài 5:a) (2 đ) HS kết luận đợc : AM.AB = AH 2 (0,75 đ) AN.AC = AH 2 (0,75 đ) AM.AB = AN.AC (0,5 đ) b) Kết luận đợc IMH cân tại I (0,5 đ) Kết luận đợc : MI=BI=IH . (0,75 đ) IH=1/2 BH. (0,25 đ) Tơng tự kết luận đợc: HK =1/2 HC. (1,5 đ) IK = 1/2 BC. (0,5 đ) C) (2,0 đ) Nối AO căt MN tại P; gọi giao AG và CB là S. Kết luận đợc OAC = OCA ONA = OAN OAC+ ONA= OCA+ OAN =90 0 0,5 đ Rút ra đợc: MN AO (1) 0,25 đ OO là đờng nối tâm của (O) và (O) nên OO AG hay OO AS 0,5 đ Xét tam giác : SAO có AH là đờng cao; OO là đờng cao => O là trực tâm của tam giác . 0,25 đ => SO AO (2) kết hợp với (1) => SO và MN cùng vuông góc với AO 0,25 đ Và có chung điểm O => đờng thẳng SO trùng đờng thẳng MN => S; M; N thẳng hàng => AG; MN và BC đồng quy (ĐPCM) 0,25 đ 9 (3,0 đ) . Phòng GD & ĐT quỳ hợp kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2009 2010 Đề chính thức Môn Thi: Toán 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) . . . . . . . . . . . . . Câu5c Giám thị coi thi không giải thích gì thêm) đáp án và biểu điểm 1 Câu Nội dung Bảng A Bảng B Bảng C Câu1 3đ Do a; a + k; a + 2k đều là số nguyên tố lớn hơn 3 nên đều là số lẽ và không chia. nghiệm) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,75 0,5 0,5 0,5 0,75 0,75 0,5 0,5 0,5 0,75 2 H I N M E O S B A Phòng GD & ĐT yên thành kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2006 2007 Đề chính thức Môn Thi: Toán 9 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề) . . . . . . . . . . . . . .

Ngày đăng: 19/06/2015, 02:00

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan