trờng THCS Mã thành yên thành nghệ an * * * Tổ KH tự nhiên Chửụng II. Haứm soỏ Haứm soỏ baọc nhaỏt Giáo viên biên soạn: Nguyễn Bá Phúc Hàm số là chơng học tơng đối khó và chứa đựng nhiều khái niệm mới, đồng thời hàm chứa nhiều dạng bài tập hay. Trong các kì thi vào lớp 10 THPT kiến thức về hàm số luôn đóng một vai trò quan trọng về điểm số (Từ 1 đến 2 điểm). Song Học Sinh lại hay mất điểm về phần này vì dể lẩn lộn giửa các khái niệm. Chính vì thế, mà bài viết này với mong muốn giúp các em Học Sinh phần nào khắc phục đợc một số sai sót không đáng có, từ đó có kết quả tốt hơn trong quá trình học tập và thi cử của mình. A. lí thuyết. 1. Khái niệm hàm số. Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng x sao cho cứ mổi giá trị của x chỉ cho đúng một giá trị y duy nhất thì y đợc gọi là hàm số của x. Kí hiệu: y = f(x) 2. Tính chất chung của hàm số. Với x 1 và x 2 bất kì thuộc R: - Nếu x 1 < x 2 mà f(x 1 ) < f(x 2 ) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R. - Nếu x 1 < x 2 mà f(x 1 ) > f(x 2 ) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên R. 3. Hàm số bậc nhất. a) Khái niệm hàm số bậc nhất. Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng y = a.x + b trong đó a, b là các số cho trớc và a 0. b) Tính chất: (tính đồng biến, nghịch biến của hàm số) Hàm số bậc nhất y = a.x + b (a 0) +) Đồng biến a > 0 +) Nghịch biến a < 0. Ví dụ: Hàm số y = 2x 1 là hàm số đồng biến. (vì a = 2 > 0) Hàm số y = 3x + 2 là hàm số nghịch biến. (vì a = 3 < 0) c) Đồ thị của hàm số bậc nhất y = a.x + b (a 0) *) Nhận xét: Đồ thị của hàm số bậc nhất y = a.x + b (a 0) là một đờng thẳng. *) Cách vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất y = a.x + b (a 0) Dựa vào nhận xét trên ta có thể vẽ Đồ thị của hàm số bậc nhất y = a.x + b(a 0) nh sau: B ớc 1 . Xác định hai điểm thuộc đồ thị của hàm số bằng cách: Cho x = 0 rồi tính y = ? để có điểm thứ nhất. Cho x = k rồi tính y = ? để có điểm thứ hai. (thông thờng ta nên cho x = 1 để việc tính y đợc dể dàng) B ớc 2 . Vẽ hai điểm vừa xác định trên cùng một hệ trục toạ độ. B ớc 3 . Kẻ đờng thẳng đi qua hai điểm vừa vẽ để có đồ thị của hàm số. Ví dụ 1. Vẽ đồ thị của hàm số y = 2x + 1 Giải: Với x = 0 thì y = 1 Với x = 1 thì y = 3 Đồ thị của hàm số y = 2x + 1 sẽ đi qua hai điểm (0; 1) và (1; 3) Ta có đồ thị của hàm số cần vẽ là: n tập đại số 9 * * * Giáo viên: Nguyễn bá phúcÔ 1 trờng THCS Mã thành yên thành nghệ an * * * Tổ KH tự nhiên Ví dụ 2. Vẽ đồ thị của hai hàm số y = x + 1 và y = 2 x trên cùng một hệ trục toạ độ. Giải: Xét hàm số: y = x + 1. Với x = 0 thì y = 1 Với x = 1 thì y = 2 Đồ thị của hàm số y = x + 1 sẽ đi qua hai điểm (0; 1) và (1; 2) Xét hàm số: y = 2 x. Với x = 0 thì y = 2 Với x = 1 thì y = 1 Đồ thị của hàm số y = x + 1 sẽ đi qua hai điểm (0; 2) và (1; 1) Ta có đồ thị của hai hàm số cần vẽ là: 4. Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b (a 0) a) Khái niệm hệ số góc: Nếu đờng thẳng y = ax + b tạo với trục hoành một góc thì tg đợc gọi là hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b. Chú ý: a = tg Ví dụ: Hệ số góc của đờng thẳng y = 2x 3 là 2. b) Tính chất: *) Tính chất 1. Nếu đờng thẳng (d): y = ax + b tạo với trục hoành Ox một góc thì: +) là góc nhọn a > 0 +) là góc tù a < 0 *) Tính chất 2. Nếu hai đờng thẳng (d 1 ): y = a 1 x + b 1 và (d 2 ): y = a 2 x + b 2 lần lợt tạo với trục hoành Ox các góc 1 và 2 thì: 1 < 2 a 1 < a 2 5. Sự tơng giao của hai đờng thẳng Với hai đờng thẳng (d 1 ): y = a 1 x + b 1 và (d 2 ): y = a 2 x + b 2 thì: +) (d 1 ) cắt (d 2 ) a 1 a 2. +) (d 1 ) // (d 2 ) a 1 = a 2. và b 1 b 2. +) (d 1 ) trùng với (d 2 ) a 1 = a 2. và b 1 = b 2 Chú ý: (d 1 ) vuông góc với (d 2 ) a 1 . a 2 = - 1 B. Các dạng bài tập liên quan. Dạng 1. Tìm diểm cố định mà đờng thẳng (d) hoặc đồ thị hàm số y = ax + b luôn đi qua. n tập đại số 9 * * * Giáo viên: Nguyễn bá phúcÔ 2 trờng THCS Mã thành yên thành nghệ an * * * Tổ KH tự nhiên Bớc 1. Giả sử điểm cố định mà đờng thẳng (d) luôn đi qua là (x 0 ; y 0 ). Bớc 2. Thay x = x 0 và y = y 0 vào (d), rồi biến đổi để đa phơng trình đó về dạng: A. m + B = 0. (1) Bớc 3. Cho các hệ số của phơng trình (1) bằng 0 để tìm đợc x 0 và y 0 . Bớc 4. Kết luận. Ví dụ 1. Tìm điểm cố định mà họ đờng thẳng y = m.x 2m + 3 (d) luôn đi qua. (Với m là tham số) Giải: Giả sử điểm cố định mà họ đờng thẳng (d) luôn đi qua là (x 0 ; y 0 ). Thay x = x 0 và y = y 0 vào (d) ta đợc: y 0 = m.x 0 2m + 3 m.x 0 2m +3 y 0 = 0 (x 0 2).m +(3 y 0 ) = 0 (1) Vì (x 0 ; y 0 ) là điểm cố định mà họ đờng thẳng (d) luôn đi qua nên phơng trình (1) phải có nghiệm với mọi giá trị của tham số m. = = 03 02 0 0 y x = = 3 2 0 0 y x Vậy điểm cố định mà họ đờng thẳng (d) luôn đi qua là (2; 3) Ví dụ 2. Tìm điểm cố định mà họ đồ thị hàm số y = (m 2)x 3m 1 luôn đi qua. (Với m là tham số) Giải: Giả sử điểm cố định mà họ đồ thị hàm số y = (m 2)x 3m 1 luôn đi qua là (x 0 ; y 0 ). Thay x = x 0 và y = y 0 vào hàm số đã cho ta đợc: y 0 = (m 2)x 0 3m 1 (m 2)x 0 3m 1 y 0 = 0 mx 0 2x 0 3m 1 y 0 = 0 (mx 0 3m) (2x 0 + 1 + y 0 ) = 0 (x 0 3).m (2x 0 + 1 + y 0 ) = 0 (1) Vì (x 0 ; y 0 ) là điểm cố định mà họ đồ thị hàm số y = (m 2)x 3m 1 luôn đi qua nên phơng trình (1) phải có nghiệm với mọi giá trị của tham số m. =++ = 012 03 00 0 yx x = = 12 3 00 0 xy x = = 7 3 0 0 y x Vậy điểm cố định mà họ đồ thị hàm số y = (m 2)x 3m 1 luôn đi qua là (3; 7) Ví dụ 3. Tìm điểm cố định mà họ đờng thẳng y = (3 1 2 m)x m +2 (d) luôn đi qua. (Với m là tham số) Giải: Giả sử điểm cố định mà họ đờng thẳng (d) luôn đi qua là (x 0 ; y 0 ). Thay x = x 0 và y = y 0 vào (d) ta đợc: y 0 = (3 1 2 m)x 0 m +2 (3 1 2 m)x 0 m +2 y 0 = 0 3.x 0 1 2 m.x 0 m + 2 y 0 = 0 n tập đại số 9 * * * Giáo viên: Nguyễn bá phúcÔ 3 trờng THCS Mã thành yên thành nghệ an * * * Tổ KH tự nhiên ( 1 2 mx 0 + m) + (3x 0 + 2 y 0 ) = 0 ( 1 2 x 0 + 1).m (3x 0 + 2 y 0 ) = 0 (1) Vì (x 0 ; y 0 ) là điểm cố định mà họ đờng thẳng (d) luôn đi qua nên phơng trình (1) phải có nghiệm với mọi giá trị của tham số m. =+ =+ 023 01 2 1 00 0 yx x += =+ 23 02 00 0 xy x = = 4 2 0 0 y x Vậy điểm cố định mà họ đờng thẳng (d) luôn đi qua là ( 2; 4) Ví dụ 4. Chứng minh rằng: Họ đồ thị của hàm số y = (3m 1)x + m 4 luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của tham số m. Giải: Giả sử điểm cố định mà họ đồ thị hàm số y = (3m 1)x + m 4 luôn đi qua là (x 0 ; y 0 ). Thay x = x 0 và y = y 0 vào hàm số đã cho ta đợc: y 0 = (3m 1)x 0 + m 4 (3m 1)x 0 + m 4 y 0 = 0 3mx 0 x 0 + m 4 y 0 = 0 (3mx 0 + m) (x 0 + 4 + y 0 ) = 0 (3x 0 + 1).m (x 0 + 4 + y 0 ) = 0 (1) Vì (x 0 ; y 0 ) là điểm cố định mà họ đồ thị hàm số y = (3m 1)x + m 4 luôn đi qua nên phơng trình (1) phải có nghiệm với mọi giá trị của tham số m. =++ =+ 04 013 00 0 yx x = = 4 13 00 0 xy x = = 3 11 3 1 0 0 y x Họ đồ thị hàm số y = (3m 1)x + m 4 luôn đi qua điểm cố định là ( 3 1 ; 3 11 ) đpcm. Dạng 2. Tìm điểm toạ độ giao điểm của 2 đờng thẳng (d 1 ): y = a 1 x + b 1 và (d 2 ): y = a 2 x + b 2 . Bớc 1. Giả sử tọa độ giao điểm của 2 đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ) là (x 0 ; y 0 ). Bớc 2. Thay x = x 0 và y = y 0 vào (d 1 ) để đợc phơng trình (1) Thay x = x 0 và y = y 0 vào (d 2 ) để đợc phơng trình (2) Bớc 3. Giải hệ 2 phơng trình (1) và (2) để tìm đợc x 0 và y 0 . Bớc 4. Kết luận. Chú ý: Nếu I(x 0 ; y 0 ) là toạ độ giao điểm của (d 1 ) và (d 2 ) thì: +) Điểm I nằm về phía bên phải trục tung Oy x 0 > 0. +) Điểm I nằm về phía bên trái trục tung Oy x 0 < 0. +) Điểm I nằm về phía trên trục hoành Ox y 0 > 0. +) Điểm I nằm về phía dới trục hoành Ox y 0 < 0. +) Điểm I nằm ở trên trục tung Oy x 0 = 0. +) Điểm I nằm ở trên trục hoành Ox y 0 = 0. Ví dụ 1. Tìm toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng (d 1 ): y = x 1 và (d 2 ): y = 2x 3. n tập đại số 9 * * * Giáo viên: Nguyễn bá phúcÔ 4 trờng THCS Mã thành yên thành nghệ an * * * Tổ KH tự nhiên Giải: Giả sử tọa độ giao điểm của 2 đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ) là (x 0 ; y 0 ). Thay x = x 0 và y = y 0 vào (d 1 ) ta đợc: y 0 = x 0 1 (1) Thay x = x 0 và y = y 0 vào (d 2 ) ta đợc: y 0 = 2x 0 3 (2) Từ (1) và (2) 2x 0 3 = x 0 1 x 0 = 2 Thay x 0 = 2 vào phơng trình (1) ta đợc y 0 = 1. Vậy toạ độ giao điểm của (d 1 ) và (d 2 ) là (2; 1) Ví dụ 2. Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = 3x + 2 và y = 2 x. Giải: Giả sử tọa độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số đã cho là (x 0 ; y 0 ). Thay x = x 0 và y = y 0 vào hàm số y = 3x + 2 ta đợc: y 0 = 3x 0 + 2 (1) Thay x = x 0 và y = y 0 vào hàm số y = 2 x ta đợc: y 0 = 2 x 0 (2) Từ (1) và (2) 3x 0 + 2 = 2 x 0 4x 0 = 0 x 0 = 0 Thay x 0 = 0 vào phơng trình (2) ta đợc y 0 = 2. Vậy toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là (0; 2) Ví dụ 3. Cho 2 đờng thẳng (d 1 ): y = m.x 3 và (d 2 ): y = x + 1. (với m là tham số, m 1) a) Tìm toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ) theo m. b) Giả sử giao điểm của (d 1 ) và (d 2 ) là A. Tìm các giá trị của tham số m để: 1) Điểm A nằm về phía bên phải trục tung Oy. 2) Điểm A nằm về phía trên trục hoành Ox. 3) Điểm A nằm trên trục hoành Ox. Giải: a) Giả sử tọa độ giao điểm của 2 đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ) là (x 0 ; y 0 ). Thay x = x 0 và y = y 0 vào (d 1 ) ta đợc: y 0 = m.x 0 3 (1) Thay x = x 0 và y = y 0 vào (d 2 ) ta đợc: y 0 = x 0 + 1 (2) Từ (1) và (2) m.x 0 3 = x 0 + 1 m.x 0 .x 0 = 4 (m 1).x 0 = 4 x 0 = 4 1m (vì m là tham số khác 1) Thay x 0 = 4 1m vào phơng trình (2) ta đợc y 0 = 3 1 m m + . Vậy toạ độ giao điểm của (d 1 ) và (d 2 ) là ( 4 1m ; 3 1 m m + ) b) Theo câu (a) ta có toạ độ của điểm là A( 4 1m ; 3 1 m m + ) 1) Ta có: Điểm A nằm về phía bên phải trục tung Oy x 0 > 0 4 1m > 0 m 1 > 0 m > 1 Vậy với m > 1 thì điểm A nằm về phía bên phải trục tung Oy. 2) Tơng tự: Điểm A nằm về phía trên trục hoành Ox y 0 > 0 3 1 m m + > 0 n tập đại số 9 * * * Giáo viên: Nguyễn bá phúcÔ 5 trờng THCS Mã thành yên thành nghệ an * * * Tổ KH tự nhiên 3 0 1 0 3 0 1 0 m m m m + > > + < < 3 1 3 1 m m m m > > < < 1 3 m m > < Vậy với m > 1 hoặc m < -3 thì điểm A nằm về phía bên phải trục tung Oy. 3) Điểm A nằm trên trục hoành Ox y 0 = 0 3 1 m m + = 0 m +3 = 0 m = -3 Vậy với m = -3 thì điểm A nằm trên trục hoành Ox. Dạng 3. Viết phơng trình đờng thẳng. Loại 1. Viết phơng trình đờng thẳng (d) biết nó đi qua 2 điểm A(x 1 ; y 1 ) và B(x 2 ; y 2 ) Cách giải: Bớc 1. Giả sử phơng trình đờng thẳng (d) có dạng tổng quát là: y = a.x + b. Bớc 2. Thay x = x 1 và y = y 1 vào (d) để có phơng trình (1) Thay x = x 2 và y = y 2 vào (d) để có phơng trình (2) Bớc 3. Giải hệ 2 phơng trình (1) và (2) ta tìm đợc a và b. Bớc 4. Kết luận. Ví dụ 1. Viết phơng trình đờng thẳng (d) biết (d) đi qua 2 điểm A(1; 2) và B(4; - 1). Giải: Giả sử phơng trình đờng thẳng (d) có dạng tổng quát là: y = a.x + b. Vì (d) đi qua điểm A(1; 2) nên thay x = 1 và y = 2 vào (d) ta đợc: a + b = 2 (1) Vì (d) đi qua điểm B(4; - 1) nên thay x = 4 và y = - 1 vào (d) ta đợc: 4a + b = -1 (2) Từ phơng trình (1) b = 2 a (*). Thay (*) vào phơng trình (2) ta đợc: 4a + 2 a = 1 3a = 3 a = 1 Thay a = 1 vào (*) ta có: b = 3 Vậy phơng trình đờng thẳng (d) cần tìm là: y = x + 3 Ví dụ 2. Viết phơng trình đờng thẳng (d) biết (d) đi qua điểm M(2; - 3) và cắt trục hoành Ox tại điểm có hoành độ bằng 4 3 . a) Phân tích tìm lời giải: Thông thờng, để viết đợc phơng trình đờng thẳng (d) thì phải biết đợc (d) đi qua hai điểm A(x 1 ; y 1 ) và B(x 2 ; y 2 ). Song bài toán này lại mới chỉ cho ta biết (d) đi qua một điểm M(2; - 3). Do đó ta phải đi tìm điểm còn lại. Các em biết rằng, mọi điểm nằm trên trục hoành đều có tung độ bằng 0. Vì thế, theo giả thiết đ- ờng thẳng (d) cắt trục hoành Ox tại điểm có hoành độ bằng 4 3 thì củng có nghĩa là (d) sẽ đi qua điểm có toạ độ ( 4 3 ; 0). Hay điểm thứ hai cần tìm của chúng ta là ( 4 3 ; 0) b) Giải: Giả sử phơng trình đờng thẳng (d) có dạng tổng quát là: y = a.x + b. Vì (d) đi qua điểm M(2; - 3) nên thay x = 2 và y = 3 vào (d) ta đợc: 2a + b = 3 (1) n tập đại số 9 * * * Giáo viên: Nguyễn bá phúcÔ 6 trờng THCS Mã thành yên thành nghệ an * * * Tổ KH tự nhiên Mặt khác: Vì (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 4 3 nên (d) sẽ đi qua điểm có toạ độ ( 4 3 ; 0). Từ đó, thay x = 4 3 và y = 0 vào (d) ta đợc: 4 3 a + b = 0 (2) Từ phơng trình (2) b = 4 3 a (*). Thay (*) vào phơng trình (1) ta đợc: 2a 4 3 a = 3 2 3 a = 3 2a = 9 a = 9 2 Thay a = 9 2 vào (*) ta có: b = 6 Vậy phơng trình đờng thẳng (d) cần tìm là: y = 9 2 x + 6 Ví dụ 3. Tìm hàm số bậc nhất biết đồ thị của hàm số đó đi qua điểm I( 1 2 ; 2) và cắt trục tung Oy tại điểm có tung độ bằng 2 . a) Phân tích tìm lời giải: Ta đã biết rằng: Mọi điểm nằm trên trục tung Oy đều có hoành độ bằng 0 (x = 0). Nên ta tìm đợc điểm thứ hai mà đờng thẳng (d) sẽ đi qua là (0; 2 ) b) Giải: Giả sử phơng trình đờng thẳng (d) có dạng tổng quát là: y = a.x + b. Vì (d) đi qua điểm I( 1 2 ; 2) nên thay x = 1 2 và y = 2 vào (d) ta đợc: 1 2 a + b = 2 (1) Mặt khác: Vì (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 nên (d) sẽ đi qua điểm có toạ độ (0; 2 ). Từ đó, thay x = 0 và y = 2 vào (d) ta đợc: 0.a + b = 2 b = 2 (2) Thay (2) vào phơng trình (1) ta đợc: 1 2 a + 2 = 2 1 2 a = 2 2 a = 4 2 2 Vậy phơng trình đờng thẳng (d) cần tìm là: y = (4 2 2 )x + 2 Ví dụ 4 Viết phơng trình đờng thẳng (d) biết (d) cắt trục hoành Ox tại điểm có hoành độ bằng 2 3 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 . Giải: Giả sử phơng trình đờng thẳng (d) có dạng tổng quát là: y = a.x + b. Vì (d) cắt trục hoành Ox tại điểm có hoành độ bằng 2 3 nên (d) sẽ đi qua điểm ( 2 3 ; 0). n tập đại số 9 * * * Giáo viên: Nguyễn bá phúcÔ 7 trờng THCS Mã thành yên thành nghệ an * * * Tổ KH tự nhiên Thay x = 2 3 và y = 0 vào (d) ta đợc 2 3 .a + b = 0 (1) Vì (d) cắt trục tung Oy tại điểm có tung độ bằng 3 nên (d) sẽ đi qua điểm (0; 3 ). Thay x = 0 và y = 3 vào (d) ta đợc 0.a + b = 3 b = 3 (2) Thay (2) vào (1) ta đợc 2 3 .a + 3 = 0 2 3 .a = 3 2.a = 3 3 a = 3 3 2 Vậy phơng trình đờng thẳng (d) cần tìm là: y = 3 3 2 x + 3 . Loại 2. Viết phơng trình đờng thẳng (d) biết (d) đi qua điểm I(x 0 ; y 0 ) và hệ số góc của nó là k. Cách giải: Bớc 1. Giả sử phơng trình đờng thẳng (d) có dạng tổng quát là y = a.x + b. Bớc 2. Thay a = k vào (d) để có phơng trình (1) Thay x = x 0 và y = y 0 vào (1) để có phơng trình chỉ còn lại ẩn b. Bớc 3. Giải hệ phơng trình ẩn b vừa thu đợc để tìm đợc b. Bớc 4. Kết luận. Ví dụ 1: Viết phơng trình đờng thẳng (d) biết (d) đi qua điểm I(-3; 1) và hệ số góc của nó bằng 3 1 . a) Phân tích tìm lời giải: Các em đã biết hệ số của đờng thẳng y = a.x + b là a nên khi bài toán cho hệ số góc bằng 3 1 củng chính là cho a = 3 1 . Từ đó ta có lời giải bài toán nh sau: b) Giải: Giả sử phơng trình đờng thẳng (d) có dạng tổng quát là y = a.x + b. Vì (d) có hệ số góc bằng 3 1 nên ta có: a = 3 1 . Thay a = 3 1 vào (d) ta đợc: y = ( 3 1 ).x + b (1) Mặt khác: Vì (d) đi qua điểm I(3; 1) nên thay x = 3 và y = 1 vào phơng trình (1) ta đợc: 1 = ( 3 1 ).(3) + b 3 3 3 + b = 1 b = 3 3 2 Vậy phơng trình của đờng thẳng (d) cần tìm là: y = ( 3 1 ).x + 3 3 2. Ví dụ 2: Viết phơng trình đờng thẳng (d) biết (d) đi qua điểm I( 2 5 ; 3 4 ) và song song với đờng thẳng y = 3x + 2 . a) Phân tích tìm lời giải: Các em đã biết hệ số của đờng thẳng (d 1 ): y = a 1 .x + b 1 là a 1 còn hệ số góc của đờng thẳng (d 2 ): y = a 2 .x + b 2 là a 2 . Mà hai đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ) song song với nhau khi a 1 = a 2 nên từ giả thiết (d) song song với đờng thẳng y = 3x + 2 ta tìm đợc a = 3. Do đó, ta có lời giải bài toán nh sau: b) Giải: Giả sử phơng trình đờng thẳng (d) có dạng tổng quát là y = a.x + b. Vì (d) song song với đờng thẳng y = 3x + 2 nên ta có: a = 3. Thay a = 3 vào (d) ta đợc: y = 3.x + b (1) n tập đại số 9 * * * Giáo viên: Nguyễn bá phúcÔ 8 trờng THCS Mã thành yên thành nghệ an * * * Tổ KH tự nhiên Mặt khác: Vì (d) đi qua điểm I( 2 5 ; 3 4 ) nên thay x = 2 5 và y = 3 4 vào phơng trình (1) ta đợc: 3 4 = 3. 2 5 + b b + 6 5 = 3 4 b = 3 4 6 5 b = 9 24 Vậy phơng trình của đờng thẳng (d) cần tìm là: y = 3.x 9 24 . Ví dụ 3: Tìm hàm số bậc nhất biết đồ thị của hàm số đó đi qua điểm H( 1 2 ; 3) và tạo với trục hoành Ox một góc = 30 0 . a) Phân tích tìm lời giải: Rỏ ràng, muốn viết đợc phơng trình đờng thẳng (d) thì trớc hết các em phải tìm đợc hệ số góc của nó. Vậy làm thế nào để tìm đợc hệ số góc của đờng thẳng (d) đây ??? Các em lại nhớ đến kiến thức Nếu đờng thẳng (d): y = a.x + b tạo với trục hoành Ox một góc thì tg gọi là hệ số góc của đờng thẳng (d) và a = tg . Từ đó, ta tính đợc a = tg30 0 = 3 3 Do đó, ta có lời giải bài toán nh sau: b) Giải: Giả sử phơng trình đờng thẳng (d) có dạng tổng quát là y = a.x + b. Vì (d) tạo với trục hoành Ox một góc = 30 0 nên ta có: a = tg30 0 = 3 3 Thay a = 3 3 vào (d) ta đợc: y = 3 3 .x + b (1) Mặt khác: Vì (d) đi qua điểm H( 1 2 ; 3) nên thay x = 1 2 và y = 3 vào phơng trình (1) ta đ- ợc: 3 = 3 3 . 1 2 ữ + b b 3 6 = 3 b = 3 6 3 b = 3 18 6 Vậy phơng trình của đờng thẳng (d) cần tìm là: y = 3 3 .x + 3 18 6 . Dạng 4. Bài toán tính diện tích và chu vi của tam giác. a) Công thức cần nhớ : S = 1 2 a.h a (Trong đó S là diện tích của tam giác, a là cạnh đáy, h a là đờng cao tơng ứng) C = a + b + c (với a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác) Trong tam giác vuông: a 2 = b 2 + c 2 (Trong đó a là cạnh huyền, còn b, c là 2 cạnh góc n tập đại số 9 * * * Giáo viên: Nguyễn bá phúcÔ 9 trờng THCS Mã thành yên thành nghệ an * * * Tổ KH tự nhiên vuông) b) Cách giải Bớc 1. Vẽ các đờng thẳng đã cho trên cùng một hệ trục toạ độ Bớc 2. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác. Bớc 3. Tính độ dài các cạnh tơng ứng. Bớc 4. Thay vào công thức liên quan để tính. Ví dụ 1: Cho hai đờng thẳng (d 1 ): y = x + 2 và (d 2 ): y = 2 x. Gọi A, B, C lần lợt là giao điểm của (d 1 ) với (d 2 ), (d 1 ) với trục hoành Ox và (d 2 ) với trục hoành Ox. a) Vẽ 2 đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ) trên cùng một hệ trục toạ độ. b) Tìm toạ độ của các điểm A, B, C. c) Tính diện tích và chu vi của tam giác ABC. Giải: a) Xét đờng thẳng (d 1 ): y = x + 2 Với x = 0 thì y = 2 Với y = 0 thì x = -2 Đồ thị đờng thẳng (d 1 ) sẽ đi qua hai điểm (0; 2) và (-2; 0) Xét đờng thẳng (d 2 ): y = 2 x Với x = 0 thì y = 2 Với y = 0 thì x = 2 Đồ thị đờng thẳng (d 1 ) sẽ đi qua hai điểm (0; 2) và (2; 0) b) Vì (d 1 ) và (d 2 ) cùng đi qua điểm (0; 2) A(0; 2) Theo câu (a) ta có ngay B(-2; 0) và C(2; 0). c) Ta có: AO = 2; BC = 4 . 1 1 . .2.4 4 2 2 ABC S AO BC = = = Mặt khác: áp dụng định lí Pi ta go cho các tam giác vuông AOB và AOC ta có: AB 2 = AO 2 + OB 2 = 2 2 + 2 2 = 8 AB = 8 = 2 2 AC 2 = AO 2 + OC 2 = 2 2 + 2 2 = 8 AC = 8 = 2 2 ABC C AB BC CA = + + = 2 2 + 4 + 2 2 = 4 2 + 4 Ví dụ 2: Cho 3 đờng thẳng (d 1 ): y = x + 3 và (d 2 ): y = 3 3x và (d 3 ): y = 3 5 x 9 5 . Gọi A, B, C lần lợt là giao điểm của (d 1 ) với (d 2 ), (d 2 ) với (d 3 ) và (d 3 ) với (d 1 ). a) Vẽ 3 đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ) trên cùng một hệ trục toạ độ. b) Tìm toạ độ của các điểm A, B, C. c) Tính diện tích và chu vi của tam giác ABC. Giải: n tập đại số 9 * * * Giáo viên: Nguyễn bá phúcÔ 10 [...]... nghịch biến khi a < 0 Câu 2 Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? Hãy xác định các hệ số a , b và xét xem hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến Câu 3 Cho hàm số bậc nhất y = (m + 1)x + 5 (1) a) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến b) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến Câu 4 Cho hàm số y = 3 2 x + 1 Hàm số trên đồng biến hay nghịch biến trên... 1 2 3 1 3 x m+2 4 2 m 1 d) y = (5 x) m 1 b) y = 1ữ x + 3 c) y = m 1 Câu 7 Cho hàm số y = (m 4)x + 2009 (1) a) Với những giá trị nào của tham số m thì hàm số (1) sau là hàm số bậc nhất b) Với những giá trị nào của tham số m thì hàm số (1) đồng biến, nghịch biến Câu 8 Cho hàm số y = 2x (1) a) Vẽ đồ thị hàm số (1) b) Tính góc tạo bởi đờng thẳng y = 2x với trục hoành Ox c) Xác định các điểm A(0,5;... tham số m thì hàm số (1) đồng biến, nghịch biến b) Với những giá trị nào của tham số m thì đồ thị của hàm số (1) đi qua điểm A(1; 2) c) Với những giá trị nào của tham số m thì đồ thị của hàm số (1) đi qua điểm B(1; - 2) d) Vẽ đồ thị của hai hàm số ứng với các giá trị của m vừa tìm đợc ở câu (b) và câu (c) Câu 12 Cho hàm số y = (m 1)x + m (1) a) Xác định các giá trị của tham số m để đồ thị của hàm số. .. O(0; 0) đến đờng thẳng (d) bằng 3 Một số dạng toán khác Về hàm số còn một số dạng toán khác nữa (nh tìm các giá trị của tham số m để hàm số thoả mản một số điều kiện cho trớc ) Song các dạng toán này các em đã đợc các Thầy cô giáo của mình giới thiệu kỉ ở trên lớp nên tôi không trình bày ở đây Chúc các em học tập thật tốt B bài tập Câu 1.Chứng minh rằng hàm số bậc nhất y=ax+b đồng biến khi a>0 và nghịch... Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trong khoảng xác định đã chỉ ra a) y = 1 x3 2 (- ; + ) b) y = 3x + 2 (- ; + ) c) y = x x (0; + ) Câu 6 Chứng minh rằng các hàm số sau luôn nghịch biến trong khoảng xác định đã chỉ ra 1 3 a) y = - x + 4 (- ; + ) b) y = 4 3x (- ; + ) c) y = 1 x2 (0; + ) Câu 6.Với những giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau là hàm số bậc nhất? a) y = m 3 x +... của hàm số (1) luôn đi qua điểm M( ; 1) 3 2 b) Vì đồ thị của hàm số (1) cắt trục tung Oy tại điểm có tung độ bằng phải đi qua điểm có toạ độ (0; b) Thay x = 0 và y = 1 nên đồ thị của hàm số (1) 2 1 ) 2 1 vào hàm số (1) ta đợc: 2 1 2 = (m2 + m).0 3m 1 3 2 1 3m = +1 2 3m = m = 3 2 1 2 1 1 thì đồ thị của hàm số (1) luôn cắt trục tung Oy tại điểm có tung độ bằng 2 2 c) Vì đồ thị của hàm số (1)... hàm số y = (m2 + m)x 3m 1 (1) (Với m là tham số, m 0 và m ) 3 3 Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị của hàm số (1) luôn: a) Đi qua điểm M( 9 ; 1) 2 b) Cắt trục tung Oy tại điểm có tung độ bằng 1 2 c) Cắt trục hoành Ox tại điểm có hoành độ bằng 3 Giải: a) Thay x = 9 và y = 1 vào hàm số (1) ta đợc: 2 9 2 1 = (m2 + m) 3m 1 3 2 9 2 m + 3m 3m 1 = 1 2 9 2 m =2 2 9m2 = 4 m2 = Ô n tập đại số. .. đại số 9 *** Giáo viên: Nguyễn bá phúc 18 trờng THCS Mã thành yên thành nghệ an *** Tổ KH tự nhiên 1 3 Câu 9 a) Vẽ đồ thị của các hàm số y = 3x và y = x trên cùng một hệ trục toạ độ 1 3 b) Xác định góc tạo bởi hai đờng thẳng y = 3x và y = x Câu 10 a) Vẽ đồ thị của các hàm số y = - 2x và y = - 2x + 1 trên cùng một hệ trục toạ độ b) Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số trên Câu 11 Cho hàm số. .. tham số m 1 x +1 = 0 2 0 3 x0 + 2 y0 = 0 x0 + 2 = 0 y 0 = 3 x0 + 2 x 0 = 2 y 0 = 4 Vậy điểm cố định mà họ đờng thẳng (d) luôn đi qua là ( 2; 4) Ví dụ 4 Chứng minh rằng: Họ đồ thị của hàm số y = (3m 1)x + m 4 luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của tham số m Giải: Giả sử điểm cố định mà họ đồ thị hàm số y = (3m 1)x + m 4 luôn đi qua là (x0; y0) Thay x = x0 và y = y0 vào hàm số. .. 14 a) Xác định hàm số y = ax + b biết hàm số có hệ số góc bằng 3 và đi qua điểm A(2; 1) b) Xác định hàm số y = 5 x + b biết đờng thẳng y = 5 x + b củng đi qua điểm A(2; 1) Câu 15 Cho đờng thẳng y = 3x + 6 a) Tính dịên tích tam giác tạo bởi đờng thẳng ấy với hai trục toạ độ b) Víêt phơng trình đờng thẳng đi qua gốc toạ độ và vuông góc với đờng thẳng đã cho Câu 16 a) Vẽ đồ thị của hàm số: y = 2 x + 1 b) . > f(x 2 ) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên R. 3. Hàm số bậc nhất. a) Khái niệm hàm số bậc nhất. Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng y = a.x + b trong đó a, b là các số cho trớc và a 0. b). rằng hàm số bậc nhất y=ax+b đồng biến khi a>0 và nghịch biến khi a < 0. Câu 2. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? Hãy xác định các hệ số a , b và xét xem hàm số nào đồng. < 0) c) Đồ thị của hàm số bậc nhất y = a.x + b (a 0) *) Nhận xét: Đồ thị của hàm số bậc nhất y = a.x + b (a 0) là một đờng thẳng. *) Cách vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất y = a.x + b (a 0)