CHUYÊN ĐỀ III :PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ A). PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC I). TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1). Các dạng cơ bản 3 3 2 0 )0(0 BABA BA B BA BA BhayA BA =⇔=•    = ≥ ⇔=•    = ≥≥ ⇔=• 2). Các dạng khác - Phương trình chứa nhiều dấu căn - Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình hay hệ phương trình đơn giản II). MỘT SỐ VÍ DỤ: Ví dụ :Giải các phương trình sau 2 2 2 1). 4 2 2 2). 25 1 3). 3 9 1 2 x x x x x x x x + − = − − = − − + + = 4 / 4 1 1 2x x x+ − − = − III. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN SỐ PHỤ:Để khử căn thức, ta có thể đưa thêm một hoặc nhiều ẩn phụ. Tùy theo dạng của phương trình, bất phương trình mà lựa chọn cho thích hợp. Ví dụ 1: Cho phương trình : 1 ( 3)( 1) 4( 3) (1) 3 x x x x m x + − + + − = − Giải phương trình với m = -3 Giải: Đặt 2 1 ( 3) ( 3)( 1) 3 x X x X x x x + = − ⇒ = − + − nên pt (1) đưa về :X 2 +4X +3=0 ⇔ X = - 1 v X = - 3 + Nếu 2 3 3 1 1 1 ( 3) 1 ( 3)( 1) 3 2 4 0 3 1 5 1 5 < <   + = − ⇔ − = − ⇔ ⇔   = − + − − − =   <   ⇔ ⇔ = −  = ±   x x x X x x x x x x x x x + Nếu 2 3 3 1 3 3 ( 3) 9 ( 3)( 1) 3 2 12 0 3 1 13 1 13 < <   + = − ⇔ − = − ⇔ ⇔   = − + − − − =   <   ⇔ ⇔ = −  = ±   x x x X x x x x x x x x x Ví dụ 2: Giải phương trình 3 6 (3 )(6 ) 3x x x x + + − − + − = . Hướng dẫn: Đặt 3 6X x x = + + − . Ví dụ 3: Giải bất phương trình 5 1 5 2 4 2 2 x x x x + = + + . Hướng dẫn: Đặt 1 2 t x x = + .9đk t ≥ 2 phương trình trở thành 2 2 2 5 2 0 1 2 t t t t =   − + = ⇔  =  Ví dụ 4: Giải phương trình: – 4 )2)(4( xx +− = 2 x – 2x – 8 (1) * Tuy nhiên, trong một số trường hợp, sau khi đặt ẩn phụ t, phương trình vẫn còn lại cả ẩn x cũ, khi đó ta sẽ coi x là tham số trong phương trình mới hoặc coi x là ẩn thứ 2 (cùng với t) trong 1 hệ phương trình Ví dụ 5: Giải phương trình (4x – 1) 1x 2 + = 2 2 x + 2x + 1 (1) Hướng dẫn: Đặt t = 1x 2 + (t ≥ 1) (1) trở thành (4x – 1)t = 2 2 t + 2x – 1 ∆ = 2 )3x4( − (chính phương) ⇒ t = 4 )3x4()1x4( −±− ⇔      −=+ =+ 1x21x 2 1 1x 2 2 Ví dụ 6: Giải phương trình: 2 2 x – 3x + 2 = x 2x3 − (1) Hướng dẫn: Đặt t = 2x3 − (t ≥ 0) (1) trở thành 2 t + xt – 2 2 x = 0. • Cách 1: ∆ = 9 2 x (chính phương) ⇒ t = 2 x3x ±− ⇔     −=− =− x22x3 x2x3 • Cách 2: phương trình đẳng cấp ⇒ đặt x = ty: 2 t + y 2 t – 2 2 y 2 t = 0 ⇔ 2 t (1 + y – 2 2 y ) = 0. Ví dụ 7 : Giải phương trình: 2(1 – x) 1x2x 2 −+ = 2 x + 2x – 1. + Nếu phương trình mới ∆ không chính phương thì coi t và x là 2 ẩn của 1 hệ phương trình. Ví dụ 8: Giải phương trình 2 x + 5x + = 5 (1) Hướng dẫn: Đặt t = 5x + (t ≥ 0) Ta có hệ phương trình      += =+ 5xt 5tx 2 2 Trừ hai phương trình của hệ cho nhau được: (t + x)( x – t + 1) = 0. ⇔    += −= 1xt xt ⇔     +=+ −=+ 1x5x x5x Ví dụ 9: Giải phương trình 3 3 1 2 2 1x x + = − Hướng dẫn: Đặt 3 3 3 3 1 2 2 1 1 2 1 2 x y y x y x y x  + =  = − ⇔ + = ⇒  + =   Đáp số: x=1; 1 5 2 x − ± = Ví dụ 10: Giải phương trình : 1x x − + x 1x − = 2 3 (1) Hướng dẫn: Đặt t = 1x x − ⇒ x 1x − = t 1 (t > 0) (1) trở thành: t + t 1 = 2 3 ⇔ 2 2 t – 3t + 2 = 0. Ví dụ 11: Giải phương trình : 1x + + x4 − + )x4)(1x( −+ = 5 (1) Hướng dẫn: Đặt t = 1x + + x4 − ⇒ )x4)(1x( −+ = 2 5t 2 − (1) trở thành: t + 2 5t 2 − = 5. Ví dụ 12: Giải phương trình: 2 ( 5)(2 ) 3 3x x x x + − = + ( Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình hoặc hệ phương trình đại số) Giải: 2 ( 5)(2 ) 3 3x x x x + − = + (1) Điều kiện: 2 3 3 0 0 x x x x  ≤ − + ≥ ⇔  ≥  2 2 (1) ( 3 ) 10 3 3x x x x ⇔ − + + = + Đặt 2 3 ( 0)t x x t = + ≥ . Phương trình trở thành: 2 2( ) 3 10 0 5( ) t n t t t l  = + − = ⇔  = −  2 2 1 2 3 2 3 4 0 4 x t x x x x x  = = ⇔ + = ⇔ + − = ⇔  = −  (nhận)Vậy tập nghiệm của phương trình là: { } 4;1S = − IV PHƯƠNG PHÁP : Biến đổi phương trình về dạng tích số: A.B=0 hoặc A.B.C=0 Ví dụ: Giải phương trình: 2 3 2 1 3 2 x x x x − − = − − (1) Giải: Điều kiện: 3 3 2 0 2 x x− > ⇔ >   ⇔ − + = − − ⇔ − − + − − = ⇔ − − + − =    =  =  ⇔ ⇔  ⇔ = ≤     − = −    − = − +    2 2 (1) 3 2 (1 ) 3 2 ( 1)( 2) (1 ) 3 2 0 ( 1) ( 2) 3 2 0 1 1 1 2 3 2 2 3 2 4 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x So với điều kiện ban đầu ta được: x=1. Vậy tập nghiệm của phương trình là: { } 1S = Bài tập: Giải các phương trình sau: 1) 2 2 7 2 1 8 7 1x x x x x+ − = − + − + − + 2) 2 2 2 8 6 1 2( 1)x x x x + + + − = + V. PHƯƠNG PHÁP NHÂN BIỂU THỨC LIÊN HỢP TRONG GIẢI PT CĂN THỨC Ví dụ1: Giải phương trình 2 3 1 6 3 14 8 0x x x x+ − − + − − = (Nhận xét: ta tìm số làm cho cả hai biểu thức dưới căn chính phương và là nghiệm , x= 5 là nghiệm nên ta đưa PT về dạng (x-5) . Q(x) ) Giải: Điều kiện : 1 6 3 x − ≤ ≤ 2 3 1 6 3 14 8 0x x x x+ − − + − − = ⇔ 2 ( 3 1 4) (1 6 ) 3 14 5 0x x x x + − + − − + − − = ⇔ 3 1 ( 5) (3 1) 0 3 1 4 6 1   − + + + =   + + − +   x x x x Với 1 6 3 x − ≤ ≤ thì 3 1 (3 1) 0 3 1 4 6 1   + + + >   + + − +   x x x Vậy phương trình có nghiệm x = 5. Ví dụ2: Giải phương trình 2 2x 1 x x 3 0 − + + − = Giải: (Phân tích: Nhận thấy x = 1 là một nghiệm của PT nên ta biến đổi đưa PT về dạng (x-1).f(x) =0 như sau.) ĐK : 1 x 2 ≥ Ta có : 2 2x 1 x x 3 0 − + + − = ⇔ ( ) 2 x 1 2 x 1 2x 1 1 x x 2 0 x 1 x 2 0 2 x 2 0 vn 2x 1 1 2x 1 1  = −  − − + + − = ⇔ + − + = ⇔  + + = − +  − +  ( ) ( )( ) (*)( ) Vậy PT đã cho có nghiệm : x = 1 Ví dụ3: Giải phương trình 3 2 x 2 2x x 6( )+ − = + + Giải: (Phân tích: Nhận thấy x = 3 là một nghiệm của PT nên ta biến đổi đưa PT về dạng (x-3).f(x) =0 như sau.) ĐK x ≥ 2 3 2 x 2 2x x 6( )+ − = + + ( ) 3 2 x 2 2x x 6 2 x 3 x 6 3 x 2 0 8 x 3 2 x 3 0 x 6 3 x 2 x 3 0 x 3 x 3 8 11 3 5 2 0 x 6 3 x 2 4 x x 6 3 x 2 2 ⇔ + − = + + ⇔ − + + − − = − ⇔ − − = + + −  − =  =  =   ⇔ ⇔ ⇔  −   − = + + − = =     + + −   ( ) ( ) ( ) ( ) Ví dụ4: Giải phương trình : 2 2 1 x 2x x x 1 x − + = + Giải:(Phân tích: Nhận thấy x = 1 2 là một nghiệm của PT nên ta biến đổi đưa PT về dạng (1-2x).f(x) =0 như sau.) Đ K: 0< x ≤ 1 2 2 1 x 2x x x 1 x − + = + ⇔ 2 2 2 1 x 1 x 2x x x x 1 x x 1 x 2x x 0( ) ( ). ( ) ( )+ − = + ⇔ − − + − − = 2 3 2 2 2 2 x 1 2x 1 x 4x x 2x x 1 0 1 2x 0 1 x x 1 x 2x x 1 x x 1 x 2x x 1 2x 0 x 2x x 1 0 1 x x 1 x 2x x   − − − + + ⇔ + = ⇔ − + =  ÷ − + − + − + − +    − =  ⇔   + +  + =  ÷  − + − +    ( ) ( ) (*) Với 0< x ≤ 1 thì (*) vô nghiệm. Vậy PT đã cho có 1 nghiệm x = 1 2 Ví dụ5: Giải phương trình 3 2 3 x 1 x 52 x− + = − (x 0) ≥ Giải:(Phân tích: Nhận thấy x = 3 là một nghiệm của PT nên ta biến đổi đưa PT về dạng (x-3).f(x) =0 như sau.) ĐK : 3 0 x 2 ≤ ≤ 3 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 3 3 3 x 1 x 52 x x 1 2 x 3 52 x 5 x 3 x 3 x 3x 9 x 3 1 0 x 3 x 3x 9 1 0 vn x 1 2 x 1 4 52 x 5 x 1 2 x 1 4 52 x 5 − + = − ⇔ − − + − = − −  =    + + +   ⇔ − + + = ⇔ + + +  + + =   − + − + − +    − + − + − +  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Vậy PT có nghiệm duy nhất x = 3 Một số phương trình căn thức giải được nhờ vào sự quan sát tinh tế, lựa chọn hợp lý các biểu thức liên hợp trong mỗi phương trình. Ta xét các ví dụ sau. Ví dụ6: Giải phương trình : ( ) ( ) 1 x 1 1 x 2x 5 x + + + + − = Giải: ĐK : x ≥ -1Ta có x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Ta nhân hai vế PT với : 1 x 1 + − 0 ≠ ta được PT: ( ) ( ) ( ) ( ) x 1 x 2x 5 x 1 x 1 1 x 2x 5 1 x 1 x 2 + + − = + − ⇔ + + − = + − ⇔ = Ví dụ7: Giải phương trình 2 2 2x 3x 5 2x 3x 5 3x+ + + − + = Giải:Vì VT > 0 ⇒ ĐK x >0 Nhân hai vế PT đã cho với : 2 2 2x 3x 5 2x 3x 5 0+ + − − + ≠ Ta được PT: ( ) 2 2 2 2 6x 3x 2x 3x 5 2x 3x 5 2x 3x 5 2x 3x 5 2 = + + − − + ⇔ + + − − + = (*) Cộng hai vế PT đã cho với PT (*) ta được PT: 2 2 2x 3x 5 2 3x x 4+ + = + ⇔ = Thử lại thấy x = 4 là nghiệm. BÀI TẬPTỰ GIẢI: Giải phương trình 1) 2 2 x 12 5 3x x 5+ + = + + (Phân tích: Nhận thấy x = 2 là một nghiệm của PT 2) x 7 2x 3 6 x + + − = − (Phân tích: Nhận thấy x = 2 là một nghiệm của PT.) 3) 2 x 2 4 x 2x 5x 1 − + − = − − (Phân tích: Nhận thấy x = 3 là một nghiệm của PT.) 5) 3 x 24 12 x 6 + + − = 6) 2x 3 x 2x 6 − − = − VI. ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC Ví dụ : Giải phương trình : x3 + x 1 = 4 8 x (1) Giải .TXĐ: x > 0 Có 4 x 1 x3 + = 8 x 1 x 1 xxxxxx +++++++ ≥ 8 x (2) ∀ x > 0 (BĐT Côsi) Vậy (1) ⇔ dấu “=” ở (2) xảy ra ⇔ x = x 1 ⇔ x = 1. VII. PP ĐỐI LẬP: Ví dụ : Giải phương trình 2 2 2 3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x + + + + + = − − (1) Giải. 2 2 2 (1) 3(x 1) 4 5(x 1) 9 5 (x 1) ⇔ + + + + + = − + VT(1) 5, VP(1) 5, x ⇒ ≥ ≤ ∀ VT(1) 5 (1) x 1 0 x 1 VP(1) 5 =  ⇔ ⇔ + = ⇔ = −  =  Vậy x = -1 là nghiệm duy nhất của phương trình VIII .PP HÀM SỐ: Ta thường sử dụng các tính chất sau: Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khoảng (a;b) thì phương trình f (x) = c có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b). Do đó nếu tồn tại x 0 ∈(a,b) sao cho f (x 0 ) = c thì x 0 là nghiệm duy nhất của phương trình f (x) = c Tính chất 2: Nếu hàm f là hàm tăng trong khỏang (a,b) và hàm g là hàm giảm trong khoảng (a,b) thì phương trình f (x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khoảng (a,b) . Do đó nếu tồn tại x 0 ∈(a,b) sao cho f (x 0 ) = g(x 0 ) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình ð Ví dụ: Giải phương trình: 5 3 1 3 4 0x x x+ - - + = Giải: Điều kiện: 1 3 x ≤ . Đặt ( ) 5 3 1 3 4 0f x x x x= + − − + = . Ta có: ( ) 4 2 3 5 3 0 2 1 3 f x x x x ′ = + + > − 1 3 x ∀ < ⇒ f (x) đồng biến trên ( 1 , 3  −∞   . Mặt khác f (−1) = 0 nên phương trình f (x) = 0 có nghiệm duy nhất x = −1. IX . BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: 2 2 27583 1)3 34 3 3 1 : 9 1 1 1 1 2) 5 5 : 17; 21 2 2 2 2 1 3) 3 9 1 2 0 : 2 11 4) 2 9 4 3 1 : ; 0 3 5) 5 1 3 2 1 0 : 2 x x kq x x x kq x x x x x kq x x x x kq x x x x x kq x + − − = = − + + = = + = − − − + + − = = + = − + + = = − − − − − = = 6) 1 4 ( 1)(4 ) 5x x x x + + − + + − = 7) 2 2 3 15 2 5 1 2x x x x+ + + + = 8) 2 3 2 3( 2) ( 1) 2 3 3 8 0x x x x − − + − + − = 9) 2 2 3 1 3 2 2 5 3 16x x x x x+ + + = + + + − B). BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU CĂN I). TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1). Dạng cơ bản 2 A 0 A B B 0 A B  ≥  < ⇔ >   <  2 A 0 B 0 A B B 0 A B  ≥    <   > ⇔  ≥      >    2). Các dạng khác * BPT chứa nhiều dấu căn * PP đặt ẩn số phụ II). BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: giải các bất phương trình sau 1) 26 2 +≥−+ xxx ( 3 −≤ x ) 2) 1)1(2 2 +≤− xx ( 311 ≤≤∨−= xx ) 3) xxx <−− 12 2 ( 4 ≥ x ) 4) xxx −>−+ 2652 2 ( 110 ≥∨−≤ xx ) 5) 3 7 3 3 )16(2 2 − − >−+ − − x x x x x Bài 2 Giải các bất phương trình sau 1) 12411 −+−≥+ xxx ( 54 ≤≤ x ) 2) 1553 >+− xx ( 4 > x ) 3) xxx ≤+−+ 12 ( 3 323 +− ≥ x ) 4) 2 2 2 5 4 2 4 3 ( 1; 1 2 6; 1 2 6; 1)x x x x x x x x + + ≤ + + ≤ − ≥ − − ≤ − + ≥ − 5) 2 2 2 4 3 3 2 1 ( 3; 1)x x x x x x+ + − − > ≥ − ≤ 6) xxxx 271105 22 −−≥++ ( 13 ≥∨−≤ xx ) 7) 2855)4)(1( 2 ++<++ xxxx (– 9< x< 4) B. M ỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC: I. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Phương pháp này dựa vào việc khảo sát một vài tính chất đặc biệt nào đó của hàm số để dẫn đến kết luận nghiệm cho phương trình, bất phương trình đang xét. Ví dụ : Giải bất phương trình: 9 2 4 5x x + + + > . Giải: Xét hàm số 9 2 4y x x= + + + , ta thấy ngay hàm số này đồng biến trên tập xác định 2x ≥ − .Ta có f(0) = 5 do đó : + Với x > 0 thì f(x) > f(0) = 5 nên x > 0 là nghiệm. + Với 2 0 ( ) (0) 5x f x f − ≤ ≤ ⇒ ≤ = nên 2 0x − ≤ ≤ không là nghiệm.Tóm lại: x>0 là nghiệm. II. GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP Ví dụ : a)Giải bất phương trình: 2 1 1 4x 3 x − − < nhân lượng liên hợp của mẫu Đ S: S= 1 1 2 2 x − ≤ ≤ và x ≠ 0 b)Giải phương trình : 2 3 1 6 3 14 8 0x x x x + − − + − − < . Nhẩm nghiệm 5x = - BPT 3 1 ( 5)( 3 1) 0 3 1 4 6 1 x x x x ⇔ − + + + < + + − + . Trong ngoặc 0 > ⇒ Nghiệm 1 [ ;5) 3 x − ∈ c) Giải phương trình : 3 2 3 2 3 6 5 16 0x x − − − + ≥ Nhẩm nghiệm 2x = − BPT 2 3 3 6 15 6 ( 2)[ + ] 0 x [ 2; ] 5 ( 3 2) 2 3 2 4 6 5 4 x x x x ⇔ + ≥ ⇔ ∈ − − − − + − + BTĐN: Giải bất phương trình : a) 1 1x x x + − − ≥ b) 2 1 1 8 1 2 x x − − < Nghiệm 1 1 [ ;0) (0; ) 3 2 2 T − = ∪ I) PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Bài 1 Giải các BPT sau : a) 2 2 4 6 11x x x x ≥ − + − − + HD: VT ≤ 2 & VP 2 ≥ Nghiệm 3x = b) 2 2 10 12 13x x x x ≥ − + − − + HD: VT ≤ 4 & VP ≥ 4 Nghiệm x = 6 CÁC DẠNG TOÁN THI ĐẠI HỌC A2009 3 2 3 2 3 6 5 8 0x x − + − − = B2012. Giải bất phương trình 2 1 4 1 3 . + + − + ≥ x x x x CĐ2009 1 2 2 5 1x x x+ + - £ + A2010. ( ) 2 1 1 2 1 x x x x − ≥ − − + B2010 2 3 1 6 3 14 8 0x x x x + − − + − − = B2011. 2 3 2 6 2 4 4 10 3x x x x + − − + − = − CĐ2011. Tìm các giá trị của tham số thực m để phương trình sau có nghiệm ( ) 6 x 2 (4 x)(2x 2) m 4 4 x 2x 2+ + − − = + − + − ( x R ∈ ). KD 2014: Giải bpt: 2 (x 1) x 2 (x 6) x 7 x 7x 12 + + + + + ≥ + + . CHUYÊN ĐỀ III :PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ A). PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC I). TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1). Các dạng cơ bản 3 3 2 0 )0(0 BABA BA B BA BA BhayA BA =⇔=•    = ≥ ⇔=•    = ≥≥ ⇔=• 2) Nếu phương trình mới ∆ không chính phương thì coi t và x là 2 ẩn của 1 hệ phương trình. Ví dụ 8: Giải phương trình 2 x + 5x + = 5 (1) Hướng dẫn: Đặt t = 5x + (t ≥ 0) Ta có hệ phương trình. ỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC: I. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Phương pháp này dựa vào việc khảo sát một vài tính chất đặc biệt nào đó của hàm số để dẫn đến kết luận nghiệm cho phương trình, bất phương trình