lê hồng đức và nhóm cự môn 59hình học 12 Phơng trình đờng thẳng Bài giảng đợc trình bày cho các em học sinh bằng việc sử dụng giáo án điện tử Ngời thực hiện: Lê hồng đức Điện thoại: 0936546689 Địa chỉ: Số nhà 20 Ngõ 86 Đờng Tô Ngọc Vân Tây Hồ Hà Nội Đ3 P hơng trình đờng thẳng A. bài giảng A. bài giảng 1. phơng trình tham số của đờng thẳng Định lý 1: Trong không gian Oxyz, đờng thẳng (d) đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và có vtcp a r (a 1 ; a 2 ; a 3 ) có phơng trình: (d): 0 1 0 2 0 3 x x a t y y a t z z a t = + = + = + , t Ă . (1) Vậy, ta đợc: (d): 0 0 0 0 1 2 3 Qua M (x ;y ;z ) vtcpa(a ;a ;a ) r (d): 0 1 0 2 0 3 x x a t y y a t z z a t = + = + = + , t Ă . Phơng trình (1) với điều kiện 2 1 a + 2 2 a + 2 3 a > 0 đợc gọi là phơng trình tham số của đờng thẳng. Hoạt động Chứng minh kết quả trên. Thí dụ 1: Trong không gian Oxyz, viết phơng trình đờng thẳng (d), biết: a. (d) đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vtcp a r (2; 1; 0). b. (d) đi qua hai điểm A(2; 1; 3) và B(3; 1; 5). Giải a. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách: Cách 1 (Sử dụng công thức): Đờng thẳng (d) đợc cho bởi: (d): Qua A(1;2;3) vtcp a(2; 1; 0) r (d): x 1 2t y 2 t z 3 = + = = , t Ă . Cách 2 (Sử dụng phơng pháp quĩ tích): Điểm M(x; y; z) (d) khi: AM // a uuuur r AM ta= uuuur r x 1 2t y 2 t z 3 0 = = = x 1 2t y 2 t z 3 = + = = , t Ă . Đó chính là phơng trình tham số của đờng thẳng (d) cần tìm. Chú ý: Lời giải trong cách 2 chính là ý tởng để chứng minh định lí trên. b. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách: 2 Cách 1 (Sử dụng công thức): Đờng thẳng (d) đợc cho bởi: (d): Qua A(2;1; 3) Qua B(3; 1; 5) (d): Qua A(2;1; 3) vtcp AB(1; 2; 8) uuur (d): x 2 t y 1 2t z 3 8t = + = = + , t Ă . Cách 2 (Sử dụng phơng pháp quĩ tích): Điểm M(x; y; z) (d) khi: AM // AB uuuur uuur AM tAB= uuuur uuur x 2 t y 1 2t z 3 8t = = + = x 2 t y 1 2t z 3 8t = + = = + , t Ă . Đó chính là phơng trình tham số của đờng thẳng (d) cần tìm. Hoạt động Viết phơng trình đờng thẳng (d), biết: a. (d) đi qua điểm A(3; 2; 1) và có vtcp a r (3; 1; 2). b. (d) đi qua hai điểm A(3; 2; 6) và B(5; 4; 2). 2. phơng trình chính tắc của đờng thẳng Cho đờng thẳng (d) có phơng trình tham số cho bởi (1) suy ra: 0 1 x x a = 0 2 y y a = 0 3 z z a . (2) Phơng trình (2) với điều kiện a 1 a 2 a 3 0 đợc gọi là phơng trình chính tắc của đờng thẳng. Vậy, ta đợc: (d): 0 0 0 0 1 2 3 Qua M (x ;y ;z ) vtcpa(a ;a ;a ) r (d): 0 1 x x a = 0 2 y y a = 0 3 z z a . Từ đó, đờng thẳng (d) đi qua hai điểm M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1 ) và M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2 ), ta có: (d): 1 1 1 1 2 2 2 2 Qua M (x ;y ;z ) Qua M (x ;y ;z ) (d): 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 Qua M (x ;y ;z ) vtcp M M (x x ;y y ;z z ) uuuuuur (d): 1 2 1 1 2 1 1 2 1 x x (x x )t y y (y y )t z z (z z )t = + = + = + , t Ă hoặc (d): 1 2 1 x x x x = 1 2 1 y y y y = 1 2 1 z z z z . Thí dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có phơng trình: (P): 2x + 2y + z 4 = 0, (Q): 2x y z + 5 = 0. a. Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau. Gọi (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). b. Hãy tìm tọa độ của một điểm thuộc (d) và xác định tọa độ của một vtcp của (d). c. Viết phơng trình tham số và chính tắc của đờng thẳng (d). Giải a. Gọi P n uur , Q n uur theo thứ tự là vtpt của các mặt phẳng (P), (Q), ta có: 3 P n uur (2; 2; 1), Q n uur (2; 1; 1) P n uur và Q n uur không cùng phơng (P) (Q) = (d). b. Đờng thẳng (d) gồm các điểm M(x; y; z) thỏa mãn hệ phơng trình: 2x 2y z 4 0 2x y z 5 0 + + = + = A(0; 1; 6) (d). Gọi u r là một vtcp của đờng thẳng (d), ta có: P Q u n u n r uur r uur P Q u n , n = r uur uur = 2 1 1 2 2 2 ; ; 1 1 1 2 2 1 ữ = (1; 4; 6). c. Ta có: (d): Qua A(0; 1;6) vtcp u( 1;4; 6) r (d): x t y 1 4t z 6 6t = = + = , t Ă hoặc (d): x y 1 z 6 1 4 6 + = = . Chú ý: Nếu thí dụ trên không có câu b) thì để "Viết phơng trình tham số và chính tắc của đờng thẳng (d)" ngoài cách giải nh trong c) chúng ta còn có thể thực hiện theo các cách sau: Cách 1: Tọa độ các điểm thuộc đờng thẳng (d) thỏa mãn hệ phơng trình: 2x 2y z 4 0 2x y z 5 0 + + = + = A(0; 1; 6) (d) và B(1; 3; 0) (d). Khi đó, ta đợc: Qua A (d) : Qua B Qua A(0; 1;6) (d) : vtcp AB( 1;4; 6) uuur (d): x t y 1 4t z 6 6t = = + = , t Ă hoặc (d): x y 1 z 6 1 4 6 + = = . Cách 2: Tọa độ các điểm thuộc đờng thẳng (d) thỏa mãn hệ phơng trình: 2x 2y z 4 0 2x y z 5 0 + + = + = . (I) Trong hệ (I) cho x = t, ta đợc: 2y z 4 2t y z 5 2t + = + = + y 1 4t z 6 6t = = + . Vậy, phơng trình tham số của đờng thẳng (d) có dạng: 4 (d): x t y 1 4t z 6 6t = = = + , t Ă . (II) Từ hệ (II), bằng cách rút t, ta đợc: x t 1 y 1 t 4 z 6 t 6 = + = = x y 1 z 6 1 4 6 + = = . Đó chính là phơng trình chính tắc của đờng thẳng (d). Hoạt động Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có phơng trình: (P): x + 2y + 3z 6 = 0, (Q): 3x y z 1 = 0. a. Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau. b. Gọi (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Hãy tìm tọa độ của một điểm thuộc (d) và xác định tọa độ của một vtcp của (d). c. Viết phơng trình tham số và chính tắc của đờng thẳng (d). Thí dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1; 2; 3), B(2; 2; 2), C(4; 1; 1) và D(4; 1; 4). a. Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện. b. Viết phơng trình tham số đờng cao tứ diện ABCD hạ từ D. c. Tìm tọa độ hình chiếu H của D trên mặt phẳng (ABC). Giải a. Ta có AB uuur (1; 0; 1), AC uuur (3; 1; 2), AD uuur (3; 1; 1), từ đó suy ra: AB,AC uuur uuur = 0 1 1 1 1 0 ; ; 1 2 2 3 3 1 ữ = (1; 1; 1), AB,AC AD uuur uuur uuur = (1; 1; 1)(3; 1; 1) = 3 + 1 1 = 3 0 Ba véctơ AB uuur , AC uuur và AD uuur không đồng phẳng. Vậy, bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện. b. Gọi (d) là đờng cao của tứ diện hạ từ D, ta có: (d): Qua D (d) (ABC) (d): Qua D vtcp a AB, AC = r uuur uuur (d): Qua D(4;1;4) vtcp a( 1; 1; 1) r (d): x 4 t y 1 t z 4 t = = = , t Ă . c. Gọi n r là vtpt của mặt phẳng (ABC), ta có: n AB n AC uuur r uuur r n r = AB, AC uuur uuur = (1; 1; 1) chọn n r (1; 1; 1). Mặt phẳng (ABC) đợc cho bởi: 5 (ABC): Qua A(1;2;3) vtpt n(1;1;1) r (ABC): x + y + z 6 = 0. Khi đó, hình chiếu H của D trên mặt phẳng (ABC) chính là giao điểm của (d) với (ABC), ta đợc: (4 t) + (1 t) + (4 t) 6 = 0 t = 1 H(3; 0; 3). Hoạt động Cho bốn điểm A(5; 3; 1), B(2; 3; 4), C(1; 2; 0), D(3; 1; 2). a. Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện. b. Viết phơng trình tham số đờng cao tứ diện ABCD hạ từ D. c. Tìm tọa độ hình chiếu H của D trên mặt phẳng (ABC). d. Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Thí dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 1; 5) và hai đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ) có phơng trình: (d): x 1 t y 2 2t z 3 t = + = + = + , t Ă và (d 2 ): x y 1 z 1 2 3 5 + = = . a. Viết phơng trình tham số của đờng thẳng (d 3 ) đi qua M và song song với (d 2 ). b. Viết phơng trình chính tắc của đờng thẳng (d) đi qua M, vuông góc với cả (d 1 ) và (d 2 ). Giải Gọi 1 u uur và 2 u uur theo thứ tự là vtcp của đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ), ta có: 1 u uur (1; 2; 1) và 2 u uur (2; 3; 5). a. Ta có ngay: (d 3 ): 2 Qua M(1;1;5) vtcp u ( 2;3;5) uur (d 3 ): x 1 2t y 1 3t z 5 5t = = + = + , t Ă . b. Gọi u r là vtcp của đờng thẳng, ta có: 1 2 (d) (d ) (d) (d ) 1 2 u u u u r uur r uur u r = 1 2 u , u uur uur = (7; 7; 7) chọn u r (1; 1; 1). Từ đó, ta có: (d): Qua M(1;1;5) vtcp u(1; 1;1) r (d): x 1 y 1 z 5 1 1 1 = = . Hoạt động Cho hai đờng thẳng: (d 1 ): x y 1 z 6 1 2 3 = = và (d 2 ): x 1 t y 2 t z 3 t = + = + = , t Ă . a. Viết phơng trình chính tắc của đờng thẳng đi qua điểm M(1; 2; 3), vuông góc với cả (d 1 ) và (d 2 ). b. Viết phơng trình đờng thẳng song song với Oz, cắt cả (d 1 ) và (d 2 ). 6 3. Vị trí tơng đối giữa hai đờng thẳng Trong không gian Oxyz, cho hai đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ) có: (d 1 ) đi qua điểm M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1 ) và có vtcp 1 u r (a 1 ; b 1 ; c 1 ), (d 2 ) đi qua điểm M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2 ) và có vtcp 2 u r (a 2 ; b 2 ; c 2 ). Khi đó, xét ba vectơ 1 u r , 2 u r và 1 2 M M uuuuuur ta có kết quả: 1. (d 1 ) và (d 2 ) đồng phẳng khi và chỉ khi ba vectơ 1 u r , 2 u r và 1 2 M M uuuuuur đồng phẳng. Nh vậy: (d 1 ) và (d 2 ) đồng phẳng [ 1 u r , 2 u r ]. 1 2 M M uuuuuur = 0. 2. (d 1 ) và (d 2 ) cắt nhau khi và chỉ khi chúng đồng phẳng và các vtcp của chúng không cùng phơng. Nh vậy: (d 1 ) và (d 2 ) cắt nhau [ 1 u r , 2 u r ]. 1 2 M M uuuuuur = 0 và a 1 : b 1 : c 1 a 2 : b 2 : c 2 . 3. (d 1 ) và (d 2 ) song song với nhau khi và chỉ khi 1 u r và 2 u r cùng phơng và (d 1 ), (d 2 ) không có điểm chung. Nh vậy: (d 1 ) // (d 2 ) a 1 : b 1 : c 1 = a 2 : b 2 : c 2 (x 2 x 1 ): (y 2 y 1 ): (y 2 y 1 ). 4. (d 1 ) và (d 2 ) trùng nhau khi và chỉ khi 1 u r và 2 u r cùng phơng và (d 1 ), (d 2 ) có điểm chung. Nh vậy: (d 1 ) (d 2 ) a 1 : b 1 : c 1 = a 2 : b 2 : c 2 = (x 2 x 1 ): (y 2 y 1 ): (y 2 y 1 ). 5. (d 1 ) và (d 2 ) chéo nhau khi và chỉ khi ba vectơ 1 u r , 2 u r và 1 2 M M uuuuuur không đồng phẳng. Nh vậy: (d 1 ) và (d 2 ) chéo nhau [ 1 u r , 2 u r ]. 1 2 M M uuuuuur 0. Chú ý: Nếu biết phơng trình của hai đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ) thì cũng có thể xét vị trí tơng đối của chúng bằng cách giải hệ gồm các phơng trình xác định (d 1 ) và (d 2 ) để tìm giao điểm và khi đó: a. Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì (d 1 ) và (d 2 ) cắt nhau. b. Nếu hệ có vô số nghiệm thì (d 1 ) và (d 2 ) trùng nhau. c. Nếu hệ vô nghiệm thì (d 1 ) và (d 2 ) song song hoặc chéo nhau, song song nếu hai vtcp của chúng cùng phơng, chéo nhau nếu hai vectơ đó không cùng phơng. Thí dụ 5: Trong không gian Oxyz, cho hai đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ) có phơng trình: (d 1 ): x 1 t y 2 3t z 3 4t = + = + = + , t Ă , (d 2 ): x 2 y 5 z 7 1 3 4 = = . a. Xác định vị trí tơng đối của hai đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ). b. Viết phơng trình mặt phẳng đi qua gốc O và chứa đờng thẳng (d 1 ). Giải a. Ta lần lợt có: Với (d 1 ) có vtcp 1 u uur (1; 3; 4) và điểm M 1 (1; 2; 3) (d 1 ). 7 Với (d 2 ) có vtcp 2 u uur (1; 3; 4) và điểm M 2 (2; 5; 7) (d 2 ). suy ra các vectơ 1 u uur , 2 u uur và 1 2 M M uuuuuuur (1; 3; 4) cùng phơng. Vậy, hai đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ) trùng nhau. b. Ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1: Lấy thêm điểm N 1 (0; 1; 1) (d 1 ). Khi đó, mặt phẳng (P) đi qua gốc O và chứa đờng thẳng (d 1 ) tơng ứng với việc đi qua ba điểm O, M 1 , N 1 . Gọi n r là vtpt của mặt phẳng (P), ta đợc: 1 OM uuuuur (1; 2; 3) và 1 ON uuuur (0; 1; 1) n r = 1 1 OM , ON uuuuur uuuur = (1; 1; 1). Phơng trình mặt phẳng (P) đợc cho bởi: (P): quaO(0;0;0) vtpt n(1;1; 1) r (P): x + y z = 0. Cách 2: Lấy thêm điểm N 1 (0; 1; 1) (d 1 ). Khi đó, mặt phẳng (P) đi qua gốc O và chứa đờng thẳng (d 1 ) tơng ứng với việc đi qua ba điểm O, M 1 , N 1 . Giả sử mặt phẳng (P) có phơng trình: (P): Ax + By + Cz + D = 0 với A 2 + B 2 + C 2 > 0. Vì O, M 1 , N 1 thuộc (P), ta đợc: A 2B 3C D 0 B C D 0 D 0 + + + = + = = A 2B 3C 0 B C 0 D 0 + + = = = A C B C D 0 = = = . Từ đó, ta đợc: (P): Cx Cy + Cz = 0 (P): x + y z = 0. Cách 3: Gọi (P) là mặt phẳng thỏa mãn điều kiện đầu bài thì (P) sẽ có cặp vtcp là 1 u uur và 1 OM uuuuur . Gọi n r là vtpt của mặt phẳng (P), ta đợc: n r = 1 1 u , OM uur uuuuur = (1; 1; 1). Phơng trình mặt phẳng (P) đợc cho bởi: (P): quaO(0;0;0) vtpt n(1;1; 1) r (P): x + y z = 0. Hoạt động Cho hai đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ) có phơng trình: (d 1 ): x t y 1 2t z 2 3t = = + = + , t Ă , (d 2 ): x 1 y 3 z 5 1 2 3 = = . a. Xác định vị trí tơng đối của hai đờng thẳng (d 1 ), (d 2 ). b. Viết phơng trình mặt phẳng đi qua gốc O và chứa đờng thẳng (d 2 ). Thí dụ 6: Trong không gian Oxyz, cho đờng thẳng (d 1 ) có phơng trình: 8 (d 1 ): x 1 y 1 z 2 1 1 4 = = , và đờng thẳng (d 2 ) là giao tuyến của hai mặt phẳng: (P 1 ): x + y 1 = 0 và (P 2 ): 4y + z + 1 = 0. a. Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ) song song với nhau. b. Viết phơng trình chính tắc của đờng thẳng (d) nằm trong mặt phẳng ((d 1 ), (d 2 )) và cách đều (d 1 ), (d 2 ). Giải a. Ta lần lợt có: Với (d 1 ) có vtcp 1 u uur (1; 1; 4) và điểm M 1 (1; 1; 2) (d 1 ). Các mặt phẳng (P 1 ), (P 2 ) theo thứ tự có vtpt 1 n uur (1; 1; 0), 2 n uur (0; 4; 1). Khi đó vtcp 2 u uur của đờng thẳng (d 2 ) đợc cho bởi: 2 1 2 u n , n = uur uur uur = (1; 1; 4). Và lấy điểm M 2 (1; 0; 1) (d 2 ). Suy ra, các vectơ 1 u uur , 2 u uur cùng phơng và không cùng phơng với vectơ 1 2 M M uuuuuuur (0; 1; 3). Vậy, hai đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ) song song với nhau. b. Đoạn thẳng M 1 M 2 có trung điểm 1 1 M 1; ; 2 2 ữ . Khi đó, phơng trình đờng thẳng (d) đợc xác định bởi: (d): 1 1 1 qua M 1; ; 2 2 vtcp u (1; 1;4) ữ uur (d): 1 1 y z x 1 2 2 1 1 4 = = . Hoạt động Cho đờng thẳng (d 1 ) có phơng trình: (d 1 ): x t y 3 4t z 3 3t = = = , t Ă , và đờng thẳng (d 2 ) là giao tuyến của hai mặt phẳng: (P 1 ): x + y z = 0 và (P 2 ): 2z y + 2z = 0. a. Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ) song song với nhau. b. Viết phơng trình mặt phẳng chứa hai đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ). c. Viết phơng trình chính tắc của đờng thẳng (d) nằm trong mặt phẳng ((d 1 ), (d 2 )) và cách đều (d 1 ), (d 2 ). Thí dụ 7: Trong không gian Oxyz, cho đờng thẳng (d 1 ) có phơng trình: 9 (d 1 ): x 1 t y t z 2 3t = + = = + , t Ă , và đờng thẳng (d 2 ) là giao tuyến của hai mặt phẳng: (P 1 ): x + 2y + 3 = 0 và (P 2 ): 3y z + 10 = 0. a. Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ) cắt nhau. b. Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa hai đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ). Giải Ta có thể lựa chọn một trong các cách sau: Cách 1: Ta lần lợt có: a. Ta có: Với (d 1 ) có vtcp 1 u uur (1; 1; 3) và điểm M 1 (1; 0; 2) (d 1 ), Các mặt phẳng (P 1 ), (P 2 ) theo thứ tự có vtpt 1 n uur (1; 2; 0), 2 n uur (0; 3; 1). Khi đó vtcp 2 u uur của đờng thẳng (d 2 ) đợc cho bởi: 2 1 2 u n , n = uur uur uur = (2; 1; 3). Và lấy điểm M 2 (1; 2; 4) (d 2 ). Suy ra các vectơ 1 u uur , 2 u uur không cùng phơng, và ta có: 1 2 u , u uur uur . 1 2 M M uuuuuuur = (6; 9; 1).(2; 2; 6) = 0 (d 1 ) và (d 2 ) cắt nhau. b. Gọi n r là vtpt của mặt phẳng (P), ta đợc: n r = 1 2 u , u uur uur = (6; 9; 1) chọn n r = (6; 9; 1). Phơng trình mặt phẳng (P) đợc cho bởi: (P): 1 qua M ( 1;0; 2) vtpt n(6;9;1) r (P): 6x + 9y + z + 8 = 0. Cách 2: Ta lần lợt có: a. Xét hệ phơng trình tạo bởi (d 1 ), (P 1 ) và (P 2 ): x 1 t y t z 2 3t x 2y 3 0 3y z 10 0 = + = = + + + = + = x 1 t y t z 2 3t 1 t 2( t) 3 0 3( t) ( 2 3t) 10 0 = + = = + + + + = + + = t 2 x 1 y 2 z 4 = = = = . Vậy, hai đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ) cắt nhau tại điểm A(1; 2; 4). b. Lấy các điểm M 1 (1; 0; 2) (d 1 ) và M 2 (3; 0; 10) (d 2 ). Mặt phẳng (P) sẽ có cặp vtcp là 1 AM uuuuur và 2 AM uuuuur . Gọi n r là vtpt của mặt phẳng (P), ta đợc: n r = 1 2 AM , AM uuuuur uuuuur = (24; 36; 4) chọn n r = (6; 9; 1). 10 [...]... học sinh có thể ghi nhớ công thức trên để giải các bài toán liên quan tới khoảng cách từ một điểm tới một đờng thẳng Thí dụ 10: Trong không gian Oxyz, cho hai đờng thẳng (d1) và (d1) có phơng trình: x = 1 + t x y 1 z 6 (d1): = , (d): y = 2 + t , t Ă = 1 2 3 z = 3 t a Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng (d1) và (d2) b Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng (d1) và song song với đờng thẳng. .. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có phơng trình: (P): x + 4y 2z 6 = 0, (Q): x 2y + 4z 6 = 0 a Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến (d) Hãy tìm tọa độ của một vtcp của (d) b Viết phơng trình tham số và chính tắc của đờng thẳng (d) c Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa (d) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho hình chóp O.ABC là hình chóp... Thông qua lời giải của thí dụ trên các em học sinh cần ghi nhận ba phơng pháp để tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của một điểm lên một đờng thẳng Hoạt động Cho điểm M(4; 3; 2) và đờng thẳng (d) có phơng trình: x 1 y z +1 (d): , = = 3 2 1 a Tính khoảng cách từ M tới đờng thẳng (d) b Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên (d) Bài toán 2: Tính khoảng u cách h giữa hai đờng thẳng chéo nhau (d1),... động Cho đờng thẳng (d1) có phơng trình: 11 x = 1 + t (d1): y = 2 + t , t Ă , z = 3 t và đờng thẳng (d2) là giao tuyến của hai mặt phẳng: (P1): x + y z + 5 = 0 và (P2): 2x y + 1 = 0 a Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1) và (d2) chéo nhau b Viết phơng trình mặt phẳng (R) song song và cách đều cách đều (d1), (d2) c Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng (d1) và song song với đờng thẳng (d2)... Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho phơng trình: x = 1 + (m + 1)t ,t Ă (1) y = 2 + mt z = (m 1)t a Tìm điều kiện của m để phơng trình trên là phơng trình của một họ đờng thẳng kí hiệu là (dm), từ đó chỉ ra điểm cố định mà họ (dm) luôn đi qua b Điểm A(3; 3; 1) có thuộc đờng thẳng nào của họ (dm) không c Chứng minh rằng họ đờng thẳng (dm) luôn thuộc một mặt phẳng (P) cố định, tìm phơng trình mặt... ý: Các em học sinh có thể ghi nhớ công thức trên để giải các bài toán liên quan tới khoảng cách từ một điểm tới một đờng thẳng Thí dụ 9: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(3; 1; 3) và đờng thẳng (d) có ph- ơng trình: (d): x 1 y 1 z 2 , = = 1 1 2 a Tính khoảng cách từ M tới đờng thẳng (d) b Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên (d) Giải r a Đờng thẳng (d) đi qua điểm M0(1; 1; 2) và có vtcp... và mặt phẳng: (P): x 2y + 3z 6 = 0 a Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua M và vuông góc với (P) b Viết phơng trình hình chiếu vuông góc của đờng thẳng (d) trên mỗi mặt phẳng toạ độ c Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa (d) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho hình chóp O.ABC là hình chóp tam giác đều Hớng dẫn: Với câu a), sử dụng điều kiện mặt phẳng (P) qua M và có vtcp là vtpt của. .. phơng trình tham số của đờng thẳng (d) cần dựng (*) Chú ý: Để "Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm A cắt hai đờng thẳng (d1) và (d2) chéo nhau cho trớc", ta có thể lựa chọn một trong các cách: Cách 1: Ta thực hiện theo các bớc: Bớc 1: Giả sử đờng thẳng (d) cắt (d1) và (d2) theo thứ tự tại B, C Khi đó toạ độ B, C theo thứ tự thoả mãn các phơng trình của (d1) và (d2) Bớc 2: Từ điều kiện A, B, C thẳng. .. vuông góc với đờng thẳng (d1) và cắt đờng thẳng (d2) chéo nhau cho trớc", ví dụ sẽ sau minh hoạ phơng pháp thực hiện Ví dụ 6: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2; 2; 1) và hai đờng thẳng (d1) và (d2) có phơng trình: x y 1 z 2 x3 y 2 z , (d2 ) : (d1 ) : = = = = 2 1 2 1 2 3 a Chứng minh rằng hai đờng thẳng (d1), (d2) chéo nhau b Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M vuông góc với (d1) và cắt (d2) 17... phơng trình tổng quát hình chiếu vuông góc của đờng thẳng (d) trên mỗi mặt phẳng tọa độ " chúng ta thực hiện theo các bớc: Bớc 1: Chuyển phơng trình đờng thẳng (d) về tham số: x = x 0 + a1t (d): y = y 0 + a 2 t , t Ă z = z + a t 0 3 Bớc 2: Khi đó: Hình chiếu vuông góc của (d) lên (Oxy) có phơng trình: x = x 0 + a1t (d): y = y 0 + a 2 t , t Ă z = 0 26 Hình chiếu vuông góc của (d) lên (Oyz) . lê hồng đức và nhóm cự môn 5 9hình học 12 Phơng trình đờng thẳng Bài giảng đợc trình bày cho các em học sinh bằng việc sử dụng giáo án điện tử Ngời thực hiện: Lê hồng đức Điện thoại:. Nội Đ3 P hơng trình đờng thẳng A. bài giảng A. bài giảng 1. phơng trình tham số của đờng thẳng Định lý 1: Trong không gian Oxyz, đờng thẳng (d) đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và có vtcp a r (a 1 ;. tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Hãy tìm tọa độ của một điểm thuộc (d) và xác định tọa độ của một vtcp của (d). c. Viết phơng trình tham số và chính tắc của đờng thẳng (d). Thí dụ 3: Trong không