Đề tài nghiệp vụ s phạm - Môn Toán - Năm học: 2008-2009 Một số phơng pháp tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên A.Đặt vấn đề I, Lý DO CHọN Đề TàI Chúng ta đều biết rằng toán học là cơ sở của mọi ngành khoa học, vì thế môn toán đóng một vai trò quan trọng trong nhà trờng. Thông qua môn toán, học sinh nắm vững các kiến thức toán học, từ đó dễ dàng học tập các môn học khác để ứng dụng những kiến thức đã học vào các ngành khoa học kĩ thuật, ứng dụng trong lao động, trong quản lý kinh tế, trong việc tự học, tự nghiên cứu khoa học Để giúp HS học tốt môn toán đòi hỏi ngời thầy giáo phải có sự lao động sáng tạo nghiêm túc. Học sinh học toán,một khoa học rất sáng tạo và hấp dẫn đòi hỏi HS phải tích cực chủ động tiếp cận kiến thức mới dới sự hớng dẫn của GV. Chính vì vậy trong quá trình dạy tôi đã cố gắng dạy cho HS cách định hớng phơng pháp giải bài tập trớc mỗi dạng bài. Là một giáo viên dạy toán THCS, trong những năm qua tôi đã đặt ra cho mình một nhiệm vụ là phải nghiên cứu tìm ra những phơng pháp thích hợp cho giảng dạy , những vấn đề cụ thể phù hợp với đối tợng thực tế. Một trong những chuyên đề mà tôi tâm đắc nhất là " M ộ t s ố p h ơ n g p h á p t ìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên " . Tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên là dạng toán hay và khó. Đa số các tài liệu về dạng toán này đều sử dụng khái niệm đồng d, một khái niêm trừu tợng và không có trong chơng trình. Vì thề có không ít học sinh, đăc biệt là các bạn lớp 6và lớp7 khó có thể hiểu và tiếp thu đợc. Qua đề tài này, tôi xin trình bày với các bạn thêm một số tính chất và phơng pháp giải bài toán tìm chữ số tận cùng, chỉ sử dụng kiến thức THCS. Trong thực tế nhiều khi ta không cần biết giá trị của một số mà chỉ cần biết một hay nhiều chữ số tận cùng của nó.Chẳng hạn ,khi so xổ số muốn biết có trúng thởng những giải cuối hay không ta chỉ Ng ời thực hiện: Nguyễn Văn Tú - Giáo viên Tr ờng THCS Thanh Mỹ-Thanh Ch ơng- Nghệ An Trang số 1 Đề tài nghiệp vụ s phạm - Môn Toán - Năm học: 2008-2009 Một số phơng pháp tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên cần so hai chữ số cuối cùng.Trong toán học,khi xét một số có chia hết cho 2;4;8 hoặc chia hết cho 5;25 ;125 hay không ta chỉ cần xét 1;2;3 chữ số tận cùng của số đó. Tìm chữ số tận cùng của những luỹ thừa bậc thấp ,đơn giản học sinh dễ dàng biết đợc.Vấn đề đặt ra là đứng trớc những luỹ thừa bậc cao dựa vào đâu HS định hớng đợc cách giải? Trong một số năm giảng dạy tôi đã đúc kết một số kinh nghiệm tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa để củng cố cho HS nhằm nâng cao kết quả học tập của HS nhất là đối với HS khá giỏi.Sau đây mong các đồng nghiệp tham khảo, góp ý kiến cho tôi. II, Nhiệm vụ của đề tài - Đề tài đa ra một hệ thống các phơng pháp tìm một chữ số tận cùng, hai chữ số tận cùng và ba chữ số tận cùng của một số tự nhiên hay một biểu thức số tự nhiên. - Trang bị cho học sinh lớp 6 đặc biệt là học sinh lớp chuyên chọn có kiến thức sâu rộng hơn. - Tạo tiền đề cho các em có ý thức học tập cao hơn. - Thông qua đề tài học sinh có thể nắm một số phơng pháp và có thể vận dụng vào giải bài toán từ đơn giản đến phức tạp, rèn kỹ năng tìm chữ số tận cùng và các tính chất chia hết của một số, đồng thời giúp học sinh thấy đợc cài hay, cái đẹp, sức hấp dẫn của toán học đem lại, kích thích tò mò, khám phá tìm hiểu bài toán hơn. - Nghiên cứu về bài toán tôi đa ra đợc các phơng pháp giải bài tập khác nhau để các em giải bài tập cụ thể một cách dễ ràng hơn. Khi đó học sinh sẽ có đợc phơng pháp phân tích t duy tổng hợp toán học, nâng cao năng lực giải toán và có nghị lực vợt khó để giải bài toán. - Qua thực tế giảng dạy học sinh giỏi, tôi nhận thấy học sinh còn lúng túng trong cách tìm chữ số tận cùng. Từ đó tôi đã tìm hiểu các Ng ời thực hiện: Nguyễn Văn Tú - Giáo viên Tr ờng THCS Thanh Mỹ-Thanh Ch ơng- Nghệ An Trang số 2 Đề tài nghiệp vụ s phạm - Môn Toán - Năm học: 2008-2009 Một số phơng pháp tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên tài liệu để phân dạng cho học sinh các cách làm dễ hơn. Mỗi dạng tôi đa ra cơ sở lý thuyết và một số bài tập cụ thể để các em nắm chắc hơn các dạng toán và các cách làm đối với những dạng Toán đó. - Khi nghiên cứu về dạng toán tìm chữ số tận cùng để tôi nâng cao năng lực chuyên môn và làm t liệu dạy học sinh giỏi. III, Đối tợng nghiên cứu Đề tài Một số phơng pháp tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên áp dụng chủ yếu cho học sinh lớp 6 và có thể cho học sinh các lớp 7,8,9.Mục đích bồi dỡng học sinh khá giỏi, phục vụ cho các kỳ thi cuối kỳ , cuối năm , thi học sinh giỏi, thi giải toán qua mạng Internet (Violympic Toán), IV, Phạm vi và thời gian thực hiện đề tài Thực hiện đối với học sinh lớp 6A trờng THCS Thanh Mỹ- Thanh Chơng- Nghệ An. Thực hiện từ đầu học kỳ I đến cuối năm học 2008-2009. V, Quá trình thực hiện đề tài 1, Khảo sát thực tế: 1.1, Tình trạng thực tế khi cha sử dụng đề tài Khi cha thực hiện đề tài này , các em gặp bài toán tìm chữ số tận cùng hoặc bài toán liên quan , đa số các em hay mắc sai lầm trong lời giải , lời giải không chặt chẽ , kết luận cha sâu sắc. 1.2, Số liệu điều tra trớc khi thực hiện đề tài: Kiểm tra 40 học sinh lớp 6A các bài toán sau: Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của số: A = 9 9 9 Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của số: B = 2 4 3 Ng ời thực hiện: Nguyễn Văn Tú - Giáo viên Tr ờng THCS Thanh Mỹ-Thanh Ch ơng- Nghệ An Trang số 3 Đề tài nghiệp vụ s phạm - Môn Toán - Năm học: 2008-2009 Một số phơng pháp tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên Bài 3: Tìm hai chữ số tận cùng của số: C = 2 999 Bài 4: Tìm chữ số tận cùng của: C = 6 2002 , D = 2 2001 . Kết quả nh sau: 0 2,5 3 4,5 5 6,5 7 8,5 9 10 %Trên trung bình 8 12 17 3 0 50% Lời giải còn mang tính chất suy đoán, dài dòng, một số cha làm đợc bài nào . B.Nội dung Phần I.Kiến thức cơ bản Ng ời thực hiện: Nguyễn Văn Tú - Giáo viên Tr ờng THCS Thanh Mỹ-Thanh Ch ơng- Nghệ An Trang số 4 Đề tài nghiệp vụ s phạm - Môn Toán - Năm học: 2008-2009 Một số phơng pháp tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên Phần i.I: Phơng pháp tìm chữ số tận cùng hoặc một số cuối cùng của một số tự nhiên. Phơng pháp 1: Dùng cấu tạo số: I. Cơ sở lý thuyết: Xem số tự nhiên: A = n k với n, k N. 1. Muốn tìm chữ số tận cùng của A chỉ cần biểu diễn A dới dạng: A = 10a + b = ab b là chữ số cuối cùng của A. Ta viết: A = n k = (10q + r) k = 10 t + r k với r N; 0 r 9 Chữ số cuối cùng của A chính là chữ số cuối cùng của số r k - Nếu A = 100a + bc = abc thì bc là hai chữ số cuối cùng của A. - Nếu A = 1000a + bcd = abcd thì bcd là ba chữ số cuối cùng của A. - Nếu A = 10 m .a m + 01 aa m = 01 aaa m thì 01 aa m là m chữ số cuối cùng của A. 2. Vận dụng nghị thức Newtơn: (a + b) n = ac n . 0 + bac n n 11 . + . nn n nn n bcbac 11 + II. Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm chữ số cuối cùng của số: A = 9 9 9 Giải: Ng ời thực hiện: Nguyễn Văn Tú - Giáo viên Tr ờng THCS Thanh Mỹ-Thanh Ch ơng- Nghệ An Trang số 5 Đề tài nghiệp vụ s phạm - Môn Toán - Năm học: 2008-2009 Một số phơng pháp tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên Xem số M = 9 k ; k N - Nếu k chẵn k = 2m ta có: M = 9 2m = 81 m = (80 + 1) m =(10q + 1) m = 10 t + 1 (với m, q, t N) Vậy: M có chữ số cuối cùng là 1 nếu k chẵn. - Nếu k lẻ k = 2m + 1 ta có: M = 9 2m+1 = 9 2m .9 = (10t + 1).9 = 10q + 9 (với m, t, q N) Vậy: M có chữ số cuối cùng là 9 nếu k lẻ, ta có 9 9 là một số lẻ. Do đó: A = 9 9 9 có chữ số cuối cùng là 9. Bài 2: Tìm chữ số cuối cùng của số: B = 2 4 3 Giải: B = 2 4 3 = 2 81 = (2 5 ) 16 .2 = 32 16 .2 = (30 + 2) 16 . 2 = 10q + 2 17 = 10q + (2 5 ) 3 .2 2 = 10q + (10q + 2) 3 . 2 2 = 10t + 2 5 = 10t + 2 Vậy B có chữ số cuối cùng là 2. Phơng pháp 2: Nhận xét về lũy thừa. I. Cơ sở lý thuyết: Nhận xét về lũy thừa. Ng ời thực hiện: Nguyễn Văn Tú - Giáo viên Tr ờng THCS Thanh Mỹ-Thanh Ch ơng- Nghệ An Trang số 6 Đề tài nghiệp vụ s phạm - Môn Toán - Năm học: 2008-2009 Một số phơng pháp tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên - a n là một lũy thừa Các trờng hợp đặc biệt: 1. Các số có dạng: + ( 0a ) n tận cùng bằng 0. + 1(a ) n ; ( 5a ) n ; ( 6a ) n tận cùng lần lợt là 1; 5; 6. + ( 3a ) 4 ; ( 7b ) n ; ( 9b ) n tận cùng bằng 1. + ( 2a ) 4 ; ( 4a ) 4 ; ( 8a ) 4 tận cùng bằng 6. 2. Các số 3 20 , 81 5 , 7 4 , 51 2 , 99 2 tận cùng 01 26 4 , 6 5 , 18 4 , 24 2 , 68 4 , 74 2 có 2 chữ số tận cùng là 76. 125 n , 25 n , 5 2 tận cùng là 25. 3. Các số có dạng: ( 01a ) n ; ( 25a ) n , ( 76a ) n có 2 chữ số tận cùng lần lợt là: 01, 25, 76. Bài 1: Tìm chữ số cuối cùng của số: A = 9 9 9 Giải Ta có: 9 2m tận cùng là 1 9 2m+1 tận cùng là 9 Suy ra: 9 9 tận cùng là 9, (9 là số lẻ.) Vậy A = 9 9 9 tận cùng là 9. Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của: C = 6 2002 , D = 2 2001 . Giải: Ta có: 6 1 tận cùng là 6 Ng ời thực hiện: Nguyễn Văn Tú - Giáo viên Tr ờng THCS Thanh Mỹ-Thanh Ch ơng- Nghệ An Trang số 7 Đề tài nghiệp vụ s phạm - Môn Toán - Năm học: 2008-2009 Một số phơng pháp tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên 6 2 tận cùng là 6 6 3 tận cùng là 6 Vậy 6 n tận cùng là 6 suy ra 6 2002 tận cùng là 6 Ta có 2 4 = 16 tận cùng là 6 Suy ra 2 2002 = (2 4 ) 500 .2 2 = ( 6a ).4 = 4k với a,k N 2 2002 tận cùng là 4 Bài 3: Tìm chữ số cuối cùng của số: M = 7 1999 ; G = 18 177 Giải *Ta có 7 4 = 2401 tận cùng là 1 M = 7 1999 = (7 4 ) = ( 1n ).343 = 3c tận cùng là 3 Vậy M = 7 1999 tận cùng là 3 *Ta có 18 4 = 6n tận cùng là 6 Suy ra: G = 18 177 = (18 4 ) 44 . 18 1 = 6t .18 = 8k Vậy G = 18 177 tận cùng là 8. Phơng pháp 3: Dùng đồng d I. Cơ sở lý thuyết: 1. Định nghĩa: Cho số nguyên m>0, hai số nguyên a và b chia cho m có cùng số d ta nói a đồng d với 6 theo mô đun m và viết a b (mod m). 2. Định lý: Ba mệnh đề sau tơng đơng với nhau: Ng ời thực hiện: Nguyễn Văn Tú - Giáo viên Tr ờng THCS Thanh Mỹ-Thanh Ch ơng- Nghệ An Trang số 8 Đề tài nghiệp vụ s phạm - Môn Toán - Năm học: 2008-2009 Một số phơng pháp tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên a. a đồng d với b theo mô đun m b. a b chia hết cho m c. có một số nguyên t sao cho a = b+m.t 3. Tính chất: 1. a a (mod m) 2. a b (mod m); b c (mod m) Suy ra: a c (mod m) 3. { )(mod )(mod mba mdc suy ra: )mod(, )(mod mdba mbdac Hệ quả: a+c b (mod m) cba (mod m) a b (mod m) nm ba (mod m) 4. Nếu a b (mod m); k ƯC (a,b), (k,m) = 1 thì )(mod m k b k a = 5. { )(mod 0, mba kZk > suy ra ka kb (mod m). 6. d ƯC (a,b,m) thì: a b (mod m) suy ra d b d a = (mod d m ) 7. Nếu a b (mod m 1 ) và a b (mod m 2 ) suy ra a b (mod m) m = BCNN (m 1 , m 2 ) Hệ quả: (m 1 , m 2 , , m n ) =1 và ng tố từng đôi Suy ra: a b (mod m 1 ), a b (mod m 2 ) a b (mod m n ) a b (mod m 1 . m 2 . M n ). II. Bài tập 1. Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của 6 195 và 2 1000 Giải: Ng ời thực hiện: Nguyễn Văn Tú - Giáo viên Tr ờng THCS Thanh Mỹ-Thanh Ch ơng- Nghệ An Trang số 9 Đề tài nghiệp vụ s phạm - Môn Toán - Năm học: 2008-2009 Một số phơng pháp tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên Tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên N có nghĩa là phải tìm số d trong phép chia số N cho 10, tức là tìm số tự nhiên nhỏ hơn 10 đồng d với N theo mod 10 * Ta có: 6 2 = 36 6 mod 10 suy ra 6 n 6 mod 10 Với N là số tự nhiên khác o Suy ra: 6 195+ 6 (mod 10) Vậy chữ số tận cùng của 6 195 là 6. * Ta có: 2 1000 = 2 4 . 250 = (2 n ) 250 Vì 2 n 16 6 (mod 10) Suy ra: (2 n ) 250 16 250 6 250 6 (mod 10) Do đó: 2 1000 6 250 6 (mod 10) Nghĩa là chữ số tận cùng của 2 1000 là 6. Vậy ta vận dụng đồng d vào tìm chữ số tận cùng có nghĩa là tìm chữ số tận cùng của số N với: Một chữ số tận cùng là N a (mod 10) suy ra tận cùng là a: a < 10 Hai chữ số tận cùng là N b (mod 100) suy ra tận cùng là b: b <100 Ba chữ số tận cùng là N c (mod 1000) suy ra tận cùng là c:c <1000 m chữ số tận cùng là N K (mod 10 0) suy ra tận cùng là K:K <10 0 Ng ời thực hiện: Nguyễn Văn Tú - Giáo viên Tr ờng THCS Thanh Mỹ-Thanh Ch ơng- Nghệ An Trang số 10 [...]... hai chữ số tận cùng của x cũng chính là hai chữ số tận cùng của y Hiển nhiên là y x , nh vậy để đơn giản hơn việc tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x thì thay vào đó ta đi tìm hai chữ số tận cùng của hai số tự nhiên y (nhỏ hơn) Rõ ràng số y càng nhỏ thì việc tìm các chữ số tận cùng của y càng đơn giản hơn Từ nhận xét trên ta có thể đề xuất phơng pháp tìm hai chữ số tận cùng của hai số tự nhiên. .. 2008-2009 Một số phơng pháp tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên Bài 2 :Tìm hai chữ số tận cùng của 2100 Giải: Chú ý rằng :210=1024 , bình phơng của số có tận cùng bằng 24 thì tận cùng bằng 76, số có tận cùng bằng 76 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 76 Do đó: ( 2)100=(210)10 =(1024)10 =(10242)5 =(.76)5 =.76 Vậy hai chữ số tận cùng của 2100 là 76 Bài 3: Tìm hai chữ số tận cùng của số: C... nâng lên luỹ thừa bậc 4n+3 sẽ có chữ số tận cùng là 3 b )Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n+3 sẽ có chữ số tận cùng là 8 ; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n+3 sẽ có chữ số tận cùng là 2 c)Các chữ số có chữ số tận cùng là 0,1,4,5,6,9, khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n+3 sẽ không thay đổi chữ số tận cùng Bài toán 1 Tìm chữ số tận cùng của tổng T=23 +37 +411 + +20048011... các số tự nhiên có chữ số tận cùng là 4 hoặc 9, nâng lên luỹ thừa lẻ đều có chữ số tận cùng bằng chính nó; nâng lên luỹ thừa chẵn có chữ số tận cùng lần lợt là 6 và 1) Việc chứng minh tính chất trên là không khó, xin dành cho các bạn Nh vậy muốn tìm chữ số tân cùng của số tự nhiên x = am trớc hết ta xác định chữ số tận cùng của a -Nếu chữ số tận cùng của a là 0,1,5,6 thì x cũng có chữ số tận cùng là... 0,1,5,6 thì x cũng có chữ số tận cùng là 0,1,5,6 -Nếu chữ số tận cùng của a là 3,7,9 vì am=a4n+r=a4narvới r=0,1,2,3 nên từ tính chất 1c suy ra chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của ar Nếu chữ số tận cùng của a là 2,4,8 cũng nh trờng hợp trên từ tính chất suy ra chữ số tân cùng của x chính là chữ số tận cùng của 6.ar Bài 1 Tìm chữ số tận cùng của 187324 Giải: Ngời thực hiện: Nguyễn Văn Tú Chơng-... học: 2008-2009 Một số phơng pháp tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên Phơng pháp 1 Để tìm ba chữ số tận cùng trở lên của một luỹ thừa ,cần chú ý rằng: -Các số có tận cùng bằng 001 ,376 ,625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 001 ,376 ,625 -Các số có tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 0625 Bài 1: Tìm bốn chữ số tận cùng của 51992 Giải: 51992 =(54)498... Trang số 22 Đề tài nghiệp vụ s phạm - Môn Toán - Năm học: 2008-2009 Một số phơng pháp tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên 57 tận cùng 8125 58 tận cùng là 0625 59 tận cùng là 3125 510 tận cùng là 5625 511 tận cùng là 8125 512 tận cùng là 0625 Chu kỳ lặp là 4 Suy ra: 54m tận cùng là 0625 54m+1 tận cùng là 3125 54m+2 tận cùng là 5625 54m+3 tận cùng là 8125 Mà 1994 có dạng 4m+2 Do đó M = 51994 có 4 chữ. .. chia hết cho 10 Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 7430 ;4931 ;8732 ;5833 ;2335 Bài 3: Tìm hai chữ số tận cùng của 5n (n>1) Bài 4: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: Ngời thực hiện: Nguyễn Văn Tú Chơng- Nghệ An - Giáo viên Trờng THCS Thanh Mỹ-Thanh Trang số 27 Đề tài nghiệp vụ s phạm - Môn Toán - Năm học: 2008-2009 Một số phơng pháp tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên a/(2345)42 b/(5796)35... =0625498 =( 0625) Vậy bốn chữ số tận cùng của 51992 là 0625 Bài 2: Tìm ba chữ số tận cùng của số T = 5946 Giải Ta có 53 có ba chữ số tận cùng là 125 Suy ra T = 5946 = (53)315 5 = ( n125 )315.5 = m125 5 = t 625 ( Với n, m, t N ) Vậy T = 5946 có ba chữ số tận cùng là 125 Bài 3: Tìm 4 chữ số tận cùng của số: P = 51994 Giải Ta có: 54 = 0625 tận cùng là 0625 55 tận cùng là 3125 56 tận cùng là 5625 Ngời thực... Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9 Ngời thực hiện: Nguyễn Văn Tú Chơng- Nghệ An - Giáo viên Trờng THCS Thanh Mỹ-Thanh Trang số 12 Đề tài nghiệp vụ s phạm - Môn Toán - Năm học: 2008-2009 Một số phơng pháp tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên Từ tính chất 1 tiếp tục suy ra tính chất 3 3.Tính chất 3: a )Số chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên luỹ thừa 4n+3 sẽ có chữ số tận cùng là7 ;số có chữ số tận cùng . 1 (mod 10) suy ra 1991 1997 1 (mod 10) Vậy 1991 1997 có chữ số tận cùng là 1 b. Ta có: 1997 7 (mod 10) suy ra 1997 2 49 9 (mod 10) suy ra 1997 4 1 (mod 10) suy ra (1997 4 ) 409 . 10 suy ra 6 n 6 mod 10 Với N là số tự nhiên khác o Suy ra: 6 195+ 6 (mod 10) Vậy chữ số tận cùng của 6 195 là 6. * Ta có: 2 1000 = 2 4 . 250 = (2 n ) 250 Vì 2 n 16 6 (mod 10) Suy. cùng là N a (mod 10) suy ra tận cùng là a: a < 10 Hai chữ số tận cùng là N b (mod 100) suy ra tận cùng là b: b <100 Ba chữ số tận cùng là N c (mod 1000) suy ra tận cùng là c:c <1000