SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT CẨM THUỶ 3  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: Phân loại một số bài tập ứng dụng tích phân chương III – Giải tích lớp 12 nâng cao Người thực hiện: Ngô Tiến Hoàng Đơn vị : Trường THPT Cẩm Thuỷ 3 Chức vụ : Tổ trưởng chuyên môn Tổ chuyên môn: Toán - Tin Thanh Hoá, ngày 10 tháng 5 năm 2011. Phần mở đầu I. Lý do chon đề tài II. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu III. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu IV. Phương pháp nghiên cứu V. Cấu trúc của đề tài Phần nội dung I. Tính diện tích hình phẳng II. Tính thể tích vật thể tròn xoay Phần kết luận I. Một số kết quả và hạn chế của đề tài II. Một số ý kiến đề xuất III. Triển vọng của đề tài 2 PHẦN MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài. Bài toán tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay trong chương trình Giải Tích 12 là một trong những dạng toán cơ bản, thực tế và quen thuộc. Tuy nhiên các em học sinh thường chưa có sự phân tích và tư duy thực tế dẫn tới mắc sai lầm và đưa ra những lời giải sai, chưa chính xác. Việc hệ thống hoá các phương pháp giải, chỉ ra một số sai lầm khi giải toán sẽ cho phép nhìn nhận các bài toán theo một hệ thống nhất quán từ đó giúp các em học sinh có thể thấy được thuật toán chung cũng như tránh được những sai lầm khi giải các bài toán có liên quan. Khắc phục được khó khăn và sửa chữa được các sai lầm đó là rất cần thiết, giúp cho quá trình giải toán được dễ dàng, thuận lợi và đạt hiệu quả cao. Đồng thời phát triển tư duy, năng lực sáng tạo của học sinh khi học tập môn toán cũng như các môn học khác. Xuất phát từ thực tế trên, tôi mạnh dạn đề xuất một ý kiến nhỏ “Phân loại các bài tập ứng dụng tích phân – Chương III- Giải tích 12 nâng cao” II. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. Với sáng kiến “Phân loại các bài tập ứng dụng tích phân – Chương III- Giải tích 12 nâng cao” tôi chủ yếu đi vào khai thác một số bài toán về ứng dụng của tính phân để diện tích và thể tích trong chương trình Giải tích THPT lớp 12- nâng cao và các bài toán trong các đề thi đại học trong những năm gần đây nhằm tìm ra hướng giải quyết cho bài toán một cách chính xác, lôgíc và khoa học. III. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu: Mục đích nghiên cứu của đề tài là nhằm xây dựng và chỉ ra được một số sai lầm và một số chú ý giúp cho học sinh cũng như đồng nghiệp giáo viên có cái nhìn toàn diện hơn về ứng dụng của tích phân trong hình học tránh nhầm lẫn và nhanh chóng giải quyết bài toán. Trên cơ sở đó học sinh có thể tự tìm tòi phát hiện các vướng mắc, các cách giải hay trong nhiều bài toán khác. IV. Phương pháp nghiên cứu. 1. Nhóm phương pháp nghiên cứu lý thuyết. 3 Nhóm phương pháp lý thuyết bao gồm việc thu thập các tài liệu, sách báo, giáo trình … có liên quan đến nội dung của đề tài. Trên cơ sở đó phân tích, tổng hợp, khái quát hoá thành nội dung cần thiết cho đề tài. Căn cứ vào mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài, tôi đẫ thu thập tài liệu từ nhiều nguồn khác nhau: + Sách giáo khoa Giải tích 12 Nâng cao - Bộ giáo dục và đào tạo + Phương pháp giải toán Tích phân nhóm tác giả: Trần Đức Huyên, Trần Chí Trung. + Phương pháp giải toán Tích phân tác giả: Lê Hồng Đức. + Phương pháp giải toán Tích phân và Giải tích Tổ hợp tác giả: Nguyễn Cam. + Phương pháp mới giải đề tuyển sinh môn Toán tác giả: Trần Phương … 2. Nhóm phương pháp thực tiễn. Việc tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể là một nội dung đã được học ở lớp học dưới và rất thực tế, nhưng để học tốt nó vốn không đơn giản đối với các học sinh tư duy về hình học yếu. Vì vậy cần thiết phải áp dụng vào trong việc giảng dạy thực tế để đánh giá ưu điểm, nhược điểm của đề tài từ đó rút ra kết luận và đề xuất các ý kiến nâng cao hiệu quả giáo dục. V. Cấu trúc của đề tài. Phần mở đầu I. Lý do chon đề tài II. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu III. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu IV. Phương pháp nghiên cứu V. Cấu trúc của đề tài Phần nội dung I. Tính diện tích hình phẳng. II. Tính thể tích vật thể Phần kết luận 1. Một số kết quả và hạn chế của đề tài 2. Một số ý kiến đề xuất 3. Triển vọng của đề tài 4 PHẦN NỘI DUNG I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG: 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong: Nếu hàm số ( )y f x= liên tục trên đoạn [ ] ;a b thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( )y f x= , trục hoành và hai đường thẳng ,x a x b= = là ( ) b a S f x dx= ∫ (1) Để khử dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức f(x) ta thường thực hiện: Cách 1: Sử dụng “định lí về dấu của nhị thức bật nhất”và “định lí về dấu của tam thức bậc hai” để xét dấu các biểu thức f (x). ( Chú ý: Nếu f (x) không đổi dấu trên [a ; b] thì ta có: ∫∫ == b a b a dxxfdxxfS )()( ) Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) trên đoạn [ ] b ; a để suy ra dấu của f (x) trên đoạn đó . Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f (x) nằm phía dưới trục hoành thì [ ] b ; a x , 0)( ∈∀≤xf Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía trên trục hoành thì [ ] b ; a x , 0)( ∈∀≥xf Nếu phương trình f(x) = 0 có k nghiệm phân biệt x 1 , x 2 , …, x k thuộc (a ; b) thì trên mỗi khoảng (a ; x 1 ) , (x 1 ; x 2 ) , …, (x k ; b) biểu thức f(x) có dấu không đổi . Khi đó để tính tích phân ∫ = b a dxxfS )( ta có thể tính như sau : ∫∫∫∫ +++== b x x x x a b a k dxxfdxxfdxxfdxxfS )( )()()( 2 1 1 Ví dụ 1: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 4y x= − , đường thẳng x=3, trục tung và trục hoành. Giải: Đặt 2 ( ) 4f x x= − . Ta thấy ( ) 0f x ≤ trên [ ] 0;2 và ( ) 0f x ≥ trên [ ] 2;3 . Theo công thức (1), diện tích S của hình đang xét là: 5 3 2 0 2 3 2 2 0 2 2 3 2 2 0 2 4 4 4 23 (4 ) ( 4) ( ) 3 S x dx x dx x dx x dx x dx dvdt = − = − + − = − + − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3 4y x x= − , trục hoành, đường thẳng x =-3 và đường thẳng x= 4. Giải: Đồ thị hàm số 3 4y x x= − cắt trục hoành tại 3 điểm x = -2, x = 0, x= 2. Cách 1: Lập bảng xét dấu ta có: ( ) 0f x ≤ trên [ ] [ ] 2;02;3 ∪−− và ( ) 0f x ≥ trên [ ] [ ] 4;20;2 ∪− Khi đó diện tích S của hình đang xét là: 4 2 0 2 4 3 3 3 3 3 3 3 2 0 2 4 (4 ) ( 4 ) (4 ) ( 4 ) 201 ( ) 4 S x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx dvdt − − − − = − = − + − + − + − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số: Vẽ đồ thị hàm số: 2 4y x= − . Dựa vào đồ thị ta có: 2 0 2 4 3 3 3 3 3 2 0 2 (4 ) ( 4 ) (4 ) ( 4 ) 201 ( ) 4 S x x dx x x dx x x dx x x dx dvdt − − − = − + − + − + − = ∫ ∫ ∫ ∫ Cách 3: Đồ thị hàm số 3 4y x x= − cắt trục hoành tại 3 điểm x = -2, x = 0, x= 2. Khi đó diện tích cần tìm: 4 2 0 2 4 3 3 3 3 3 3 3 2 0 2 4 ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) 201 ( ) 4 S x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx dvdt − − − − = − = − + − + − + − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 6 Ví dụ 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xlnx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = e . Hình 16 y x f x ( ) = x ⋅ ln x ( ) GiaoDiem 3 O 1 A e Hình 16 Giải Trục tung có phương trình x = 0 Diện tích S cần tìm là ∫∫ == ee xdxxdxxxS 11 lnln Đặt        = = ⇒    = = 2 1 ln 2 x v dx x du xdxdv xu Do đó 4 1 1 42 1 ln 2 1 . 2 1 ln 2 ln 222 1 2 1 22 1 + =−=−=−== ∫∫∫ e e xe xdx e x x xd x x e x x xdxxS eee (đvdt) Nhận xét: Trong ví dụ 1, 2 là hai bài toán vận dụng ở dạng đơn giản, nhớ công thức nhưng ở bài toán ví dụ 3 nhiều học sinh rất dễ nhầm lẫn ở việc xác định cận lấy tích phân. Do đó cách vẽ đồ thị của hàm số để xác định hình cần tính là rất quan trọng. Ví dụ 4: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 23 2 +−= xxy , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 3 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong và hai đường thẳng ,x a x b= = . Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số ( ), ( )y f x y g x= = liên tục trên đoạn [ ] ;a b và hai đường thẳng ,x a x b= = , ta có công thức sau: dxxgxfS b a ∫ −= )()( 7 Trong công thức trên: Trường hợp hình 1. ta có công thức khai triển của S: ( ) ( ) ( ( ) ( )) b b a a S f x g x dx f x g x dx= − = − ∫ ∫ nếu [ ] ( ) ( ), ;f x g x x a b≥ ∀ ∈ Trường hợp hình 2. ta có công thức khai triển của S: ( ) ( ) ( ( ) ( )) b b a a S f x g x dx g x f x dx= − = − ∫ ∫ nếu [ ] ( ) ( ), ;f x g x x a b≤ ∀ ∈ Trường hợp hình 3. ta có công thức khai triển của S: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) b c b a a c c b a c S f x g x dx f x g x dx f x g x dx f x g x dx f x g x dx = − = − + − = − + − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( trong đó c là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hai hàm số ( ), ( )y f x y g x= = ) Một cách thức chung người ta thường thực hiện các bước sau: Bước1: Nếu hai đường ,x a x b= = đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thì giải phương trình ( ) ( ) f x g x= để tìm. Bước 2: Áp dụng công thức (2). Bước 3: Rút gọn biểu thức −( ) ( )f x g x , sau đó xét dấu của hiệu này. 8 Bc 4: Dựng phộp phõn on tớch phõn v ỏp dng nh ngha giỏ tr tuyt i kh du giỏ tr tuyt i. Vớ d 1: Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi th cỏc hn s 2 2, 2y x x y x= + = + v hai ng thng x =-1, x= 3. Gii: Trc ht ta tỡm honh giao im cỏc th ca hai hm s ó cho. Ta cú phng trỡnh honh giao im: 2 2 2 2, 2x x x x x+ = + = = . Khi ú ta cú : Vớ d 2: Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi 2 y x 1 , y x 5= - = + . Gii: Phng trỡnh honh giao im 2 2 x 1 x 5 t 1 t 5, t x 0- = + - = + = 2 2 t x 0 t x 0 t 1 t 5 x 3 t 3 t 1 t 5 = ỡ ù ù = ỡ ù ù ù ù ộ - = + = ớ ớ ờ =ù ù ù ù ợ ờ ù - = - - ờ ù ợ ở ( ) ( ) 3 3 2 2 3 0 S x 1 x 5 dx 2 x 1 x 5 dx - = - - + = - - + ũ ũ Bng xột du x 0 1 3 2 x 1- 0 + ( ) ( ) 1 3 2 2 0 1 S 2 x x 4 dx x x 6 dx= - - - + - - ũ ũ 1 3 3 2 3 2 0 1 x x x x 73 2 4x 6x 3 2 3 2 3 ổ ử ổ ử - ữ ữ ỗ ỗ = - - + - - = ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ . Vy 73 S 3 = (vdt). Vớ d 3 : Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi 3 y x , y 4x= = . Gii Ta cú, phng trỡnh honh giao im: 3 x 4x x 2 x 0 x 2= = - = = ( ) ( ) 0 2 3 3 S x 4x dx x 4x dx 0 2 = - + -ị ũ ũ - 0 2 4 4 x x 2 2 2x 2x 8 4 4 2 0 ổ ử ổ ử ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ = - + - = - . Vy din tớch cn tỡm S 8= (vdt). 9 7 34 ( ) 3 3 3 2 3 2 2 2 4 ( 4) ( 4) 9 1 1 2 dvdtS x dx x dx x dx == = + = + Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới các đồ thị các hàm số: 2 4 3 , 3y x x y x= − + = + Giải: Trước hết ta vẽ các đồ thị hai hàm số trên một hệ trục: Từ hình vẽ ta suy ra hoành độ giao điểm A, B là nghiệm của phương trình: 2 4 3 3 0, 5x x x x x− + = + ⇔ = = Khi đó : 3 5 2 2 2 1 3 109 (( 3) ( 4 3)) (( 3) ( 4 3)) (( 3) ( 4 3)) 6 S x x x dx x x x dx x x x dx= + − − + + + − − + − + + − − + = ∫ ∫ ∫ (đvdt) Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2 2 4 , 4 4 2 x x y y= − = Giải: Ta có: 2 2 2 4 1,( 0) 4 16 4 x x y y y= − ⇔ + = ≥ . Do đó đồ thị là nửa phía trên của Elip 2 2 1 16 4 x y + = . Từ đó ta có đồ thị hai hàm số trên hệ trục: Hoành độ của hai giao điểm A, B là nghiệm phương trình: 2 2 4 2 2 4 4 2 x x x− = ⇔ = ± Khi đó, diện tích cần tính: 10 [...]... 2004 1 1 1 3 4 5 11 MC LC Ni dung Phn m u 15 15 15 Trang 16 I Lý do chn ti II i tng v phm vi nghiờn cu III Mc ớch v nhim v nghiờn cu IV Phng phỏp nghiờn cu V Cu trỳc ca ti Phn ni dung I Tớnh din tớch hỡnh phng II Tớnh th tớch vt th trũn xoay Phn kt lun I Mt s kt qu v hn ch ca ti II Mt s ý kin xut III Trin vng ca ti 17 ... hỡnh phng gii hn bi cỏc ng y = 4 - x 2, y = x 2 + 2 quay quanh Ox Gii: Phng trỡnh honh giao im ca cỏc th hai hm s: 4 - x 2 = x 2 + 2 x = - 1, x = 1 Th tớch cn tỡm: 1 1 V = ((4 x ) ( x + 2) )dx = 12 (1 x 2 )dx = 16 2 2 2 2 1 1 Vy V= 16 ( vtt) Vớ d 2: Tớnh th tớch hỡnh khi do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng y = x 2 , y 2 = x quay quanh Ox Gii: ỡx 0 x=0 ộ ù ớ Honh giao im ù x 4 = x ờ = 1 ờ ù x ù... V = pũ x 4 - x dx = p 0 =p ( 1x 5 5 - 1 2 x 2 ) 1 = 0 ũ( x 4 - x ) dx 0 3p 10 13 3p Vy th tớch cn tỡm V = 10 (vtt) PHN KT LUN I Mt s kt qu v hn ch ca ti - Trong thc t ging dy khi ỏp dng cỏc lp khi 12 trng THPT Cm Thu 3 ó thu c cỏc kt qu kh quan, nú khụng ch giỳp cho hc sinh nm vng hn v kin thc tớch phõn, din tớch, th tớch cỏc hỡnh, trỏnh c cỏc sai lm trong vic gii toỏn, ngoi ra hc sinh cũn phỏt... ch cn ụn tp v bi dng thờm trong cỏc gi hc ngoi khoỏ II í kin xut ca ti ngh T b mụn trong cỏc bui sinh hot t chuyờn mụn tho lun gúp ý, xõy dng ti cú th trin khai thc hin ti tt c cỏc thnh viờn ca t III Trin vng ca ti Do thi gian hn ch nờn ti mi ch dng li phm vi phõn loi mt s bi tp nh, Trong thi gian ti nu c s giỳp gúp ý ca ng nghip thỡ ti s phỏt trin theo hng sau: + M rng phm vi ỏp dng bng nhiu... ca vt th trũn xoay to bi khi quay hỡnh phng gii hn bi bn ng sau quanh trc honh Ox y = ln x , y = 0 , x = 1 , x = e Gii: Theo cụng thc tớnh th tớch, ta cú: e e V = (ln x) dx = ln 2 xdx 2 1 (vtt) 1 12 1 u = ln 2 x du = 2 ln x dx x t dv = dx v = x e Do ú 2 ln xdx = uv 1 e e e e 1 vdu = x ln 2 x - x2lnx dx = e ln 2 e ln 2 1 2 ln xdx = e 2 I 1 1 x 1 1 e 1 e I = ln xdx 1 1 u = ln x du