Học thêm toán – 0968 64 65 97 Chuyên đề Mũ & Logarit GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN HUY HTTP://THAYTOAN.NET 1 Chun đề 4 PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT A. Tóm tắt lí thuyết I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ 1. Các định nghĩa:  n n thừa số a a.a a   (n Z , n 1, a R)      1 a a  a   0 a 1  a 0    n n 1 a a     (n Z ,n 1,a R/ 0 )      m n m n a a  ( a 0;m,n N   )  m n m n m n 1 1 a a a    2. Các tính chất :  m n m n a .a a    m m n n a a a    m n n m m.n (a ) (a ) a   n n n (a.b) a .b   n n n a a ( ) b b  3. Hàm số mũ: Dạng : x y a  ( a > 0 , a  1 )  Tập xác định : D R   Tập giá trị : T R   ( x a 0 x R    )  Tính đơn điệu: * a > 1 : x y a  đồng biến trên R * 0 < a < 1 : x y a  nghịch biến trên R Học thêm toán – 0968 64 65 97 Chuyên đề Mũ & Logarit GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN HUY HTTP://THAYTOAN.NET 2  Đồ thị hàm số mũ :  Đạo hàm của hàm số mũ:   ' x x e e    ' .ln x x a a a    ' . ' u u e e u  (với u là một hàm số)   ' . ln . ' u u a a a u  (với u là một hàm số) II. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LƠGARÍT 1. Định nghĩa: Với a > 0 , a  1 và N > 0 dn M a log N M a N    Điều kiện có nghĩa: N a log có nghĩa khi         0 1 0 N a a 2. Các tính chất :  a log 1 0   a log a 1   M a log a M   log N a a N   a 1 2 a 1 a 2 log (N .N ) log N log N    1 a a 1 a 2 2 N log ( ) log N log N N    a a log N .log N    Đặc biệt : 2 a a log N 2.log N  a>1 y=a x y x 1 0<a<1 y=a x y x 1 Học thêm toán – 0968 64 65 97 Chuyên đề Mũ & Logarit GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN HUY HTTP://THAYTOAN.NET 3 3. Cơng thức đổi cơ số :  a a b log N log b. log N   a b a log N log N log b  * Hệ quả:  a b 1 log b log a  và k a a 1 log N log N k  4. Hàm số logarít: Dạng a y log x  ( a > 0 , a  1 )  Tập xác định :   D R  Tập giá trị  T R  Tính đơn điệu: * a > 1 : a y log x  đồng biến trên  R * 0 < a < 1 : a y log x  nghịch biến trên  R  Đồ thị của hàm số lơgarít:  Đạo hàm của hàm số lơgarit:   1 ln ' x x  và   1 ln ' x x    ' ln ' u u u  và   ' ln ' u u u  (với u là một hàm số)   1 log ' ln a x x a  và   1 log ' ln a x x a    ' log ' .ln a u u u a  và   ' log ' .ln a u u u a  (với u là một hàm số) 0<a<1 y=log a x 1 x y O a>1 y=log a x 1 y x O Học thêm toán – 0968 64 65 97 Chuyên đề Mũ & Logarit GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN HUY HTTP://THAYTOAN.NET 4 III. PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LƠGARÍT 1. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN: 1. Định lý 1: Với 0 < a  1 thì : a M = a N  M = N 2. Định lý 2: Với 0 < a <1 thì : a M < a N  M > N (nghịch biến) 3. Định lý 3: Với a > 1 thì : a M < a N  M < N (đồng biến ) 4. Định lý 4: Với 0 < a  1 và M > 0;N > 0 thì : log a M = log a N  M = N 5. Định lý 5: Với 0 < a <1 thì : log a M < log a N  M >N (nghịch biến) 6. Định lý 6: Với a > 1 thì : log a M < log a N  M < N (đồng biến) 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT: Dạng cơ bản: x a m  (1)  m 0  : phương trình (1) vơ nghiệm  m 0  : x a a m x log m    Dạng cơ bản: a log x m   m    : m a log x m x a    a. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng : a M = a N ; a a log M log N  (Phương pháp đưa về cùng cơ số) Ví dụ 1: Giải phương trình x 2x 3 2 0,125.4 8            (1) Bài giải ♥ Đưa hai vế về cơ số 2, ta được: Học thêm toán – 0968 64 65 97 Chuyên đề Mũ & Logarit GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN HUY HTTP://THAYTOAN.NET 5   5 3 4 6 2 1 2 .2 2 x x                 5 4 9 2 2 2 x x   5 4 9 2 x x    3 9 2 x   6 x   ♥ Vậy nghiệm của phương trình là 6 x   Tự luyện: Giải các phương trình sau 1)   1 5 7 2 1,5 3 x x              2) 1 4.2 4 x x             3) 3 3 .2 576 x x  4)   2 1 3 2 3 3 x x x      Ví dụ 2: Giải phương trình     2 4 log 1 2log 3 2 2 0 x x      (1) Bài giải ♥ Điều kiện: 1 1 0 1 2 3 2 0 3 x x x x x                          (*) ♥ Khi đó:       2 2 1 log 1 log 3 2 2 x x      2 1 log 2 3 2 x x      1 1 3 2 4 x x     4 4 3 2 2 x x x       [thỏa (*)] ♥ Vậy nghiệm của phương trình là 2 x   Ví dụ 3: Giải phương trình 2 3 6 36 log log log log x x x x    (1) Bài giải ♥ Điều kiện: 0 x  ♥ Áp dụng cơng thức   log log log , 0 , , ; 1; 1 a a b c b c a b c a b      , ta có   1 2 3 2 6 2 36 2 log log 2 log log 2 log log 2 log x x x x          2 3 6 36 log log 2 log 2 1 log 2 0 x        * Do 3 6 36 log 2 log 2 1 log 2 0     nên   2 * log 0 1 x x     ♥ Vậy nghiệm của phương trình là 1 x   Tự luyện: Giải các phương trình sau 1)   3 3 log log 2 1 x x    Học thêm toán – 0968 64 65 97 Chuyên đề Mũ & Logarit GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN HUY HTTP://THAYTOAN.NET 6 ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… 2)     3 3 3 log 1 log 2 log 6 x x     ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… 3)     2 log 7 6 log 1 1 x x x      ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… 4)         1 2 2 2 log 2x 2 log 9x 1 1 ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… 5) 3 1 1 2 1 3 3 1 1 log log (2 3 ) 3 3 x x     ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… Học thêm toán – 0968 64 65 97 Chuyên đề Mũ & Logarit GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN HUY HTTP://THAYTOAN.NET 7 ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… 6)   2 2 1 2 1 log log 3 x x x    ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… 7)   4 log 12 .log 2 1 x x   ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… 8)       1 1 1 2 2 2 log x 1 log x 1 log 7 x 1       ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… 9)     4 2 log 3 log 7 2 0 x x      Học thêm toán – 0968 64 65 97 Chuyên đề Mũ & Logarit GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN HUY HTTP://THAYTOAN.NET 8 ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… 10)     2 7 1 7 log 2 log 8 0 x x     ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… 11)     3 1 3 log 2 7 log 5 0 x x     ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… Ví dụ 4: Giải phương trình:     2 3 3 log (x 1) log (2x 1) 2 (1) Bài giải ♥ Điều kiện: 1 1 0 1 2 1 0 2 x x x x                        (*) ♥ Khi đó:     3 3 1 2log 1 2log 2 1 2 x x        3 3 log 1 log 2 1 1 x x        3 log 1 2 1 1 x x           1 2 1 3 x x     (2) Học thêm toán – 0968 64 65 97 Chuyên đề Mũ & Logarit GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN HUY HTTP://THAYTOAN.NET 9  Với 1 1 2 x   thì       2 2 1 2 1 3 2 3 4 0 x x x x         : phương trình vơ nghiệm  Với 1 x  thì        2 1 2 1 2 1 3 2 3 2 0 2 2 x x x x x x                  loại [thỏa (*)] ♥ Vậy nghiệm của phương trình là 2 x   Tự luyện: Giải các phương trình sau 1)   2 2 2 log 2log 3 4 x x   ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… 2)     2 2 4 1 2 log x 2 log x 5 log 8 0      ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… 3)     2 3 3 2log 2 log 4 0 x x     ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… Học thêm toán – 0968 64 65 97 Chuyên đề Mũ & Logarit GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN HUY HTTP://THAYTOAN.NET 10 ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… 4) 1 2 2 2 log x 2 log x 5 log 8 0      ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… 5)     2 2 2 log 1 2 2log 3 x x x     ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… b. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số Ví dụ 5: Giải phương trình 9 4.3 45 0 x x    (1) [...]...  x  ) 22 Học thêm toán – 0968 64 65 97 Bài giải Chuyên đề Mũ & Logarit 1 ♥ Xét các hàm số f  x     và g  x   2 x  1 trên  , ta có    3   x f  x  nghịch biến trên  và g  x đồng biến trên  f 0  g 0  (1) có nghiệm x  0 ♥ Mặt khác (*) (**) Từ (*) và (**) ta suy ra phương trình (1) có nghiệm duy nhất x  0 ♥ Vậy nghiệm của phương trình là x  0  Bài tập: Giải các phương... ……………………………………………………………………………………………………………………… c Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B=0, Ví dụ 12: Giải phương trình 4.5 x  25.2 x  100 10 x (1) Bài giải ♥ Ta có: 1  4.5 x  2 x.5x  25.2 x 100  0  5 x  4  2 x   25 2 x  4  0 GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN HUY HTTP://THAYTOAN.NET 19 Học thêm toán – 0968 64 65 97  4  2 x 5 x Chuyên đề Mũ & Logarit  25  0 5 x  25  x  x2 2  4  ♥ Vậy nghiệm của phương...  x  1    2  3 3 x ♥ Vậy nghiệm của phương trình là x  1; x  1  Tự luyện: Giải các phương trình sau GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN HUY HTTP://THAYTOAN.NET 13 Học thêm toán – 0968 64 65 97 1) 4.9 x  12 x  3.16 x Chuyên đề Mũ & Logarit ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………...Học thêm toán – 0968 64 65 97 Bài giải Chuyên đề Mũ & Logarit ♥ Đặt t  3x với t  0 , phương trình (1) trở thành t 2  4t  45  0 t   5 2   (2) loại t  9  Với t  9 thì 3x  9  x  2 ♥ Vậy nghiệm của phương trình là... lơgarít hóa) Ví dụ 13: Giải phương trình 3x.2 x  1 2 (1) Bài giải ♥ Lấy lơgarit hai vế với cơ số 3, ta có 1  log 3 3x.2 x   log 3 1 2  log 3 3x  log 3 2 x  0 2  x  x 2 log 3 x  0  x 1  x log 3 2  0 GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN HUY HTTP://THAYTOAN.NET 21 Học thêm toán – 0968 64 65 97 x  0   1 x     log 2 3  log 3 2  Chuyên đề Mũ & Logarit ♥ Vậy nghiệm của phương trình là x  0, x ...  log3 3 3 3 ♥ Vậy nghiệm của phương trình là x  2; x  log 3 2  3 Tự luyện: Giải các phương trình sau 1) 5 x1  53x  26  0 GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN HUY HTTP://THAYTOAN.NET 12 Học thêm toán – 0968 64 65 97 Chuyên đề Mũ & Logarit ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………… 6) 9 x   x 12 3x  11 x  0 ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN HUY HTTP://THAYTOAN.NET 25 Học thêm toán – 0968 64 65 97 Chuyên đề Mũ & Logarit ………………………………………………………………………………………………………………………... thêm toán – 0968 64 65 97 Chuyên đề Mũ & Logarit ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………  x2  x  Ví dụ 4: Giải bất phương trình: log0,7  log6   0 (1) x4   Bài. .. ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN HUY HTTP://THAYTOAN.NET 11 Học thêm toán – 0968 64 65 97 4) 9 x 2  x1 10.3 x 2  x 2 Chuyên đề Mũ & Logarit 1  0 ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… GIÁO VIÊN: NGUYỄN VĂN HUY HTTP://THAYTOAN.NET 20 Học thêm toán – 0968 64 65 97 Chuyên đề Mũ & Logarit ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… . 0 < a <1 thì : a M < a N  M > N (nghịch biến) 3. Định lý 3: Với a > 1 thì : a M < a N  M < N (đồng biến ) 4. Định lý 4: Với 0 < a  1 và M > 0;N >.  ' log ' .ln a u u u a  và   ' log ' .ln a u u u a  (với u là một hàm số) 0<a<1 y=log a x 1 x y O a>1 y=log a x 1 y x O Học thêm toán – 0968 64.  1 ln ' x x  và   1 ln ' x x    ' ln ' u u u  và   ' ln ' u u u  (với u là một hàm số)   1 log ' ln a x x a  và   1 log ' ln a x x