Đề số ĐỀ THI HỌC KÌ – Năm học 2014 – 2015 Mơn TỐN Lớp 11 Thời gian làm 90 phút I Phần chung: (8 điểm) Câu I: (2,5 điểm) Giải phương trình sau: 1) cos x − = 2) sin x − cos x = 3) 3sin2 x + 4sin x.cos x − 3cos2 x = Câu II: (1,5 điểm) 1) Từ số 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên có chữ số khác 2) Chọn ngẫu nhiên học sinh từ tổ gồm nam nữ Tính xác suất cho có học sinh nam Câu III: (1điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x – y + = điểm I(1; 2) Tìm phương trình đường thẳng d1 ảnh d qua phép đối xứng tâm I Câu IV: (2điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang (cạnh đáy lớn AD) 1) Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (SAC) (SBD) 2) Gọi M, N, P trung điểm SA, SD AB Chứng minh rằng: MN song song với mặt phẳng (SBC) Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng (MNP) Câu V: (1điểm) Giải phương trình: sin10 x + cos10 x = 2(cos4 x − sin x ) + 2(sin12 x + cos12 x ) II Phần riêng: (2 điểm) Thí sinh chọn phần A B Phần A Câu VIa: (2điểm) 1) Cho dãy số (un) với un = 2n + Chứng minh dãy số (un) tăng bị chặn n+2 2) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: y = 2sin2 x + sin x.cos x − Phần B Câu VIb: (2điểm) 1) Tìm hệ số x10 khai triển: ( x − 2)8 π  2) Tìm m để phương trình 2sin2 x + 3cos x − − m = có nghiệm x ∈  ; π  2  Hết Họ tên thí sinh: SBD : Câu Câu I 1) (0,5 đ) 2) (1 đ) 3) (1 đ) Đáp án cos x − = ⇔ cos x = π ⇔ x = ± + k 2π (k ∈ Z ) Điểm 2,5 0,25 0,25 PT cho ⇔ 3 sin x − cos x = ⇔ 2  π π  π  x − = + k 2π  x = + k 2π  π π sin  x − ÷ = sin ⇔  ⇔ ( k ∈ Z) 6   x − π = π − π + k 2π  x = 5π + k 2π   0,5 0,25 0,25 cosx = không thỏa pt , chia vế pt cho cos2x ta pt: 0,25  π  tan x = tan x + tan x − = ⇔  ⇔  x = + kπ (k ∈ Z )   tan x = − x = arctan(−5) + kπ  Câu II 1) Gọi x = abc số cần tìm (0,75 đ) * Số cách chọn c: cách * Số cách chọn a, b : A4 * Vậy có :3 A4 = 36 ( số) 2) * n(Ω) = C11 * n( A) = C6 C5 (0,75 đ) n( A) 25 = * P ( A) = n(Ω) 77 Câu III (1 đ) * (d) qua M(0; 3), N(–3; 0) * M1, N1 ảnh M, N qua phép đối xứng tâm I suy M1(2; 1), N1(5; 4) * (d1): x – y – 1= Hoặc dùng biểu thức tọa độ suy PT ( d1 ), cần điểm M1 viết PT ( d1 ) qua M1 song song với (d) Câu IV 1) * Vẽ hình 0,75 đ) * S điểm chung thứ (SAC), (SBD) * Gọi O giao điểm AC BD suy O điểm chung thứ hai (SAC), (SBD) 0,25 0,25 1,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 ⇒ (SAC ) ∩ (SBD ) = SO 2)  MN / / BC *  MN ⊄ (SBC ) ⇒ MN / /(SBC ) (1,25 đ)  * MN//(ABCD) * ( MNP ) ∩ ( ABCD) = PQ P MN suy thiết diện tứ giác MNQP Câu V * PT ⇔ sin10 x ( − 2sin x ) + cos10 x ( − cos2 x ) = ( cos2 x − sin x ) ⇔ cos x ( sin10 x − cos10 x − ) = cos x = π π ⇔  10 ⇔ x = + k (k ∈ Z ) 10 sin x − cos x = (PT thứ vơ nghiệm VT ≤ < =VP ) Câu VIa 1) (1 đ) * u n+1 − un = (n + 2)(n + 3) 2) (1 đ) < 2, ∀n ∈ N * Suy (un) bị chặn n+2   π Câu VIb 1) (1 đ) 2) (1 đ) π  * y = sin x − cos x − * y = 2sin  x − ÷ − 1, − ≤ y ≤ 1, ∀x ∈ R * max y = x = + kπ π kπ (k ∈ Z ) , y = − x = − + (k ∈ Z ) 12 k k * Tk +1 = C8 ( x )8−k (−2)k = C8 (−2)k x16−2 k ( k= 0,1, ,8 ) * Hệ số x10 ứng với : 16– 2k = 10 ⇔ k = 3 * Vậy hệ số x10 C8 (−2)3 = − 448 PT cho ⇔ −2 cos2 x + 3cos x − = m Đặt t = cosx, đk t ∈  −1;    Xét hàm số f (t ) = −2t + 3t − 2, t ∈  −1;    Lập BBT fmin = −7; fmax = −2 Vậy để PT có nghiệm m ∈  −7; −2    Đề số 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 * u n+1 − un > , ∀n ∈ N * ⇒ u n+1 > un , ∀n ∈ N * Suy (un) tăng * < un = − 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 025 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ĐỀ THI HỌC KÌ – Năm học 2014 – 2015 Mơn TỐN Lớp 11 Thời gian làm 90 phút I Phần chung (7 điểm) Câu (2 điểm): Giải phương trình lượng giác sau: a) sin x = − b) cot( x + 150 ) = tan 450 c) 3sinx + cos2x – = Câu (2 điểm): a) Khai triển nhị thức (2a + b)5 thành đa thức? Tìm hệ số a2b3 khai triển trên? b) Một hộp có cầu xanh cầu vàng Lấy ngẫu nhiên cầu Giả sử cầu khác màu Tính xác suất biến cố A: ”Trong cầu lấy có cầu xanh”? Câu (3 điểm): Cho hình chóp SABCD với đáy ABCD hình bình hành Gọi G trọng tâm ∆SAB Lấy điểm M thuộc cạnh AD cho AD = 3AM a) Tìm giao tuyến (SAB) (SCD)? b) Mặt phẳng (α) qua M song song với SA, CD Tìm thiết diện mặt phẳng (α) với hình chóp? Thiết diện hình gì? c) Chứng minh MG song song với mp(SCD) II Phần riêng (3 điểm: A Theo chương trình chuẩn: Câu 4a (1 điểm): Chứng minh ∀n∈N* ta có: + + 6+ … + 2n = n(n+1) Câu 5a (1 điểm): Trong mặt phẳng Oxy, cho đường trịn (C) có tâm I(1; –2) R = Hãy viết phương trình đường trịn (C′) ảnh (C) qua phép vị tự tâm A(3; 1), tỉ số k = –2 Câu 6a (1 điểm): Giải phương trình: sin3x + cos2x = + 2sinxcos2x B.Theo chương trình nâng cao: Câu 4b (1 điểm): Giải phương trình 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = n Câu 5b (1điểm): Tìm hệ số n n Cn + Cn −1 + A = 821 n x 31 khai triển  x +  , biết  ÷ x2   Câu 6b (1 điểm): Cho đường tròn C(O, R) hai điểm B, D cố định cho đường thẳng BD khơng cắt đường trịn, điểm A thay đổi C(O,R) Vẽ hình bình hành ABCD Tìm quỹ tích trọng tâm G tam giác BCD? ––––––––––––––––––––Hết––––––––––––––––––– Họ tên thí sinh: SBD : TT Câu a (0,5 điểm) (2điểm) Nội dung Điểm π 0,25 PT ⇔ sin x = sin(− )  π  x = − + kπ ⇔  x = 2π + kπ , k ∈ Ζ  b (0,5 điểm) c (1điểm) 0,25 0,25 0,25 pt ⇔ cot( x + 150 ) = ⇔ x = 300 + k180 , k ∈ Ζ 0,25 0,25 0,25 p t⇔ 3sinx + – sin2x – = ⇔ sin2x – 3sinx + = sin x = (chon) ⇔ sin x = (loai)  π ⇔ x = + k 2π , k ∈ Ζ 0,25 Câu a (1điểm) (2điểm) (2a + b)5 = C5 (2a)5 + C5 (2a)4 b + C5 (2a)3 b2 + C5 (2a)2 b3 + C5 2ab + C5 b5 = 32a5 + 80a4b + 80a3b2 + 40a2b3 + 10ab4 + b5 Hệ số a2b3 40 b (1điểm) Không gian mẫu Ω = C14 = 2002 phần tử Biến cố A lấy cầu xanh, vàng có n( A) = C8 C6 = 56.15 = 840 P(A) = 0,42 Câu Hình vẽ cho câu a,b (3điểm) a (0,5 điểm) Ta có S ∈(SAB) ∩ (SCD) AB// CD , AB ⊂ (SAB), CD ⊂ (SCD) ⇒ (SAB) ∩ (SCD) = Sx//AB x S N P E 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 G A M B I Q D b (1,25 điểm) (α) ∩ (SAD) = MN//SA (α) ∩ (SCD) = NP//CD (α) ∩ (ABCD) = MQ//CD (α) ∩ (SBC) = PQ → Thiết diện tứ giác MNPQ Vì NP//MQ//CD nên tứ giác MNPQ hình thang C 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 c (1điểm) AG ∩ Sx = E ; I trung điểm AB Chứng minh MG// DE DE ⊂ (SCD => MG // (SCD) Câu 4a Bước 1: VT = VP = (1điểm) Bước 2: Giả sử MĐ với n = k CM MĐ với n = k +1 = VP (đpcm) KL uuu r uu r Câu 5a Gọi I’(x, y) ảnh I qua V(A,–2) ta có AI ' = −2 AI (1điểm) x − = x = 0.25 0.5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 R’ = –2.2= Vậy (C’): (x – 7)2 + (y –7)2 = 16 Câu 6a sin3x + cos2x = + 2sinxcos2x ⇔ sin3x – (1– cos2x) = sin3x – (1điểm) sinx ⇔ –2sin2x = – sinx 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ⇔ ⇔ y − = y =  x = kπ  π ⇔  x = + k 2π ; k ∈ Ζ   x = 5π + k 2π   sin x = ⇔ sin x =  0,25 Câu 4b 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = ⇔ 9sinx + 6cosx – 6sinx.cosx + – 2sin2x = ⇔ 6cosx(1 – sinx) – (2sin2x – 9sinx + 7) = ⇔ 6cosx(1 – sinx) – (sinx – 1)(2sinx – 7) = ⇔ (1–sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0.25 0.25 0,25 1 − sin x = ⇔ 6 cos x + 2sin x − = (VN )  0,25 π + k2π ĐK: n ≥ 2; n ∈ ¥ ⇔ x= Câu 5b n n Cn + Cn −1 + 0,25 n ( n − 1) An = 821 ⇔ + n + = 821 ⇔ n2 + n − 1640 = ⇔ n = 40 2 0,25 40 40 40   k 40− k −2 k k x = ∑ C40 x 40−3k  x + ÷ = ∑ C40 x x   k =0 k =0 40 − 3k = 31 ⇔ k = 0,25 0,25 C40 = 9880 Vậy hệ số x Câu 6b Gọi I trung điểm BD, 31 0,25 0.5 uu r r uu IG = − IA O D A I G B C G ảnh A qua phép vị tự tâm I tỉ số k = − 0.25 Kết luận quỹ tích 0.25 ================= Đề số ĐỀ THI HỌC KÌ – Năm học 2014 – 2015 Mơn TỐN Lớp 11 Thời gian làm 90 phút I PHẦN CHUNG (8,0 điểm) Câu (3,0 điểm) 1) Giải phương trình sau:  π   a) cos  x − ÷ = − b) sin x + cos x =  π   2) Tìm giá trị nhỏ hàm số y = cos  x − ÷+ Câu (2,0 điểm) 1) Tìm hệ số x4 khai triển ( + x ) 2) Một hộp đựng 20 cầu có 15 cầu xanh cầu đỏ, chọn ngẫu nhiên hai cầu từ hộp Tính xác suất để chọn hai khác màu Câu (3,0 điểm) 2 1) Trong mp(Oxy), cho đường tròn (C): ( x − 3) + ( y − 20 ) = 25 Tìm ảnh (C) qua r phép tịnh tiến theo v = (2; –5) 2) Cho hình chóp S.ABCD với ABCD hình thang đáy lớn AD, đáy nhỏ BC a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAB) (SCD) b) Gọi G, H trọng tâm tam giác SAB tam giác SCD Chứng minh đường thẳng GH song song với mặt phẳng (SAD) II PHẦN RIÊNG (2,0 điểm) A Theo chương trình Chuẩn Câu 4a (1,0 điểm) Xác định số hạng công sai cấp số cộng biết u3 = −7 u6 = −19 n  1 Câu 5a (1,0 điểm) Cho biết hệ số số hạng thứ ba khai triển  x − ÷ Tìm 3  số hạng đứng khai triển B Theo chương trình nâng cao Câu 4b (1,0 điểm) Cho tập A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Có số tự nhiên chẵn, gồm chữ số khác đôi một, lập từ chữ số tập A Câu 5b (1,0 điểm) Giải phương trình: cos3 x + cos4 x = sin3 x + sin x Hết Họ tên thí sinh: SBD : CÂU Câu 1 (2,0 điểm) (3điểm)  π a) cos  x − ÷ = −  b) 3 ĐÁP ÁN ĐIỂM  π π 2π ⇔ cos  x − ÷ = − cos = cos 3 3   π 2π  x − = + k 2π ⇔   x − π = − 2π + k 2π  3  x = π + k 2π ⇔  (k ∈ Z ) π  x = − + k 2π  3 sin x + cos x = 2 π π ⇔ sin2x.cos + cos2x.sin = 6  π π ⇔ sin  x + ÷ = sin 6  0,25 0,5 0,25 sin x + cos x = ⇔  π π 2 x + = + k 2π ⇔  (k ∈ Z ) π 3π 2 x + = + k 2π   π  x = 24 + kπ ⇔  (k ∈ Z )  x = 7π + kπ  24 2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (1,0 điểm)  π y = cos2  x − ÷+ 3  π 2 Ta có cos  x − ÷ ≥ ⇔ 3  ⇔  π cos2  x − ÷ ≥ 3   π cos2  x − ÷+ ≥ 3  0,25 ∀x ∈ R Vậy GTNN hàm số đạt  π 5π cos  x − ÷ = ⇔ x = + kπ 3  Câu (1,0 điểm) (2điểm) Số hạng tổng quát T = C k x k k +1 Số hạng chứa x k = 4 Suy T5 = C6 x = 15 x Vậy hệ số x4 khai triển 15 (1,0 điểm) Ta có : Số phần tử KGM n( Ω ) = C20 = 190 Gọi B biến cố: “ Chọn khác màu” 1 ⇒ n(B) = C15 C5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 Đề số ĐỀ THI HỌC KÌ – Năm học 2014 – 2015 Mơn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm 90 phút I PHẦN BẮT BUỘC (7 điểm) Câu 1: (2 điểm) Tìm tập xác định hàm số y = − cos x + cos x Câu 2: (1 điểm) Giải phương trình: cos 5x − sin x − sin x = cos3 x Câu 3: (1 điểm) Có tem thư khác bì thư khác Hỏi có cách dán tem vào bì thư Câur4: (1 điểm) Tìm toạ độ ảnh M′ điểm M(4; 3) qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (2;1) Câu 5: (2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành a) Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (SAB) (SDC) b) Gọi M, N trung điểm SB SD Tìm giao điểm đường thẳng SC với mặt phẳng (AMN) II PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) A Theo chương trình chuẩn Câu 6a: (1 điểm) Một bàn dài có ghế đánh số từ đến Người ta muốn xếp bạn nam bạn nữ ngồi vào bàn với điều kiện ghế số ghế số phải bạn nữ Hỏi có cách xếp Câu 7a: (1 điểm) Một đơn vị vận tải có 10 xe tơ, có xe tốt Họ điều động cách nhẫu nhiên xe cơng tác Tính xác suất cho xe điều động có xe tốt Câu 8a: (1 điểm) Một cấp số cộng có 13 số hạng, số hạng đầu 6, số hạng cuối 42 Tìm tổng tất số hạng cấp số cộng B Theo chương trình nâng cao Câu 6b: (1 điểm) Giải phương trình: + cos x + cos x =   Câu 7b: (1 điểm) Tìm tất số hạng hữu tỉ khai triển  x + ÷ , với x số hữu x  tỉ dương Câu 8b: (1 điểm) Một vé xổ số có chữ số Khi quay số, vé bạn mua trùng hoàn toàn với kết (trúng số) bạn trúng giải đặc biệt Nếu vé bạn mua có chữ số trùng với chữ số giải đặc biệt (tức sai số hàng giải đặc biệt) bạn trúng giải an ủi Bạn Bình mua vé xổ số a) Tính xác suất để Bình trúng giải đặc biệt b) Tính xác suất để Bình trúng giải an ủi Hết Họ tên thí sinh: SBD : 2015 Môn TOÁN Lớp 11 Nâng cao Thời gian làm 120 phút Đề số Câu 1: 1) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = sin x − cos x − 1 Ta có: y = sin x − cos x − =  sin x − 2   π cos x ÷− = 2sin  x − ÷−  3   π ⇒ −3 ≤ y ≤ (vì −1 ≤ sin  x − ÷ ≤ )  3 π ⇒ y = −3 x = − + kπ ; 12 max y = x = 5π + kπ 12 2) Giải phương trình:  π  x = − + k 2π a) 2sin x + = ⇔ sin x = − ⇔  4π x = + k 2π  3 b) 4sin2 x − sin x − cos2 x = ⇔ 4sin2 x − 3sin x.cos x − cos2 x = (*) + Với cos x = (*) ⇔ sin x = (vơ lí) ⇒ cos x = khơng thoả (*) + Với cos x ≠ Chia vế (*) cho cos2 x , ta được:  π  tan x =  x = + kπ (*) ⇔ tan2 x − 3tan x − = ⇔  tan x = − ⇔    x = arctan  −  + kπ  ÷    4   1 π x = + kπ ; x = arctan  − ÷+ kπ Vậy PT có nghiệm:  4 cos2 x − sin x = 2(1 + sin x ) ⇔ c) = 2(1 + sin x ) (*) sin x + cos(7π + x ) sin x − cos x π Điều kiện: sin x − cos x ≠ ⇔ x ≠ + mπ (1) (1 + sin x )(1 − 3sin x + cos x ) = Với điều kiện (1) (*) ⇔ sin x = −1 (2) 3sin x − cos x = (3)  π • (2) ⇔ x = − + k2π (thoả (1)) 1 sin x − cos x = ; cos α = • (3) ⇔ ⇔ sin ( x − α ) = (với sin α = ) 13 13 13 13 13 13   1 + k 2π + k 2π  x − α = arcsin  x = α + arcsin 13 13 ⇔ ⇔ (thoả (1))  x − α = π − arcsin + k 2π  x = α + π − arcsin + k 2π   13 13   57 ⇔ π + k2π ; 1 x = α + arcsin + k 2π ; x = α + π − arcsin + k 2π 13 13 ; cos α = (với sin α = ) 13 13 Vậy PT có nghiệm: x=− Câu 2: 1) Số cách chọn sách tè kệ sách: C12 = 220 ⇒ n(Ω ) = 220 a) Gọi A biến cố "Lấy sách đôi khác loại" 1 Số cách chọn sách đôi khác loại: C4 C6 C2 = 48 ⇒ n( A) = 48 ⇒ Xác suất biến cố A: P(A) = 48 12 = 220 55 b) Gọi B biến cố "Lấy sách, có loại" C4 C8 = 48 + Số cách chọn có tiểu thuyết: + Số cách chọn có truyện tranh: C6 C6 = 90 C2 C10 = 10 + Số cách chọn có cổ tích: ⇒ Số cách chọn có loại: 48 + 90 + 10 = 148 ⇒ n(B) = 148 ⇒ Xác suất biến cố B: P(B) = 148 37 = 220 55   2) P( x ) =  x − ÷ x   k 15−3k   k x Số hạng tổng quát thứ k + là: − ÷ = (−1)k 35−k k C5  x 2k  x  Để số hạng chứa x10 15 − 3k − 2k = 10 ⇔ k = k Tk +1 = C5 (3 x )5−k Vậy hệ số số hạng chứa x10 là: (−1)135−1.21C5 = −810 Câu 3: + Ta có ·AIO = 1v ⇒ Tập hợp điểm I đường trịn (C) nhận AO làm B đường kính I K + Vì ∆OIK nên phép quay Q(O ,600 ) : I a K Q(O ,−600 ) : I a K A O Vậy tập hợp điểm K hai đường tròn (C′) (C′′) ảnh (C) qua phép quay Q(O ,600 ) Q(O ,−600 ) Câu 4: a) Giao tuyến (SMN) (SBD) S Ta có: S ∈ (SMN) ∩ (SBD) (1) Trong mp(ABCD), gọi E = MC ∩ BD ⇒ E ∈ (SMN) ∩ N (SBD) (2) Từ (1) (2) ⇒ (SMN) ∩ (SBD) = SE D C b) Giao điểm MN (SBD) I F Trong mp(SMN), gọi I = MN ∩ SE ⇒ I = MN ∩ (SBD) c) Xét hai tam giác BME DCE, ta có MB // DC E A M B 58 ⇒ EB EM BM = = = ED EC DC Gọi F trung điểm EC ⇒ NF // SE E trung điểm MF ⇒ IE đường trung bình ∆MNF ⇒ I trung điểm MN ⇒ MI = MN =========================== ĐỀ THI HỌC KÌ – Năm học 2014 – 2015 Đề số Mơn TỐN Lớp 11 Nâng cao Thời gian làm 120 phút Câu 1: (4 điểm) 1) a) Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số:  π y = 2sin  x + ÷ đoạn  3  4π 2π  − ;       4π 2π  ;  3   π 3 b) Từ suy đồ thị hàm số: y = 2sin  x + ÷ đoạn  − 2) Giải phương trình sau: a) sin2 x + cos2 3x = b) 3sin2 x + 2sin x − cos2 x =  cos x sin x  + ÷ cos x   sin x c) + cot x =  Câu 2: (3 điểm) 1) Trong khai triển (1 − x )n với n số nguyên dương Tìm n biết hệ số số hạng chứa x –7 2) Trên kệ sách có sách Anh sách Toán Lấy ngẫu nhiên Tính xác suất để sách lấy có: a) Ít sách Tốn b) Ít sách Anh Câu 3: (1,5 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(3; 0), B(0; 3), C(0; –3) Gọi d đường thẳng qua điểm A, B 1) Viết phương trình đường thẳng d′ ảnh đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox 2) M điểm di động đường trịn tâm O đường khính BC Tìm quĩ tích trọng tâm G ∆MBC Câu 4: (1,5 điểm) cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với AD // BC AD = 2BC Gọi G trọng tâm ∆SCD 1) Xác định giao tuyến cặp mặt phẳng (SAC) (SBD), (SAD) (SBC), (SAB) (SCD) 2) Xác định giao điểm H BG với mp(SAC) Từ tính tỉ số Hết Họ tên thí sinh: 59 HB HG SBD : Đề số ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ – Năm học 2014 – 2015 Mơn TỐN Lớp 11 Nâng cao Thời gian làm 120 phút Câu 1: 1) a) Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số:  π y = 2sin  x + ÷ đoạn  3  4π 2π  − ;     4π 2π  π Đặt u = x + ⇒ Với x ∈  − ;  u ∈ [ −π ; π ]  3   π  π  + Hàm số y = sin u nghịch biến khoảng  −π ; − ÷,  ; π ÷  2 2    4π 5π π ⇒ Hàm số y = 2sin  x + ÷ nghịch biến khoảng  − ; −  3   π π + Hàm số y = sin u đồng biến khoảng  − ; ÷  2   5π π  π ⇒ Hàm số y = 2sin  x + ÷ đồng biến khoảng  − ; ÷  3  6 60   π 2π  ÷,  ; ÷  6  Bảng biến thiên: y x − 4π -π − 5π -π/2 π − O π π/2 2π -1 -2    4π 2π  ;  3   π 3 b) Đồ thị hàm số y = 2sin  x + ÷ đoạn  −    π π 2sin  x + ÷ 2sin  x + ÷ ≥  π    3  3 Ta có: y = 2sin  x + ÷ =    π π  3  −2sin  x + ÷ 2sin  x + ÷ <   3  3    π 3 Do đồ thị (C′) hàm số y = 2sin  x + ÷ suy từ đồ thị (C) hàm π 3  π 2π  + Trên đoạn  − ;  (C′) trùng với (C)  3   4π π  + Trên đoạn  − ; −  lấy đối xứng phần đồ thị (C) qua trục hoành  3   số y = 2sin  x + ÷ sau: 2) Giải phương trình: 6 x = x + k 2π − cos x + cos x + = ⇔ cos x = cos x ⇔  6 x = −4 x + k 2π 2  x = kπ π ⇔ x = k π ⇔ x = k   a) sin2 x + cos2 3x = ⇔ b) 3sin2 x + 2sin x − cos2 x = ⇔ 3sin2 x + 4sin x.cos x − cos2 x = + Với cos x = , ta thấy không thoả PT (*) + Với cos x ≠ , chia vế PT (*) cho cos2 x , ta được:  π  tan x =  x = + kπ (*) ⇔ 3tan2 x + tan x − = ⇔  tan x = − ⇔    x = arctan  −  + kπ  ÷    3   cos x sin x  sin x ≠ π + c) + cot x =  ÷ (*) Điều kiện  cos x ≠ ⇔ x ≠ m cos x   sin x  61 (*) (1) cos x.cos x + sin x.sin x cos2 x cos x 3+ = ⇔ sin x.cos x sin x.cos x sin x sin x  π  x = + k 2π (loaïi) sin x =  π  ⇔  x = + k 2π ⇔ 2sin x − 3sin x + = ⇔ sin x =    5π  x = + k 2π  π 5π Vậy PT có nghiệm x = + k 2π ; x = + k 2π 6 Với ĐK (1) (*) ⇔ + cos2 x = Câu 2: 1) Khai triển (1 − x )n Số hạng chứa x là: Cn (− x )1 = − nx Theo giả thiết ta suy được: −n = −7 ⇔ n = 2) Số cách lấy ngẫu nhiên sách từ 13 sách là: C13 = 1287 (cách) ⇒ n(Ω ) = 1287 a) Gọi A biến cố "Trong sách lấy có sách Toán" + Nếu lấy Tốn Anh số cách lấy là: C5 C8 = 280 + Nếu lấy Tốn Anh số cách lấy là: C5 C8 = 40 + Nếu lấy Tốn số cách lấy là: C5 = ⇒ n( A) = 280 + 40 + = 321 ⇒ P(A) = n( A) 321 107 = = n(Ω ) 1287 429 b) Gọi B biến cố "Trong sách lấy có sách Anh" Số cách lấy sách mà khơng có sách Anh là: C5 = ⇒ Số cách lấy sách có sách Anh là: 1287 – = 1286 1286 ⇒ n( B) = 1286 ⇒ P(B) = 1287 Câu 3: a) Xét phép đối xứng trục Ox Gọi A′, B′ ảnh A, B qua phép đối xứng trục Ox Vì A(3; 0), B(0; 3) nên A′(3; 0) ≡ A, B′(0; –3) ≡ C Mặt khác A, B ∈ d ⇒ A′, B′ ∈ d′ ⇒ Phương trình đường thẳng d′: x y + =1 ⇔ x − y −3 = −3 PT đường trịn (C) có tâm O, đường kính BC: x + y = b) uuu uuur r V :M a G OG = OM ⇒  O,  G trọng tâm ∆MBC ⇒  ÷  3 S x Vậy quĩ tích điểm G đường tròn (C′) ảnh đường tròn (C) qua phép vị tự tâm O tỉ số k = D A a) O B PT đường tròn (C′) là: x + y = Câu 4: Giao tuyến cặp mặt phẳng: C 62 E • • • Trong (ABCD), gọi O = AC ∩ BD ⇒ O ∈ (SAC) ∩ (SBD) Mặt khác, S ∈ (SAC) ∩ (SBD) Suy (SAC) ∩ (SBD) = SO Trong (ABCD), gọi E = AB ∩ CD ⇒ E ∈ (SAC) ∩ (SBD) Mặt khác, S ∈ (SAB) ∩ (SCD) Suy (SAC) ∩ (SBD) = SE Ta có S ∈ (SAD) ∩ (SBC) Gọi Sx = (SAD) ∩ (SBC) Mà AD // BC nên Sx // AD // BC Vậy giao tuyến mp (SAD) (SBC) đường thẳng Sx qua song với AD, BC S song b) Trong (ABCD), gọi I = BM ∩ AC ⇒ I ∈ (SBM) Trong (SBM), gọi H = BG ∩ SI ⇒ H = BG ∩ (SAC) Gọi N trung điểm AD ⇒ MN // AC (MN đường trunh cình ∆ACD) J giao điểm AC BN ⇒ J giao điểm đường chéo hình bình hành ABCN Từ IJ // MN ⇒ I trung điểm BM Trong ∆SBM, vẽ GK // SI Trong ∆SIM ta có: GK // SI ⇒ MI MS = = (vì G trọng tâm ∆SCD) ⇒ MK MG IM = IK Trong ∆BHG, ta có: HI // GK ⇒ HB IB IM = = = HG IK IK Vậy HB = HG ============================== Đề số ĐỀ THI HỌC KÌ – Năm học 2014 – 2015 Mơn TỐN Lớp 11 Nâng cao Thời gian làm 120 phút Câu 1: (4 điểm) 1) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) hàm số y = sin x − cos x + 63 2) Xét tính chẵn, lẻ vẽ đồ thị hàm số y = sin x − 3) Giải phương trình sau: a) cos x + 3cos x + 2sin x − =0 b) sin2 x + sin x cos x − cos2 x + = c) cos x + cos x(2 tan2 x − 1) = Câu 2: (3 điểm) 1) Xác định hệ số x khai triển (2 x − 3)6 2) Một tổ có học sinh, gồm nam nữ a) Có cách xếp học sinh vào dãy bàn có ghế cho học sinh nữ ngồi cạnh b) Chọn ngẫu nhiên học sinh Tính xác suất để: i) Trong học sinh chọn có nam nữ ii) Một học sinh chọn An Bình Câu 3: (1,5 điểm) 1) Cho đường tròn (C): x + y − 8x + = điểm I(–3; 2) Viết phương trình đường trịn (C′) ảnh (C) qua phép vị tự tâm I tỉ số k = −2 2) Cho tam giác ABC Gọi M, N trung điểm AB, AC Xác định tâm uuu r uuur góc phép quay biến vectơ AM thành vectơ CN Câu 4: (1,5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình bình hành ABCD có tâm O Gọi M trung điểm SC 1) Xác định giao tuyến (ABM) (SCD) 2) Gọi N trung điểm BO Hãy xác định giao điểm I (AMN) với SD Chứng minh SI = ID Hết Họ tên thí sinh: 64 SBD : Câu 1: (4 điểm) 1) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = sin x − cos x + 1 Ta có: y = sin x − cos x + =  sin x − 2  π  3 π ⇒ y = x = − + kπ ; 12   π cos x ÷+ = 2sin  x − ÷+  3  ⇒ ≤ y ≤ (vì −1 ≤ sin  x − ÷ ≤ ) max y = x = 2) Xét tính chẵn, lẻ hàm số y = f ( x ) = sin x − Tập xác định: D = R 5π + kπ 12 π   π  π π π , ta có: f  ÷ = sin − = −1 , f  − ÷ = sin  − ÷− = −3 2  2  2  π π  ⇒ f  − ÷ ≠ ± f  ÷ ⇒ hàm số cho không hàm số chẵn không hàm số lẻ  2 2 Với x = 3) Giải phương trình cos x + 3cos x + = Điều kiện: sin x ≠ ⇔ cos2 x ≠ (*) 2sin x −  cos x = −1 Khi PT ⇔ cos x + 3cos x + = ⇔  cos x = − (loaïi) ⇔ cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π , k ∈ Z   a) b) sin2 x + sin x cos x − cos2 x + = ⇔ 2sin x + sin x cos x − cos2 x = + Dễ thấy cosx = khơng thỏa mãn phương trình cho + Với cosx ≠ 0, ta có:  π  tan x =  x = + kπ PT ⇔ tan2 x + tan x − = ⇔  tan x = − ⇔    x = arctan  −  + kπ  ÷    2  c) cos x + cos x(2 tan2 x − 1) = Điều kiện cosx ≠ (*) (1 − cos2 x ) − cos x − = ⇔ cos3 x − cos2 x − cos x + = cos x  cos x = ⇔ (cos x − 1)(2 cos2 x − cos x − 2) = ⇔   cos x = − 17 (thoả (*))   x = k 2π − 17 ⇔  x = ± arccos − 17 + k 2π Vậy PT có nghiệm: x = k 2π ; x = ± arccos + k 2π  Khi đó: PT ⇔ cos2 x + Câu 2: 1) (2 x − 3)6 k k Số hạng thứ k + Tk +1 = (−1)k C6 (2 x )6−k 3k = (−1)k 26−k 3k C6 x 6−k Để số hạng chứa x − k = ⇔ k = Vậy hệ số x −C6 23.33 = −4320 2) a) Gọi học sinh nam A, B, C, D, E 65 Vì học sinh nữ ln ngồi gần nên ta có 4! = 24 cách xếp học sinh nữ Mặt khác ta xem nhóm học sinh nữ F Số cách xếp A, B, C, D, E, F 6! = 720 (cách) Vậy có tất cả: 24×720 = 17280 (cách) b) Chọn ngẫu nhiên học sinh học sinh có C9 = 36 (cách) ⇒ Khơng gian mẫu có n(Ω ) = 36 i) Gọi A biến cố "trong học sinh chọn có nam nữ" 1 ⇒ Số cách chọn học sinh có nam nữ là: n( A) = C5 C4 = 5.4 = 20 Vậy P( A) = n( A) 20 = = n(Ω ) 36 ii) Vẫn không gian mẫu nên n(Ω ) = 36 Gọi B biến cố hai học sinh chọn An Bình Giả sử học sinh thứ chọn An Bình ⇒ có cách chọn học sinh thứ Số cách chọn học sinh lại là: C7 = (cách) ⇒ n(B) = 2.7 = 14 ⇒ P(B) = n( B) 14 = = n(Ω ) 36 18 Câu 3: 1) Xét phép vị tự V( I ;−2) Mỗi điểm M ( x; y) ∈ (C ) có ảnh M '( x '; y ') ∈ (C′ ) uuur uuu r  x ′ = − x −  x = − x '−  ⇒ IM ' = −2 IM ⇔  ⇔ 2 y = − y '+  y′ = −2 y +  Ta có: M ( x; y) ∈ (C ) ⇔ x + y − 8x + = ⇔ (2 x )2 + (2 y)2 − 16(2 x ) + 24 = ⇔ (− x '− 9)2 + (− y '+ 6)2 − 16(− x '− 9) + 24 = ⇔ ( x ')2 + ( y ')2 + 34 x '− 12 y '+ 285 = ⇔ M '( x '; y ') ∈ (C′ ) Vậy phương trình đường trịn (C′ ) : x + y + 34 x − 12 y + 285 = Cách 2: Đường tròn (C): x + y − 8x + = có tâm K(4; 0) bán kính R = 10 Gọi K '( x; y ) R′ tâm bán kính đường trịn ảnh (C′) ⇒ K ′ = V( I ;−2) ( I ) R′ = R = 10  x + = −2(4 + 3)  x = −17 Ta có:  y − = −2(0 − 2) ⇔  y =   ⇔ K ′ (−17;6) Vậy phương trình (C′) ( x + 17)2 + ( y − 6)2 = 40 2) Gọi O tâm tam giác ABC Ta có: OA = OC, (OA, OC ) = −1200 (hoặc (OA, OC ) = 1200 ) OM = ON, (OM , ON ) = −1200 (hoặc (OM , ON ) = 120 ) A M 1200 N uuur O B uuu r Do đó: phép quay Q(O ,−1200 ) : A a C; M a N hay AM → CN C (hoặc uuur uuu r phép quay Q(O,1200 ) : A a C; M a N hay AM → CN ) 66 Câu 4: 1) Giao tuyến (ABM) (SCD) Ta có: M ∈ (ABM) ∩ (SCD) Giả sử ( ABM ) ∩ (SCD ) = Mx Vì (ABM) // CD nên Mx // CD Trong (SCD), gọi Q = Mx ∩ SD Suy MQ // CD ⇒ Q trung điểm SD Vậy: ( ABM ) ∩ (SCD ) = MQ với Q trung điểm SD 2) Giao điểm (AMN) với SD Trong (SAC), gọi K = AM ∩ SO ⇒ K ∈ (AMN) K trọng tâm ∆SAC Trong (SBD), gọi I = NK ∩ SD ⇒ I = (AMN) ∩ SD Trong ∆SBD, dựng OP//NI ⇒ DI DN = = ⇒ DI = 3PI (1) PI ON SI SK = = ⇒ SI = PI PI OK SI = (đpcm) Từ (1) (2) ta suy DI Trong ∆SOP, ta có (2) ============================ ĐỀ THI HỌC KÌ – Năm học 2014 – 2015 Đề số 10 Mơn TỐN Lớp 11 Nâng cao Thời gian làm 90 phút Câu (1.5đ): Giải phương trình: sin x = 3cot x + Câu (2.0đ): Ba xạ thủ độc lập bắn vào bia Xác suất bắn trúng mục tiêu xạ thủ 0,6 Tính xác suất để xạ thủ bắn có xạ thủ bắn trúng mục tiêu Muốn mục tiêu bị phá hủy hồn tồn phải có hai xạ thủ bắn trúng mục tiêu Tính xác suất để mục tiêu bị phá hủy hoàn toàn 67 Câu (1.5đ): Một nhóm có người, gồm nam nữ Chọn ngẫu nhiên người Gọi X số nữ ba người chọn Lập bảng phân bố xác suất X Tính xác suất để có nhiều nữ chọn Câu (1.5đ): Trong mặt phẳng cho đường thẳng d cố định điểm O cố định không nằm d f phép biến hình biến mối điểm M mặt phẳng thành M′ xác định sau: Lấy M đối xứng M qua O, M′ đối xứng với M qua d Tìm ảnh đường thẳng d qua phép biến hình f Gọi I trung điểm MM′ Chứng minh I thuộc đường thẳng cố định M thay đổi d Câu (2.5đ): Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M, N trung điểm SA, SB Một mặt phẳng ( α ) di động qua MN cắt cạnh SC SD P Q ( P khác với S C) Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) (SBC) Thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng ( α ) hình gì? Gọi I giao điểm hai đường thẳng MQ NP Tìm quĩ tích I mặt phẳng ( α ) di động? n Câu (1.0đ): Tính hệ số số hạng chứa x khai triển  x −  , biết rằng:  ÷ x  1 1 99 + + + + + = A2 A3 Ak An 100 20 Hết Họ tên thí sinh: SBD : ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ – Năm học 2014 – 2015 68 Đề số 10 Câu Mơn TỐN Lớp 11 Nâng cao Thời gian làm 90 phút Đk: sin x ≠ ⇔ x ≠ nπ ; n ∈ Z ⇔ cot x − 3cot x = Tóm tắt giải cot x = ⇔ cot x = π cot x = ⇔ x = + k π π cot x = ⇔ x = + kπ (k ∈ Ζ) 0.25 0.25 Gọi Ai biến cố “xạ thủ thứ i bắn trúng mục tiêu” P(Ai) = 0.6, Ai độc lập, i = 1,3 Gọi A biến cố “Trong ba xạ thủ bắn có xạ thủ bắn trúng mục tiêu” A = A1 A2 A3 ∪ A2 A1 A3 ∪ A3 A1 A2 A1 A2 A3 ; A2 A1 A3 ; A3 A1 A2 đôi xung khắc ( P( A) = P( A1 A2 A3 ) + P( A2 A1 A3 ) + P( A3 A1 A2 ) P(A) = 3x 0.6 x 0.4 x 0.4 = 0.288 Gọi B biến cố “Mục tiêu bị phá hủy hoàn toàn” C biến cố " Không xạ thủ bắn trúng mục tiêu" C = A1 A2 A3 P(C) = 0.4 x 0.4 x 0.4 = 0.064 Ta có: B = A ∪ C A, C hai biến cố xung khắc nên : P(B) = – P( B) = 0.648 C C 18 C = ; P ( X = 1) = = 35 35 35 35 CC C 12 P ( X = 2) = = ; P ( X = 3) = = 35 35 35 35 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Số trường hợp C73 = 35 Từ P(X=0) = 0.5 0.25 0.25 P ( B) = P ( A) + P (C ) = 0.288 + 0.064 = 0.352 Điểm 0.25 0.5 0.25 Bảng phân bố xác suất X sau: X Dưạ vào bảng phân bố xác suất , ta có xác suất để nhiều nữ 0.25 0.25 25 18 22 chọn + = 35 35 35 Hình vẽ Lấy A, B d, xác định ảnh A', B' A, B qua f Đường thẳng A'B' ảnh d qua f Chứng minh OI//M M’ OI vng góc với d uur uuu r Gọi K giao điểm d OI K trung điểm OI nên OI = 2OK 69 0.25 0.5 0.25 0.25 Suy I ảnh K qua phép vị tự tâm O tỉ số 2, mà K thuộc d nên I thuộc đường thẳng cố định ảnh d qua phép vị tự Hình vẽ a) S điểm chung hai mp  AD ⊂ ( SAD); BC ⊂ ( SBC )  AD / / BS 0.25 0.5 0.25 Ta có:  Suy ra, giao tuyến đường thẳng d qua S , song song với AD( BC) Ta có: thiết diện tứ giác MNPQ Ta có: (α ) ∩ ( SCD) = PQ  ⇒ MN / / PQ / / CD  MN / / CD  MN ⊂ (α ); CD ⊂ ( SCD)  Vậy MNPQ hình thang Đặc biệt: Nếu P; Q trung điểm SC, SD thiết diện hình bình hành Chứng tỏ I thuộc d ( câu a) Lập luận để đến KL: quỹ tích đường thẳng d, bỏ đoạn SJ với J giao điểm MD CN 1 Ta có: Ak = k ( k − 1) ⇔ A2 = k − − k (k ≥ 2) k 1 n −1 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 99 Suy ra: A2 + A2 + + A2 + + A2 = n = 100 ⇒ n = 100 k n 0.25 k =100 k ( x − )100 = ∑ C100 (−1) k x100− k (0.25) k =0 x 0.25 40 100 Số hạng chứa x20 ứng với k = 40 có hệ số C ============================ 70 0.25 71 ... = 495 G? ?i số cần tìm a1a2 a3a4 a5a6 Theo đề ra, ta có: a1 + a2 + a3 = a4 + a5 + a6 + ⇒ ( a1 + a2 + a3 ) = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + ⇒ ( a1 + a2 + a3 ) = 21 + ⇒ a1 + a2 + a3 = 11 +TH 1: {... Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số y = cos x − sin x Câu 2: (3 ? ?i? ??m) Một tổ học sinh có 15 bạn có bạn gi? ?i Toán, bạn gi? ?i Lý , bạn gi? ?i Hóa Giáo viên muốn chọn ba bạn học sinh tham dự thi đố vui 1)... số chẵn? Câu II: (1,5 ? ?i? ??m) Gi? ?i phương trình: 3sin2 x + 2cos2 x = Câu III: (1,5 ? ?i? ??m) Một hộp đựng viên bi xanh, viên bi đỏ viên bi vàng (chúng khác màu) Chọn ngẫu nhiên viên bi từ hộp Tính