Một số toán cực trị mạch RLC nối tiếp LỜI MỞ ĐẦU - Bài toán cực trị mạch điện xoay chiều dạng tốn khó học sinh lớp 12 tài liệu hệ thống hóa cách đầy đủ dạng toán - Với đề thi trắc nghiệm đại học nay, việc áp dụng trực tiếp kết toán cực trị làm cho học sinh khơng có nhìn tổng quan phương pháp giải dạng tốn - Chính lý đó, tơi viết đề tài “ CỰC TRỊ TRONG BÀI TỐN ĐIỆN XOAY CHIỀU “ nhằm hệ thống hóa số dạng toán cực trị toán phục vụ cho công tác giãng dạy bạn đồng nghiệp, tài liệu để học sinh tham khảo trỉnh học - Đề tài gồm bốn phần : khảo sát biến thiên đại lượng công suất, hiệu điện thiết bị… theo giá trị biến trở R, theo giá trị độ tự cảm L, theo giá trị điện dung C theo giá trị tần số góc ω - Vì thời gian có hạn, nên q trình viết có nhiều thiếu xót, mong đóng góp quý đồng nghiệp em học sinh Trang Một số toán cực trị mạch RLC nối tiếp MỤC LỤC I Sự thay đổi R mạch R-L-C mắc nối tiếp Có hai giá trị R1 ≠ R2 cho giá trị công suất Giá trị R làm cho công suất cực đại a Giá trị R làm cơng suất tồn mạch cực đại b Giá trị R làm cho công suất R cực đại c Giá trị R làm cho công suất cuộn dây cực đại Khảo sát biến thiên công suất vào giá trị R II Sự thay đổi L mạch R-L-C mắc nối tiếp với cuộn dây cảm Có hai giá trị L1 ≠ L2 cho giá trị công suất Khảo sát biến thiên công suất theo cảm kháng Giá trị ZL để hiệu điện ULmax Có hai giá trị L1 ≠ L2 cho giá trị UL,giá trị L để ULmax tính theo L1 L2 Giá trị ZL để hiệu điện ULRrmax III Sự thay đổi C mạch R-L-C mắc nối tiếp Có hai giá trị C1 ≠ C2 cho giá trị công suất Khảo sát biến thiên công suất theo dung kháng Giá trị ZC để hiệu điện UCmax Có hai giá trị C1 ≠ C2 cho giá trị UL giá trị ZC để UCmax tính theo C1 C2 Giá trị ZC để hiệu điện UCRrmax IV Sự thay đổi ω mạch R-L-C mắc nối tiếp Giá trị ω làm cho Pmax Khảo sát biến thiên cơng suất theo ω Có hai giá trị ω1 ≠ ω2 cho công suất giá trị ω làm cho Pmax tính theo ω1 ω2 Giá trị ω làm cho hiệu điện ULmax Giá trị ω làm cho hiệu điện Ucmax Trang Một số toán cực trị mạch RLC nối tiếp I Sự thay đổi R mạch R-L-C mắc nối tiếp: Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu hai đầu ổn định : u = U cos(ωt + ϕu ) R biến trở, giá trị R0 , L C không đổi C R L,R0 Gọi Rtd = R + R0 A B Có hai giá trị R1 ≠ R2 cho giá trị công suất U2 - Công suất tiêu thụ mạch : P = Rtd I = Rtd Rtd + ( Z L − Z C ) 2 - Vì P1 = P2 = P nên ta xem cơng suất phương trình số khơng đổi ứng với hai giá trị R1 R2 Khai triển biểu thức ta có: PRtd − RtdU + P ( Z L − Z C ) = - Nếu có giá trị điện trở cho giá trị cơng suất phương trình bậc có hai nghiệm phân biệt R1 R2 Theo định lý Viète (Vi-et): R1td R2 td = ( Z L − Z C ) ( R1 + R0 )( R2 + R0 ) = ( Z L − Z C )   ⇔  U2 U2 R1td + R2td = R1 + R2 + R0 =  P  P - Từ ta thấy có giá trị R1 R2 khác cho giá trị công suất Giá trị R làm cho công suất cực đại a Giá trị R làm cơng suất tồn mạch cực đại P = Rtd I = Rtd - Ta có: - Đặt A = Rtd + U2 = Rtd + ( Z L − Z C )2 U2 ( Z − ZC )2 Rtd + L Rtd (Z L − ZC )2 , áp dụng bất đẳng thức Cauchy(Côsi) cho A Rtd (Z L − ZC )2 (Z L − ZC )2 A = Rtd + ≥ Rtd = Z L − Z C = const Rtd Rtd - Ta thấy Pmax Amin => “ =” xảy Vậy: Khi giá trị cực đại công suất là: Pmax = Rtd = Z L − Z C U2 U2 U2 = = Z L − ZC R1td R2 td ( R1 + R0 )( R2 + R0 ) Với R1td R2td hai giá trị R cho giá trị công suất Lưu ý: Khi Z L − Z C < R0 giá trị biến trở R < 0, giá trị biến trở làm cho cơng suất toàn mạch cực đại R = b Giá trị R làm cho công suất R cực đại - Công suất biến trở R PR = R I = R U2 U2 = ( R + R0 ) + ( Z L − Z C )2 ( R + R0 ) + ( Z L − Z C )2 R Trang Một số toán cực trị mạch RLC nối tiếp - Đặt mẩu thức biểu thức : A= - ( R + R0 )2 + ( Z L − Z C ) R + ( Z L − ZC ) = R+ + R0 R R Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho A ta được: A= R+ - R02 + ( Z L − Z C )2 R + ( Z L − ZC )2 + R0 ≥ R + R0 = R02 + ( Z L − Z C ) + R0 = const R R Ta thấy PRmax Amin nghĩa dấu “ =” phải xảy ra, đó: R= - Công suất cực đại biến trở R là: - R0 +( Z L − Z C ) PR max = U2 2 R0 + ( Z L − Z C ) + R0 c Giá trị R làm cho công suất cuộn dây cực đại, cường độ dòng điệncực đại, hiệu điện cuộn dây cực đại, hiệu điện tụ điện cực đại Ta có : 2 Pdây = R0 I ;U d = I Z L + R0 ;U c = IZ C I= U ( R + R0 ) + ( Z L − Z C )2 - Vì R0; ZL; ZC U đại lượng không đổi nên muốn đạt giá trị cực đại cần cường độ dịng điện qua mạch cực đại Từ biểu thức dòng điện ta thấy I max giá trị biến trở R = Khảo sát biến thiên công suất vào giá trị R - Để thấy rõ phụ thuộc cơng suất tồn mạch vào giá trị biến trở R người ta thường dùng phương pháp khảo sát hàm số: - Ta có cơng suất toàn mạch theo biến thiên theo biến trở R cho hàm số: P = Rtd I = Rtd U2 Rtd + ( Z L − Z C )2 Rtd = R + R0 - ' Đạo hàm P theo biến số Rtd ta có: P ( R) = U ( Z L − Z C ) − Rtd ( Rtd + ( Z L − Z C )2 ) ' 2 Khi P ( R) = ⇒ ( Z L − Z C ) − Rtd = ⇒ Rtd = Z L − Z C ⇒ R = Z L − Z C − R0 Bảng biến thiên : R Z L − ZC − R0 P’(R) + Pmax = P(R) P = R0 U2 R02 + ( Z L − Z C )2 +∞ - U Z L − ZC Trang Một số toán cực trị mạch RLC nối tiếp Đồ thị P theo Rtd : P Pmax Pmax U2 = Z L − ZC U P = R0 R0 + (Z L − ZC )2 O R=ZL - ZC - R0 R Nhận xét đồ thị : • Từ đổ thị ta thấy có hai giá trị R1 R2 cho giá trị cơng suất • Cơng suất đạt giá trị cực đại R = Z L − Z C − R0 > • Trong trường hợp R = Z L − Z C − R0 < đỉnh cực đại nằm phần R< ta thấy cơng suất mạch lớn R = • Nếu R0 = đồ thị xuất phát từ gốc tọa độ ta ln có giá trị R làm cho cơng suất toàn mạch cực đại R = Z L − Z C Kết luận: • Với phương pháp khảo sát hàm số để thu kết phần không hiệu phương pháp dùng tính chất hàm bậc bất đẳng thức Cauchy • Tuy nhiên từ việc khảo sát ta biết biến thiên P theo biến trở R nhằm định tính giá trị công suất tăng hay giảm thay đổi điện trở II Sự thay đổi L mạch R-L-C mắc nối tiếp với cuộn dây cảm Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu hai đầu ổn định : u = U cos(ωt + ϕu ) L cuộn dây cảm có giá trị thay đổi C R L R C không đổi A B Có hai giá trị L1 ≠ L2 cho giá trị cơng suất - Vì có hai giá trị cảm kháng cho giá trị cơng suất nên: Trang Một số tốn cực trị mạch RLC nối tiếp U2 U2 P = P2 ⇔ R =R R + ( Z L1 − Z C ) R + ( Z L2 − Z C ) - Khai triển biểu thức ta thu :  Z L − Z C = Z L2 − Z C (loaïi) ( Z L1 − Z C ) = ( Z L2 − Z C ) ⇔   Z L1 − Z C = −( Z L2 − Z C ) (nhaän)  - Suy : ZC = Z L1 + Z L2 ⇔ L1 + L2 = ω2C Khảo sát biến thiên công suất theo cảm kháng ZL U2 - Ta có cơng suất tồn mạch là: P = R , với R, C số, nên R + ( Z L − ZC )2 công suất mạch hàm số theo biến số ZL - Đạo hàm P theo biến số ZL ta có: P '( Z L ) = RU - Zc − Z L ⇒ P '( Z L ) = Z L = Z C [ R + ( Z L − Z C )2 }]2 Bảng biến thiên ZL ZL = ZC + +∞P’(ZL) -P(Z L) - Đồ thị công suất theo ZL : P Pmax Pmax U2 = R U2 P= R 2 R + ZC O ZL = ZC ZL Trang Một số toán cực trị mạch RLC nối tiếp - Nhận xét đồ thị: • Có hai giá trị cảm kháng cho giá trị cơng suất • Cơng suất mạch cực đại Z L = Z C = Z L1 + Z L2 , với Z L ; Z L hai giá 2 trị cảm kháng cho giá trị công suất Kết luận: Từ việc khảo sát biến thiên thay đổi công suất vào giá trị ZL cho phép định tính tăng hay giảm P theoZL Từ ta tiên đốn thay đổi công suất theo giá trị ZL số toán Giá trị ZL để hiệu điện ULmax U - Ta có hiệu điện cuộn dây : U L = IZ L = Z L - U số khơng đổi Ta dùng phương pháp khảo sát hàm số theo biến số ZL Tuy nhiên với cách khảo sát hàm số phức tạp Với phương pháp dùng giản đồ Vecto toán giải dể UL rút nhiều kết luận Theo giản đồ vectơ định lý hàm số sin tam R + ( Z L − ZC )2 , R; ZC UL U = sin(α + β ) sin γ UR R = const , suy Vì sin γ = cos β = U = R + ZC RC U U UL = sin(α + β ) = sin(α + β ) sin γ cos β giác ta có : - - U Do cosβ U giá trị không đổi nên hiệu điện π ULmax sin(α + β ) = ⇒ α + β = α O β - - Theo hệ thức tam giác vng ta có: U RC = U CU L , từ 2 suy Z L Z C = R + Z C • R + ZC U L max = U ZC i γ UC URC Tóm lại: Khi Z L = UR R + ZC R • Khi ULmax hiệu điện tức thời hai đầu mạch nhanh pha uRC góc 900 Có hai giá trị L1 ≠ L2 cho giá trị UL , giá trị L để ULmax tính theo L1 L2 - Khi có hai giá trị L cho giá trị hiệu điện thế: U L1 = U L2 ⇔ Z L1 I1 = Z L2 I ⇔ - Z L1 R + ( Z L1 − Z C ) = Z L2 R + ( Z L2 − Z C ) Bình phương khai triển biểu thức ta thu được: Trang Một số toán cực trị mạch RLC nối tiếp Z L1 2 R + Z C + Z L1 − 2Z L1 Z C - 2 R + Z C + Z L2 − 2Z L2 ZC Theo kết phần hiệu điện hai đầu cuộn dây cực đại Z L Z C = R + Z C với giá trị ZL giá trị làm cho ULmax Thay vào biểu thức trên: Z L1 Z L Z C + Z L1 − Z L1 Z C - = Z L2 = Z L2 Z L Z C + Z L2 − 2Z L2 Z C Tiếp tục khai triển biểu thức ta thu được: 2 ( Z L1 − Z L2 ) Z L = 2Z L1 Z L2 ( Z L1 − Z L2 ) - Vì L1 ≠ L2 nên đơn giàn biểu thức ta thu được: ZL = Z L1 Z L2 Z L1 + Z L2 ⇔L = L1 L2 L1 + L2 với giá L giá trị cho ULmax Giá trị ZL để hiệu điện ULRrmax - Khi R L mắc nối tiếp : U LR = I R + Z L = - Đặt MT = U R2 + ZL R + ( Z L − ZC ) = U R + (Z L − ZC ) 2 R2 + ZL R + (Z L − ZC )2 , ta thực việc khảo sát hàm số MT theo biến số ZL để R2 + ZL tìm giá trị ZL cho MTmin giá trị ULrmax Đạo hàm MT theo biến số ZL ta thu : 2( Z L − Z C )( R + Z L ) − Z L [ R + ( Z L − Z C ) ] MT ( Z L ) = ( R2 + Z L )2 ' - 2 Cho MT’(ZL) = ta có : Z C Z L − Z C Z L − Z C R = Nghiệm phương trình bậc hai  Z + 4R + ZC  Z L1 = C >0  là:  Lập bảng biến thiên ta có: ZC − R + Z C Z = A = ω L L  C R2  x − 1 − ÷ Lấy đạo hàm A theo biến số x ta thu được: A '( x) = L C C 2 LC − R C Cho A’(x) = ta thu x = 2L 2L > R ta thu bảng biến thiên: Vì x > ⇒ C x LC − R 2C ∞ 2L A’(x) - + A(x) - Amin Thay giá trị x vào biểu thức đặt ta thu hiệu điện cực đại cuộn dây là: ω= Nhận xét : Khi x ≤ ⇒ a= C L R − C U LMax = 2U L R LC − R 2C 2L ≤ R Amin x = A làm hàm số bậc có hệ số C > nên hàm số có cực tiểu phần âm, x = làm cho Amin miền xác C2 định x Khi ω lớn làm cho ZL lớn làm cho I = Do khơng thể tìm giá trị ω làm cho ULmax Giá trị ω làm cho hiệu điện Ucmax - Tương tự cách làm ta thu kết tương tự thay đổi giá trị ω làm cho UCmax là: - Khi ω= L R2 − L C U CMax = 2U L R LC − R C 2 với 2L > R2 C Trang 12 ... cực trị mạch RLC nối tiếp MỤC LỤC I Sự thay đổi R mạch R-L-C mắc nối tiếp Có hai giá trị R1 ≠ R2 cho giá trị công suất Giá trị R làm cho công suất cực đại a Giá trị R làm cơng suất tồn mạch cực. .. giá trị L1 ≠ L2 cho giá trị công suất Khảo sát biến thiên công suất theo cảm kháng Giá trị ZL để hiệu điện ULmax Có hai giá trị L1 ≠ L2 cho giá trị UL,giá trị L để ULmax tính theo L1 L2 Giá trị. .. suất cực đại biến trở R là: - R0 +( Z L − Z C ) PR max = U2 2 R0 + ( Z L − Z C ) + R0 c Giá trị R làm cho cơng suất cuộn dây cực đại, cường độ dịng điệncực đại, hiệu điện cuộn dây cực đại, hiệu điện