Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian Trang 1 1. Đònh nghóa và các phép toán • Đònh nghóa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng. • Lưu ý: + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB BC AC+=    + Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB AD AC+=    + Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′, ta có: AB AD AA AC '' ++ =     + Hêï thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý. Ta có: 0IA IB+=    ; 2OA OB OI+=    + Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. Ta có: 03GA GB GC OA OB OC OG;++ = ++ =         + Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta có: 04GA GB GC GD OA OB OC OD OG;+++ = +++ =           + Điều kiện hai vectơ cùng phương: 0a và b cùng phương a k R b ka()! :≠ ⇔∃ ∈ =     + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ≠ 1), O tuỳ ý. Ta có: 1 OA kOB MA kMB OM k ; − = = −          2. Sự đồng phẳng của ba vectơ • Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. • Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ abc,,   , trong đó a và b   không cùng phương. Khi đó: abc,,   đồng phẳng ⇔ ∃! m, n ∈ R: c ma nb= +   • Cho ba vectơ abc,,   không đồng phẳng, x  tuỳ ý. Khi đó: ∃! m, n, p ∈ R: x ma nb pc= ++    3. Tích vô hướng của hai vectơ • Góc giữa hai vectơ trong không gian:   00 0 180AB u AC v u v BAC BAC, (,) ( )= =⇒= ≤≤      • Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian: + Cho 0uv, ≠   . Khi đó: uv u v u v. . .cos( , )=      + Với 00u hoặc v= =   . Qui ước: 0uv. =  + 0u v uv.⊥⇔ =    + 2 uu=  CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian Trang 2 1. Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian: Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi ijk,,   là các vectơ đơn vò, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxyz. Chú ý 222 1ijk= = =   : và 0i j ik k j .= = =     . 2. Tọa độ của vectơ: a) Đònh nghóa: ( ) u xyz u xiyjzk;;= ⇔= + +    b) Tính chất: Cho 123 123 aaaabbbbkR( ; ; ), ( ; ; ),= = ∈  • 1 12 23 3 ab a ba ba b(; ; )±= ± ± ±   • 123 ka ka ka ka(;;)=  • 11 22 33 ab ab a b ab  =  =⇔=   =   • 0 000 100 010 001i jk( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )= = = =    • a  cùng phương 0bb()≠    ⇔ a kb k R()= ∈  11 3 12 2 2 123 123 33 0 a kb a aa a kb b b b bb b a kb ,( , , )  =  ⇔ = ⇔== ≠   =  • 11 2 2 33 ab a b a b a b . .=++   • 11 2 2 33 0a b ab ab ab⊥⇔ + + =  • 2222 123 a aaa=++  • 222 122 a aaa= ++  • 11 2 2 33 222222 123123 ab a b ab ab ab ab aaabbb . cos( , ) . . ++ = = ++ ++       (với 0ab, ≠    ) 3. Tọa độ của điểm: a) Đònh nghóa: M x y z OM x y z(; ; ) (;;)⇔=  (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ) Chú ý: • M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0; M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0; M ∈ (Oxz) ⇔ y = 0 • M ∈ Ox ⇔ y = z = 0; M ∈ Oy ⇔ x = z = 0; M ∈ Oz ⇔ x = y = 0 b) Tính chất: Cho A AA B BB Ax y z Bx y z( ; ; ), ( ; ; ) • B A B AB A AB x x y y z z(;;)=−−−    • 2 22 B A B A BA AB x x y y z z( )( )( )= − +− +− • Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1): 1 11 A B A BA B x kx y ky z kz M k kk ;;  − −−  − −−  • Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: 222 A BA BA B x xy yz z M ;;  +++   • Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: 3 33 A B CA B CA B C x x xy y yz z z G ;;  ++ ++ ++   II. HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian Trang 3 • Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD: 4 44 A B C DA B C DA B C C x x x xy y y yz z z z G ;;  ++ + +++ +++   4. Tích có hướng của hai vectơ: (Chương trình nâng cao) a) Đònh nghóa: Cho 123 a aa a(, , )=  , 123 b bbb(, , )=  . [ ] ( ) 23 31 12 23 32 31 13 12 21 23 31 12 aa aa aa a b a b a b ab ab ab ab a b b b bb bb , ;; ; ;  = ∧ = = − − −     Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số. b) Tính chất: • [ ] i j k jk i ki j,; ,; ,   = = =          • ab a ab b[, ] ; [, ]⊥⊥     • ( ) ab a b ab[,] sin,=    • ab,  cùng phương 0ab[, ]⇔=   c) Ứng dụng của tích có hướng: • Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: ab,  và c  đồng phẳng ⇔ 0abc[ , ]. =  • Diện tích hình bình hành ABCD: ABCD S AB AD,  =     • Diện tích tam giác ABC: 1 2 ABC S AB AC, ∆  =    • Thể tích khối hộp ABCD.A ′ B ′ C ′ D ′ : ABCD A B C D V AB AD AA .''' ' [ , ]. '=    • Thể tích tứ diện ABCD: 1 6 ABCD V AB AC AD[ , ].=    Chú ý: – Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng. – Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương. [ ] [ ] 0 0 0 a b ab a và b cùng phương a b a b c đồng phẳng a b c . , ,, , . ⊥⇔ = ⇔= ⇔=         5. Phương trình mặt cầu: • Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R: 2 2 22 xa yb zc R( )( )( ) −+−+−= • Phương trình 222 222 0 x y z ax by cz d+ + + + + += với 222 0abcd+ + −> là phương trình mặt cầu tâm I(–a; –b; –c) và bán kính R = 222 abcd++− . Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian Trang 4 VẤN ĐỀ 1: Xác đònh điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học. Diện tích – Thể tích. – Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian. – Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian. – Công thức xác đònh toạ độ của các điểm đặc biệt. – Tính chất hình học của các điểm đặc biệt: • A, B, C thẳng hàng ⇔ AB AC,   cùng phương ⇔ AB k AC=   ⇔ 0AB AC,  =     • ABCD là hình bình hành ⇔ AB DC=   • Cho ∆ ABC có các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A của ∆ ABC trên BC. Ta có: AB EB EC AC .= −   , AB FB FC AC . =   • A, B, C, D không đồng phẳng ⇔ AB AC AD,,    không đồng phẳng ⇔ 0AB AC AD,.  ≠     Bài 1. Cho điểm M. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M: • Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz • Trên các trục tọa độ: Ox, Oy, Oz a) 123M(; ; ) b) 3 12M(; ; )− c) 11 3M( ;; )−− d) 12 1M(; ; )− e) 2 57M(; ;)− f) 22 15 7M( ; ;)− g) 11 9 10M(; ; )− h) 367M(;; ) Bài 2. Cho điểm M. Tìm tọa độ của điểm M′ đối xứng với điểm M: • Qua gốc toạ độ • Qua mp(Oxy) • Qua trục Oy a) 123M(; ; ) b) 3 12M(; ; )− c) 11 3M( ;; )−− d) 12 1M(; ; )− e) 2 57M(; ;)− f) 22 15 7M( ; ;)− g) 11 9 10M(; ; )− h) 367M(;; ) Bài 3. Xét tính thẳng hàng của các bộ ba điểm sau: a) 131 012 001AB C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) b) 111 4 31 951AB C(;;), ( ;;), ( ;;)−− c) 10 9 12 20 3 4 50 3 4AB C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − −− d) 1510578 227A BC( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−− − − Bài 4. Cho ba điểm A, B, C. • Chứng tỏ ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác. • Tìm toạ độ trọng tâm G của ∆ABC. • Xác đònh điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. • Xác đònh toạ độ các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A của ∆ABC trên BC. Tính độ dài các đoạn phân giác đó. • Tính số đo các góc trong ∆ABC. • Tính diện tích ∆ABC. Từ đó suy ra độ dài đường cao AH của ∆ABC. a) 12 3 037 1250A BC( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− b) 0 13 21 11 23 17 1 0 19AB C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− c) 347 532 123AB C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− −− − d) 423 21 1 387AB C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−− e) 3 12 12 1 11 3A BC( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − −− f) 414 07 4 31 2AB C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−− g) ( ) ( ) ( ) 100 001 211A B C;; , ;; , ;; h) 1 26 251 184A BC( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−− Bài 5. Trên trục Oy (Ox), tìm điểm cách đều hai điểm: a) 310A(;; ) , 241B( ;;)− b) 1 2 1 11 0 7AB( ; ; ), ( ; ; )− c) 414 07 4AB( ; ; ), ( ; ; )− d) 3 12 12 1AB( ; ; ), ( ; ; )−− e) 347 532AB( ; ; ), ( ; ; )− −− f) 423 21 1AB( ; ; ), ( ; ; )−− Bài 6. Trên mặt phẳng Oxy (Oxz, Oyz), tìm điểm cách đều ba điểm: a) 111 110 31 1AB C(;;), ( ;; ), (;; )−− b) 324 007 533A BC( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−− c) 3 12 12 1 11 3A BC( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − −− d) 0 13 21 11 23 17 1 0 19AB C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian Trang 5 e) 10 2 211 1 3 2AB C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− −− f) 1 26 251 184A BC( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−− Bài 7. Cho hai điểm A, B. Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz (Oxz, Oxy) tại điểm M. • Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào ? • Tìm tọa độ điểm M. a) ( ) ( ) 2 17 45 2A B; ; , ;;−− b) 43 2 2 11AB(;; ), (; ;)−− c) 10 9 12 20 3 4AB( ; ; ), ( ; ; )− d) 3 12 12 1AB( ; ; ), ( ; ; )−− e) 347 532AB( ; ; ), ( ; ; )− −− f) 423 21 1AB( ; ; ), ( ; ; )−− Bài 8. Cho bốn điểm A, B, C, D. • Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện. • Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD. • Tính góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD. • Tính thể tích của khối tứ diện ABCD. • Tính diện tích tam giác BCD, từ đó suy ra độ dài đường cao của tứ diện vẽ từ A. a) 25 3 100 30 2 3 12A BC D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − −− b) ( ) ( ) ( ) ( ) 100 010 001 21 1A B C D; ; , ;; , ; ; , ;;−− c) ( ) ( ) ( ) ( ) 110 0 21 10 2 111A B C D;; , ; ; , ; ; , ;; d) ( ) ( ) ( ) ( ) 200 040 006 246A B C D;;, ;;, ;;, ;; e) 231 41 2 637 5 48AB C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− −− f) 57 2 31 1 94 4 150A BC D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−− − g) 241 101 142 1 21AB C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−− − h) 324 25 2 1 22 423ABCD( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− −− i) 348 121 526 743AB CD(;;), ( ;;), (;;), ( ;;)−− k) 3 26 244 99 1 001A BCD( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−− − − Bài 9. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. • Tìm toạ độ các đỉnh còn lại. • Tính thể tích khối hộp. a) ( ) ( ) ( ) ( ) 101 212 1 11 45 5AB D C;;, ;; , ;;,';;−− b) 25 3 100 30 2 3 12A BC A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), '( ; ; )− − −− c) 0 21 1 11 000 110AB D A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ;), '( ; ; )−− d) 0 2 2 012 111 1 2 1A BC C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), '( ; ; )− −− Bài 10. Cho bốn điểm S(3; 1; –2), A(5; 3; 1), B(2; 3; –4), C(1; 2; 0). a) Chứng minh SA ⊥ (SBC), SB ⊥ (SAC), SC ⊥ (SAB). b) Chứng minh S.ABC là một hình chóp đều. c) Xác đònh toạ độ chân đường cao H của hình chóp. Suy ra độ dài đường cao SH. Bài 11. Cho bốn điểm S(1; 2; 3), A(2; 2; 3), B(1; 3; 3), C(1; 2; 4). a) Chứng minh SA ⊥ (SBC), SB ⊥ (SAC), SC ⊥ (SAB). b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh SMNP là tứ diện đều. c) Vẽ SH ⊥ (ABC). Gọi S′ là điểm đối xứng của H qua S. Chứng minh S′ABC là tứ diện đều. Bài 12. Cho hình hộp chữ nhật OABC.DEFG. Gọi I là tâm của hình hộp. a) Phân tích các vectơ OI AG,   theo các vectơ OA OC OD,,    . b) Phân tích vectơ BI   theo các vectơ FE FG FI ,,    . Bài 13. Cho hình lập phương ABCD.EFGH. a) Phân tích vectơ AE    theo các vectơ AC AF AH,,    . b) Phân tích vectơ AG  theo các vectơ AC AF AH,,    . Bài 14. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BB′. Chứng minh rằng MN ⊥ A′C. Bài 15. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh bằng 1. Trên các cạnh BB′, CD, A′D′ lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho B′M = CN = D′P = x (0 < x < 1). Chứng minh AC′ vuông góc với mặt phẳng (MNP). Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian Trang 6 VẤN ĐỀ 2: Phương trình mặt cầu Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác đònh tâm I và bán kính R của mặt cầu. Dạng 1: (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R: (S): 2 2 22 xa yb zc R( )( )( ) −+−+−= Dạng 2: (S) có tâm I(a; b; c) và đi qua điểm A: Khi đó bán kính R = IA. Dạng 3: (S) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính: – Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB: 2 22 A B AB AB I II xx yy zz xyz;; + ++ = = = . – Bán kính R = IA = 2 AB . Dạng 4: (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD): – Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng: 222 222 0x y z ax by cz d+ + + + + += (*). – Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào (*), ta được 4 phương trình. – Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d ⇒ Phương trình mặt cầu (S). Dạng 5: (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm I nằm trên mặt phẳng (P) cho trước: Giải tương tự như dạng 4. Dạng 6: (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T) cho trước: – Xác đònh tâm J và bán kính R ′ của mặt cầu (T). – Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu (S). (Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài) Chú ý: Với phương trình mặt cầu (S): 222 222 0x y z ax by cz d+ + + + + += với 222 0abcd+ + −> thì (S) có tâm I(–a; –b; –c) và bán kính R = 222 abcd++− . Bài 1. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau: a) 222 8 2 10xyz xy+ + − + += b) 222 4 8 2 40xyz xyz++++−−= c) 222 2440 xyz xyz ++−−+= d) 222 6 4 2 86 0xyz xyz++−+−−= e) 222 12 4 6 24 0xyz xyz++− +−+ = f) 222 6 12 12 72 0xyz x y z++−− + += g) 222 8 4 2 40xyz xyz+ + − + + −= h) 222 340xyz xy++−+ = i) 222 3 3 3 6 3 15 2 0x y z xy z+ + + − + −= k) 222 6 2 2 10 0xyz xyz ++−+−+= Bài 2. Xác đònh m, t, α , … để phương trình sau xác đònh một mặt cầu, tìm tâm và bán kính của các mặt cầu đó: a) 222 2 2 2 4 2 5 90x y z m x my mz m() ++−++−++= b) 222 2 23 2 1 2 2 7 0x y z m x m y mz m( )() ++−−−+−+ += c) 222 2 1 4 2 2 70xyz xy z(cos ) cos . cos α αα +++ + −− + += d) 222 2 2 23 2 4 1 2 4 8 0xyz x yz( cos ) (sin ) cos αα α + + + − + − + + += Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian Trang 7 Bài 3. Viết phương trình mặt cầu có tâm I và bán kính R: a) 1 35 3IR( ; ; ),−= b) 5 37 2IR( ; ; ),−= c) 1 32 5IR( ; ; ),−= d) 24 3 3IR( ; ; ),−= Bài 4. Viết phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A: a) 24 1 523IA(;; ), (;;)− b) 03 2 000IA(;; ), (;;)− c) 3 21 21 3IA( ; ; ), ( ; ; )−− d) 4 4 2 000IA( ; ; ), ( ; ; )−− e) 412 124IA( ; ; ), ( ; ; )− −− Bài 5. Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB, với: a) 24 1 523AB(;; ), (;;)− b) 03 2 24 1AB( ; ; ), ( ; ; )−− c) 3 21 21 3AB( ; ; ), ( ; ; )−− d) 4 3 3 215AB(; ; ), (;;)−− e) 2 35 41 3AB(; ;), (;; )−− f) 62 5 407AB( ; ; ), ( ; ; )−− Bài 6. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, với: a) ( ) ( ) ( ) ( ) 110 0 21 10 2 111A B C D;; , ; ; , ; ; , ;; b) ( ) ( ) ( ) ( ) 200 040 006 246A B C D;;, ;;, ;;, ;; c) 231 41 2 637 5 48AB C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− −− d) 57 2 31 1 94 4 150A BC D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−− − e) 6 23 016 20 1 410A BC D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−− f) 010 231 222 1 12ABC D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−− Bài 7. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm nằm trong mặt phẳng (P) cho trước, với: a) 120 113 20 1AB C P Oxz ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) () ( )  −−  ≡  b) 201 132 320ABC P Oxy ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) () ( )   ≡  Bài 8. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T), với: a) 222 511 2 4 6 50 I Tx y z x y z ( ;;) ( ):  −  + + − + − +=  b) 222 322 2 4 8 50 I Tx y z x y z ( ;;) ( ):  −  + + − + − +=  VẤN ĐỀ 3: Vò trí tương đối giữa hai mặt cầu mặt cầu Cho hai mặt cầu S 1 (I 1 , R 1 ) và S 2 (I 2 , R 2 ). • 12 1 2 II R R<− ⇔ (S 1 ), (S 2 ) trong nhau • 12 1 2 II R R>+ ⇔ (S 1 ), (S 2 ) ngoài nhau • 12 1 2 II R R= − ⇔ (S 1 ), (S 2 ) tiếp xúc trong • 12 1 2 II R R= + ⇔ (S 1 ), (S 2 ) tiếp xúc ngoài • 1 2 12 1 2 R R II R R− < <+ ⇔ (S 1 ), (S 2 ) cắt nhau theo một đường tròn. Bài 1. Xét vò trí tương đối của hai mặt cầu: a) 222 222 8 4 2 40 4 2 4 50 xyz xyz xyz xyz   ++−+−−=  +++−−+=   b) 2 22 222 1 2 39 6 10 6 21 0 xy z xyz x yz ( )( )( )   ++−+−=  ++−− −−=   c) 222 222 241050 46220 xyz xy z xyz xyz   + + − + − +=  + + − − + −=   d) 222 222 8 4 2 15 0 4 12 2 25 0 xyz xyz xyz x yz   ++−+−−=  +++− −+=   e) 222 222 26450 6 2 4 20 xyz xyz xyz xyz   + + − − + +=  ++−+−−=   f) 222 222 4 2 2 30 6 4 2 20 xyz xyz xyz xyz   +++−+−=  ++−+−−=   Bài 2. Biện luận theo m vò trí tương đối của hai mặt cầu: a) 222 2 22 2 2 1 3 64 423 2 x yz xyzm ( )( )( ) ( )( )( )( )   − +− ++ =  −+++−=+   b) 2 22 2 22 2 3 2 1 81 123 3 xyz xy z m ( )( )( ) ( )( )( )( )   − ++ ++ =  −+−+−=−   c) 2 22 2 22 2 2 2 1 25 123 1 xyz xy z m ( )( )( ) ( )( )( )( )   + +− +− =  +++++=−   d) 2 22 2 22 2 3 2 1 16 123 3 xyz xy z m ( )( )( ) ( )( )( )( )   + ++ ++ =  −+−+−=+   Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian Trang 8 1. Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng • Vectơ 0n ≠   là VTPT của (α) nếu giá của n  vuông góc với (α). • Hai vectơ ab ,   không cùng phương là cặp VTCP của (α) nếu các giá của chúng song song hoặc nằm trên (α). Chú ý: • Nếu n  là một VTPT của ( α ) thì kn  (k ≠ 0) cũng là VTPT của ( α ). • Nếu ab ,   là một cặp VTCP của ( α ) thì [ ] n ab,=   là một VTPT của ( α ). 2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng 222 00 Ax By Cz D với A B C+ + += + + > • Nếu (α) có phương trình 0Ax By Cz D+ + += thì n ABC(;;)=  là một VTPT của (α). • Phương trình mặt phẳng đi qua 0 000 Mxyz(;;) và có một VTPT n ABC(;;)=  là: 0 00 0Ax x By y Cz z( )( )( )−+ −+ −= 3. Các trường hợp riêng Chú ý: • Nếu trong phương trình của ( α ) không chứa ẩn nào thì ( α ) song song hoặc chứa trục tương ứng. • Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: 1 xyz abc ++= ( α ) cắt các trục toạ độ tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c) 4. Vò trí tương đối của hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng (α), (β) có phương trình: (α): 1111 0Ax By Cz D+ + += (β): 2222 0Ax By Cz D + + += • ( α ), ( β ) cắt nhau ⇔ 111 2 2 2 ABC A B C:: ::≠ • ( α ) // ( β ) ⇔ 111 1 222 2 ABCD ABCD = = ≠ • ( α ) ≡ ( β ) ⇔ 111 1 222 2 ABCD ABCD = = = • ( α ) ⊥ ( β ) ⇔ 12 12 12 0AA BB CC ++= 5. Khoảng cách từ điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) đến mặt phẳng ( α ): Ax + By + Cz + D = 0 ( ) 000 0 222 Ax By Cz D dM ABC ,( ) α +++ = ++ III. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Các hệ số Phương trình mặt phẳng ( α ) Tính chất mặt phẳng ( α ) D = 0 0Ax By Cz++= (α) đi qua gốc toạ độ O A = 0 0By Cz D+ += (α) // Ox hoặc (α) ⊃ Ox B = 0 0Ax Cz D+ += (α) // Oy hoặc (α) ⊃ Oy C = 0 0Ax By D+ += (α) // Oz hoặc (α) ⊃ Oz A = B = 0 0Cz D+= (α) // (Oxy) hoặc (α) ≡ (Oxy) A = C = 0 0By D+= (α) // (Oxz) hoặc (α) ≡ (Oxz) B = C = 0 0Ax D+= (α) // (Oyz) hoặc (α) ≡ (Oyz) Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian Trang 9 VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình mặt phẳng Để lập phương trình mặt phẳng ( α ) ta cần xác đònh một điểm thuộc ( α ) và một VTPT của nó. Dạng 1: ( α ) đi qua điểm ( ) 000 M x ;y ;z có VTPT ( ) n A;B;C=  : ( α ): ( ) ( ) ( ) 0 00 0Ax x By y Cz z−+ −+ −= Dạng 2: ( α ) đi qua điểm ( ) 000 M x ;y ;z có cặp VTCP ab ,   : Khi đó một VTPT của ( α ) là [ ] n ab,=   . Dạng 3: ( α ) đi qua điểm ( ) 000 M x ;y ;z và song song với mặt phẳng ( β ): Ax + By + Cz + D = 0: ( α ): ( ) ( ) ( ) 0 00 0Ax x By y Cz z−+ −+ −= Dạng 4: ( α ) đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C: Khi đó ta có thể xác đònh một VTPT của ( α ) là: n AB AC,  =     Dạng 5: ( α ) đi qua một điểm M và một đường thẳng (d) không chứa M: – Trên (d) lấy điểm A và VTCP u  . – Một VTPT của ( α ) là: n AM u,  =    Dạng 6: ( α ) đi qua một điểm M và vuông góc với một đường thẳng (d): VTCP u  của đường thẳng (d) là một VTPT của ( α ). Dạng 7: ( α ) đi qua 2 đường thẳng cắt nhau d 1 , d 2 : – Xác đònh các VTCP ab ,   của các đường thẳng d 1 , d 2 . – Một VTPT của ( α ) là: [ ] n ab,=   . – Lấy một điểm M thuộc d 1 hoặc d 2 ⇒ M ∈ ( α ). Dạng 8: ( α ) chứa đường thẳng d 1 và song song với đường thẳng d 2 (d 1 , d 2 chéo nhau): – Xác đònh các VTCP ab ,   của các đường thẳng d 1 , d 2 . – Một VTPT của ( α ) là: [ ] n ab,=   . – Lấy một điểm M thuộc d 1 ⇒ M ∈ ( α ). Dạng 9: ( α ) đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d 1 , d 2 : – Xác đònh các VTCP ab ,   của các đường thẳng d 1 , d 2 . – Một VTPT của ( α ) là: [ ] n ab,=   . Dạng 10: ( α ) đi qua một đường thẳng (d) và vuông góc với một mặt phẳng (β): – Xác đònh VTCP u  của (d) và VTPT n β  của ( β ). – Một VTPT của ( α ) là: n un, β  =    . – Lấy một điểm M thuộc d ⇒ M ∈ ( α ). Dạng 11: ( α ) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau (β), (γ): – Xác đònh các VTPT nn, βγ  của ( β ) và ( γ ). – Một VTPT của ( α ) là: n un, βγ  =    . Dạng 12: ( α ) đi qua đường thẳng (d) cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k cho trước: – Giả sử ( α ) có phương trình: 0Ax By Cz+D++ = ( ) 222 0ABC ++≠ . – Lấy 2 điểm A, B ∈ (d) ⇒ A, B ∈ ( α ) (ta được hai phương trình (1), (2)). – Từ điều kiện khoảng cách dM k( ,( )) α = , ta được phương trình (3). – Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trò một ẩn, tìm các ẩn còn lại). Dạng 13: ( α ) là tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm H: Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian Trang 10 – Giả sử mặt cẩu (S) có tâm I và bán kính R. – Một VTPT của ( α ) là: n IH=   Chú ý: Để viết phương trình mặt phẳng cần nắm vững các cách xác đònh mặt phẳng đã học ở lớp 11. Bài 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có VTPT n  cho trước: a) ( ) ( ) = −M 3;1;1 , n 1;1; 2  b) ( ) ( ) −=M 2; 7; 0 , n 3;0;1  c) ( ) ( ) −− =M 4; 1; 2 , n 0; 1; 3  d) ( ) ( ) −=M 2;1; 2 , n 1; 0; 0  e) ( ) ( ) = −−M 3; 4; 5 , n 1; 3; 7  f) ( ) ( ) = −M 10;1;9 , n 7;10;1  Bài 2. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB cho trước, với: a) 211 2 1 1AB(;;), (; ; )−− b) 114 205AB( ; ; ), ( ; ; )−− c) 23 4 4 10AB(;; ), (; ;)−− d) 11 A ; 1; 0 , B 1; ; 5 22    −−       e) 21 1 A 1; ; , B 3; ; 1 32 3    −       f) 2 56 1 32AB( ; ; ), ( ; ; )− −− Bài 3. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và có cặp VTCP ab ,   cho trước, với: a) 12 3 212 32 1Ma b( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−= =−   b) 1 23 3 1 2 034Ma b( ; ; ), ; ; ), ( ; ; )− = −− =   c) 134 272 324Ma b( ;;), (;;), (;;)−= =   d) 405 6 13 321Ma b( ; ; ), ( ; ; ); ( ; ; )− =−=   Bài 4. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và song song với mặt phẳng ( ) β cho trước, với: a) ( ) ( ) ( ) 215M Oxy;; , β = b) ( ) ( ) 1 21 2 3 0M xy; ;, : β − −+= c) ( ) ( ) 11 0 2 10 0M x yz;; , : β − − +− = d) ( ) ( ) 36 5 1 0M xz;; , : β − − +−= e) 2 35 2 5 0M x yz( ; ; ), ( ): β − + −+= f) 111 10 10 20 40 0M xyz( ; ; ), ( ): β − + −= Bài 5. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và lần lượt song song với các mặt phẳng toạ độ, với: a) ( ) 215M ;; b) ( ) 1 21M ;; − c) ( ) 110M ;;− d) ( ) 36 5M ;;− e) 2 35M(; ;)− f) 111M(;;) g) 110M( ;; )− h) 36 5M(;; )− Bài 6. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng cho trước, với: a) 124 321 213ABC( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − −− b) 000 2 13 4 21AB C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−− − c) 123 2 43 456ABC( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−− d) 3 52 1 20 0 37A BC( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−− − e) 240 517 111A BC( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− −−− f) 300 0 50 00 7AB C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−− Bài 7. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm B, C cho trước, với: a) 124 321 213ABC( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − −− b) 000 2 13 4 21AB C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−− − c) 123 2 43 456ABC( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−− d) 3 52 1 20 0 37A BC( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−− − e) 240 517 111A BC( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− −−− f) 300 0 50 00 7AB C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )−− Bài 8. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (β) cho trước, với: a) ( ) 31 1 2 14 2 3 10 AB xy z ( ; ; ), ( ; ; ) : β  −−  −+ −=  b) ( ) 2 13 4 21 2 3 2 50 AB xyz ( ; ; ), ( ; ; ) : β  −− −  + − +=  c) ( ) 2 13 47 9 3 4 8 50 AB xyz ( ; ; ), ( ; ; ) : β  − −−  + − −=  d) ( ) 3 1 2 312 2 2 2 50 AB xyz ( ; ; ), ( ; ; ) : β  −− −  − − +=  Bài 9. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng (β), (γ) cho trước, với: [...]... ϕ ; a2 2 tan ϕ 6 Bài 14: (B–2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-4; -2; 4) và đường thẳng Trang 34 Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian  x =−3 + 2t  d:  y = 1 − t  z =−1 + 4t  Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, cắt và vuông góc với đường thẳng d ĐS: x+4 y+2 z−4 (∆ ) : = = 3 2 −1 Bài 15: (D–2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình... Trang 32 Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian ĐỀ THI CHUNG CỦA BỘ GD-ĐT Bài 1: (A–2002) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a Gọi M và N lần lượt là các trung điểm của các cạnh SB và SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC) a 2 10 16 Bài 2: (A–2002) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz,... Mô B PP Toạ độ trong không gian VẤN ĐỀ 5: Khoảng cách 1 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d  • Cách 1: Cho đường thẳng d đi qua M0 và có VTCP a   M M, a  0  d(M , d ) =  a • Cách 2: – Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên đường thẳng d – d(M,d) = MH • Cách 3: – Gọi N(x; y; z) ∈ d Tính MN2 theo t (t tham số trong phương trình đường thẳng d) – Tìm t để MN2 nhỏ nhất – Khi đó N ≡ H Do đó... = 25 17 2 Bài 19: (D–2005) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng b) (P): x + 4 y − 2 z + 12 = MN = 0; x −1 y + 2 z +1 d1 : = = 3 −1 2 và x + y − z − 2 = 0 d2 :  x + 3y − 12 = 0  a) Chứng minh rằng d1 và d2 song song với nhau Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng d1 và d2 Trang 35 Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian b) Mặt phẳng toạ độ Oxz... phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA/ theo a để tứ giác B/MDN là hình vuông ĐS: a 2 Bài 9: (B–2003) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho hai điểm   A(2; 0; 0), B(0; 0; 8) và điểm C sao cho AC = (0; 6; 0) Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA ĐS: 5 Bài 10: (D–2003) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho đường thẳng:  x + 3ky − z + 2 = 0 (dk ) : ... nhau, có giao tuyến là đường thẳng ∆ Trên ∆ lấy hai điểm A, B với AB= a Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với ∆ và AC = BD = AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a a 3 a 2 = ; AH 2 2 Bài 12: (A–2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD ĐS= : R là hình... minh S.ABC là một tứ diện b) Viết phương trình các hình chiếu của SA, SB trên mặt phẳng (ABC) Trang 22 Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian VẤN ĐỀ 2: Vò trí tương đối giữa hai đường thẳng Để xét VTTĐ giữa hai đường thẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau: • Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ giữa các VTCP và các điểm thuộc các đường thẳng • Phương pháp đại... lớn nhất ĐS: a/ ab a2 + b2 ; b/ 2 ; a= b= 2 Bài 16: (D–2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) và mặt phẳng (P): x + y + z – 2 = 0 Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P) ĐS: ( x − 1)2 + y 2 + (z − 1)2 = 1 x −1 y + 3 z − 3 Bài 17: (A–2005) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: = = −1 2 1 và mặt... (D–2002) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng ĐS: (2m + 1) x + (1 − m) y + m − 1 = 0 (P): 2x – y + 2 = 0 và đường thẳng dm:  (m là tham số) 0 mx + (2m + 1)z + 4m + 2 = Xác đònh m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P) ĐS: 1 m= − 2 Bài 6: (A–2003) Cho hình lập phương ABCD.A/B/C/D/ Tính số đo của góc phẳng nhò diện [B, A/C, D] ĐS: 120o Bài 7: (A–2003) Trong không gian. .. d) A(2; −3; 6), ( P ) : 2 x − 3y + 6 z + 19 = 0 Bài 18 Viết phương trình tham số của đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước: Trang 19 Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian ( P ) : 6 x + 2 y + 2 z + 3 = 0 a)  0 (Q) : 3 x − 5 y − 2 z − 1 = ( P ) : 2 x − 3y + 3z − 4 = ( P ) : 3 x + 3y − 4 z + 7 = 0 0 b)  c)  0 0 (Q) : x + 2 y − z + 3 = (Q) : x + 6 y . PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian Trang 2 1. Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian: Cho ba. Mô B PP Toạ độ trong không gian Trang 1 1. Đònh nghóa và các phép toán • Đònh nghóa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn tương tự như trong. B C x x xy y yz z z G ;;  ++ ++ ++   II. HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian Trang 3 • Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD: 4