Về một số không gian hàm thường gặp

92 407 0
Về một số không gian hàm thường gặp

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI NÓI ĐẦU 1 Chương I. Các kiến thức cơ sở 3 1.1 Khônggianmetric 3 1.2 KhônggianđovàĐộđo 4 1.3 ĐộđoLebesgue 5 1.3.1ĐộđoLebesguetrên   5 1.3.2ĐộđoLebesguetrên k   6 1.4 Hàmsốđođược 6 1.4.1Cấutrúccủahàmsốđođược 6 1.4.2Cácdạnghộitụ 7 1.5Khônggianđịnhchuẩn 7 1.6TíchphânLebesgue 9 1.7Khônggiantôpô 10 Chương II. Các không gian hàm 12 2.1Khônggianℒ  vàL   12 2.1.1Khônggianℒ   12 2.1.2Tínhchấtcơbản 12 2.1.3KhônggianL   13 2.1.4CấutrúctuyếntínhcủaL   13 2.1.5CấutrúcthứtựcủaL   14 2.1.6CáctínhchấtquantrọngcủaL   15 2.1.7CấutrúcnhâncủaL   18 2.1.8HoạtđộngcủacáchàmBoreltrênL   19 2.1.9KhônggianL  phức 19 2.2KhônggianL  20 2.2.1KhônggianL   20 2.2.2CấutrúcthứtựcủaL   21 2.2.3ChuẩncủaL   21 2.2.4. L  làmộtkhônggianRiesz 24 2.2.5Nhắclạivềkỳvọngcóđiềukiện 26 2.2.6 L  nhưlàmộtsựhoànchỉnh 28 2.2.7KhônggianL  phức 32 2.3KhônggianL ∞  33 2.3.1CấutrúcthứtựcủaL ∞  34 2.3.2ChuẩncủaL ∞  35 2.3.3TínhđốingẫugiữaL ∞ vàL   37 2.3.4MộtkhônggiancontrùmậtcủaL ∞  41 2.3.5Kỳvọngcóđiềukiện 42 2.3.6KhônggianL ∞ phức 43 2.4Khônggian L   43 2.4.1CấutrúcthứtựcủaL   44 2.4.2ChuẩncủaL   44 2.4.3MộtsốkhônggiancontrùmậtcủaL   48 2.4.4TínhđốingẫucủacáckhônggianL   50 2.4.5Thứtự-đầyđủcủaL  54 2.4.6Kỳvọngcóđiềukiện 54 2.4.7KhônggianL   55 2.4.8KhônggianL  phức 56 Chương III. Một số dạng hội tụ quan trọng và khả tích đều 57 3.1Hộitụtheođộđo 57 3.1.1Cácđịnhnghĩa 57 3.1.2Cácnhậnxét 58 3.1.3Hộitụđiểm 58 3.1.4Tínhchấtcủakhônggiantôpôtuyếntính  ()đốivớilớpcác khônggianđo 61 3.1.5Mộtmôtảtươngtựcủatôpôcủasựhộitụtheođộđo 65 3.1.6NhúngL  vàoL   66 3.1.7KhônggianL  phức 70 3.2Khảtíchđều 70 3.2.1Địnhnghĩa 70 3.2.2Cáctínhchấtổnđịnhtrongphạmvirộngcủalớpcủacáctậpkhả tíchđềutrongℒ  hayL  . 71 3.2.3Mộtsốmôtảtươngtựcủatínhkhảtíchđều. 74 3.2.4Mốiliênhệgiữatínhkhảtíchđềuvàtôpôcủasựhộitụtheođộ đo. 78 3.2.5Khônggianℒ  vàL  phức 80 3.3HộitụyếutrongL   80 KẾT LUẬN 87 TÀI LIỆU THAM KHẢO 88 LỜI CẢM ƠN  Trướckhitrìnhbàynộidungchínhcủaluậnvăn,tácgiảxinbàytỏlòngbiết ơnchânthànhvàsâusắccủamìnhtớithầygiáo:PGS.TSPhanViếtThư,ngườiđã tậntìnhgiúpđỡ,hướngdẫnvàđónggópnhiềuýkiếnquýbáu.Tácgiảcũngxin chânthànhcảmơntậpthểcácthầycôgiáo,cácnhàkhoahọccủatrườngĐạihọc KhoahọcTựnhiên–ĐHQGHàNội,xincảmơnbạnbèđồngnghiệp,cảmơngia đìnhđãgiúpđỡ,độngviênvàtạođiềukiệnchotácgiảhoànthànhluậnvănnày.  Trongquátrìnhhoànthànhluậnvăn,mặcdùdướisựchỉđạoâncầnchuđáo của các thầy cô giáo và bản thân cũng hết sức cố gắng, song không tránh khỏi nhữnghạnchế,thiếusót.Vìvậy,tácgiảrấtmongnhậnđượcsựgópý,giúpđỡcủa cácthầycô,cácbạnđểbảnluậnvănnàyđượchoànchỉnhhơn.Tácgiảxinchân thànhcảmơn!   HàNộingày20tháng10năm2014 Họcviên VũThịTuyển 1 LỜI NÓI ĐẦU Bản luận văn giớithiệu vềcác không gian hàm p L . Cáckhông gian p L làcác khônggianhàmđượcđịnhnghĩathôngquaviệcsửdụngmộtchuẩntổngquáthóa mộtcáchtựnhiêntừchuẩnpcủakhônggianvéctơhữuhạnchiều(nhiềukhichúng đượcgọilàcáckhônggianLebesgue).TheoBourbaki,chúngđượcđưarađầutiên bởiRieszFrigyes(nhàtoánhọcgốcHungary).Cáckhônggian p L lậpnênmộtlớp quantrọngcủacáckhônggianBanachtronggiảitíchhàm,khônggianvéctơtôpô, chúngcó ứng dụngquan trọng trongvậtlí, xác suấtthốngkê,toántàichính, kỹ thuậtvànhiềulĩnhvựckhác. Mặcdùlàlớpkhônggianhàmquantrọngvàcónhiềuứngdụngnhưngtrongcác giáotrìnhgiảitíchhàmcũngnhưlíthuyếtđộđovàtíchphâncơbản,cáckhông giannàychưađượcmôtảchi tiết.Vớimong muốn trình bàycác ýtưởngchung cũngnhưđisâunghiêncứuvềcáckhônggian  ,nhằmgiúpchoviệcsửdụngcác khônggiannàymộtcáchcóhệthốngvàthuậntiện,tácgiảđãchọnđềtàiluậnvăn củamìnhlà: “Về một số không gian hàm thường gặp”. Luậnvănđượcchiathành3chương: ChươngI:Cáckiếnthứccơsở. ChươngII:Cáckhônggianhàm. ChươngIII:Mộtsốdạnghộitụquantrọngvàkhảtíchđều. TrongchươngI,tácgiảnêu cáckháiniệmvàcácđịnhlícơbảncủa giảitích hàm.Đólàkháiniệmvềkhônggianmetric,khônggianđovớikháiniệmvềđộđo, hàmđođượccùngvớicáctínhchấthộitụvàkhảtích,kháiniệmvềkhônggian địnhchuẩn,cáckháiniệmtrongkhônggiantôpô.Đâylànhữngkiếnthứccơsởsẽ đượcsửdụngtrongchươngIIvàchươngIIIcủaluậnvănnày. 2 Mục đích chính của chương II là thảo luận về các không gian hàm ,1 p L p    vàcáctínhchất.Điềuđặcbiệtlàtacoicáckhônggianđólàkhông giancon của mộtkhônggian lớn hơn   gồmcáclớptương đươngcủa các hàm (hầunhư)đođược.Chínhvìvậy,cáckhônggianhàmlầnlượtđượctrìnhbàylà khônggian  ,khônggian  (khônggiancáchàmđođượckhảtích),khônggian   (khônggiancáchàmbịchặncốtyếu),khônggian  (khônggiancáchàmsốcó lũythừabậcpcủamôđunkhảtíchtrênX).Cáckhônggiannàyđượctrìnhbàymột cáchhệthốngtheotừngnộidung:xâydựngkháiniệm,chỉracấutrúcthứtự,xét chuẩntrongnó,xéttínhđốingẫu,chỉramộtvàikhônggiancontrùmậtquantrọng, ápdụngvàolíthuyếtxácsuất(xétkìvọngcóđiềukiện)vàcuốicùngluônlàmở rộngchokhônggian  phức. TrongchươngIII,tácgiảmôtảmộtsốdạnghộitụquantrọngtrongcáckhông gianL  .ĐólàsựhộitụtheođộđotrongL  vàhộitụyếutrongL  .Ngoàiratrong chươngnày,tácgiảcũngchỉracáctínhchấtổnđịnhtrongphạmvirộngcủalớp cáctậpkhảtíchđềutrongℒ  hayL  .  Dothờigiancóhạncũngnhưviệcnắmbắtkiếnthứccònhạnchếnêntrongkhóa luậnkhôngtránhkhỏinhữngthiếusót.Rấtmongđượcsựchỉbảotậntìnhcủacác thầycôvàsựgópýchânthànhcủacácbạnđọc. HàNộingày10tháng11năm2014 Họcviên   VũThịTuyển 3 Chương I. Các kiến thức cơ sở 1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1. GiảsửXlàmộttậpkhácrỗng,mộtmetrictrongXlàmộtánhxạ :d X X   cácsốthực,thỏamãncácđiềukiện: i) (x,y) 0 x y d     ii) (x,y) (y,x) x,y X d d     iii) (x,y) (x,z) d(z,y) x,y,z X d d      TậphợpXcùngvớikhoảngcáchdđãchotrongX,đượcgọilàkhônggianmetric, kíhiệulà(X,d). Hàm (x,y) x,y X d x y     làmộtmetrictrongtập  (khoảngcáchthông thường).Khônggianmetrictươngứnggọilàđườngthẳngthực. Định nghĩa 1.2. a) Dãy   n n x trongkhônggianmetricXgọilàdãycơbảnnếu: suyra  b) KhônggianmetricXgọilàkhônggianmeticđầyđủnếumọidãycơbảncủa khônggianXđềuhộitụđếnmộtphầntửnàođócủakhônggiannày. Chẳnghạn,khônggianEuclide làkhônggianđầyđủ.Khônggian là khônggianđầyđủ. Định nghĩa 1.3. GiảsửElàmộttậpconcủaX.Tậphợptấtcảcácđiểmdínhcủa E,đượcgọilàbaođóngcủatậphợpE,kíhiệu  Định nghĩa 1.4 GiảsửElàmộttậpconcủaX.TậpEgọilà: i) TậpđóngnếutậpEchứatấtcảcácđiểmtụcủanó ii) Tậpmởnếumọiđiểmcủanóđềulàđiểmtrong. TậphợptấtcảcácđiểmtrongcủaEgọilàphầntrongcủaE,kíhiệu  iii) TậphợpEđượcgọilàtrùmậttrêntậphợpAnếunhưbaođóngcủaE chứaA. Đặcbiệt,nếutậpEtrùmậttrongkhônggianXthìEgọilàtrùmậtkhắpnơitrong X. 0, ( ), m,n N N        , (x x ) m n d   n    ,a b C E int E 4 1.2 Không gian đo và Độ đo Định nghĩa 1.5. 1)Chotập X  rỗng,mộthọ  cáctậpconcủaXđượcgọilàmột σ -đạisốnếunó thỏamãncácđiềukiệnsau: i. X  vànếu A thì c A   trongđó \ C A X A   ii.HợpcủađếmđượccáctậpthuộcΣ cũngthuộcΣ. 2) Nếu  là σ -đạisốcáctậpconcủaXthìcặp ( , ) X  gọilàmộtkhônggianđo được(đođượcvới  hoặc  -đođược) Định nghĩa 1.6. Cho mộtkhônggianđođược ( , ) X   1) Mộtánhxạ   : 0,     đượcgọilàmộtđộđonếu: i) ( ) 0     ii)  cótínhchất σ –cộngtính,hiểutheonghĩa: 1 1 (A ) ,( , ) (A ) n n n m n n n n A A n m A                        2) Nếu  làmộtđộđoxácđịnhtrên  thìbộba ( , , ) X   gọilàmộtkhông gianđo. Định nghĩa 1.7. Cho ( , , ) X   làmộtkhônggianđo.Khiđó a)  làđộđođủ,hay ( , , ) X   làkhônggianđođủ(Carathéodory)nếuvớimọi A E  và ( ) 0 E   thì A nghĩalàmọitậpconbỏquađượccủaXlà đođược. b) ( , , ) X   làkhônggianxácsuấtnếu ( ) 1. X    Trongtrườnghợpnày,  gọilàmộtxácsuấthayđộđoxácsuất. c)  làđộđohoàntoànhữuhạn,hay ( , , ) X    gọilàkhônggianđohoàntoàn hữuhạnnếu ( ) . X     d)  làđộđo  -hữuhạn,hay ( , , ) X   gọilàkhônggianđo  -hữuhạnnếu tồntạidãy   n n A     saocho: 1 n n X A     , * (A ) , n n       e)   làđộđonửahữuhạn,hay ( , , ) X   làmộtkhônggianđonửahữuhạn nếuvớimọi E  và ( )E    thìtồntại F E thỏamãn F  và 0 ( )F     . f)  làđộđokhảđịaphươnghóa,hay ( , , ) X   làmộtkhônggianđo khảđịa phươnghóanếunólànửahữuhạnvàvớimọi   E ,tồntạimột H  thỏa mãn: (i) \E H làbỏquađượcvớimọi E E  5 (ii) Nếu G và \E G làbỏquađượcvớimọi E E thì \H G làbỏqua được. SẽthuậntiệnhơnnếutagọitậpHnhưtrênlàessentialsuppremumcủa E  trên  . g) Mộttập E  gọilàmộtnguyêntửđốivới  hay  -nguyêntửnếu ( ) 0 E   vàvớimỗitậpFthỏamãn F  , F E thì \E F làbỏqua được. Định nghĩa 1.8. Mộtánhxạ xácđịnhtrên  đượcgọilàmộtđộđongoàinếuthỏamãncácđiềukiện i) ii) * ( ) 0    iii) Nếu 1 n n A A     thì * * 1 (A) (A ). n n        Định lí 1.1 (Carathéodory). Giảsử *  làmộtđộđongoàitrênXvà    làlớptất cảcáctậpconAcủaXsaocho: * * * (E) (E A) (E\ A) E X         (*) Khiđó   làmột σ -đạisốvàhàmtập (thuhẹpcủa *  trên  )làmột độđo trên . Độđo  gọilàđộđocảmsinhbởiđộđongoài *  .TậpAthỏamãnđiều kiện(*)gọilàtập *  - đođược. Định lí 1.2 (thác triển độ đo). Giảsửmlàmộtđộđotrênđạisố ⊂ ().Với mỗi ,tađặt ∗ (  ) =  { ∑ (  )   : {   } ∈ℕ ⊂ ,  ⊂ ⋃     } . thì *  làmộtđộtrênXvà ∗ (  ) =  (  ) , ∀ ⊂  đồngthờimọitậpthuộc σ -đại sốℱ()đều *  đođược. 1.3 Độ đo Lebesgue 1.3.1 Độ đo Lebesgue trên  Tồntạimột σ -đạisố  cáctậpconcủa  màmỗi A  gọilàmộttậpđo đượctheoLebesgue(hay(L)–đođược)vàmộtđộđo  xác định trên  (gọilà độđoLebesguetrên  )thỏamãncáctínhchấtsau: i) Cáckhoảng(hiểutheonghĩarộng),tậpmở,tậpđóng…là(L)–đođược. NếuIlàkhoảngvớiđầumúta,b( a b t    )thì (I) b a     ii) Tậphữuhạnhoặcđếmđượclà(L)–đođượcvàcóđộđoLebesguebằng 0   * : 0,       (X) : P A A X  * (A) 0, A      *     A X 6 iii) Tập A là(L)–đođượckhivàchỉkhivớimọi 0   tồntạitậpđóng F,tậpmởGsaocho F A G  , (G\ F)     iv) NếuAlàtập(L)–đođượcthìcáctập ,x A xA cũnglàtập(L)–đo đượcvà (x A) (A)     , (xA) (A) x     v) ĐộđoLebesguelàđủvà σ –hữuhạn. 1.3.2 Độ đo Lebesgue trên k  TrongkhônggianEuclidkchiều k  độđomcóthểkhuếchthànhđộđo k  trênmột σ -đạisố (C ) C . k k k F   Độđo k  nàygọilàđộđoLebesguetrên k  vàcáctập  hợpthuộclớp k  gọilàtậpđođược(L)trong . k   chínhlà σ  -đạisốBoreltrong . k   1.4 Hàm số đo được Định nghĩa 1.9. ChomộtkhônggianX,một σ -đạisố  nhữngtậpconcủaX,và mộttập A .Mộthàmsố (x) :Xf   gọilàđođượctrêntậpAđốivới σ -đạisố  nếu    ( ), : (x) aa x A f        Khi trên σ -đạisố  cómộtđộđoμtanóif(x)đođượcđốivớiđộđoμhayμ –đođược. Trongtrườnghợp , k k X B    ( σ -đạisốBoreltrong k  )thìtanóif(x)làđo đượctheonghĩaBorel,hayf(x)làmộthàmsốBorel. 1.4.1 Cấu trúc của hàm số đo được Định nghĩa 1.10. ChomộttậpbấtkìAtrongkhônggianX,tagọihàmchỉtiêu củaAlàhàmsố (x) A  xácđịnhnhưsau:   Định nghĩa 1.11. Mộthàmsốf(x)gọilàhàmđơngiảnnếunóhữuhạn,đođược vàchỉlấymộtsốhữuhạngiátrị.Gọi (i 1,2, n) i   làcácgiátrịkhácnhaucủanó vànếu   : (x) i i A x f    thìcáctập i A đođược,rờinhauvàtacó 1 (x) (x) i n i A i f       Ngượclại,nếuf(x)códạngđóvàcáctập i A đođược,rờinhauthìf(x)làmột hàmđơngiản Định lí 1.3. Mỗihàmsốf(x)đođượctrêntậpđođượcAlàgiớihạncủamộtdãy hàmđơngiản (x) n f , (x) lim (x) n n f f   (C ) k F 0 (x) 1 A khi x A khi x A        [...]... Pu  v  P (u  v )     2.2.6 như là một sự hoàn chỉnh 1         L  xuất hiện trong giải tích hàm như là một bổ sung của một số không gian hàm quan trọng nhưng  L1  lại chứa một số không gian con trù mật rất có ý nghĩa.   Mệnh đề 2.9 Giả sử  ( X ,  ,  )  là một không gian đo bất kỳ, và  S là không gian các hàm  - đơn giản trên X. Khi đó   (a) Nếu f  là một hàm nhận giá trị thực   - khả tích và ... nghĩa 1.26.    Một không gian tôpô X gọi là compact nếu mỗi lọc S trên X đều  có một lọc mạnh hơn hội tụ.     11 Chương II Các không gian hàm       Mục đích chính của chương này là thảo luận về các không gian L1 ,  L và  Lp   trong ba mục tương ứng dưới đây. Một điểm thuận lợi là ta coi các không gian đó là  các không gian con của một không gian lớn hơn  L0  gồm các lớp tương đương của  các hàm (hầu như) đo được. ... 2.2 Không gian          L là các lớp tương đương của các hàm khả tích. Không gian này mô tả rất  nhiều các định lý về các hàm khả tích . Nó cũng có thể xuất hiện như là một không gian tự nhiên mà trong đó có thể tìm ra nhiều lời giải cho một lớp rất lớn các  phương trình tích phân, và như là phần bổ sung cho không gian các hàm liên tục.   2.2.1 Không gian       Giả sử  ( X ,  ,  )   là một không gian đo bất kỳ.  ...     Hiển nhiên định nghĩa này bao hàm định nghĩa về ánh xạ liên tục từ một không gian metric vào một không gian metric khác Định lí 1.12 Một ánh xạ  f đi từ không gian tô pô X vào không gian tô pô Y là  liên tục khi và chỉ khi nó thỏa mãn một trong hai điều kiện sau:  (i) (ii) Nghịch ảnh của một tập mở (trong Y) là một tập mở (trong X)  Nghịch ảnh của một tập đóng (trong Y) là một tập đóng (trong X)  Cho  f  là một ánh xạ đi từ tập X vào Y. Nếu trên Y cho một tô pô ... Trong nhiều vấn đề quan trọng , người ta thường xét không gian định chuẩn lập  thành bởi tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X gọi là không gian đối ngẫu (hay còn gọi là không gian liên hợp) của X, và được kí ký hiệu X*.        Dễ thấy X* là một không gian vectơ với các phép toán thông thường.  Ngoài ra,  với mỗi phần tử f thuộc X*, đặt   f  sup f (x)  thì X* trở thành một không gian x X , x 1 định chuẩn. Hơn nữa X* còn là không gian Banach. ... A  B  B  S   Bây giờ cho một tô pô X. Ta nói một lọc S trên X hội tụ tới x nếu mỗi lân cận  của x đều bao hàm một tập thuộc S. Một ánh xạ  f  đi từ một không gian tô pô X  vào không gian tô pô Y liên tục tại x khi và chỉ khi với mọi lọc  S  x ta đều có  f (S )  f ( x)   Chú ý rằng trong không gian metric, giới hạn của một dãy (nếu có) là duy nhất,  còn với tô pô thì không nhất thiết. Muốn đảm bảo tính duy nhất của giới hạn ta ...  X  có một dãy con  xnk  hội tụ tới một   phần tử  x  X    Nhận xét: a) Tập con hữu hạn  A  E  thỏa mãn (ii) gọi là một  - lưới hữu hạn  của X        b) Dễ chứng minh mọi tập hoàn toàn bị chặn X là bị chặn.  Định nghĩa 1.19  Cho X là một không gian vectơ. Một hàm số  f(x) xác định trên X  và lấy giá trị là số (thực hoặc phức, tùy theo X là không gian thực hoặc phức) gọi là  một phiếm hàm trên X. Phiếm hàm đó gọi là tuyến tính nếu: ... hội tụ Định nghĩa 1.12  Trong không gian X bất kì, cho một σ - đại số   và  một độ đo μ trên   Ta nói hai hàm số  f(x) và g(x) bằng nhau hầu khắp nơi (h.k.n), viết  f (x)  g (x) h.k n  nếu:  (B  A)  (B)  0  và   x  A \ B  f (x)  g(x)         Hai hàm số  f(x), g(x) bằng nhau thì gọi là tương đương với nhau. Dĩ  nhiên, hai hàm số cùng tương đương với một hàm số thứ ba thì chúng cũng  tương đương với nhau. ...         Giả thiết μ là một độ đo đủ, ta có định lí sau nói về sự liên hệ giữa hội tụ theo  độ đo và hội tụ hầu khắp nơi  Định lí 1.5 Nếu một dãy f n (x) đo được trên một tập A hội tụ hầu khắp nơi tới một  hàm số  f(x) thì  f(x) đo được và nếu   (A)    thì  f n (x)  f (x)   1.5 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.15 Giả sử E là không gian vec tơ trên trường vô hướng K, các số thực   hay các số phức  Hàm   xác định trên E gọi là một chuẩn trên E nếu nó ... các hàm (hầu như) đo được.  2.1 Không gian và        Nguyên  tắc  gần  như  đầu  tiên  của  lý  thuyết  độ  đo  chính  là  các  tập  có  độ  đo  không thường được  bỏ  qua.  Tương  tự,  hai  hàm trùng  nhau  hầu  khắp  nơi  có  thể  thường (không luôn luôn!) được xem như là đồng nhất với nhau. Ý tưởng của phần  này là thành lập không gian gồm các lớp tương đương của các hàm số,  và nói rằng  hai hàm số là tương đương nếu và chỉ nếu chúng trùng nhau ngoài một tập bỏ qua  . các hàm (hầunhư)đođược.Chínhvìvậy,các không gian hàm lầnlượtđượctrìnhbàylà không gian   , không gian   (không gian các hàm đođượckhảtích), không gian   (không gian các hàm bịchặncốtyếu), không gian   (không gian các hàm số có lũythừabậcpcủamôđunkhảtíchtrênX).Các không gian nàyđượctrìnhbày một cáchhệthốngtheotừngnộidung:xâydựngkháiniệm,chỉracấutrúcthứtự,xét chuẩntrongnó,xéttínhđốingẫu,chỉra một vài không gian contrùmậtquantrọng, ápdụngvàolíthuyếtxácsuất(xétkìvọngcóđiềukiện)vàcuốicùngluônlàmở rộngcho không gian   phức. TrongchươngIII,tácgiảmôtả một số dạnghộitụquantrọngtrongcác không gian L  .ĐólàsựhộitụtheođộđotrongL  vàhộitụyếutrongL  .Ngoàiratrong chươngnày,tácgiảcũngchỉracáctínhchấtổnđịnhtrongphạmvirộngcủalớp cáctậpkhảtíchđềutrongℒ  . giớithiệu về các không gian hàm p L . Các không gian p L làcác không gian hàm đượcđịnhnghĩathôngquaviệcsửdụng một chuẩntổngquáthóa một cáchtựnhiêntừchuẩnpcủa không gian véctơhữuhạnchiều(nhiềukhichúng đượcgọilàcác không gian Lebesgue).TheoBourbaki,chúngđượcđưarađầutiên bởiRieszFrigyes(nhàtoánhọcgốcHungary).Các không gian p L lậpnên một lớp quantrọngcủacác không gian Banachtronggiảitích hàm, không gian véctơtôpô, chúngcó. 11 Hiểnnhiênđịnhnghĩanàybao hàm địnhnghĩa về ánhxạliêntụctừ một không gian metricvào một không gian metrickhác. Định lí 1.12. Một ánhxạfđitừ không gian tôpôXvào không gian tôpôYlà liêntụckhivàchỉkhinóthỏamãn một tronghaiđiềukiệnsau: (i)

Ngày đăng: 11/06/2015, 16:41

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan