Tài liệu tích phân - Nguyễn Duy Khôi

40 1.2K 8
Tài liệu tích phân - Nguyễn Duy Khôi

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Tài liệu tích phân - Nguyễn Duy Khôi

CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHƠI L I NĨI ð U Ngày phép tính vi tích phân chi m m t v trí h t s c quan tr ng Tốn h c, tích phân đư c ng d ng r ng rãi đ tính di n tích hình ph ng, th tích kh i trịn xoay, cịn ñ i tư ng nghiên c u c a gi i tích, n n t ng cho lý thuy t hàm, lý thuy t phương trình vi phân, phương trình đ o hàm riêng Ngồi phép tính tích phân cịn đư c ng d ng r ng rãi Xác su t, Th ng kê, V t lý, Cơ h c, Thiên văn h c, y h c Phép tính tích phân đư c b t đ u gi i thi u cho em h c sinh l p 12, ti p theo ñư c ph bi n t t c trư ng ð i h c cho kh i sinh viên năm th nh t năm th hai chương trình h c ð i cương Hơn n a kỳ thi T t nghi p THPT kỳ thi Tuy n sinh ð i h c phép tính tích phân h u ln có đ thi mơn Toán c a kh i A, kh i B c kh i D Bên c nh đó, phép tính tích phân m t nh ng n i dung ñ thi n sinh ñ u vào h Th c sĩ nghiên c u sinh V i t m quan tr ng c a phép tính tích phân, th mà tơi vi t m t s kinh nghi m gi ng d y tính tích phân c a kh i 12 v i chuyên ñ “TÍNH TÍCH PHÂN B NG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH - ð I BI N S VÀ T NG PH N” ñ ph n c ng c , nâng cao cho em h c sinh kh i 12 ñ em ñ t k t qu cao kỳ thi T t nghi p THPT kỳ thi Tuy n sinh ð i h c giúp cho em có n n t ng nh ng năm h c ð i cương c a ð i h c Trong ph n n i dung chuyên ñ dư i đây, tơi xin đư c nêu m t s t p minh h a b n tính tích phân ch y u áp d ng phương pháp phân tích, phương pháp đ i bi n s , phương pháp tích phân t ng ph n Các t p ñ ngh ñ thi T t nghi p THPT ñ thi n sinh ð i h c Cao ñ ng c a năm ñ em h c sinh rèn luy n k tính tích phân ph n cu i c a chuyên ñ m t s câu h i tr c nghi m tích phân Tuy nhiên v i kinh nghi m h n ch nên dù có nhi u c g ng trình bày chun đ s khơng tránh kh i nh ng thi u sót, r t mong đư c s góp ý chân tình c a q Th y Cơ H i đ ng b mơn Tốn S Giáo d c ðào t o t nh ð ng Nai Nhân d p xin c m ơn Ban lãnh ñ o nhà trư ng t o ñi u ki n t t cho c m ơn q th y t Tốn trư ng Nam Hà, ñ ng nghi p, b n bè đóng góp ý ki n cho tơi hồn thành chun đ Tơi xin chân thành cám ơn./ Trư ng THPT Nam Hà – Biên Hòa – ð ng Nai Trang CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI M CL C L i nói đ u M cl c I Nguyên hàm: I.1 ð nh nghĩa nguyên hàm I.2 ð nh lý I.3 Các tính ch t c a nguyên hàm I.4 B ng công th c nguyên hàm m t s công th c b sung II Tích phân: II.1 ð nh nghĩa tích phân xác đ nh II.2 Các tính ch t c a tích phân II.3 Tính tích phân b ng phương pháp phân tích Bài t p đ ngh Tính tích phân b ng phương pháp ñ i bi n s 10 II.4 II.4.1 Phương pháp ñ i bi n s lo i 10 ð nh lý v phương pháp ñ i bi n s lo i 13 M t s d ng khác dùng phương pháp ñ i bi n s lo i 14 Bài t p ñ ngh s 14 Bài t p ñ ngh s 15 Bài t p ñ ngh s 4: Các ñ thi n sinh ð i h c Cao ñ ng 16 II.4.2 Phương pháp ñ i bi n s lo i 16 Bài t p ñ ngh s 21 Các ñ thi T t nghi p trung h c ph thơng 22 Các đ thi n sinh ð i h c Cao đ ng 22 II.5 Phương pháp tích phân t ng ph n Bài t p ñ ngh s 6: Các ñ thi n sinh ð i h c Cao ñ ng III 23 28 Ki m tra k t qu c a m t gi i tính tích phân b ng máy tính CASIO fx570-MS 29 Bài t p ñ ngh s 7: Các câu h i tr c nghi m tích phân 30 Ph l c 36 Trư ng THPT Nam Hà – Biên Hòa – ð ng Nai Trang CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHƠI I NGUYÊN HÀM: I.1 ð NH NGHĨA NGUYÊN HÀM: Hàm s F(x) ñư c g i nguyên hàm c a hàm s f(x) (a;b) n u v i m i x∈(a;b): F’(x) = f(x) VD1: a) Hàm s F(x) = x3 nguyên hàm c a hàm s f(x) = 3x2 R b) Hàm s F(x) = lnx nguyên hàm c a hàm s f(x) = (0;+∞) x I.2 ð NH LÝ: N u F(x) m t nguyên hàm c a hàm s f(x) (a;b) thì: a) V i m i h ng s C, F(x) + C m t ngun hàm c a f(x) kho ng b) Ngư c l i, m i nguyên hàm c a hàm s f(x) kho ng (a;b) đ u có th vi t dư i d ng F(x) + C v i C m t h ng s Theo đ nh lý trên, đ tìm t t c nguyên hàm c a hàm s f(x) ch c n tìm m t ngun hàm c a r i c ng vào m t h ng s C T p h p nguyên hàm c a hàm s f(x) g i h nguyên hàm c a hàm s f(x) ñư c ký hi u: ∫ f(x)dx (hay g i tích phân b t đ nh) V y: ∫ f(x)dx = F(x)+C VD2: a) ∫ 2xdx = x + C b) ∫ sinxdx = - cosx + C c) ∫ cos x dx = tgx +C I.3 CÁC TÍNH CH T C A NGUYÊN HÀM: 1) ' ( ∫ f(x)dx ) = f(x) 2) ∫ a.f(x)dx = a ∫ f(x)dx (a ≠ ) 3) ∫  f(x) ± g(x)  dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx   4) ∫ f(x)dx = F(x)+C ⇒ ∫ f (u(x) ) u'(x)dx = F (u(x) )+C VD3: a) ∫ (5x -6x + 8x )dx = x - 2x + 4x +C b) ∫6cosx.sinxdx = -6 ∫ cosx.d (cosx ) = -3cos x +C Trư ng THPT Nam Hà – Biên Hòa – ð ng Nai Trang CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHƠI I.4 B NG CÔNG TH C NGUYÊN HÀM: B NG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ B N NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SƠ C P THƯ NG G P 3/ ∫ x α +1 +C α +1 dx = ln x + C x 2/ ∫ uα du = ( α ≠ -1) 3/ ∫ (x ≠ 0) 4/ ∫ e x dx = e x + C 5/ ∫ a x dx = H P 1/ ∫ du = u + C 1/ ∫ dx = x + C 2/ ∫ x α dx = NGUYÊN HÀM CÁC HÀM S uα +1 +C α +1 ( α ≠ -1) du = ln u + C (u = u(x) ≠ 0) u 4/ ∫ eu du = eu + C ax +C lna ( < a ≠ 1) 5/ ∫ au du = au +C lna ( < a ≠ 1) 6/ ∫ cosx dx = sinx + C 6/ ∫ cosu du = sinu + C 7/ ∫ sinx dx = -cosx + C 7/ ∫ sinu du = - cosu + C dx π = (1+ tg2 x ) dx = tgx + C (x ≠ + k π ) cos x ∫ dx = (1+ cotg x ) dx = -cotgx + C (x ≠ k π ) 9/ ∫ sin x ∫ 8/ ∫ π du = (1+ tg2u ) du = tgu + C (u ≠ + kπ ) cos2u ∫ du 9/ ∫ = (1+ cotg2u ) du = -cotgu + C (u ≠ kπ ) sin2u ∫ 8/ ∫ CÁC CÔNG TH C B CÔNG TH C NGUYÊN HÀM THƯ NG G P: 1/ ∫ dx = x + C x 2/ ∫ ( ax + b ) dx = α α +1 + C (a ≠ 0) 2/ am = a m-n ; n = a -n n a a 3/ m 1 3/ ∫ dx = ln ax + b + C (a ≠ 0) ax + b a ax +b ax+b 4/ ∫ e dx = e + C (a ≠ 0) a a kx + C ( ≠ k ∈ R, < a ≠ 1) 5/ ∫ a kx dx = k.lna 6/ ∫ cos ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) + C (a ≠ 0) a / ∫ sin ( ax + b ) dx = - cos ( ax + b ) + C (a ≠ 0) a / ∫ tgx dx = - ln cosx + C (x ≠ CÁC CÔNG TH C LŨY TH A: 1/ a m a n = a m+n (x ≠ 0) ( ax + b ) α +1 a SUNG π + kπ ) 9/ ∫ cotgx dx = ln sinx + C (x ≠ k π ) a = am ; n m an = a m CÁC CÔNG TH C LƯ NG GIÁC: a CÔNG TH C H B C: 1/ sin2 x = (1- cos2x ) 2/ cos2 x = (1+cos2x ) b CÔNG TH C BI N ð I TÍCH THÀNH T NG cos ( a - b ) + cos ( a +b )   2 2/ sina.sinb = cos ( a - b ) - cos ( a + b )   2 3/ sina.cosb =  sin ( a - b ) + sin ( a + b )   2 1/ cosa.cosb = Trư ng THPT Nam Hà – Biên Hòa – ð ng Nai Trang CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHƠI II TÍCH PHÂN: II.1 ð NH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ð NH: Gi s hàm s f(x) liên t c m t kho ng K, a b hai ph n t b t kỳ c a K, F(x) m t nguyên hàm c a hàm s f(x) K Hi u F(b) – F(a) đư c g i tích phân t a ñ n b c a f(x) Ký hi u: b b ∫ f(x)dx = F(x) = F(b)-F(a) a a II.2 CÁC TÍNH CH T C A TÍCH PHÂN: a 1/ ∫ f (x )dx =0 a a 2/ b ∫ f (x )dx = −∫ f (x )dx b b 3/ a b ∫ k.f (x )dx = k.∫ f (x )dx a b 4/ a b b ∫ [f (x ) ± g(x )]dx = ∫ f (x )dx ± ∫ g(x )dx a b 5/ (k ≠ 0) a c a b ∫ f(x)dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx a a v i c∈(a;b) c b / N u f (x ) ≥ 0, ∀x ∈ [a;b ] ∫ f (x )dx ≥ a b b a a / N u f (x ) ≥ g (x ), ∀x ∈ [a;b ] ∫ f (x )dx ≥ ∫ g(x )dx b / N u m ≤ f (x ) ≤ M , ∀x ∈ [a;b ] m(b − a ) ≤ ∫ f (x )dx ≤ M (b − a ) a t / t bi n thiên [a;b ] ⇒ G (t ) = ∫ f (x )dx m t nguyên hàm c a f (t ) G (a ) = a II.3 TÍNH TÍCH PHÂN B NG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH: b Chú ý 1: ð tính tích phân I = ∫ f (x )dx ta phân tích f (x ) = k1 f1(x ) + + km fm (x ) a Trong đó: ki ≠ (i = 1,2, 3, , m ) hàm fi (x ) (i = 1,2, 3, , m ) có b ng nguyên hàm b n VD4: Tính tích phân sau: Trư ng THPT Nam Hà – Biên Hòa – ð ng Nai Trang CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” 2 -1 GV: NGUY N DUY KHÔI -1 1) I = ∫(3x - 4x +3)dx =(x - 2x +3x) = (2 - 2.2 +3.2) -((-1)3 - 2.(-1)2 +3.(-1)) = 12 Nh n xét: Câu ta ch c n áp d ng tính ch t s d ng công th c 1/ 2/ b ng nguyên hàm 3x -6x + 4x - 2x + 2) I = ∫ dx x2 Nh n xét: Câu ta chưa áp d ng ñư c công th c b ng nguyên hàm, trư c h t tách phân s d u tích phân (l y t chia m u) r i áp d ng tính ch t s d ng cơng th c 1/, 2/, 3/ b ng nguyên hàm 2 3x -6x + 4x - 2x + 4 ⇒ I= ∫ dx = ∫(3x -6x + - + )dx x x x 1 = (x -3x + 4x - 2ln |x |- ) = - 2ln2 x x -5x +3 3) I = ∫ dx x +1 Nh n xét: Câu ta chưa áp d ng đư c cơng th c b ng nguyên hàm, trư c h t phân tích phân s d u tích phân (l y t chia m u) r i áp d ng tính ch t s d ng công th c 1/, 2/ b ng nguyên hàm công th c 3/ b sung 2 x -5x +3   dx = ∫  x − + ⇒ I= ∫  dx x +1 x +1   0  x2 2 =  -6x +9ln | x +1 | = -12 +9ln3 = 9ln3 -10 2 0 4) I = ∫e x (2xe -x +5 x e-x -e-x ) dx Nh n xét: Câu 4: bi u th c d u tích phân có d ng tích ta chưa áp d ng đư c cơng th c b ng nguyên hàm, trư c h t nhân phân ph i rút g n r i áp d ng tính ch t s d ng công th c 1/, 2/, 5/ b ng nguyên hàm  5x 1 ⇒ I = ∫e (2xe +5 e -e ) dx = ∫ (2x +5 -1 ) dx =  x + -x  = ln5  ln5  0 1 x π -x x -x -x x π 5) I = ∫(4cosx +2sinx - )dx =(4sinx - 2cosx - 2tgx) = 2 - - 2+2 = cos x 0 Nh n xét: Câu ta ch c n áp d ng tính ch t s d ng công th c 6/, 7/ 8/ b ng nguyên hàm Trư ng THPT Nam Hà – Biên Hòa – ð ng Nai Trang CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI π π 6) I = ∫(4sin2x - 12cos4x)dx = (-2cos2x - 3sin4x) = - -3 + = -1- Nh n xét: Câu ta ch c n áp d ng tính ch t s d ng cơng th c 6/ , 7/ b ng nguyên hàm ph n công th c b sung π 12 7) I = ∫ sin (2x - π )dx Nh n xét: Câu h c sinh có th sai s d ng nh m cơng th c 2/ b ng b ng nguyên hàm c t bên ph i, b i ñã xem u = sin 2(2x - π ) (hơi gi ng ñ o hàm hàm s h p) V i câu trư c h t ph i h b c r i s d ng công th c 6/ b ng nguyên hàm ph n công th c b sung π ⇒ I= π 12 ∫ sin (2x - π )dx = 12 π  π  12  ∫  - cos(4x - ) dx = ∫ (1 - sin4x )dx  π  1 1 π π =  x + cos4x  12 =  + cos 2  12 0  1  π 1  - 0 + cos0  = 24 - 16    π 16 8/ I = ∫ cos6x.cos2xdx Nh n xét: câu 8: bi u th c d u tích phân có d ng tích ta chưa áp d ng đư c công th c b ng nguyên hàm, trư c h t ph i bi n ñ i lư ng giác bi n đ i tích thành t ng r i áp d ng tính ch t s d ng công th c 6/ b ng nguyên hàm ph n công th c b sung π π 16 16 ⇒ I = ∫ cos6x.cos2xdx = =  1  ∫ (cos8x +cos4x )dx =  sin8x + sin4x   π 16  1 1 2 π π  1 1+ =  sin + sin  −  sin + sin  =  +  8 4  8  16  8  ( ) 9) I = ∫x -1dx -2 Nh n xét: Câu bi u th c d u tích phân có ch a giá tr t đ i, ta hư ng h c sinh kh d u giá tr t ñ i b ng cách xét d u bi u th c x2 – [-2;2] k t h p v i tính ch t 5/ c a tích phân đ kh giá tr t ñ i Trư ng THPT Nam Hà – Biên Hòa – ð ng Nai Trang CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” ⇒ I= ∫x -1 -1dx = -2 ∫ (x GV: NGUY N DUY KHÔI -1 )dx − ∫ ( x - ) dx + ∫ ( x -1 )dx -2 -1 x  -1  x  x 2 =  -x  − -x  + -x  = 3  -2   -1  1 3 3 3x +9 dx x - 4x -5 Nh n xét: Câu 10 ta không th c hi n phép chia ña th c ñư c câu 3, m t khác bi u th c dư i m u phân tích đư c thành (x -5)(x +1) nên ta tách bi u th c 3x+9 A B = + = d u tích phân sau: (phương pháp h s x - 4x -5 x -5 x+1 x -5 x+1 b t ñ nh) 3 3x +9   ⇒ I= ∫ dx = ∫  dx = ( 4ln | x -5 |-ln |x +1 |)  x - 4x -5 x -5 x +1  2 10) I = ∫ = 4ln2 -ln4 - 4ln3 +ln3 = 2ln2 -3ln3 = ln Chú ý 2: ð tính I = ∫ a'x +b' dx ax +bx + c 27 (b - 4ac ≥ 0) ta làm sau: TH1: N u b - 4ac = , ta ln có s phân tích ax +bx + c = a(x + ⇒ I= ∫ b ) 2a b ba' ba' )+b' b' a' dx dx 2a 2a dx = ∫ b + a2a ∫ b b a x+ a(x + )2 (x + )2 2a 2a 2a a'(x + TH2: N u b - 4ac >0 ⇒ ax + bx + c = a(x - x1 )(x - x ) Ta xác ñ nh A,B cho A+ B = a' a'x + b' = A(x - x1 )+ B(x - x ) , ñ ng nh t hai v ⇒  Ax1 + Bx = -b' A(x - x1 )+ B(x - x ) A B I= ∫ dx = ∫( + )dx a (x - x1 )(x - x ) a x - x x - x1 Trư ng THPT Nam Hà – Biên Hòa – ð ng Nai Trang CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHƠI Chú ý 3: TH1: ð tính I = ∫ P(x) dx ta làm sau: (x -a1 )(x -a2 ) (x -an ) P(x) A1 A2 An = + + + (x -a1 )(x -a2 ) (x -an ) (x -a1 ) (x -a2 ) (x -an ) TH2: ð tính I = ∫ P(x) dx ta làm sau: (x -a1 ) (x -a2 )k (x - an )r m A1 A2 Am P(x) = + + + + m m -1 k r (x - a ) (x - a ) (x - a m ) (x -a1 ) (x -a2 ) (x -an ) P(x) dx v i P(x) Q(x) hai ña th c: TH3: ð tính I = ∫ Q(x) m * N u b c c a P(x) l n ho c b ng b c c a Q(x) l y P(x) chia cho Q(x) * N u b c c a P(x) nh b c c a Q(x) tìm cách đưa v d ng Nh n xét: Ví d g m nh ng t p tính tích phân đơn gi n mà h c sinh có th áp d ng b ng cơng th c ngun hàm đ gi i đư c tốn ho c v i nh ng phép bi n ñ i ñơn gi n nhân phân ph i, chia ña th c, ñ ng nh t hai ña th c, bi n ñ i tích thành t ng Qua ví d nh m giúp em thu c công th c n m v ng phép tính tích phân b n BÀI T P ð NGH 1: Tính tích phân sau: 1) I = ∫(x x + 2x +1)dx 2x x + x x - 3x + dx x2 2) Ι = ∫ 3) I = x -3x -5x +3 dx ∫ x -2 -1 4) I = ∫ (x + x - ) dx -2 π π 5) I = 12 ∫ (sinx + cos2x - sin3x )dx 6) I = ∫ 4sinx.sin2x.sin3xdx π 16 7) I = ∫ cos 2xdx 8) I = ∫x + 2x -3 dx -2 dx 9) I = ∫ x -5x +6 10) I = ∫ dx x +1+ x x + 2x +6 11) I = ∫ dx (x -1)(x - 2)(x - 4) x +1 12) I = ∫ dx (x -1)3 (x +3) xdx 13) I = ∫ x -6x +5 x dx 14) I = ∫ (1+ x )2 Trư ng THPT Nam Hà – Biên Hòa – ð ng Nai Trang CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHƠI II.4 TÍCH PHÂN B NG PHƯƠNG PHÁP ð I BI N S : II.4.1 Phương pháp ñ i bi n s lo i 1: b Ta có ý (SGK trang 123): Tích phân ∫ f(x)dx ch ph thu c vào hàm s f(x), a c n a b mà không ph thu c vào cách ký hi u bi n s tích phân T c là: b b b a a a ∫ f(x)dx = ∫ f(t)dt = ∫ f(u)du = Trong m t s trư ng h p tính tích phân mà khơng tính tr c ti p b ng công th c hay qua bư c phân tích ta v n khơng gi i ñư c Ta xét trư ng h p b n sau: VD5: Tính tích phân sau: 1) I = 2 dx -x2 ∫ Phân tích: Bi u th c d u tích phân có ch a b c hai, ta khơng kh b ng phép bi n đ i bình phương hai v đư c, ta th tìm cách bi n ñ i ñưa b c hai v 2 d ng A , ta s liên tư ng đ n cơng th c: 1-sin x = cos x = cosx , đó: π π ð t x = 2sint ⇒ dx = 2costdt , t ∈ - ;   2   ð i c n: x= 2 π ⇒ 2sint = ⇒t = 2 x =0 ⇒ π ⇒ I= ∫ 2sint = ⇒ t = π π π 2cost.dt 2cost.dt π π =∫ = ∫ dt = t = ( t ∈ 0;  ⇒ cost > )  6 2   -2sin t 2(1-sin t) 0 Trong VD ta thay ñ i sau: I = ∫ ñư c k t qu I = π K t qu b sai hàm s Do đ f (x) = dx H c sinh làm tương t -x2 khơng xác đ nh x= 2-x2 d ng Giáo viên c n ý: hàm s Trư ng THPT Nam Hà – Biên Hòa – ð ng Nai f (x) xác ñ nh [a;b] Trang 10 CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI π x I = ∫ 4e cos xdx Nh n xét: D ng c a tích phân t ng ph n tích phân có d ng ∫ e sin(nx)dx x bi u th c d u tích phân c a ví d ch a cos x h b c ta s đưa tích phân v ñúng d ng π π π π 4 4 π I = ∫ 4e cos xdx = ∫ 2e (1+cos2x )dx = ∫ 2e (1+cos2x )dx = ∫ 2e dx+ ∫ 2excos2x = I1 + I2 dx x x x x 0 Ta có: π π x I1 = ∫ 2e dx = 2e x π = 2e -2 π I2 = ∫ 2excos2x x d du = -2.sin2xdx u = cos2x ⇒  ð t:  x  v = 2e x dv = 2e dx  π ⇒ I2 = 2e cos2x x + ∫ 4e x sin2xdx = -2 + Β Β = ∫ 4e x sin2xdx du = 2.cos2xdx u = sin2x ⇒  ð t:  x  v = 4e x dv = 4e dx  π ⇒ B = 4e sin2x x π − ∫ 8e cos2xdx = 4e − I2 x π ⇒ I2 = -2 + B = -2 + 4e − 4I2 π π 1 ⇔ I2 = -2 + 4e ⇔ I2 =  -2 + 4e 5      π π  14 π 12 1 I = I1 + I2 = 2e -2+  -2 + 4e  = e −  5   Nh n xét: ví d h c sinh ph i tính tích phân t ng ph n hai l n, tính l n hai bi u th c xu t hi n tích phân I c n tính ban đ u nên ta cịn g i d ng Trư ng THPT Nam Hà – Biên Hòa – ð ng Nai Trang 26 CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHƠI tích ph n t ng ph n l p Trong d ng t p làm h c sinh c n lưu ý v d u s d ng cơng th c tích phân t ng ph n π π 4 x dx T suy ra: B = ∫ x.tg 2xdx (ðH NN Kh i B 2000) A = ∫ cos x 0 π u = x du = dx  ð t dx ⇒  v = tgx dv = cos x  π = π + ln cosx = ⇒ A = x.tgx π π 4 - ∫ tgxdx = π + d(cosx) ∫ cosx 0 π - ln2 π π π 4 π π π2 dx - ∫ xdx = - ln2 ⇒ B = ∫ x.tg xdx = ∫ x.( -1)dx = ∫ x cos x 32 cos 2x 0 0 I = ∫ ln ( x - x )dx (ðHCð Kh i D 2004)  (2x - 1)dx = (2x - 1)dx x ( x -1 ) du = u = ln(x - x)  x2 - x ⇒ ð t:    dv = dx  v = x -  (nguyên hàm v = x + c nên thay c = -1 ñ kh m u s ) 3 2x - ⇒ I = (x -1).ln(x - x) - ∫ dx = 2ln6 -2ln2 +1 = 2ln3 + x 2 Nh n xét: Trong d ng t p tích phân t ng ph n có ch a ln(u(x)) thư ng xu t hi n phân s nên rèn luy n cho h c sinh khéo léo k t h p thêm tính ch t c a nguyên hàm ∫ f(x)dx = F(x)+C v i C m t h ng s thích h p ta có th ñơn gi n ñư c phân s ñ cho bư c tính tích phân ti p theo đơn gi n M t ví d tương t : I = ∫ 2xln(x - 2)dx 3 π    2  I = ∫ sin x dx (ðH KTrúc HN 2001); Nh n xét: ví d h c sinh ph i nh n xét ñư c r ng bư c ñ u ph i ñ i bi n s ð t u = x ⇒ u = x ⇒ 3u = dx ð i c n: x π    2 Trư ng THPT Nam Hà – Biên Hòa – ð ng Nai Trang 27 CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” π u GV: NGUY N DUY KHÔI π π 2 0 ⇒ I = ∫ 3u 2sinudu ⇒ I = ∫ 3x 2sinx dx ta bi n ñ i ñ h c sinh d nh n d ng tích phân t ng ph n d ng Nh n xét: ð n tích phân ti p theo có d ng c a tích phân t ng ph n Do ña th c b c hai nên đ tính I, h c sinh ph i tính tích phân t ng ph n l n: u = 3x du = 6xdx ⇒ ð t v = sinx dv = cosx.dx π ⇒ I = 3x sinx 2 π 3π − ∫ 6xsinx dx = − I1 π I1 = ∫ 6xsinx dx u = 6x du = 6dx ⇒ ð t dv = sinxdx v = -cosx π π ⇒ I1 = −6x.cosx + ∫ 6cosx dx = 6x.sinx 0 ⇒I=− π 2 = 3π 3π 3π + I1 = − 3π 4 2 Nh n xét: Qua ví d trên, đ tính tích phân đơi h c sinh ph i áp d ng c hai phương pháp ñ i bi n s lo i tích phân t ng ph n Ví d tương t : (ph i h p hai phương pháp) π2 π2 a) I = ∫ sin e4 x dx b) I = ∫ x.ln(1+ x )dx 0 π ∫ c) I = cos lnx dx x π d) I = ∫ ecosx sin2x.dx e) I = ln tgx ∫ cos x dx π f) I = ∫ e x dx BÀI T P ð NGH 6: Tính tích phân sau: Trư ng THPT Nam Hà – Biên Hòa – ð ng Nai Trang 28 CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” ln2 π 6 -x ∫ xe dx a) I = GV: NGUY N DUY KHÔI π c) I = ∫(2x -4)sin2xdx b) I = ∫(12x - 2)cos2xdx 0 π d) I = ∫(2x -1)ln(x +1)dx e) I = ∫(2x -1)ln(x -1)dx f) I = xdx ∫ π sin x π g) I = ∫ 2xln 2(x +1)dx i) I = ∫ 2xln2(x -1)dx h) I = ∫(12x - 4+e )sinxdx π x j) I = ∫(x + sin x)cosxdx (TNTHPT – 2005) Tính tích phân sau: (Các ñ thi n sinh ð i h c) π a) I = ∫ e3x sin4xdx (ðH A.Ninh 1997) b) I = ∫ ( x -1)e2xdx (ðH DLNN-T.H c 1997) 0 π    4 π c) I = ∫ x 2sinxdx (ðH A.Ninh 1998) ∫ d) I = cos xdx (ðH DLNN-T.H c 1998) 0 π lnx e) I = ∫ dx (ðH Hu 1998) x f) I = ∫ x (2cos x -1 )dx (ðH TCKT 1998) ln ( x +1 ) g) I = ∫ dx (ðH Cđồn 2000) h) I = ∫ xlg xdx (ðH Y Dư c 2001) x 1 10 π    2  ∫ i) I = e sin x dx (ðH KTrúc HN 2001); j) I = ∫ x 2ln xdx (ðH KT HDương 2002) e x +1 lnxdx (ðHCð D b 2-2003); l) I = ∫ x e2x + x +1 dx (ðHCð D.b 2003) x -1 ( k) I = ∫ ) m) I = ∫ x 3e x dx (ðHCð D b 2-2003); n) I = ∫ ( x + 2x )e -xdx (ðH GTVT 2003) III Ki m tra k t qu c a m t gi i tính tích phân b ng máy tính CASIO fx570-MS Trong m t s trư ng h p m t s tích phân ph c t p ñã gi i ñư c k t qu chưa đánh giá đư c đ xác c a k t qu hay sai, ta có th s d ng máy tính c m tay CASIO fx-570MS ñ ki m tra k t qu Ví d v i đ thi π sin2x +sinx dx ta s d ng máy tính sau: 1+3cosx Kh i A năm 2005 I = ∫ Trư ng THPT Nam Hà – Biên Hòa – ð ng Nai Trang 29 CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHƠI 34 + V i k t q a gi i tay ta chuy n sang s th p phân ≈ 1,259259… 27 + ð i v i tích phân lư ng giác trư c h t chuy n sang ch ñ Rad + Quy trình b m máy CASIO fx-570MS sau: ( ∫ dx ( sin ( ÷ ALPHA X ) ) , X , ALPHA ( SHIFT π ) X + + cos ÷ sin ) ALPHA = Và k t q a máy tính 1,2593 So v i k t qu g n ñúng ñ ng nghĩa v i ñáp s gi i b ng tay ñã ñúng BÀI T P ð NGH 7: CÂU H I TR C NGHI M TÍCH PHÂN Câu 1: ∫ 2x +1 dx có giá tr b ng: A B C -2 D C -1 D e Câu 2: ∫ x -1 dx có giá tr b ng: A B Câu 3: Ch n m nh ñ ñúng: A π ≤ 3π dx ≤ ∫ π - 2sin x π B ≤ 3π C ≤ ∫ π 3π dx ≤ ∫ π - 2sin x π dx π ≤ - 2sin x D ≤ 4 3π dx ≤ ∫ π - 2sin x π e Câu 4: lnx dx có giá tr b ng: x ∫ A 1 B C -1 D e Câu 5: ∫ ( x + ) dx có giá tr b ng: Trư ng THPT Nam Hà – Biên Hòa – ð ng Nai Trang 30 CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” 211 A B 211 C 201 GV: NGUY N DUY KHÔI 201 D π Câu 6: ∫ e sinxcosx dx có giá tr b ng: A e - B C e D - e C D π Câu 7: ∫ + 3cosx sinx dx có giá tr b ng: A Câu 8: ∫x B dx có giá tr b ng: + x +1 A π B π C π D π 3 (2x -1 )dx có giá tr b ng: ∫ 2 Câu 9: x - x -1 A ln B ln C ln D ln ( 4x + )dx có giá tr b ng: ∫ Câu 10: x + x +1 A 3ln2 Câu 11: dx ∫ x + 2x + -1 A ln (2 + ) Câu 11: dx ∫ -3x +6x +1 A Câu 12: ∫ π 3 B 2ln3 C ln4 D ln6 C ln ( + ) D ln ( - ) có giá tr b ng: B ln ( +5 ) có giá tr b ng: B π C π 12 D π 15 ( 4x +6 )dx có giá tr b ng: x - 2x +3 A 4ln (2 + ) B 6ln (2 + ) C 8ln (2 + ) D 10ln (2 + ) 2 Câu 13: ∫ x x +1 dx có giá tr b ng: Trư ng THPT Nam Hà – Biên Hòa – ð ng Nai Trang 31 CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” 26 28 32 A B C 3 Câu 14: ∫x A Câu 15: dx có giá tr b ng: x -3 π B dx ∫ A ln 2 Câu 16: π C π 12 D π 36 có giá tr b ng: x +1 GV: NGUY N DUY KHÔI 34 D C ln ( +1 ) dx ∫ cosx +1 D ln ( + ) C D C D C -ln2 B ln2 D 1+ln2 có giá tr b ng: A π Câu 17: B dx ∫ sinx +1 có giá tr b ng: A π Câu 18: B dx ∫ sinx - 2cosx - có giá tr b ng: B ln2 A -ln2 π sinx -cosx  Câu 19: ∫    dx có giá tr b ng: sinx +cosx   A 1+ π Câu 20: π B -1+ cosx ∫ 11 -7sinx -cos x dx π C - π D -1- π có giá tr b ng: A - ln B - ln5 C ln D ln π Câu 21: x +cosx ∫ - sin x dx π có giá tr b ng: A ln3 B ln3 C ln3 D ln3 π  Câu 22: ∫ ln    dx có giá tr b ng: 1+cosx   1+ sinx Trư ng THPT Nam Hà – Biên Hòa – ð ng Nai Trang 32 CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” π 3π A B C 2 GV: NGUY N DUY KHÔI D π Câu 23: sin4x ∫ sin x +cos x dx 4 có giá tr b ng: A -ln2 B -ln2 C -ln3 D -ln3 - Câu 24: Cho hàm s f(x) liên t c R th a f(-x) + f(x) = cos7x π ∫ f(x) dx π - có giá tr b ng: 16 35 A B 32 35 C 24 35 D 12 35 - Câu 25: Cho hàm s f(x) liên t c R th a f(-x) + f(x) = cos x.sin x π ∫ f(x) dx π - có giá tr b ng: A - B - C D C D C 14 D Câu 26: ∫ x - x dx có giá tr b ng: A B Câu 27: ∫ x - 2x - x + dx có giá tr b ng: -1 A B 37 12 41 12 Câu 28: ∫x -3x + dx có giá tr b ng: -3 A 59 B π Câu 29: ∫ - 4cos x - 4sinx dx A -2 - - π 59 C - 59 D - 59 π π 2 có giá tr b ng:  ∫ - 4cos x - 4sinx dx = ∫ 2sinx -1 dx  0  B - - π Trư ng THPT Nam Hà – Biên Hòa – ð ng Nai C + - π      D + + π Trang 33 CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI π Câu 30: ∫ 2cosx -1 dx có giá tr b ng: A - + ∫(2 x A + Câu 32: π C - + π D - - π - dx có giá tr b ng: -1 B - - ) Câu 31: π ln2 dx ∫ 1+ 1- x B + ln2 C 4+ ln2 D + ln2 có giá tr b ng: -1 B 2ln2 A ln2 C 3ln2 D 4ln2 C D C D 11 Câu 33: ∫ ( x - x -1 )dx có giá tr b ng: -1 A B Câu 34: ∫ ( 1- x - 1+ x )dx có giá tr b ng: A B Câu 35: ∫ xlnxdx có giá tr b ng: A e +1 B e +1 C e +1 D e +1 π Câu 36: ∫ xcosxdx có giá tr b ng: A π B +2 π C -2 π +1 D π -1 Câu 37: ∫ xe xdx có giá tr b ng: A B C D π Câu 38: ∫ e x sin2x dx có giá tr b ng: 2 π  A -  e +1    1 π  B -  e +1    Trư ng THPT Nam Hà – Biên Hòa – ð ng Nai C  2 π  e +1  5  D  1 π  e +1  5  Trang 34 CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI π Câu 39: ∫ e 2xcosx dx có giá tr b ng: A π (e + ) B π (e - ) C (2 eπ +1 ) D (2 eπ -1 ) C 3e -5 D -3e 2 C π (e - 1) D π (-e +1 ) Câu 40: ∫ e 2x (x - ) dx có giá tr b ng: A -3e B 3e -5 ex Câu 41: ∫ cos (lnx )dx có giá tr b ng: A π ( e +1 ) B − π ( e +1 ) e Câu 42: ∫ sin (lnx )dx có giá tr b ng: A e Câu 43: ∫ e x (sin1-cos1 )e+1 B (sin1-cos1 )e -1 π e B eπ 1+ x (1+ x ) A e Câu 45: ∫ e x A (cos1- sin1 )e+1 D (cos1-sin1)e+1 1+ sinx dx có giá tr b ng: 1+cosx A e Câu 44: ∫ e x C (1+ x ) e-2 D e2 π C e D dx có giá tr b ng: B x 3π C e dx có giá tr b ng: B e+ 2 Trư ng THPT Nam Hà – Biên Hòa – ð ng Nai C e -1 D e+1 Trang 35 CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI Nh n xét: Trong ph n n i dung chun đ trên, tơi ch nêu m t s t p minh h a b n tính tích phân ch y u áp d ng phương pháp phân tích, phương pháp đ i bi n s , phương pháp tích phân t ng ph n Các t p ñ ngh ñ thi T t nghi p THPT ñ thi n sinh ð i h c Cao ñ ng c a năm trư c ñ em h c sinh rèn luy n k tính tích phân, bên c nh hư ng d n h c sinh ki m tra k t qu gi i c a có k t qu hay sai b ng máy tính c m tay CASIO fx-570MS ph n cu i c a chuyên ñ m t s câu h i tr c nghi m tích phân ð ph n c ng c , nâng cao cho em h c sinh kh i 12 ñ em ñ t k t qu cao kỳ thi T t nghi p THPT kỳ thi Tuy n sinh ð i h c giúp cho em có n n t ng nh ng năm h c ð i cương c a ð i h c Tuy nhiên v i kinh nghi m cịn h n ch nên dù có nhi u c g ng trình bày chun đ s khơng tránh kh i nh ng thi u sót, r t mong đư c s góp ý chân tình c a q Th y Cơ H i đ ng b mơn Tốn S Giáo d c ðào t o t nh ð ng Nai M t l n n a xin c m ơn Ban lãnh ñ o nhà trư ng t o ñi u ki n t t cho c m ơn quý th y t Tốn trư ng Nam Hà, đ ng nghi p, b n bè đóng góp ý ki n cho tơi hồn thành chun đ Tôi xin chân thành cám ơn./ Trư ng THPT Nam Hà – Biên Hòa – ð ng Nai Trang 36 CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI TÀI LI U THAM KH O Sách giáo khoa gi i tích 12 Sách giáo viên gi i tích 12 Tuy n t p chun đ k thu t tính tích phân - Tr n Phương ð o hàm tích phân - Võ ð i Mau & Võ ð i Hồi ð c Chun đ tích phân ñ i s t h p xác su t - Ph m An Hòa & Nguy n Vũ Thanh Các d ng tốn b n gi i tích 12 - Nguy n Ng c Khoa Tr c nghi m khách quan gi i tích tích phân - ðoàn Vương Nguyên Trư ng THPT Nam Hà – Biên Hòa – ð ng Nai Trang 37 CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI NH N XÉT Trư ng THPT Nam Hà – Biên Hòa – ð ng Nai Trang 38 CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHƠI Trư ng THPT Nam Hà – Biên Hòa – ð ng Nai Trang 39 CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI Trư ng THPT Nam Hà – Biên Hòa – ð ng Nai Trang 40 ... TÍNH TÍCH PHÂN” ⇒ I= ∫x -1 -1 dx = -2 ∫ (x GV: NGUY N DUY KHÔI -1 )dx − ∫ ( x - ) dx + ∫ ( x -1 )dx -2 -1 x  -1  x  x 2 =  -x  − -x  + -x  = 3  -2   -1  1 3 3 3x +9 dx x - 4x -5 ... tích phân sau: Trư ng THPT Nam Hà – Biên Hòa – ð ng Nai Trang CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” 2 -1 GV: NGUY N DUY KHÔI -1 1) I = ∫(3x - 4x +3)dx =(x - 2x +3x) = (2 - 2.2 +3.2) -( (-1 )3... ∫ x - 2x - x + dx có giá tr b ng: -1 A B 37 12 41 12 Câu 28: ∫x -3 x + dx có giá tr b ng: -3 A 59 B π Câu 29: ∫ - 4cos x - 4sinx dx A -2 - - π 59 C - 59 D - 59 π π 2 có giá tr b ng:  ∫ - 4cos

Ngày đăng: 21/09/2012, 10:23

Hình ảnh liên quan

I.4. BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM: - Tài liệu tích phân - Nguyễn Duy Khôi

4..

BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM: Xem tại trang 4 của tài liệu.
Trong ñ ó: ki i= 1,2, 3,..., )m các hàm fx i( )( i= 1,2, 3,..., )m có trong bảng nguyên hàm cơ bản - Tài liệu tích phân - Nguyễn Duy Khôi

rong.

ñ ó: ki i= 1,2, 3,..., )m các hàm fx i( )( i= 1,2, 3,..., )m có trong bảng nguyên hàm cơ bản Xem tại trang 5 của tài liệu.
Nhận xét: Câ u2 trên ta chưa áp dụng ngay ñượ c các công thức trong bảng nguyên hàm, trước hết tách phân số trong dấu tích phân (lấy tử chia mẫu) rồi áp dụ ng tính ch ấ t  4 và sử dụng công thức 1/, 2/, 3/ trong bảng nguyên hàm. - Tài liệu tích phân - Nguyễn Duy Khôi

h.

ận xét: Câ u2 trên ta chưa áp dụng ngay ñượ c các công thức trong bảng nguyên hàm, trước hết tách phân số trong dấu tích phân (lấy tử chia mẫu) rồi áp dụ ng tính ch ấ t 4 và sử dụng công thức 1/, 2/, 3/ trong bảng nguyên hàm Xem tại trang 6 của tài liệu.
Nhận xét: Câ u7 học sinh có thể sai vì sử dụng nhầm công thức 2/ trong bảng bảng nguyên hàm cột bên phải, bởi ñã xem 2π - Tài liệu tích phân - Nguyễn Duy Khôi

h.

ận xét: Câ u7 học sinh có thể sai vì sử dụng nhầm công thức 2/ trong bảng bảng nguyên hàm cột bên phải, bởi ñã xem 2π Xem tại trang 7 của tài liệu.

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan