Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu ôn thi đại học
Chuyên đề :Phương trình bất phương trình đại số Một số dạng hệ ph-ơng trình th-ờng gặp 1) Hệ ph-ơng trình bậc nhất: Cách tính định thức 2) Hệ ph-ơng trình đối xứng loại 1: Hệ không thay đổi ta thay x y ng-ợc lại 3) Hệ ph-ơng trình đối xứng loại 2: Nếu đổi vai trò x y ph-ơng trình trở thành ph-ơng trình ng-ợc lại 4) Hệ ph-ơng trình đẳng cấp bậc 2: Xét tr-ờng hợp, sau đặt x = ty 5) Một số hệ ph-ơng trình khác Các ví dụ Ví dụ Một số hệ dạng xy( x 1)( y 1) 1) Cho hệ ph-ơng trình x y x2 y2 a) Giải hệ m = 12 b) Tìm m để hệ có nghiệm 1 a 2) Cho hệ ph-ơng trình x y m x2 y a2 T×m a để hệ ph-ơng trình có nghiệm phân biÖt x xy y 3) Cho hÖ ph-ơng trình Tìm m để hệ có nghiệm x xy y m 4) Cho hƯ ph-¬ng tr×nh x x y a y a2 a) Giải hệ a = b) Tìm GTNN cña F = xy + 2(x + y) biÕt (x, y) lµ nghiƯm cđa hƯ ( y 1) m x 5) Cho hệ ph-ơng trình Tìm m để hệ cã nghiÖm nhÊt ( x 1) m y 6) Giải hệ ph-ơng trình: 7) Giải hệ ph-ơng trình: x y y x x y x y y x x y m a) Gi¶i hƯ m = b) Tìm m để hệ có nghiệm y2 x2 (KB 2003) x2 y2 3y VÝ dô Giải hệ ph-ơng trình: 3x HD: TH1 x = y suy x = y = TH2 chó : x>0, y> suy v« nghiƯm VÝ dơ Giải hệ ph-ơng trình: 2x y 8x xy y 15 35 Convert by TVDT HD: Nhóm nhân tử chung sau đặt S = 2x + y vµ P = 2x y x3 3x y3 3y x6 y6 (2) HD: tõ (2) : - ≤ x, y ≤ hµm sè: f t t3 Đs: (1, 3) (3/2, 2) (1) Ví dụ Giải hệ ph-ơng trình: 3t [-1;1] áp dụng vào ph-ơng trình (1) 2x 2y y a2 y x a2 x VÝ dơ CMR hƯ ph-¬ng tr×nh sau cã nghiƯm nhÊt: x HD: y 2x x a ; xÐt f ( x) 2x x Ví dụ Giải hệ ph-ơng tr×nh: x , lËp BBT suy KQ y y x HD Bình ph-ơng vế, ®ãi xøng lo¹i xy x a ( y 1) Ví dụ xác định a để hệ có nghiÖm nhÊt xy y a ( x 1) HD sử dụng ĐK cần đủ a=8 xy 10 Ví dụ Giải hệ ph-ơng trình: xy HD: Rót x x VÝ dơ x VÝ dô 10 x y x x y y y (1) y y x y2 20 x (1) y (2) y ; C« si x y y ; x2 20 theo (1) x2 (KB 2002) HD: từ (1) đặt nhỏ làm nhân tö chung 20 suy x, y (1;1) (3/2;1/2) y y a 3a Tìm a để hệ có nghiệm HD: Từ (1) đặt u x 1, v y đ-ợc hệ dối xứng với u, -v Chỉ hệ có nghiệm ph-ơng trình bậc hai t-ơng ứng có nghiệm trái dấu Bài tập áp dụng 1) 2) 3) 4) 6x xy y 5x xy 56 y2 x2 x y2 x2 y2 (x2 x)(3 x 49 y 3( x y) KD 2003 y ) 18 x2 5x y x3 y3 7( x y) x2 y2 x y HD: t¸ch thành nhân tử Convert by TVDT nghiệm 5) 6) 7) xy y2 12 xy 26 m x x y Đặt t = x/y 19 x( x 2)( x y) x2 4x x 8) 9) y) y (x y y x2 x y2 x2 y2 19x xy 6x x x 10) y x3 y3 y Tìm m để hệ có nghiệm Hệ pt có nghiệm Đặt X = x(x + 2) Y = 2x + y (1) HD: §ỉi biÕn theo v, u từ ph-ơng trình (1) HD: Đặt x = 1/z thay vào đ-ợc hệ y, z ĐS ( - 1/2, 3) (1/3, - 2) y (KA 2003) y x3 2y HD: x = y V xy = - CM x x v« nghiƯm cách tách hàm số 11) ( x 1) ( y 1) 2x y 12) x 13) y x y x xy y a x a 2y x xy kq: nghiệm xác định a để hệ có nghiệm HD sử dụng ĐK cần đủ HD bình ph-ơng vế y x y xy xy HD nh©n vÕ cđa (1) với xy 78 Đ2 Ph-ơng trình bất ph-ơng trình ph-ơng trình đại số Một số dạng ph-ơng trình bất ph-ơng trình th-ờng gặp 1) Bất ph-ơng trình bậc hai Định lý dấu tam thức bậc hai Ph-ơng pháp hàm số 2) Ph-ơng trình, bất ph-ơng trình chứa giá trị tuyệt đối A B A2 B A B A A B B B A B B A 3) Ph-ơng trình, bất ph-ơng trình chứa thức B (B 0) Mét sè vÝ dô VÝ dô Tìm m để ( x 1)(x 3)(x x 6) m nghiƯm ®óng víi mäi x Convert by TVDT HD: sử dụng hàm số tam thức: m - Ví dụ Tìm a để hÖ sau cã nghiÖm HD: x x y y x 2 x( y 1) a y ( x 1) 2 (1) ( y 2) a (2) TH1: a + ≤ HƯ v« nghiƯm TH2: a + 1>0 Vẽ đồ thị (2) đ-ờng tròn (1) miền gạch chéo: a - 1/2 Ví dụ Giải ph-ơng trình, bất ph-ơng tr×nh sau 1) 2) 8x x x x x 2x : x = 3) 2( x 2 x) x2 4) x x2 x 5) ( x 3x) x 3x 2x x2 x HD: TÝch nh©n tư b»ng suy cách giải KD 2002 Ví dụ Tìm m để hệ sau có nghiệm x 10x x 2x m §S: m4 Ví dụ Giải bất ph-ơng trình x x x HD + / Nh©n vế với biểu thức liên hợp VT + / Biến đổi BPT tích ý ĐK Ví dụ Giải bất ph-ơng trình: x HD Đặt t x x ,t 2x x 2x , AD BĐT cô si suy ĐK Ví dụ Giải bất ph-ơng trình: x2 (1 x x 1) HD: + / XÐt tr-êng hỵp chó y DK x> = - + / Trong tr-ờng hợp x 4, tiến hành nhân chia cho biểu thức liên hợp mẫu VT x2 Ví dụ Cho ph-ơng trình: x x HD: + / Bình ph-ơng vế ý ĐK x m Tìm m để ph-ơng trình có nghiệm + / Đặt t = tích thức, Tìm ĐK t + / Sử dụng BBT suy KQ Ví dụ Giải bất ph-ơng trình (KA 2004) : 2( x 16) x x x x Bài tập áp dụng 1) x2 x y2 y 2x a T×m a ®Ĩ hƯ cã nghiƯm nhÊt T×m nghiƯm nhÊt ĐS a = - a = 2) Tìm m để bất ph-ơng trình sau có nghiệm: 3) x 4) x 12 x x 4x 16 x m x 12 x 16 2x Convert by TVDT 5) 2(1 x) x 6) ( x 1) x 7) x x x2 2x (2 2x 2x , coi ph-ơng trình bậc hai ẩn t x2 x) x x ( x 2) x x x 8) Cho ph-¬ng trình: x2 HD: Đặt t x x m a) Giải ph-ơng trình m = b) Tìm m để ph-ơng trình có nghiệm 9) 51 x x x 10) x 3x 2x 11) Tìm a để với x: f ( x) ( x 2) 2x a ĐS a ; a Chuyên đề 3: L-ợng giác Đ1 Ph-ơng trình hệ ph-ơng trình l-ợng giác Một số kiến thức cần nhớ Các công thức biến đổi l-ợng giác Một số dạng ph-ơng trình Ph-ơng trình bậc 2, bậc theo hàm số l-ợng giác Ph-ơng trình đẳng cấp bậc víi sinx, cosx: asinx + bcosx = c Ph-¬ng trình đẳng cấp bậc với sinx, cosx: a sin2x + b sinx cosx + c cos2x + d = Ph-ơng trình đẳng cấp bậc với sinx, cosx: a sin3x + b sin2x cosx + c sinx cos2x + d cos3x = a sin3x + b sin2x cosx + c sinx cos2x + d cos3x + m = Ph-ơng trình đối xứng với sinx, cosx a: (sinx±cosx) + b sinx cosx + c = Ph-ơng trình đối xứng với tgx, cotgx Ph-ơng trình đối xứng với sin2nx, cos2nx Các ví dụ VÝ dô cot x VÝ dô cos2 x tan x 2.cos x sin x cos2 x HD: đặt ĐK x = /3 + k (sin x 1) HD: Sư dơng công thức hạ bậc cos(2 x Ví dụ VÝ dô sin x sin 2 x sin 2 x sin x sin x.sin 3x cos3 x.cos 3x tan x tan x ).cos sin x §S hä nghiƯm HD: Nhóm, nhân lên tách thành nhóm HD: Đặt ĐK rút gọn MS = 1; VÝ dô tan x(tan x 2.sin x) 6.cos x AD công thức nhân 3; ĐS x = - /6 + k HD: Biến đổi theo sin cos đ-ợc cos2 x(1 cos x) sin x(1 cos x) Convert by TVDT §S x = ± /3 + k 3.tan VÝ dô tan y y 6sin x 2sin x 2sin( y 6sin( y x) x) y 4sin y VÝ dô cos3x sin x cos x sin x sin 3x HD: nh©n (1) với (2) rút gọn tan đặt t tan y ; t = 0, t cos x HD: BĐ tích thành tổng rút gọn HD: nh©n vÕ víi sin(x/2) chó y xet tr-êng hỵp b»ng T cos x cos x cos nx NX: Trong toán chứa tổng thực rút gọn cách T sin x sin x sin nx VÝ dô cos x cos x cos3x cos x cos5 x VÝ dô tan x.sin x 2.sin x VÝ dô 10 log cos x 3(cos x sin x.cos x) 4.log sin x HD: B§ sau ®ã ®Ỉt t = tg(x/2) HD: logsin x logsin x logsin x (sin x) §2 Giá trị lớn nhỏ nhất, ph-ơng trình có tham số Một số kiến thức cần nhớ Ph-ơng pháp hàm số: Bài toán Max, Min khoảng đoạn Ph-ơng pháp bất đẳng thức, nhận xét ®¸nh gi¸ C¸c vÝ dơ cos4 x sin x sin x cos2 x HD: t = cos2x, tìm Max, Min đoạn M = 8/5 m = 4/3 VÝ dơ Cho ph-¬ng trình: cos2 x m cos2 x tgx 1) Giải ph-ơng trình m = 2) Tìm m để ph-ơng trình có nghiện thuộc đoạn [0; /3] Ví dụ T×m GTLN, GTNN: y HD: t = tgx, t 0; ; LËp BBT f(t) §S: m (1 3) ;1 T×m GTLN, GTNN: y sin8 x cos4 x HD: t = cos2x, - 1≤t≤1 t×m Max, Min đoạn f , t 8t (t 1) §S:M = 3, m = 1/27 VÝ dơ T×m GTLN, GTNN: y cos4 x sin x sin x cos x VÝ dô Cho ph-ơng trình: 2.(sin4 x cos4 x) cos x sin x m Tìm m để ph-ơng trình có nghiện thuộc đoạn [0; /2] §S: [ -10/3; -2] sin x cos x Ví dụ Cho ph-ơng trình a sin x cos x 1) Giải ph-ơng trình a = 1/3 2) Tìm a để ph-ơng trình có nghiệm HD: §-a vỊ d¹ng: (2 - a) sinx + (2a + 1) cosx = 3a + §S [ -1/2, 2] x VÝ dơ T×m nghiƯm cđa pt sau kho¶ng (0, ) : sin cos x cos2 x VÝ dô : Bài tập áp dụng Convert by TVDT 1) cos x cos x cos3x sin x sin x sin 3x 2) sin x 3) 4) 5) cos x sin x 3sin (3 x) 2sin x 2 sin 3x cos3x sin x cos x cot x sin 2 x cos x cos x(2.tan x 1) cos x cos x 2 5sin x cos x HD: Chó ý §K 6) 7) cos x cos x cos x (2 ) cos x sin sin 3x 8) cos x 9) sin x cos x sin x cos x §S: x = - /4 + k /2 Mét số đề thi từ năm 2002 1) Tìm nghiệm thuộc khoảng 0;2 2) Giải ph-ơng trình tan x ph-ơng trình sin x cos3x sin 3x sin x cos x KA 2002 (2 sin 2 x)sin 3x (DB 2002) cos4 x KB 2003 sin x 4) T×m x nghiƯm thuộc khoảng 0;14 ph-ơng trình cos 3x cos x 3cos x KB 2003 3) Tìm nghiệm thuộc khoảng 0;2 ph-ơng trình cot x tan x 4sin x 5) Xác định m để ph-ơng trình sin x cos x 0; cos x 2sin x m có nghiệm thuộc đoạn (DB 2002) sin x cos4 x 5sin x 1 (DB 2002) cot x 8sin x x 7) Giải ph-ơng trình tan x cos x cos x sin x tan x.tan (DB 2002) 2sin x cos x 8) Cho ph-ơng trình a (1) sin x 2cos x a) Giải ph-ơng trình (2) a b) Tìm a để ph-ơng trình có nghiệm sin x (DB 2002) 9) Giải ph-ơng trình 8cos x cos x 10) Giải ph-ơng tr×nh cot x sin x sin x (KA 2003) tan x 11) Giải ph-ơng trình tan x tan x 2sin x 6cos x (DBKA 2003) 6) Giải ph-ơng trình 12) Giải ph-ơng trình cos x cos x tan x (DBKA 2003) Convert by TVDT 13) Giải ph-ơng tr×nh 3cos x 8cos6 x 2cos x (DBKB 2003) x cos x 2sin 2 (DBKB 2003) 14) Giải ph-ơng trình cos x x x 15) Giải ph-ơng trình sin tan x cos (KD 2003) cos2 x cos x 16) Giải ph-ơng tr×nh sin x (DBKD 2003) cos x sin x 2sin x 17) Giải ph-ơng trình cot x tan x (DBKD 2003) sin x 18) Giải ph-ơng tr×nh 5sin x sin x tan x (KB 2004) 19) Giải ph-ơng trình 2cos x 2sin x cos x sin x sin x (KB 2004) Chuyên đề 4: Mũ & Lôgarit Đ1 Ph-ơng trình hệ ph-ơng trình Mũ lôgarit Một số kiến thức cần nhớ Các công thức mũ lôgarit Giới thiệu số ph-ơng trình Khi giải ph-ơng trình logarit ĐK Các ví dụ Ví dụ Cho ph-ơng trình: log32 x log32 x 2m 1) Giải ph-ơng trình m = 2) Tìm m để ph-ơng trình có Ýt nhÊt mét nghiƯm thc 1;3 VÝ dơ log ( x 2 y ) HD: m [0;2] ®s (4, 4) log x log y 1 VÝ dô log ( x 3) HD: ĐK x>0 Và x1; ĐS x = 2, x log4 ( x 1) log2 (4 x) VÝ dô log5 x log3 x log5 x log3 x HD: Đổi số ĐS: x = vµ x = 15 VÝ dơ VÝ dô log2 ( xy ) 3( xy) log2 x2 3y y2 log3 ( x 1) HD: §K x> - 3x x TH1: - 10, đặt y = log3(x + 1) VÝ dô log 23x x2 x 5y2 VÝ dô x x 2x 2 3 3x 2x3 Suy y y HD: VP ≤ víi x>0, BBT VT ≥ ; C«si lôgagrit ĐS x = 4y ĐS (0, 1) (2, 4) y Convert by TVDT VÝ dô Tìm m để ph-ơng trình sau có nghiệm thuộc [32, + ) : log22 x log x m log4 x m 0, m HD: t > = 5; 3m m2 VÝ dô 10 log y 2x xy 2y m t log x y HD §K x, y>0 khác 1; BĐ (1) đ-ợc TH1: y = x thay vµo (2) cã nghiƯm TH2: x thay vµo (2) CM vô nghiệm chia thành miền y>1 03/2 log ( x 2 x 1) x) x x y ).3 y x x y y) x y 13) Tìm m để ph-ơng trình log2 x log x m cã nghiƯm thc kho¶ng (0;1) Chuyên đề Tích phân xác định ứng dụng Đ1 Ph-ơng pháp tính tích phân I Tích phân hàm số hữu tỉ Ví dụ : Tính tích phân sau 1) A 2) A 1 A (x2 (2 x 3) x dx ; x) (1 B x 2.dx ; x3 B x dx ; 3x 2 x dx ; 10 ( x 1) 5) A 6) A 10x 16x 1).dx ; x 5x 7) A dx ; 3) ( x 1) (x 4) A (x3 3x x 6).dx ;B x 5x x (x3 B x 8) A dx 2x x ; B x x x 1).dx ;B x4 x3 dx x( x 1) dx 4x ; x dx ; 4) (x ; B x dx ; B x x 3 (1 x ).dx ; x ( x ) 1 x 2 x 13 dx; ( x 2)( x 1) (7 x 4)dx ; 3x 1x Convert by TVDT 10 Bµi tËp 3x 2 dx x2 1) (C§SP HN 2000): I 2) (§HNL TPHCM 1995) I x dx 5x x dx (1 x ) 3) (§HKT TPHCM 1994) I 4) (§HNT HN 2000) ( x x 10 x 1).dx I x 2x I (4 x 11).dx 5x x 5) (§HSP TPHCM 2000) I 6) (§HXD HN 2000) I 3.dx x3 1 dx 4x x 8) (ĐHQG HN 1995) Xác định số A,B,C để 3x 3x A B C TÝnh x x x 3x ( x 1) 7) (§H M§C 1995 ) I x dx 9) (ĐHTM 1995) I x 10) (ĐH Thái Nguyªn 1997) (1 x ).dx I HD : t x x x 1 11) X¸c định số A,B để x A B TÝnh 2 x ( x 1) ( x 1) ( x 2) dx 2 ( x 1) x ( x 1) ( x 1) a) Định hệ số A,B,C,D,E cho Ax Bx C dx dx f ( x)dx D E x x ( x 1)(x 2) 12) Cho hµm sè f ( x) b) TÝnh f ( x)dx 3x 3x dx x 3x II Tích phân hàm số l-ợng giác Ví dụ : Tính tích phân sau I 1) A dx ; B sin x cos x tan x.dx cos x sin x.cos x 3) A ( x sin x)dx ; B cos x sin x cos2 x.dx 4) A 2) A tan x.dx ; B cos x ( cos x sin x ).dx x cos x.dx ; sin x Bài tập 1) (ĐHQG TPHCM 1998) Tính : 2 sin x.dx sin x.dx I ; va J 4 sin x cos x 2) (§HSP TPHCM 1995) sin x Cho f ( x) sin x cos x a) T×m A,B cho cos x sin x f ( x) A B cos x sin x b) TÝnh I f ( x).dx 3) (§HGTVT TPHCM 1999) Convert by TVDT 11 cos4 x.dx sin x cos x sin x.dx sin x cos x a) CMR 2 cos4 x.dx sin x cos x 4) (§HTS 1999) TÝnh : sin x.dx cos x 12) (ĐHBK HN 1999) Cho hàm số sin x h( x ) (2 sin x) A cos x B cos x a) Tìm A,B để h( x) 2 sin x (2 sin x) b) TÝnh I 11) (HVNH TPHCM 2000) I sin x cos x.(1 cos x) dx I dx cos x 5) (§HTM HN 1995) TÝnh I b) TÝnh I sin x.dx cos4 x 6) (HVKTQS 1999):TÝnh I cos3 x sin x.dx 10) (§HQG TPHCM 1998) I h( x).dx 13) (§HBK HN 1998) cos x.dx cos x 7) (§HNN1 HN Khèi B 1998) I cos x.(cos4 x sin x).dx I 8) (§HQGHN Khèi A 1997) I ( x sin x).dx cos2 x 14) (HVNH TPHCM 2000) I sin x.dx cos x 9) (§HNN1 HN 1998) TÝnh sin x cos x .dx sin x cos x I III Tích phân hàm số vô tỉ Ví dụ : Tính tích phân sau : x dx (a x 2a 0) 6) A 2) a A x a dx x dx; B x dx x x(1 (a x) 0) 7) A dx 3) A x 1 x x dx ; B x2 4) A 1 5) A dx x x ; B x x 10) A ( x 2)dx x 2x x x dx ; x 1x x2 x dx; B 9) A 2 2x ; (*)B x dx dx x ( x 1)( x 2) 1 x x 8) (*)A dx ; B ; B dx 2a x 15 x dx; B 1) A x dx x2 dx; B x 1 x2 dx x2 1.dx Bµi tËp Convert by TVDT 12 x dx 1) (HVNH THCM 2000) I x x 7) (§HXD HN 1996) I x x 2 1 x 4) (§HAN 1999) I 8) (§HTM 1997) I dx 3) (HVKTQS 1998) I x ( x 1).dx x x x 1 dx 2) (§H BKHN 1995) I dx 6) (§HSP2 HN 2000) I x dx x2 9) (§HQG TPHCM 1998) I dx x x x.dx 2x 1 x x dx 5) (§HQG HN 1998) I IV Một số dạng tích phân đặc biệt Ví dụ1 :Tính tích phân sau : sin xdx cos xdx B sin x cos x sin x cos x 0 Ví dụ2 :Tính tích phân sau 1) A 2) A 2 x cos x.dx; B 1) A e x dx x e x e x e x dx x ln 2) A 1 cos2 x cos x.dx B sin x x dx; B x cos x dx Ví dụ :Tính tích phân sau cos2004 x dx 2004 x sin 2004 x cos 1) A sin x dx; B sin x 2) A x sin x dx; B cos x x sin x dx cos x Bµi tËp 1) (§HPCCC 2000) TÝnh I 1 x2 dx 2x sin x dx 3x 4) (§HNT TPHCM 1994)TÝnh I 2) (§HGT 2000 )TÝnh I x cos x dx sin x 5) (HVBCVTHN 1999)TÝnh I x4 dx x 2 x sin x.dx 3) (§HQG HN 1994) TÝnh I §2 øng dụng tích phân xác định Một số kiến thức cần nhớ Nội dung toán diện tích hình phẳng: toán Bài toán thể tích tròn xoay Các ví dụ Bài Tính thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay sinh bëi phÐp quay xung quanh trục ox hình phẳng giới hạn sin x(0 x ) trục ox đ-ờng y Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đ-ờng: y x2 Convert by TVDT 4x 3, y x 13 x2 x2 ,y 4 Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P) y2 = 16x tiếp tuyến A(1;4) B(4; - 8) Bài Tính diện tíc hình phẳng giới hạn đ-ờng: y Bài DiƯn tÝch ph¼ng sin x cos3 x; y 1) (ĐHBKHN 2000): Tính diện tích giới hạn y x 2) (ĐHTCKT 2000): Tính diện tích giới hạn y va x 0; x e ;y e va x 3x 12x 3) (HVBCVT 2000) TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi y sin ;y va x 4) (HVBCVT 1997) TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi y x 2 x; y 3x 2 5) (ĐHTM 1996) Tính diện tích giới hạn y x ; x y 6) (§HKT 1994) TÝnh diƯn tÝch giới hạn y x2 7) (ĐHCĐ 1999) Tính diện tích giới hạn y x2; y 8) (ĐHSP1 HN 2000) TÝnh diƯn tÝch giíi h¹n bëi y 4x 3; y x2 x 0; x x x2 va y x 1; y x 9) (ĐHKTQD 1996) Tính diện tích giới hạn hình phía d-ới (P) : y=ax2 (a>0) y=ax+2a 10) Tính diƯn tÝch giíi h¹n bëi ( P) : y x x tiếp tuyến điểm A(0;-3) B(3;0) 11) (ĐH Huế 1999) Tính diện tÝch giíi h¹n bëi y ( x 1) x; y e x va x 12) TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi y sin x; y cos3 x va truc Oy voi 13) (HVQY 1997) TÝnh diÖn tích giới hạn y cong (C) điểm có hoành độ x=2 14) (ĐHKT 2000) Tính diện tích giới h¹n bëi y 0; (C) : y 4x x x x 2x 4 x tiếp tuyến với đ-ờng (C ) Ox, hai đ-ờng thẳng có ph-ơng trình x=1; x=-1 *****Một số tham khảo************ 1) Tính diện tích S giới hạn ®å thÞ (C ) : y 2) TÝnh diƯn tÝch S giới hạn đồ thị (C ) : y x trục Ox đ-ờng thẳng có ph-ơng trình x=2 x trục Ox đ-ờng thẳng có ph-ơng trình x=1 x=3 3) Tính diện tích S giới hạn đồ thị (C ) : y x trục Ox đ-ờng thẳng có ph-ơng trình x=2, y=x 4) Tính diện tích S giới hạn đồ thị ( P) : y 2 x đ-ờng thẳng có ph-ơng trình y=2x-2 5) Tính diện tích S giới hạn đồ thị ( P1 ) : x y va (P2 ) : x y Bµi ThĨ tÝch cđa vật thể 1) (ĐHNN1 HN 1997): Cho hình phẳng giíi h¹n bëi D y tgx; x 0; x ;y a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bëi D b) TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay D quay quanh Ox 2) TÝnh thĨ tÝch cđa vËt thĨ trßn xoay sinh bëi phÐp quay quanh Ox hình giới hạn trục Ox (P) y=x2-ax (a>0) 3) (§HXD 1997) TÝnh thĨ tÝch cđa vËt thể tròn xoaydo hình phẳng S y x ln x; y 0; x 1; x e 4) (§HY 1999) TÝnh thể tích hình tròn xoay sinh ( E ) : x2 a2 Convert by TVDT y2 b2 nã quay quanh Ox 14 5) (§HTS TPHCM 2000): Cho hình phẳng G giới hạn y= 4-x2; y=x2+2 Quay hình phẳng (G) quanh Ox ta đ-ợc vật thĨ TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ nµy 6) (HVQY 1997): Cho hình phẳng giới hạn D quay quanh trục Ox y 7) (HVKTQS 1995) TÝnh thÓ tÝch D quay quanh Ox D x2; y y x TÝnh thÓ tÝch vËt thĨ trßn xoay D 0; y cos4 x sin x ; x ;x 8) TÝnh thĨ tÝch cđa vËt thĨ trßn xoay sinh phép quay quanh Ox hình phẳng S giới hạn đ-ờng y=x.ex , x=1 , y=0 (0 x ≤ ) ( x 4) y 9) (ĐHXD 1998) Tính thể tích vật thể tạo h×nh ( E ) : quay quanh trơc Oy 16 x2 ; y 10) (§HNN1 1999): Cho hình phẳng giới hạn D y x2 a) b) 11) a) b) 12) a) b) c) 13) Tính diện tích hình phẳng giới hạn D Tính thĨ tÝch vËt trßn xoay D quay quanh Ox (ĐHKT 1996) : Cho hình phẳng giới hạn D y (4 x) ; y x Tính diện tích hình phẳng giới hạn D Tính thĨ tÝch vËt trßn xoay D quay quanh Ox (ĐHPCCC 2000): Cho hàm số (C ) : y x.( x 1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Viết ph-ơng trình tiếp tuyến kẻ từ 0(0,0) đến (C) TÝnh thĨ tÝch giíi h¹n bëi (C) quay quanh Ox Cho miền (H) giới hạn đ-ờng cong y=sinx đoạn x trục Ox Tính thĨ tÝch khèi trßn xoay (H) quay quanh a) Trục Ox b) Trục Oy Chuyên đề 6: Đại số tổ hợp - Nhị thức newtơn Đ1 Một số Bài toán áp dụng quy tắc nhân, cộng, hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp 1.1 Các toán chọn số: * Ví dụ 1: Từ chữ số 0,1,2,3,4,5,6 lập đ-ợc: a/ b/ c/ Bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác Bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác Bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác phải có mặt số * Ví dụ 2: Với chữ số 0,1,2,3,4,5 lập đ-ợc số tự nhiên thoả: a/ Gồm chữ số từ số b/ Gồm chữ số chữ số có mặt lần chữ số khác có mặt lần * Ví dụ 3: Với chữ số 1,2,3,4,5 lập đ-ợc số tự nhiên gồm chữ số khác nhau, có hai chữ số không đứng cạnh * Ví dụ 4:Từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 lập đ-ợc số gồm chữ số khác cho : a/ Số chia hết cho b/ Trong chữ số có mặt chữ số c/ Nhá h¬n 600000 * VÝ dơ 5: XÐt hoán vị chữ số 1,2,3,4,5,6 Tính tổng S tất số tạo thành hoán vị * Ví dụ 6: Từ chữ số 1,2,3,4,5,6 lập đ-ợc số gồm chữ số khác tổng chữ số đầu nhỏ tổng chữ số cuối đơn vị Convert by TVDT 15 Bài tập * Bài 1: Từ chữ số 1,2,5,6,7,8 lập đ-ợc số gồm chữ số khác từ chữ số cho: a/ Số tạo thành số chẵn b/ Số tạo thành mặt chữ số c/ Số tạo thành phải có mặt chữ số d/ Số tạo thành nhỏ 278 *Bài 2: Cho chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 a/ Có số tự nhiên gồm chữ số khác b/ Có số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác c/ Có số tự nhiên chia hết cho gồm chữ số khác *Bµi 3: Cho tËp A 1, 2,3, 4,5,6,7,8 a/ Cã tập X A thoả điều kiện chứa không chứa b/ Có số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác lấy từ tập A không bắt đầu số 123 *Bµi 4: Cho tËp A 0,1, 2,3, 4,5,6,7 cã thể lập đ-ợc số gồm chữ số kh¸c lÊy tõ tËp A cho: a/ Sè tạo thành số chẵn b/ Một chữ số phải *Bài 5: Xét số gồm chữ số, có chữ số chữ số lại chọn tõ 2,3,4,5 Hái cã bao nhiªu sè nh- vËy nÕu a/ chữ số xếp kề b/ Các chữ số đ-ợc xếp tuỳ ý *Bài 6: Cho chữ số 0,2,4,5,6,8,9 a/ Có số có chữ số khác lập từ số b/ Có số có chữ số khác nhau, thiết phải có chữ số *Bài 7: Từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 lập đ-ợc số gồm chữ số a1a a thoả điều kiện chữ số a số chẵn , a không chia hết cho 5, chữ số a ;a ;a đôi khác *Bài 8: Với chữ số 0,1,2,3,4,5 ta lập đ-ợc số : a/ Gồm chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần b/ Gồm chữ số khác chữ số đứng cạnh chữ số *Bài 9: Ta viết số có chữ số chữ số 1,2,3,4,5 Trong số đ-ợc viết có chữ số đ-ợc xuất lần chữ số lại xuất lần Hỏi có số nh- * Bài 10: Cho ch÷ sè 1,2,3,4,5,6,7 XÐt tËp E gåm ch÷ sè khác viết từ chữ số đà cho Chứng minh tổng S tất số tập E chia hết cho 1.2 Các toán chọn đối t-ợng thực tế: Dạng 1: Tìm số cách chọn đối t-ợng thoả điều kiện cho tr-ớc * Ví dụ 1: Có hồng vàng, hồng trắng hồng đỏ ( hoa xem nh- đôi khác nhau) ng-ời ta muèn chän mét bã hoa gåm b«ng a/ Có cách chọn hoa đ-ợc chọn tuỳ ý b/ Có cách chọn cho có màu đỏ c/ Có cách chọn cho có hồng vàng hồng đỏ * Ví dụ 2: Một khiêu vũ có 10 nam n÷, ng-êi ta chän cã thø tù nam nữ để ghép thành cặp Hỏi có cách chọn * Ví dụ 3: Một lớp học có 30 học sinh có cán lớp.ần chọn em 30 học sinh trực tuần cho em đ-ợc chọn có cán lớp Hỏi có c¸ch chän * VÝ dơ 4:Mét tr-êng tiĨu häc cã 50 học sinh tiên tiến, có cạp anh em sinh đôi Ng-ời ta cần chọn học sinh 50 học sinh dự hội trại cấp thành phố cho cặp anh em sinh đôi đ-ợc chọn Hỏi có cách chọn * Ví dụ 5:Trong môn học, giáo viên có 30 câu hỏi khác gồm câu khó , 10 câu trung bình 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi lập đ-ợc đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác nhau, cho đề thiết phải có đủ loại câu (khó, trung bình dễ) đồng thời số câu dễ không Convert by TVDT 16 * Ví dụ 6: Trong mặt phẳng cho đa giác H có 20 cạnh Xét tam giác có đỉnh đ-ợc lấy từ đỉnh cđa H a/ b/ c/ d/ Cã bao nhiªu tam giác nh- Có tam giác có cạnh cạnh H Có tam giác có cạnh cạnh H Có tam giác cạnh cạnh H Dạng 2: Xếp vị trí đối t-ợng thoả điều kiện cho tr-ớc * Ví dụ 7: Có cách xếp bạn A,B,C,D,E vào ghế dài cho a/ b/ Bạn C ngồi Bạn A E ngồi hai đầu ghế * Ví dụ 8: Trong phòng học có dÃy bàn dài, dÃy có chỗ ngồi Ng-ời ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm nam nữ Hỏi có cách xếp nếu: a/ C¸c häc sinh ngåi tuú ý b/ C¸c häc sinh nam ngồi bàn nữ ngồi bàn * Ví dụ 9: Một hội nghị bàn tròn có phái đoàn n-ớc : Việt Nam ng-ời, Lào ng-ời, Thái Lan ng-ời Trung Quốc ng-ời Hỏi có cách xếp chỗ ngồi cho thành viên cho ng-ời quốc tịch ngồi gần * Ví dụ 10: Một bàn dài có hai dÃy ghế đối diện nhau, dÃy gồm ghế Ng-ời ta muốn xếp chỗ ngồi cho häc sinh tr-êng A vµ häc sinh tr-ờng B vào bàn nói Hỏi có cách xếp tr-ờng hợp sau: a/ Bất hai học sinh ngồi cạnh đối diƯn cịng kh¸c tr-êng víi b/ BÊt cø hai học sinh ngồi đối diện khác tr-êng víi Bµi tËp * Bµi 1: Mét líp häc cã 40 häc sinh gåm 25 nam vµ 15 nữ Có cách chọn học sinh cho : a/ Số học sinh nam nữ tuỳ ý b/ Phải có nam nữ c/ Phải có nữ d/ Số học sinh nam không v-ợt * Bài 2: Một líp häc cã 40 häc sinh cÇn cư ban c¸n sù gåm líp tr-ëng, líp phã uỷ viên Hỏi có cách lập ban cán lớp * Bài 3: Gia đình ông A có 11 ng-ời bạn có cặp vợ chồng ông muốn mời ng-ời đến dự tiệc, có cặp vợ chồng đ-ợc mời không đ-ợc mời Hỏi ông A có cách mời * Bài45:Một đội niên tình nguyện có 15 ng-ời, gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân công đội niên tình nguyện giúp đỡ tỉnh mền núi , cho tỉnh có nam nữ * Bài 5: Đội tuyển học sinh giỏi cđa mét tr-êng gåm 18 em, ®ã cã häc sinh khèi 12, häc sinh khèi 11 vµ học sinh khối 10 Hỏi có cách cử học sinh đội dự trại hè cho khối có em đ-ợc chọn * Bài 6: Cho hai đ-ờng thẳng song song Trên đ-ờng thứ có 10 điểm phân biệt đ-ờng thẳng thứ hai có 20 điểm phân biệt Có tam giác đ-ợc tạo điểm đà cho * Bài 7: Cho đa giác A1A2 A2n (n 2,n ) nội tiếp đ-ờng tròn tâm O Biết số tam giác có đỉnh 2n điểm A1;A2 ; ;A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm A1;A2 ; ;A2n HÃy tìm n *Bµi : Mét tỉ gåm häc sinh A,B,C,D,E,F đ-ợc xếp vào chỗ ngồi đà đ-ợc ghi số thứ tự bàn dài Tìm số cách xếp học sinh cho: a/ A B ngồi học sinh lại b/ A B không ngồi cạnh *Bài : Một học sinh có 12 sách đôi khác có sách môn toán, môn văn, môn anh văn Hỏi có cách xếp tất sách lên kệ dài , sách đ-ợc xếp kề môn học xếp kỊ Convert by TVDT 17 * Bµi 10: Mét bàn dài có hai dÃy ghế đối diện nhau, dÃy gồm ghế Ng-ời ta muốn xếp chỗ ngåi cho häc sinh tr-êng A vµ häc sinh tr-ờng B vào bàn nói Hỏi có cách xếp tr-ờng hợp sau: a/ Bất hai học sinh ngồi cạnh ®èi diƯn cịng kh¸c tr-êng víi b/ BÊt hai học sinh ngồi đối diện khác tr-ờng với Đ2 Các toán nhị thức, ph-ơng trình bất ph-ơng trình Hoán vị, tổ hợp & chỉnh hợp Một số kiến thức cần nhớ Hoỏn vị : Pn n n 2.1 Chỉnh hợp: Ank Tổ hợp: Cnk n! n k ! n n n k n! CnO k ! n k ! Nhị Thức nưu tơn: a b n ,0 k n k O ! 1, An0 Cnk Cnn k k Cnk Cnk Cnk n n Cnk a n k b k k Cnk a k b n k k Tồng có n+1 số hạng bậc số hạng n-k+k=n Số hạng tổng quát Tk Cnk a n k b k Các ví dụ I Giải pt, hệ pt, bất ph-ơng trình, hệ bất ph-ơng trình đại sè tỉ hỵp *VÝ dơ Giải phương trình: a, C1x 6.Cx2 6.Cx3 x 14 x b, C5x C5x C5x 25 14 *VÝ dô Giải phương trình: x C5 C6x C7x *VÝ dơ Hãy tìm số nguyên dưong thỏa mã phương trình a, Cn4 Cn3 §S: n=11 An b, Cn2 Cnn 2Cn2Cn3 Cn3Cnn 100 c, Cn0 2Cn1 4Cn2 2n Cnn 243 *VÝ dô Px Ax2 72 Ax2 Px *VÝ dơ Giải hệ phương trình Cn2 *VÝ dơ Giải bpt: a) Cn Axy 5C xy 90 y x y x 80 5A n 10 2C §S: x=5 ,y=2 b) An3 Cnn 11 14 n §S: a) An4 An4 143 24 *VÝ dơ Giải bất phương trình: a) b) n n ! Pn 23 An Cn §S: a) 9,5 n 2,5 b)1 n 5 *VÝ dơ Giải bất phương trình: a, Cx4 Cx3 Ax b, A22x Ax2 ĐS: a, x 11 b, x Bài tập Giải ph-ơng trình sau: 1/ 2A 2x 50 A 22 x 2/ Convert by TVDT C x4 n b) n Cx 10 x C x5 C x6 18 Tìm k cho số C7k ;C7k 1;C7k Giải bất ph-ơng trình sau: 1/ C4n C3n An theo thø tù lËp thµnh mét cÊp sè céng 0, n A3n 2/ 2Cnn 9n Giải hệ ph-ơng trình sau: 1/ 2A yx 5C xy 90 y x y x 80 5A 2C C yx : C yx : C yx 2/ 6:5:2 Giải ph-ơng trình sau: 1/ Px A 2x 3/ C 2n 2C 2n 6(A 2x 72 2C 2n 2Px ) C 2n 149 Gi¶i bất ph-ơng trình sau: C xx 31 1/ A x 14P A x A 2x C x 10 3/ x Giải PT hệ PT sau: C yx C yx 1/ 4C y x 5C y x Pn 60 Ank (n k )! Giải hệ ph-ơng trình C xy : C xy : C xy Giải bất ph-ơng trình 10 Giải bất ph-ơng trình C 22x C 24x 2/ C x5 C x6 14 C x7 4/ C1x 6C2x 6C3x C 4x C 3x 4/ 2x C22x C2x C2x 2/ C mn 11 : C mn : C mn 11 6:5:2 12 Tìm số tự nhiên n thoả m·n: C C 2n 22003 5:5:3 (TNPT 2002 - 2003) 2003 11 T×m sè n nguyên d-ơng thoả mÃn bất ph-ơng trình An3 n n víi Èn n, k thuéc N (TNPT 2003 - 2004) C 22xx n Ax 2/ 9x 14x n 2C C 2n 2.2C Tìm số tự nhiên n biÕt (KA 2005) C II Tìm số hạng hệ số số hạng n n C C 2.C nn n n 2n *VÝ dơ 1.Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển x x §S: n = 4, n = 100 4.23 C24n 3.2 C 9n .( 2n 1).22 n C22nn 11 2005 10 *VÝ dơ Tìm số hạng x31, Trong khai triển x x2 *VÝ dơ Tìm số hạng không chứa x khai triển *VÝ dô Trong khai triển x x x 28 15 40 x x n Tìm số hạng không chứa x biết Cnn Cnn 43 *VÝ dô Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển x Convert by TVDT Cnn 79 21 x2 19 *VÝ dô Biết khai triển x đứng khai triển *VÝ dô Cho khai triển x 3 x2 n Có hệ số số hạng thứ Hãy tính số hạng n Biết tổng ba số hạng đầu itên khai triển 631 Tìm hệ số số hạng có chứa x5 *VÝ dô Biết tổng hệ số ba số hạng khai triển x x 15 n x 28 79 Tìm số hạng khơng chứa x *VÝ dơ tìm hệ số x y khai triển *VÝ dô 10 Trong khai triển xy 12 xy xy 10 x y Tìm số hạng chứa x y cho số mũ x y số ngun dương *VÝ dơ 11 Tìm hạng tử số nguyên khai triển 3 19 *VÝ dô 12 a, Cho khai triển x 101 b, Cho khai triển 2x Trong hệ số số hạng Tìm hệ số lớn 30 Tìm hệ số lớn hệ số Bµi tËp 100 100 a0 a1 x a100 x BiÕt r»ng (2 x) a) CMR: a2 < a3 b) Với giá trị k ak< ak + (0≤k≤99) k T×m k thuéc {0, 1, 2005} cho: C 2005 đặt GTLN Tìm số nguyên n>1 thoả mÃn đẳng thức: Pn Pn An2 12 3A 3n n lµ sè nguyên d-ơng Biết rằng: (n 1)! C n2 2C n2 2C n2 C n2 149 Tìm hệ số x7 khai triển thành đa thøc cđa (2 - 3x) 2n Gi¶ sư (1 x) n a0 a1 x a n x n a0 a1 an 729 Tính giá trÞ cđa biĨu th-c M A 4n An2 Tìm n số lớn số: a0 , a1 , , an Giả sử n số nguyên d-ơng (1 x) n a0 a1 a n x n ak ak ak TÝnh n? ĐS: n = 10 24 Giả sử n số nguyên d-ơng (1 x)10 ( x 2) x11 a1 a1 x10 a11 H·y tÝnh hệ số a5 ĐS 672 Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị thức Biết: C nn 41 C nn 7(n 3) §S: 495 Biết k nguyên (0