Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 1 Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong khi giải phương trinh bậc hai hai ẩn học sinh thường lúng túng không rõ phương pháp giải. Qua quá trình giảng giải tôi xin đưa ra một số phương pháp giải “phương trình nghiệm nguyên bậc hao hai ẩn”. Việc giải phương trình này còn giúp học sinh có kỹ năng tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức bậc hai hai ẩn và phân tích đa thức thành nhân tử, đồng thời cũng biết được cách giải một số phương trình nghiệm nguyên bậc hai hai ẩn. II.NỘI DUNG A. Xét phương trình 22 123456 0 axaxyaxayaya +++++= .Trong đó 1 0 a ≠ hoặc 2 0 a ≠ , 5 0 a ≠ B. Các phương pháp giải. a.Phương pháp thứ nhất Viết vế trái thành tổng các bình phương Dạng 1. 222 0 ABC ++= 0 0 0 A B C =   ⇔=   =  Ví dụ; giải phương trình nghiệm nguyên: 22 52498140(1) xyxyyx+++−+= Lưu ý: Để viết vế traí thành tổng các bình phương nhất là bình phương của một tam thức cần có cách tách hợp lý. Ta biết hang tử có bình phương thì hệ sổ là số chính phương, do đó 222 222 54 2 xxx yyy =+ =+ Phương trình (1) 2222 4 xxyy ⇔++++ 4449140 xyxxy −−++= Ta coi bình phương của một tam thức 22 ()(()) abcabc ++=++ là bình phương của nhị thức với biểu thức thử nhất là (a+b) và bểu thức thứ hai là c. Vậy (1) 2222 4 xxyy ⇔++++ 4449140 xyxxy −−++= PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 2 ⇔ 2222 ((2)2.2(1)(1))(2)(3)0 xxyyxy +−+−+−+−= ()()() 222 21230 xyxy +−+−+−= 222 (21)(3)(2)0 210 30 20 2 3 xyyx xy y x x y ⇔+−+++−= +−=   ⇔+=   −=  =  ⇔  =−  Bài tập: giải các phương trình nghiệm nguyên: 1, 22 25144840 xyxyyx ++−−−= 2, 22 52144480 xyxyyx +++−+= 3, 22 510312820 xyxyyx ++−+−= 4, 22 105381216360 xyxyyx ++−+−= 5, 22 104341220360 xyxyyx ++−+−= Giải: 1, 22 25144840 xyxyyx ++−−−= 2222 4484140 xxyyxyyx ⇔+++−−−+= ()()() 222 21320 xyxy ⇔−++−+−= 210 30 20 xy x y −+=   ⇔−=   −=  3 2 x y =  ⇔  =  2, 22 52144480 xyxyyx +++−+= 2222 4484140 xxyyxyxy ⇔+++++−+= ()()() 222 21230 xyxy ⇔+++++−= 210 20 30 xy x y ++=   ⇔+=   −=  2 3 x y =−  ⇔  =  3, 22 510312820 xyxyyx ++−+−= 2222 49122830 xxyyxyxy ⇔+++−−++= PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 3 ()()() 222 231110 xyxy ⇔−−++++= 2310 10 10 xy x y −−=   ⇔+=   +=  1 1 x y =−  ⇔  =−  4, 22 105381216360 xyxyyx ++−+−= ()()() ()() 2222 22 22 94381216360 (32.3.2525)69440 xxyyxyyx xxyyxxyy ⇔++++−+−= ⇔−++++−++−+= ()()() 222 325320 xyxy ⇔−−+−+−= 3250 30 20 xy x y −−=   ⇔−=   −=  3 2 x y =  ⇔  =  5, 222 94341220360 xxyxyyx +++−+−= ()() 22 32530 xyx ⇔+−+−= 3250 30 xy x +−=  ⇔  −=  3 2 x y =  ⇔  =−  Dạng 2. 222222 ABCmnp +++=+++ Am Bn Cp =±   ⇔=±   =±  và các hoán vị của chúng. Ví dụ: Giải phương trình: 22 60 xxy −−+= 22 222222 442440 (21)(2)253405 xxy xy ⇔−−+= ⇔−+==+=+ PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 4 Do 2x-1 lẻ nên 213 24 x y  −=   =   2;1 2 x y =−  ⇔  =±  Hoặc 215 3;2 0 20 x x y y  −= =−   ⇔  = =    Phương trình đã cho có nghiệm: (x,y) = (2,2), (3,0), (-1,-2),(-3,0);(2;-2);(-1;2);(-2;0) Bài tập: Giải các phương trình nghiệm nguyên dương: 1, 22 100613 xxyy =+− 2, 22 45169 xxyy−+= Giải: 1, 22 100613 xxyy =+− 222 694100 xxyyy⇔−++= 22 2222 3210068010 xy⇔−+==+=+ 36 28 x y  −=  ⇔  =   9 4 x y =  ⇔  =  Hoặc 38 26 x y  −=   =   11 3 x y =  ⇔  =  Hoặc 310 20 x y  −=   =   13 0 x y =  ⇔  =  Hoặc 30 210 x y  −=   =   3 5 x y =  ⇔  =  Vậy phương trình đã cho có nghiệm: ( ) ( ) { ( ) ( ) } ,9;411;33;5 xy= 2, 22 45169 xxyy−+= 222 44169 xxyyy⇔−++= 222222 2169125013 xyy⇔−+==+=+ PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 5 212 5 xy y  −=  ⇔  =   22 5 x y =  ⇔  =  hoặc 25 12 xy y  −=   =   19 12 x y =  ⇔  =  hoặc 20 13 xy y  −=   =   26 13 x y =  ⇔  =  Vậy phương trình đã cho có nghiệm: ( ) ( ) { ( ) ( ) } ,22;519;1226;13 xy= b.Phương pháp thứ hai: Phân tích vế trái thành nhân tử Dạng 1. A.B.C =0 0 0 0 A B C =   ⇔=   =  Dạng 2. A.B.C = m.n.p (Với m, n,p là các số nguyên) Am Bn Cp =   ⇔=   =  và các hoán vị của chúng. Ví dụ: Giải phương trình nghiệm nguyên dương: 22 310896 xxyy ++= 22 364896 xxyxyy ⇔+++= (2)(34)9616.612.824.4 xyxy ⇔++==== Do x,y là các số nguyên dương nên (34)(2)3 xyxy +>+≥ 24164 261 xyx xyy +==  ⇒⇔  +==  Hoặc 24124 286 xyx xyy +==−  ⇔  +==  (loại) Hoặc 242416 246 xyx xyy +==  ⇔  +==−  (loại) Vậy phương trình đã cho có nghiệm: ( ) ( ) ,4;1 xy = Bài tập: Giải các phương trình nghiệm nguyên: 1, 22 6 yxx =++ PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 6 2, ( ) 2 256 xyy −=+ 3, 22 65121 xxyy−+= 4, ( ) 532 xyxy +=− 5, 2 360 xxxyy −−+−= Giải: 1, 22 6 yxx =++ 22 44424 yxx ⇔=++ 22 (2)(441)23 yxx ⇔−++= 22 (2)(21)23 yx ⇔−+= ( ) ( ) 221221231.23(1).(23)23.1(23).(1) yxyx ⇔−−++===−−==−− ( ) () 22123 2211 yx yx  ++=  ∗  −−=   6 5 y x =  ⇔  =  ( ) () 2211 22123 yx yx  ++=  ∗  −−=   6 6 y x =  ⇔  =−  ( ) () 22123 2211 yx yx  ++=−  ∗  −−=−   6 6 y x =−  ⇔  =−  ( ) () 2211 22123 yx yx  ++=−  ∗  −−=−   6 5 y x =−  ⇔  =  Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên: ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) } ,5;6,6;6,6;6,5;6 xy =−−−− 2, ( ) 2 256 xyy −=+ ( ) 22 6916 xyy ⇔−++= ( ) 22 6916 xyy ⇔−++= ()() 22 316 xy ⇔−+= ( ) ( ) 3316 xyxy ⇔−−++= Do ( ) ( ) 33 xyxy −−≤++ Và ( ) ( ) 3;3 xyxy −−++ cùng tính chẵn lẻ nên ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 332.84.48244 xyxy −−++===−−=−− 325 380 xyx xyy −−==  ∗⇔  ++==  PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 7 344 343 xyx xyy −−==  ∗⇔  ++==−  385 320 xyx xyy −−=−=−  ∗⇔  ++=−=  344 343 xyx xyy −−=−=−  ∗⇔  ++=−=−  Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên: ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) } ,5;05;04;34;3 xy =−−−− 3, 22 65121 xxyy−+= 222 694121 xxyyy⇔−+−= ()() 22 32121 xyy⇔−−= ( ) ( ) 3232121 xyyxyy⇔−+−−= Do ( ) ( ) 3232 xyyxyy −+≥−− Và ( ) ( ) 32;32 xyyxyy −+−− cùng tính chẵn lẻ nên ( ) () 32121 361 361 260 30 321 xyy xy xy y y xyy  −+=  −=  −=  ∗⇔⇔  = =±  −−=     Nếu 30 y = Thì 9061151;29 xx−=⇒= Nếu 30 y =− Thì 9061151;29 xx +=⇒=−− ( ) () 3211 311 11 0 20 3211 xyy xy x y y xyy  −+=  −= =±   ∗⇔⇔  = =  −−=    Vậy phương trình đã cho cónghiệm nguyên: ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) } ,29;30,151;30,29;30,151;30,11;0,11;0 xy=−−−−− 4, ( ) 532 xyxy +=− ( ) 532 xyxy ⇔+−=− ( ) 1596 xyxy ⇔+−=− ()() ()() 1596 353553256 353531 xxy xyy xy ⇔−=− ⇔−−−+=− ⇔−−= Không mất tính tổng quát giả sử xy ≤ 3535 xy ⇒−≤− PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 8 3512 353112 xx yy −==  ∗⇔  −==  4 351 3 353126 3 x x y y  =  −=−   ∗⇔  −=−−   =   (loại) Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên: ( ) ( ) { ( ) } ,2;1212;2 xy= 5, 2 360 xxxyy −−+−= 2 33260 xxxyyx ⇔−−++−= ( ) ( ) ( ) 33230 xxyxx ⇔−−−+−= ( ) ( ) 320 xxy ⇔−−+= 3; 2; xyZ yxxZ =∈  ⇔  =+∈  c.Phương pháp thứ ba: Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai Ta coi phương trình bậc hai hai ẩn là phương trình bậc hai một ẩn còn ẩn kia là hằng số.Chẳng hạn (,) 0 xy f = ta coi y hằng số. Dạng 1. nếu 2 y aybyc ∆=++ có hệ số a < 0. hoặc y byc ∆=+ có hệ số b < 0. Để phương trình (,) 0 xy f = có nghiệm thì 0 y ∆≥ từ đó tìm được một nghiệm là y và suy ra nghiệm còn lại x. Ví dụ: giải phương trình nghiệm nguyên: 22 (3)8 xxyyxy ++=+ 22 3(31)380 xyxyy ⇔+−+−= Coi phương trình này là phương trinh bậc hai ẩn x. Ta có 2 2791 y yy ∆=−++ . Để pt đã cho có nghiệm thì 2 27910 0,013,3; y yy yyZ ∆=−++≥ ⇔−≤≤∈ { } 0,1,2,3 y∈ Thay vào ta được Nếu 2 030 yxx =⇒−= 2 1 30 3 0 x xx x  =  ⇔−=⇒  =  Nếu 2 13250 yxx =⇒+−= PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 9 2 1 3250 5 3 x xx x =   ⇔+−=⇒ −  =  Nếu 2 23540 yxx =⇒+−= 254873 ∆=+= (không phải là số chính phương) Nếu 2 33830 yxx =⇒++= / 1697 ∆=−= (không phải là số chính phương) pt đã cho có 2 nghiệm:(x,y) =(0,0);(1,1) Bài tập: Giải các phương trình nghiệm nguyên: 1, 22 20 xxyyxy ++−−= 2, 22 xxyyxy −+=+ Giải: 1, 22 20 xxyyxy ++−−= ( ) 22 20 xxyyy ⇔+−++= 22 4444 yyyy ∆=−+−+ 2 43 y ∆=− Để phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì 22 430111 yyy −≥⇔≤⇔−≤≤ Nếu 2 11210 yxxx =−⇒−+−+= 2 2 320 1 x xx x =  ⇔−+=⇒  =  Nếu 2 020 yxx =⇒−= 2 2 20 0 x xx x =  ⇔−=⇒  =  Nếu 2 11210 yxxx =⇒++−−= 2 0 0 1 x xx x =  ⇔−=⇒  =  Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên: ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) } ,1;1,2;1,0;0,2;0,1;1,0;1 xy=−− 2, 22 xxyyxy −+=+ ( ) 22 10 xxyyy ⇔−++−= 222 2144361 yyyyyy ∆=++−+=−++ Để phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì 0 ∆≥ ⇔ 2 3610 yy −++≥ 0,1542,154 y ⇔−≤≤ } { 0;1;2 y∈ PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. Phan Thị Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 10 Nếu 2 00 yxx =⇒−= 2 1 0 0 x xx x =  ⇔−=⇒  =  Nếu 2 120 yxx =⇒−= 2 2 20 0 x xx x =  ⇔−=⇒  =  Nếu 2 2320 yxx =⇒−+= 2 2 320 1 x xx x =  ⇔−+=⇒  =  Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên: ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) } ,0;0,1;0,0;1,2;1,1;2,2;2 xy= Dạng 2. Nếu 2 y aybyc ∆=++ có hệ số a là một số chính phương Để phương trình (,) 0 xy f = có nghiệm thì 2 y m ∆= từ đó tìm được một nghiệm là y và suy ra nghiệm còn lại x. Ví dụ : giải phương trình nghiệm nguyên: 1, 22 2326 xyxyxy ++−−= 22 (32)260 xyxyy ⇔+−+−−= Coi phương trình này là phương trinh bậc hai ẩn x. 2 81612 y yy ∆=−++ Để pt đã cho có nghiệm thì 2 y m ∆= 22 22 81612 (4)12 y yym my ∆=−++= ⇔−−= (4)(4)122.62.(6) mymy −++−===−− Vì(m+y-4) ≥ (m-y+4)Và chúng có cùng tính chẵn lẻ.Nên 42 46 my my −+=   +−=  4 6 m y =  ⇔  =  Thay y=6 vào pt đã cho ta có: 2 2 72182120 16600 xxx xx ++−−= ⇔++= Pt này vô nghiệm. 46 42 my my −+=−   +−=−  4 6 m y =−  ⇔  =  Pt đ ã cho vô nghiệm 2, ( ) 22 2363260 xyyxxxxyy −−+=⇔−−−−= Coi phương trình này là phương trinh bậc hai ẩn x. 2 6924 y yy ∆=−++ PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com [...]... + y ) 2 = ( x + 9 )2 ⇔ ( x + y − 9) 2 = 9(9 − 2 y ) Do 18-2y chẵn và18-2y . 5, 2 360 xxxyy −−+−= Giải: 1, 22 6 yxx =++ 22 44 424 yxx ⇔=++ 22 (2) (441 )23 yxx ⇔−++= 22 (2) (21 )23 yx ⇔−+= ( ) ( ) 22 122 123 1 .23 (1). (23 )23 .1 (23 ).(1) yxyx ⇔−−++===−−==−− ( ) () 22 123 22 11 yx yx  ++=  ∗  −−=   6 5 y x =  ⇔  =  . phương trinh bậc hai ẩn x. ( ) ( ) 22 222 4 422 2 41444343 y yyyyyyyyyy ∆=−−=−+=−=− Để pt đã cho có nghiệm thì y ∆ là số chính phương ( ) ( ) 22 22 4 323 223 ymymymym ⇒−=⇔−=⇔−+= 21 22 1 1 23 1 ymy y m ymm  −== =±   ∗⇔⇔  =± +==    . Nguyệt - Trường THCS Thị Trấn Thanh Chương 2 ⇔ 22 22 ( (2) 2 .2( 1)(1)) (2) (3)0 xxyyxy +−+−+−+−= ()()() 22 2 21 230 xyxy +−+−+−= 22 2 (21 )(3) (2) 0 21 0 30 20 2 3 xyyx xy y x x y ⇔+−+++−= +−=   ⇔+=   −=  =  ⇔  =− 