Trn S Tựng i s 11 Trang 71 1. nh ngha o hm ti mt im ã Cho hm s y = f(x) xỏc nh trờn khong (a; b) v x 0 ẻ (a; b): xx fxfx fx xx 0 0 0 0 ()() '()lim đ - = - = x y x 0 lim D D D đ (Dx = x x 0 , Dy = f(x 0 + Dx) f(x 0 )) ã Nu hm s y = f(x) cú o hm ti x 0 thỡ nú liờn tc ti im ú. 2. í ngha ca o hm ã í ngha hỡnh hc: + f  (x 0 ) l h s gúc ca tip tuyn ca th hm s y = f(x) ti ( ) Mxfx 00 ;() . + Khi ú phng trỡnh tip tuyn ca th hm s y = f(x) ti ( ) Mxy 00 ; l: y y 0 = f  (x 0 ).(x x 0 ) ã í ngha vt lớ: + Vn tc tc thi ca chuyn ng thng xỏc nh bi phng trỡnh s = s(t) ti thi im t 0 l v(t 0 ) = s  (t 0 ). + Cng tc thi ca in lng Q = Q(t) ti thi im t 0 l I(t 0 ) = Q  (t 0 ). 3. Qui tc tớnh o hm ã (C) = 0 (x) = 1 (x n ) = n.x n1 nN n 1 ổử ẻ ỗữ > ốứ ( ) x x 1 2  = ã uv uv ()  = uv uv vu ()  =+ uuvvu v v 2  ổử Â- = ỗữ ốứ (v ạ 0) ku ku ()  = v v v 2 1  ổử  =- ỗữ ốứ ã o hm ca hm s hp: Nu u = g(x) cú o hm ti x l u  x v hm s y = f(u) cú o hm ti u l y  u thỡ hm s hp y = f(g(x) cú o hm ti x l: xux yyu . Â= 4. o hm ca hm s lng giỏc ã x x x 0 sin lim1 đ = ; xx ux ux 0 sin() lim1 () đ = (vi xx ux 0 lim()0 đ = ) ã (sinx) = cosx (cosx) = sinx ( ) x x 2 1 tan cos Â= ( ) x x 2 1 cot sin Â=- 5. Vi phõn ã dydfxfxx ()(). D == ã fxxfxfxx 000 ()()(). DD +ằ+ 6. o hm cp cao ã [ ] fxfx ''()'()  = ; [ ] fxfx '''()''()  = ; nn fxfx ()(1) ()() -  ộự = ởỷ (n ẻ N, n 4) ã í ngha c hc: Gia tc tc thi ca chuyn ng s = f(t) ti thi im t 0 l a(t 0 ) = f  (t 0 ). CHNG V O HM Đại số 11 Trần Sĩ Tùng Trang 72 VẤN ĐỀ 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x 0 bằng định nghĩa ta thực hiện các bước: B1: Giả sử D x là số gia của đối số tại x 0 . Tính D y = f(x 0 + D x) – f(x 0 ). B2: Tính x y x 0 lim D D D ® . Baøi 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra: a) yfxxx 2 ()22 ==-+ tại x 0 1 = b) yfxx ()32 ==- tại x 0 = –3 c) x yfx x 21 () 1 + == - tại x 0 = 2 d) yfxx ()sin == tại x 0 = 6 p e) yfxx 3 ()== tại x 0 = 1 f) xx yfx x 2 1 () 1 ++ == - tại x 0 = 0 Baøi 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau: a) fxxx 2 ()31 =-+ b) fxxx 3 ()2 =- c) fxxx ()1,(1) =+>- d) fx x 1 () 23 = - e) fxx ()sin = f) fx x 1 () cos = VẤN ĐỀ 2: Tính đạo hàm bằng công thức Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) bằng công thức ta sử dụng các qui tắc tính đạo hàm. Chú ý qui tắc tính đạo hàm của hàm số hợp. Baøi 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) yxxx 43 1 225 3 =-+- b) yxxx x 2 32 . 3 =-+ c) yxx 32 (2)(1) = d) yxxx 222 (1)(4)(9) = e) yxxx 2 (3)(2) =+- f) ( ) yx x 1 11 æö =+- ç÷ èø g) y x 3 21 = + h) x y x 21 13 + = - i) xx y xx 2 2 1 1 +- = -+ k) xx y x 2 33 1 -+ = - l) xx y x 2 241 3 -+ = - m) x y xx 2 2 2 23 = Baøi 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) yxx 24 (1) =++ b) yx 25 (12) =- c) 3211 (2 1) =-+yxx d) 25 (2) =- yxx e) ( ) yx 4 2 32=- f) y xx 22 1 (25) = -+ g) x y x 2 3 (1) (1) + = - h) x y x 3 21 1 æö + = ç÷ - èø i) 3 2 3 2 æö =- ç÷ èø y x Baøi 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) yxx 2 252 =-+ b) yxx 3 2 =-+ c) yxx =+ d) yxx 2 (2)3 =-+ e) yx 3 (2) =- f) ( ) yx 3 112=+- Trn S Tựng i s 11 Trang 73 g) x y x 3 1 = - h) x y x 2 41 2 + = + i) x y x 2 4 + = Baứi 4: Tớnh o hm ca cỏc hm s sau: a) x y x 2 sin 1cos ổử = ỗữ + ốứ b) yxx .cos = c) yx 3 sin(21) =+ d) yx cot2 = e) yx 2 sin2=+ f) yxx sin2 =+ g) yx 23 (2sin2) =+ h) ( ) yxx 22 sincostan= i) yxx 23 2sin43cos5 =- k) x y x 2 1 cos 1 ổử + = ỗữ ỗữ - ốứ l) yxxx 35 21 tan2tan2tan2 35 =++ Baứi 5: Cho n l s nguyờn dng. Chng minh rng: a) nn xnxnxnx 1 (sin.cos)'sin.cos(1) - =+ b) nn xnxnxnx 1 (sin.sin)'.sin.sin(1) - =+ c) nn xnxnxnx 1 (cos.sin)'.cos.cos(1) - =+ d) nn xnxnxnx 1 (cos.cos)'.cos.sin(1) - =-+ VN 3: Phng trỡnh tip tuyn ca th (C) ca hm s y = f(x) 1. Phng trỡnh tip tuyn ti im M(x 0 , y 0 ) C () ẻ l: yyfxxx 000 '()() -=- (*) 2. Vit phng trỡnh tip tuyn vi (C), bit tip tuyn cú h s gúc k: + Gi x 0 l hnh ca tip im. Ta cú: fxk 0 () Â= (ý ngha hỡnh hc ca o hm) + Gii phng trỡnh trờn tỡm x 0 , ri tỡm yfx 00 (). = + Vit phng trỡnh tip tuyn theo cụng thc (*) 3. Vit phng trỡnh tip tuyn (d) vi (C), bit (d) i qua im A(x 1 , y 1 ) cho trc: + Gi (x 0 , y 0 ) l tip im (vi y 0 = f(x 0 )). + Phng trỡnh tip tuyn (d): yyfxxx 000 '()() -=- (d) qua A xyyyfxxx 1110010 (,)'()()(1) -=- + Gii phng trỡnh (1) vi n l x 0 , ri tỡm yfx 00 () = v fx 0 '(). + T ú vit phng trỡnh (d) theo cụng thc (*). 4. Nhc li: Cho ( D ): y = ax + b. Khi ú: + d dka ()() D ÔÔị= + d dk a 1 ()() D ^ị=- Baứi 1: Cho hm s (C): yfxxx 2 ()23. ==-+ Vit phng trỡnh tip tuyn vi (C): a) Ti im thuc (C) cú honh x 0 = 1. b) Song song vi ng thng 4x 2y + 5 = 0. c) Vuụng gúc vi ng thng x + 4y = 0. d) Vuụng gúc vi ng phõn giỏc th nht ca gúc hp bi cỏc trc ta . Baứi 2: Cho hm s xx yfx x 2 2 () 1 -+ == - (C). a) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti im M(2; 4). b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) bit tip tuyn cú h s gúc k = 1. i s 11 Trn S Tựng Trang 74 Baứi 3: Cho hm s x yfx x 31 () 1 + == - (C). a) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti im A(2; 7). b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti giao im ca (C) vi trc honh. c) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti giao im ca (C) vi trc tung. d) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) bit tip tuyn song song vi ng thng d: yx 1 100 2 =+. e) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) bit tip tuyn vuụng gúc vi ng thng D: 2x + 2y 5 = 0. Baứi 4: Cho hm s (C): yxx 32 3. =- a) Vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C) ti im I(1, 2). b) Chng minh rng cỏc tip tuyn khỏc ca th (C) khụng i qua I. Baứi 5: Cho hm s (C): yxx 2 1. = Tỡm phng trỡnh tip tuyn vi (C): a) Ti im cú honh x 0 = 1 . 2 b) Song song vi ng thng x + 2y = 0. VN 4: Tớnh o hm cp cao 1. tớnh o hm cp 2, 3, 4, ta dựng cụng thc: ( ) nn yy / ()(1) - = 2. tớnh o hm cp n: ã Tớnh o hm cp 1, 2, 3, , t ú d oỏn cụng thc o hm cp n. ã Dựng phng phỏp quy np toỏn hc chng minh cụng thc ỳng. Baứi 1: Cho hm s fxxx ()3(1)cos =+ . a) Tớnh fxfx '(),''() b) Tớnh fff ''(),'',''(1) 2 p p ổử ỗữ ốứ Baứi 2: Tớnh o hm ca cỏc hm s n cp c ch ra: a) yxy cos,''' = b) yxxxxy 432 52547,'' =-+-+ c) x yy x 3 ,'' 4 - = + d) yxxy 2 2,'' =- e) yxxy sin,'' = f) yxxy tan,'' = g) yxy 23 (1),'' =+ h) yxxy 63(4) 44,=-+ i) yy x (5) 1 , 1 = - Baứi 3: Cho n l s nguyờn dng. Chng minh rng: a) n n n n x x () 1 1(1)! 1 (1) + ổử - = ỗữ + + ốứ b) n n xx () . (sin)sin 2 p ổử =+ ỗữ ốứ c) n n xx () . (cos)cos 2 p ổử =+ ỗữ ốứ Baứi 4: Tớnh o hm cp n ca cỏc hm s sau: a) y x 1 2 = + b) y xx 2 1 32 = -+ c) x y x 2 1 = - d) x y x 1 1 - = + e) yx 2 sin = f) yxx 44 sincos =+ Trn S Tựng i s 11 Trang 75 Baứi 5: Chng minh cỏc h thc sau vi cỏc hm s c ch ra: a) yxx xyyxxy sin ''2('sin)0 ỡ = ớ += ợ b) yxx yy 2 3 2 ''10 ỡ ù =- ớ += ù ợ c) yxx xyxyy 222 tan ''2()(1)0 ỡ = ớ -++= ợ d) x y x yyy 2 3 4 2(1)'' ỡ - = ù ớ+ ù  =- ợ VN 5: Tớnh gii hn dng xx ux ux 0 sin() lim () đ Ta s dng cỏc cụng thc lng giỏc bin i v s dng cụng thc xx ux ux 0 sin() lim1 () đ = (vi xx ux 0 lim()0 đ = ) Baứi 1: Tớnh cỏc gii hn sau: a) x x x 0 sin3 lim sin2 đ b) x x x 2 0 1cos lim đ - c) x x x 0 tan2 lim sin5 đ d) x xx x 4 cossin lim cos2 p đ - e) x xx xx 0 1sincos lim 1sincos đ +- f) x x x 2 2 1sin lim 2 p p đ - ổử - ỗữ ốứ g) x xx 2 limtan 2 p p đ ổử - ỗữ ốứ h) x x x 6 sin 6 lim 3 cos 2 p p đ ổử - ỗữ ốứ - VN 6: Cỏc bi toỏn khỏc Baứi 1: Gii phng trỡnh fx '()0 = vi: a) fxxxx ()3cos4sin5 =-+ b) fxxxx ()cos3sin21 =++- c) fxxx 2 ()sin2cos =+ d) xx fxx cos4cos6 ()sin 46 = e) x fxx 3 ()1sin()2cos 2 p p + =-++ f) fxxxxx ()sin33cos33(cos3sin) =-+- Baứi 2: Gii phng trỡnh fxgx '()() = vi: a) fxx gxx 4 ()sin3 ()sin6 ỡ = ớ = ợ b) fxx gxxx 3 ()sin2 ()4cos25sin4 ỡ = ớ =- ợ c) x fxx gxxxx 22 2 ()2cos 2 ()sin ỡ = ù ớ ù =- ợ d) x fxx x gxxx 2 ()4cos 2 ()8cos32sin 2 ỡ = ù ớ ù = ợ Baứi 3: Gii bt phng trỡnh fxgx '()'() > vi: a) fxxxgxxx 32 ()2,()32 =+-=++ b) 2 ()28,() = = fxxxgxx c) x fxxxgxx 2 323 ()23,()3 2 =-+=+- d) fxgxxx x 3 2 (),() ==- Đại số 11 Trần Sĩ Tùng Trang 76 Baøi 4: Xác định m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x Î R: a) mx fxvôùifxxmx 3 2 '()0()35 3 >=-+- b) mxmx fxvôùifxmx 32 '()0()(1)15 32 <=-++- Baøi 5: Cho hàm số 32 23. yxxmx =-+- Tìm m để: a) '() fx bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất. b) '()0 fx ³ với mọi x. Baøi 6: Cho hàm số 32 ()(3)2. 32 mxmx fxmx =-+ + Tìm m để: a) '()0 fx < với mọi x. b) '()0 = fx có hai nghiệm phân biệt cùng dấu. c) Trong trường hợp '()0 = fx có hai nghiệm, tìm hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m. Trần Sĩ Tùng Đại số 11 Trang 77 BÀI TẬP ÔN CHƯỜNG V Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) yxx 32 (4) =- b) yxx (3)(1) =+- c) yxx 6 22 =-+ d) yxx 2 (21) =- e) yxxx 23 (21)(42) =+- f) x y x 19 1 + = + g) xx y x 2 32 23 -+ = - h) y xx 2 1 2 = - i) 22 32 yx () =- Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) yxx 42 37 =-+ b) yx 2 1 =- c) yxx 2 32 = d) x y x 1 1 + = - e) x y x 2 1 = - f) x y x 3 - = Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) yxx 3 sin(2) =-+ b) yx tan(cos) = c) xx y xx sin sin =+ d) xx y xx sincos sincos + = - e) yxx 2 cot(1) =- f) yxx 22 cos(22) =++ g) yx cos2 = h) yx 32 cot1=+ i) yxx 22 tan(34) =+ Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của các hàm số, với: a) Cyxx 32 ():32 =-+ tại điểm M (1,2). b) xx Cy x 2 45 (): 2 ++ = + tại điểm có hoành độ x 0 0. = c) Cyx ():21 =+ biết hệ số góc của tiếp tuyến là k 1 . 3 = Bài 5: Cho hàm số yxx 32 52 =-+ có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến đó: a) Song song với đường thẳng yx 31. =-+ b) Vuông góc với đường thẳng yx 1 4. 7 =- c) Đi qua điểm A (0;2) . Bài 6: a) Cho hàm số x fx x cos (). cos2 = Tính giá trị của ff ''. 63 pp æöæö + ç÷ç÷ èøèø b) Cho hai hàm số fxxx 44 ()sincos =+ và gxx 1 ()cos4. 4 = So sánh fx '() và gx '() . Bài 7: Tìm m để fxxR ()0, ¢ >"Î , với: a) fxxmxx 32 ()(1)21. =+-++ b) fxxmxxmx 1 ()sinsin2sin32 3 = + Bài 8: Chứng minh rằng fxxR ()0, ¢ >"Î , với: a) fxxx ()2sin. =+ b) fxxxxxx 9632 2 ()2361. 3 =-+-+- Bài 9: a) . công thức Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) bằng công thức ta sử dụng các qui tắc tính đạo hàm. Chú ý qui tắc tính đạo hàm của hàm số hợp. Baøi 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) yxxx 43 1 225 3 =-+- . Cyx ():21 =+ biết hệ số góc của tiếp tuyến là k 1 . 3 = Bài 5: Cho hàm số yxx 32 52 =-+ có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến đó: a) Song song với đường. trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của các hàm số, với: a) Cyxx 32 ():32 =-+ tại điểm M (1,2). b) xx Cy x 2 45 (): 2 ++ = + tại điểm có hoành độ x 0 0. = c) Cyx ():21 =+ biết hệ số góc của