Đang tải... (xem toàn văn)
Phương trình cổ điển
CHƯƠNG IV: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SIN VÀ COSIN (PHƯƠNG TRÌNH CỔ ĐIỂN) ()()asinu bcosu c * . a,b R\ 0+= ∈ Cách 1 : Chia 2 vế phương trình cho + ≠22ab 0 Đặt []22 22abcos và sin với 0,2ab abα= α= α∈ π++ ()()2222cThì * sin u cos cos u sinabcsin uab⇔α+α=+⇔+α=+ Cách 2 : Nếu là nghiệm của (*) thì : uk2=π+ πasin bcos c b cπ+ π= ⇔− = Nếu đặt uk≠π+ π2uttg2= thì (*) thành : 2222t 1 tab1t 1t−+=++c () ( )( )2b c t 2at c b 0 1 với b c 0⇔+ − +−= +≠ Phương trình có nghiệm ( )( )2'a cbcb 0⇔ Δ= − + − ≥ 222 222acb abc⇔≥−⇔+≥ Giải phương trình (1) tìm được t. Từ uttg2= ta tìm được u. Bài 87 : Tìm 26x,57ππ⎛∈⎜⎝⎠⎞⎟ thỏa phương trình : ()cos7x 3 sin 7x 2 *−=− Chia hai vế của (*) cho 2 ta được : ()⇔− =−ππ⇔− + =ππ⎛⎞⇔−=⎜⎟⎝⎠13 2*cos7xsin7x22 22sin cos7x cos sin 7x66sin 7x sin642 ππ π π⇔−=+π −=+37x k2 hay 7x h264 6 4π, ( )∈k, h Z ππ ππ⇔= + = + ∈5k2 11h2xhayx ,k,84 7 84 7h Do 26x,57π π⎛∈⎜⎝⎠⎞⎟ nên ta phải có : ππ ππ π π ππ<+ < < + < ∈25k26 211h26hay ( k, h )584 7 7 5 84 7 7 ⇔< + < < + < ∈25k26 211h26hay ( k, h )584 7 7 584 7 7 Suy ra k = 2, =h1,25 4 53 11 2 35Vậy x x84 7 84 84 7 8411 4 59x84 7 84π πππ=+=π∨= +=ππ∨= + = ππ Bài 88 : Giải phương trình ( )33sin3x 3cos9x 1 4sin 3x *−=+ Ta có : ()()3* 3sin 3x 4 sin 3x 3 cos 9x 1⇔ −−= sin 9x 3 cos 9x 1⇔− = 13sin 9x cos 9x22⇔−12= 1sin 9x sin32ππ⎛⎞⇔−==⎜⎟⎝⎠6 ππ π π⇔ −=+ π −= + π ∈59x k2 hay 9x k2 , k36 3 6 ππ ππ⇔= + = + ∈k2 7 k2xhayx,18 9 54 9k Bài 89 : Giải phương trình ()1tgx sin 2x cos 2x 2 2 cos x 0 *cos x⎛⎞−−+ − =⎜⎟⎝⎠ Điều kiện : cos x 0≠Lúc đó : ()sin x 2* sin 2x cos 2x 4 cos x 0cos x cos x⇔− − + −= 2sin x sin 2x cos x cos x cos 2x 4 cos x 2 0⇔− − + −= ()2sin x 1 2 cos x cos x cos 2x 2 cos2x 0⇔− − + ==≠ sin x cos 2x cos x cos 2x 2 cos2x 0⇔− − + = ⇔=−−+cos2x 0 hay sinx cosx 2 0 ()()⎡==−=⎢⇔⎢+= +<⎢⎣222 2cos 2x 0 nhận do cos 2x 2 cos x 1 0 thì cos x 0sin x cos x 2 vô nghiệm vì 1 1 2 ()π⇔= + ∈ππ⇔=+ ∈2x 2k 1 , k2kx,k42 Bài 90 : Giải phương trình ()318sinx *cos x sin x=+ Điều kiện : sin 2x 0≠Lúc đó (*)28sin xcosx 3sinx cosx⇔=+ ()()⇔− = +⇔− = −⇔− + = −⇔=− +π⎛⎞⇔=+⎜⎟⎝⎠ππ⇔=++π∨=−−+πππ⇔=+π∨=− + ∈41 cos2xcosx 3sinx cosx4 cos 2x cos x 3 sin x 3 cos x2 cos 3x cos x 3 sin x 3 cos x31cos 3x sin x cosx22cos 3x cos x33x x k2 3x x k233kxkx ,k6122π Nhận so vớiđiều kiện sin 2x 0≠ Cách khác : (*)28sin xcosx 3sinx cosx⇔=+ ( hiển nhiên cosx = 0 hay sinx = 0 không là nghiệm của pt này ) ⇔− = +28( 1 cos x) cos x 3 sin x cos x ⇔− = +38 cos x 8 cos x 3 sin x cos x ⇔− = −36 cos x 8 cos x 3 sin x cos x ⇔−=−3134 cos x 3 cos x cos x sin x22 π⎛⎞⇔=+⎜⎟⎝⎠ππ⇔=++π∨=−−+πππ⇔=+π∨=− + ∈πcos 3x cos x33x x k2 3x x k233kxkx ,k6122 Bài 91 : Giải phương trình ( )9sin x 6cos x 3sin 2x cos 2x 8 *+− += Ta có : (*)( )29sinx 6cosx 6sinxcosx 1 2sin x 8⇔ +− +− = ()()⇔− − +−⎛⎞⇔−−−−⎜⎟⎝⎠26 cos x 6 sin x cos x 2 sin x 9 sin x 7 076 cos x 1 sin x 2 sin x 1 sin x 02== ()⎛⎞⇔− = + − =⎜⎟⎝⎠=⎡⎢⇔+= +<⎢⎣22271 sin x 0 hay 6 cos x 2 sin x 02sin x 16 cos x 2 sin x 7 vô nghiệm do 6 2 7 π⇔=+ π ∈xk2,k2 Bài 92 : Giải phương trình: ()sin 2x 2cos 2x 1 sin x 4 cos x *+=+−Ta có : (*) ( )22sinxcosx 2 2cos x 1 1 sinx 4cosx⇔+−=+− ()⇔−++−=⎛⎞⎛⎞⎛⎞⇔−+−+=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⇔−= + += +<22222sinxcosx sinx 4cos x 4cosx 3 01132 sin x cos x 4 cos x cos x 02221cos x 0 hay 2 sin x 4 cos x 6 0 vô nghiệm do 2 4 62 π⇔=±+ πxk32 Bài 93 : Giải phương trình ( )2sin2x cos2x 7sinx 2cosx 4 *−=+− Ta có : (*) ( )24 sin x cos x 1 2 sin x 7sin x 2 cos x 4⇔ −− = + − ( )()()()()()()⇔−+−+=⎛⎞⇔−+−−⎜⎟⎝⎠⇔−+−−=⇔−= +−= +<22222 cos x 2 sin x 1 2 sin x 7 sin x 3 012 cos x 2 sin x 1 2 sin x sin x 322 cos x 2 sin x 1 2 sin x 1 sin x 3 02 sin x 1 0 hay 2 cos x sin x 3 0 vô nghiệm vì 1 2 3ππ⇔=+π∨= +π ∈5xk2x k2,k66 Bài 94 : Giải phương trình ( )sin 2x cos 2x 3sin x cos x 2 *−=+− Ta có (*) ( )22sinxcosx 1 2sin x 3sinx cosx 2⇔ −− = + − ()()()(⇔−+−+⇔−+−−⇔−= +−=2cos x 2 sin x 1 2 sin x 3sin x 1 0cos x 2 sin x 1 sin x 1 2 sin x 1 02sinx 1 0 hay cosx sinx 1 0)== π⎛⎞⇔= −⎜⎟⎝⎠1sin x hay 2 cos x x 124= ππ ππ⇔=+ π∨= + π −=±+ π ∈5x k2 x k2 hay x k2 , k66 44 ππ π⇔=+π∨= +π =+π∨=π∈5x k2 x k2 hay x k2 x k2 , k66 2 Bài 95 : Giải phương trình ()()2sin 2x 3 cos 2x 5 cos 2x *6π⎛⎞+−=−⎜⎟⎝⎠ Đặt t sin 2x 3 cos 2x=+, Điều kiện ab t ab−+=−≤≤=+22 2222 Thì 13t 2 sin 2x cos 2x 2 cos 2x22⎛⎞6π⎛⎞=+=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠− Vậy (*) thành: −= ⇔ −− =⇔= ∨=−22t5t5 2tt100 t (loại)t222 Do đó ()*⇔ cos 2x 16π⎛⎞−=−⎜⎟⎝⎠ π π⇔−=π+π⇔=+72x k2 x k61π2 Bài 96 : Giải phương trình ( )++=32cos x cos2x sinx 0 * Ta có (*) 322cos x 2cos x 1 sinx 0⇔ +−+= ( )()()()()( )222 cos x cosx 1 1 sin x 02 1 sin x 1 cosx 1 sin x 01 sin x 0 hay 2 1 sin x 1 cosx 1 0⇔+−+=⇔− + −− =⇔− = + + −= 21 sin x 0 hay 1 2sin x cosx 2(sin x cos x) 01sinx 0hay(sinx cosx) 2(sinx cosx) 0⇔− = + + + =⇔− = + + + = ( )22 2sinx 1haysinx cosx 0 hay sinx cosx 2 0 vônghiệm do:1 1 2⇔= += ++= +<sin x 1 hay tgx1⇔= =−xk2hayx k2,k24π π⇔ =+ π =−+ π ∈¢ Bài 97 : Giải phương trình ()21cos2x1cotg2x *sin 2x−+= Điều kiện : sin2x 0 cos2x 1≠⇔ ≠±Ta có (*) 21cos2x 11cotg2x1cos2x1cos2x1cot g2x 11cos2xcos2x cos2xsin 2x 1 cos 2x−⇔+ = =+−⇔= −+−⇔=+ ()=≠±⎡⎢⇔−⎢=⎢+⎣⇔=∨+=−⇔=∨+=cos2x 0 nhận do 111sin 2x 1 cos 2xcos2x 0 1 cos2x sin2xcos2x 0 sin2x cos2x 1− 1cos2x 0 sin 2x sin44252x k 2x k2 2x k2 ,k244 44ππ⎛⎞ ⎛⎞⇔=∨ +=−=−⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠ ⎝⎠πππ ππ⇔=+π∨+=−+π∨+= +π∈¢ ()kxxk2xk2loại,42 4kx,k42ππ π⇔=+ ∨==−+π∨ =π+ π ∈ππ⇔=+ ∈¢¢k Bài 98 : Giải phương trình ()( )444sinx cosx 3sin4x 2*++ = Ta có : (*) ()222 224 sin x cos x 2sin x cos x 3 sin 4x 2⎡⎤⇔+− +⎢⎥⎣⎦= ⎡⎤⇔− + =⎢⎥⎣⎦214 1 sin 2x 3 sin 4x 22 ⇔+ =−⇔+ =ππ⎛⎞⇔−=⎜⎟⎝⎠ππ⇔−=±+πcos4x 3 sin 4x 1131cos4x sin 4x222cos 4x cos3324x k233−2 4x k2 hay 4x k2 ,k3xkhayx k,k42 122π⇔=π+π =−+π∈ππ π π⇔=+ =− + ∈¢¢ Cách khác : ()(*)22 1 sin 2x 3 sin 4x 0⇔− + = 22 cos 2x 2 3 sin 2x cos2x 0cos2x0cos2x 3sin2x0cos2x 0 cot g2x 3⇔+ =⇔=∨+⇔=∨ =−= 2x k 2x k , k26kkxx ,k42 122ππ⇔=+π∨=−+π∈ππ π π⇔=+ ∨=− + ∈¢¢ Bài 99 : Giải phương trình ()3311 sin 2x cos 2x sin4x *2++ = Ta có (*)()( )11 sin2x cos2x 1 sin2xcos2x sin4x2⇔+ + − = ()111 sin 4x sin2x cos2x 1 sin4x 02211 sin 4x 0 hay 1 sin 2x cos2x 02⎛⎞⇔− + + − =⎜⎟⎝⎠⇔− = + + = ( )sin 4x 2 loạisin 2x cos2x 12sin(2x ) 14=⎡⇔⎢+=⎣π−⇔ +=− ()sin 2x sin( )442x k244kZ52x k244xkxk,k42ππ⎛⎞⇔+=−⎜⎟⎝⎠ππ⎡+=−+π⎢⇔∈⎢ππ⎢+= + π⎢⎣ππ⇔ =− + π∨ = + π ∈¢ Bài 100 : Giải phương trình ( )( )tgx3cotgx4sinx 3cosx*−=+ Điều kiện sin x 0sin 2x 0cos x 0≠⎧⇔≠⎨≠⎩Lúc đó : (*) ( )sin x cosx34sinx3cocos x sin x⇔− = +sx ( )()()22sin x 3cos x 4sin x cosx sin x 3 cosxsin x 3 cosx sin x 3 cosx 2sin 2x 0sin x 3 cosx13sin x cosx sin 2x22⇔− = +⇔+ − − =⎡=−⎢⇔⎢−=⎢⎣ tgx 3 tg3sin x sin2x3xkx2xk2x 2xk2,k33 3⎡π⎛⎞=− = −⎜⎟⎢⎝⎠⎢⇔⎢π⎛⎞−=⎢⎜⎟⎝⎠⎣ππ π⇔=−+π∨−= + π∨−=π− + π ∈Z ()4k2xkxk2x ,k33934k2x k x nhận do sin2x 0393ππ ππ⇔=−+π∨=−− π∨= + ∈πππ⇔=−+π∨= + ≠¢ Bài 101 : Giải phương trình ( )33sin x cos x sin x cos x *+=− Ta có : (*) 33sin x sin x cos x cosx 0⇔−++=()()()23232sin x sin x 1 cos x cosx 0sinx cos x cos x cosx 0cosx 0 hay sinx cosx cos x 1 0cosx 0sin2x cos2x 3 vô nghiệm do 1 1 9x2k1,kZ2⇔−++=⇔− + + =⇔= − + +==⎡⇔⎢−+ =− +<⎣π⇔= + ∈ Bài 102 : Giải phương trình ()441cos x sin x *44π⎛⎞++=⎜⎟⎝⎠ Ta có : (*) ()22111 cos2x 1 cos 2x442⎡π⎤⎛⎞14⇔ ++−+⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦= ()()221 cos2x 1 sin2x 1cos2x sin2x 113cos 2x cos44232x k244xkx k,k24⇔+ ++ =⇔+=−ππ⎛⎞⇔−=−=⎜⎟⎝⎠ππ⇔−=±+πππ⇔=+π∨=−+π ∈Z Bài 103 : Giải phương trình()334sin x.cos3x 4 cos x.sin3x 3 3 cos 4x 3 *++= Ta có : (*) ( ) ( )⇔−+−+33 3 34sin x 4cos x 3cosx 4 cos x 3sinx 4sin x 3 3 cos4x 3= ()⇔− + + =⇔−++332212sin x cos x 12 sin x cos x 3 3 cos4x 34sin x cos x sin x cos x 3 cos 4x 1= 2sin2x.cos2x 3 cos4x 1sin3sin 4x cos 4x 1cos3⇔+π⇔+ =π= sin4x.cos sin cos4x cos33ππ⇔+=3π sin 4x sin3654x k2 4x k2 , k36 3 6kkxx,k24 2 8 2ππ⎛⎞⇔+=⎜⎟⎝⎠ππ π π⇔+=+π∨+=+π∈ππ ππ⇔=− + ∨=+ ∈¢¢ Bài 104 : Cho phương trình : ()222sin x sin x cosx cos x m *−−= a/ Tìm m sao cho phương trình có nghiệm b/ Giải phương trình khi m = -1 Ta có : (*) () ()111cos2x sin2x 1cos2x m22⇔ −− −+= sin2x 3cos2x 2m 1⇔+ =−+2 a/ (*) có nghiệm 22abc⇔+≥()2219 12m4m 4m 9 0110 110m22⇔+≥ −⇔−−≤−+⇔≤≤ b/ Khi m = -1 ta được phương trình ()sin 2x 3cos2x 3 1+= ()π•=+ = =Nếu x 2k 1 thì sin2x 0 và cos2x 12− nên phương trình (1) không thỏa. ()π•≠+ ≠ =Nếux 2k 1 thì cosx 0,đặt t tgx2 (1) thành ()22231 t2t31t 1t−+=++ ()(2222t 3 1 t 3 t 16t 2t 0t0t3⇔+ − = +⇔−=⇔=∨=) Vậy (1) ⇔tgx0hay tgx3tg xk===ϕ ⇔=π hay xk,k=ϕ+π ∈¢ Bài 105 : Cho phương trình ()2354sin x6tg2*sin x 1 tgπ⎛⎞+−⎜⎟α⎝⎠=+α a/ Giải phương trình khi 4πα =− b/ Tìm α để phương trình (*) có nghiệm Ta có : 3sin x sin x cos x22ππ⎛⎞ ⎛⎞−=− −=−⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠ ⎝⎠ 226tg 6sin.cos 3sin21tg cosαα=α=αvới cos 0+α αα ≠ Vậy : ()()54cosx* 3sin 2 điều kiện sin x 0 và cos 0sin x−⇔=α ≠α≠ 3sin 2 sin x 4 cosx 5⇔α+ = a/ Khi 4πα=− ta được phương trình ()3sinx 4cosx 5 1−+ = ( Hiển nhiên sin x = 0 không là nghiệm của (1)) 34sin x cosx 155⇔− + = Đặt 34cos và sin với 0 255ϕ=− ϕ= <ϕ< π Ta có pt (1) thành : ()sin x 1ϕ+ =xk22xk2π⇔ϕ+ = + ππ⇔=−ϕ++ π2≠ b/ (**) có nghiệm ()23sin2 16 25 và cos 0⇔α+≥ α22sin 2 1 và cos 0sin 2 1cos2 0k,k42⇔α≥ α≠⇔α=⇔α=ππ⇔α= + ∈¢ BÀI TẬP 1. Giải các phương trình sau : a/ ()2 2 sin x cos x cos x 3 cos2x+=+ b/ () (2cosx 1 sinx cosx 1−+)= c/ ()2 cos2x 6 cosx sin x=− d/ 3sinx 3 3cosx=− e/ 2 cos3x 3 sin x cosx 0++= f/ cosx 3 sin x sin 2x cos x sin x+=++ g/ 3cos x 3 sin xcos x 3 sin x 1+=++ h/ si n x cos x cos 2x+= k/ 34sin x 1 3sinx 3cos3x−= − i / 63cosx 4sinx 63cosx 4sinx 1++ =++ [...]... phương trình () 3sinx 4cosx 5 1−+ = ( Hiển nhiên sin x = 0 không là nghiệm của (1)) 34 sin x cosx 1 55 ⇔− + = Đặt 34 cos và sin với 0 2 55 ϕ=− ϕ= <ϕ< π Ta có pt (1) thành : () sin x 1ϕ+ = xk2 2 xk 2 π ⇔ϕ+ = + π π ⇔=−ϕ++ π2 ≠ b/ (**) có nghiệm () 2 3sin2 16 25 và cos 0 ⇔α+≥ α 2 2 sin 2 1 vaø cos 0 sin 2 1 cos2 0 k ,k 42 ⇔α≥ α≠ ⇔α= ⇔α= ππ ⇔α= + ∈¢ BÀI TẬP 1. Giải các phương trình. .. ∈ πππ ⇔=−+π∨= + ≠ ¢ Bài 101 : Giải phương trình ( ) 33 sin x cos x sin x cos x *+=− Ta coù : (*) 33 sin x sin x cos x cosx 0 ⇔−++= () () () 23 23 2 sin x sin x 1 cos x cosx 0 sinx cos x cos x cosx 0 cosx 0 hay sinx cosx cos x 1 0 cosx 0 sin2x cos2x 3 vô nghiệm do 1 1 9 x2k1,kZ 2 ⇔−++= ⇔− + + = ⇔= − + += = ⎡ ⇔ ⎢ −+ =− +< ⎣ π ⇔= + ∈ Bài 102 : Giải phương trình () 44 1 cos x sin x * 44 π ⎛⎞ ++= ⎜⎟ ⎝⎠ ... 2x 442 ⎡π⎤ ⎛⎞ 1 4 ⇔ ++−+ ⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠ ⎣⎦ = ()() 22 1 cos2x 1 sin2x 1 cos2x sin2x 1 13 cos 2x cos 44 2 3 2x k2 44 xkx k,k 24 ⇔+ ++ = ⇔+=− ππ ⎛⎞ ⇔−=−= ⎜⎟ ⎝⎠ ππ ⇔−=±+π ππ ⇔=+π∨=−+π ∈Z Bài 103 : Giải phương trình () 33 4sin x.cos3x 4 cos x.sin3x 3 3 cos 4x 3 * ++= Ta coù : (*) ( ) ( ) ⇔−+−+ 33 3 3 4sin x 4cos x 3cosx 4 cos x 3sinx 4sin x 3 3 cos4x 3 = () ⇔− + + = ⇔−++ 33 22 12sin x cos x 12 sin x . CHƯƠNG IV: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SIN VÀ COSIN (PHƯƠNG TRÌNH CỔ ĐIỂN) ()()asinu bcosu c * . a,b R 0+= ∈ Cách 1 : Chia 2 vế phương trình cho + ≠22ab. ∈¢¢ Bài 104 : Cho phương trình : ()222sin x sin x cosx cos x m *−−= a/ Tìm m sao cho phương trình có nghiệm b/ Giải phương trình khi m = -1 Ta