Lời cảm ơn Với tình cảm chân thành sâu sắc, xin cảm ơn: Ban giám hiệu trường Đại học Tây Nguyên, lãnh đạo khoa KHTN&CN, môn Tốn tồn thể q thầy giáo trường Đại học Tây Nguyên dạy dỗ truyền đạt cho kiến thức quý báu suốt trình học tập trường Đặc biệt, chúng tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Trần Thanh Tùng, người trực tiếp hướng dẫn tận tình bảo, truyền đạt cho kiến thức, kinh nghiệm quý báu trình học tập q trình hồn thành đề tài Cuối chúng tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình tập thể lớp Sư phạm Toán K09 giúp đỡ, tạo điều kiện tốt cho q trình học tập hồn thành đề tài BMT, ngày 07 tháng 03 năm 2012 Nghiên cứu ứng dụng phương trình sai phân sinh học Mở Đầu LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU ĐỐI TƯỢNG, KHÁCH THỂ VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 3.1 Đối tượng nghiên cứu 3.2 Khách thể nghiên cứu 3.3 Phạm vi nghiên cứu NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN CHƯƠNG 0: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 0.1 Đại cương phương trình vi phân 0.1.1 Phương trình vi phân 0.1.2 Cấp phương trình vi phân 0.1.3 Nghiệm phương trình vi phân 0.2.Sự tồn nghiệm phương trình vi phân CHƯƠNG 1: CẤU TRÚC TOÁN HỌC CỦA CÁC HỆ THỐNG SINH THÁI .11 1.1 Định nghĩa hệ sinh thái 11 1.1.1 Định nghĩa 11 1.1.2 Các hướng nghiên cứu 11 CHƯƠNG 2: GIỚI THIỆU CÁC MƠ HÌNH LIÊN TỤC 13 2.1 Đặt vấn đề 13 2.2 Những ví dụ mở đầu 13 2.2.1 Sự sinh trưởng vi sinh vật 17 2.2.2 Sự sinh trưởng vi khuẩn bình ni cấy 17 2.2.2.1 Gioi thiệu bình ni cấy 17 2.2.2.2 Thiết lập mơ hình 18 2.2.2.3.Tốc độ tiêu thụ chất dinh dưỡng bão hòa 20 2.2.2.4 Phân tích thư ngun phương trình .22 2.2.2.5.Nghiêm trạng thái cân 24 2.2.2.6.Phân tích tính ổn định trạng thái cân 25 CHƯƠNG 3: MƠ HÌNH LIÊN TỤC TRONG ĐỘNG HỌC QUẦN THỂ 27 3.1.Đặt vấn dề 27 3.2.Quần thể đơn loài 28 3.3.Hệ thống vật dữ-con mồi 34 3.4.Mơ hình cạnh tranh hai lồi .36 CHƯƠNG 4: CÁC MÔ HÌNH ĐỘNG HỌC 51 4.1.Mở đầu 51 4.2.Mơ hình hệ đơn giản 51 4.2.1.Mơ hình dạng mũ 51 4.2.1.1.Dạng tất định .51 4.2.1.2.Dạng ngẫu ngiên 51 4.2.2.Mơ hình dạng losgistis 53 4.2.2.1.Dạng tất định .53 4.2.2.2.Dạng ngẫu nhiên 56 4.3.Quần thể với quan hệ tuổi tác 58 4.3.1.Phương pháp xác định r,b Lotka 58 4.3.2.Xác định đươc trung bình sinh sảng quần thể 59 4.3.3.Số trung bình cá thể quẩn thể 60 4.4.Sự ổn định hệ k quần thể, tiêu chuẩn Routh-Hurwet 60 4.4.1.Tiêu chuẩn lượng 60 4.4.2.Tiêu chuẩn định tính .62 4.5.Hệ hai quần thể 63 4.5.1.Mơ hình Gauss .63 4.5.1.1.Trường hợp đặc biệt 65 4.5.1.2.Trường hợp không giaỉ biểu thức .65 4.5.1.3 Trường hợp với thời gian rời rạc .70 4.5.2 Mơ hình Lotka- Volterra 70 4.5.2.1 Định nghĩa 71 4.5.2.2 Trạng thái cân hệ 72 4.5.3 Mơ hình Laslie Gower 72 4.5.3.1 Trường hợp lien tục 74 4.5.3.2 Trường hợp rời rạc 76 4.5.4 Mơ hình Holling-Tanner 76 Động lực mơ hình truyền bệnh sốt rét 79 MỞ ĐẦU 1.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong ứng dụng Tốn học vào đời sống ứng dụng phương trình sai phân nội dung hấp dẫn, phong phú phức tạp Chính thế, lâu lĩnh vực ứng dụng nhiều nhà khoa học giới quan tâm nghiên cứu, song cịn nhiều vấn đề cần tìm tịi Phương trình sai phân có nhiều ứng dụng mang tính thực tiễn y học, kinh tế, vật lí, kĩ thuật, khoa học mơi trường đặc biệt ứng dụng sinh học.Tuy nhiên, thực tế nghiên cứu ứng dụng phương trình sai phân sinh học chưa nghiên cứu mang tính hệ thống Vì vậy, chúng tơi chọn đề tài: “Nghiên cứu ứng dụng phương trình sai phân sinh học” MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Mục đích nghiên cứu phương trình sai phân sinh học nhằm giải thích biến đổi trạng thái hệ dẫn đến trạng thái bền vững Vì có vấn đề cần quan tâm nghiên cứu hệ cỡ hệ(tức độ lớn hệ ví dụ chiều dài,độ cao,hình thể),thời gian tồn tại(tuổi thọ), khả phát triển(sinh sản, chết chóc), tổn thất hệ(như bệnh tật, thiên tai…) tính động hệ…Cơng việc thiết lập mối quan hệ hệ gọi mơ hình hóa hệ sinh thái Nói tóm lại để thiết lập mơ hình hệ sinh thái phải cần đến kiến thức môi trường, phương trình sai phân, tích phân, xác suất thống kê, lý thuyết tối ưu tin học ĐỐI TƯỢNG, KHÁCH THỂ VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 3.1 Đối tượng nghiên cứu Phương trình sai phân ứng dụng phương trình sai phân sinh học.Bao gồm: Cấu trúc toán học hệ thống sinh thái, mơ hình động học, mơ hình ngẫu nhiên, mơ hình cấu trúc 3.2 Khách thể nghiên cứu Khách thể nghiên cứu quần thể, hệ sinh thái NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Nghiên cứu số vấn đề lý luận về: phương trình sai phân,ứng dụng phương trình sai phân vào sinh học: Cấu trúc tốn học hệ thống sinh thái, mơ hình động học, mơ hình ngẫu nhiên, mơ hình cấu trúc PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Đề tài sử dụng hệ thống phương pháp nghiên cứu bao gồm phương pháp sau: - Phương pháp nghiên cứu tài liệu - Phương pháp chuyên gia - Phương pháp quan sát - Phương pháp thực nghiệm - Phương pháp thống kê tốn học ĐĨNG GĨP MỚI CỦA ĐỀ TÀI 6.1 Về mặt lý luận Đề tài góp phần hệ thống hóa sở lý luận cho việc nghiên cứu vấn đề ứng dụng phương trình sai phân sinh học; xác định ứng dụng phương trình sai phân sinh học, góp phần làm phong phú thêm tài liệu ứng dụng phương trình sai phân 6.2 Về mặt thực tiễn - Đánh giá thực trạng ứng dụng phương trình sai phân từ xác định số đặc điểm ứng dụng phương trình sai phân sinh học - Phân tích yếu tố tác động cịn hạn chế ứng dụng phương trình sai phân từ đề xuất số biện pháp ứng dụng khác mang kết rõ rệt - Kết nghiên cứu đề tài cung cấp tài liệu góp phần nâng cao tính ứng dụng phương trình sai phân vào sinh học CẤU TRÚC CỦA ĐỀ TÀI Nội dung luận án gồm 127 trang, bao gồm phần mở đầu (5 trang), ba chương (119 trang) có 21 bảng số, biểu đồ kết luận, kiến nghị (3 trang) Ngồi cịn có danh mục cơng trình tác giả, tài liệu tham khảo phụ lục (54 trang) Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 1.1.1 Phương trình vi phân Định nghĩa 1.1 Phương trình vi phân liên hệ biến độc lập, hàm phải tìm đạo hàm (hay vi phân) hàm phải tìm gọi phương trình vi phân F ( x, y ( x), y′( x), , y ( n) ( x)) = (1.1) y ( n ) = f ( x, y, y′, , y ( n−1) ) (1.2) Chú ý - Nếu hàm cần tìm phụ thuộc vào biến độc lập gọi phương trình vi phân thường - Nếu hàm cần tìm phụ thuộc vào hai hay nhiều biến gọi phương trình đạo hàm riêng 1.1.2 Cấp phương trình vi phân Cấp phương trình vi phân cấp cao đạo hàm có phương trình Ví dụ 1.1 Phương trình y′ + y = sinx phương trình vi phân cấp (4) x Phương trình y − y′′ + 2e = phương trình vi phân cấp 1.1.3 Nghiệm phương trình vi phân Định nghĩa 1.2 Nghiệm PTVP(1.1) hay (1.2) hàm ϕ :(a,b) ⊂ ¡ → ¡ ( x → y = ϕ( x) ) ( n) ∈G ⊂ ¡ n+2 x ∈(a,b) , x,y,y' y cho với thỏa mãn phường trình (1.1) hay phương trình (1.2) Nghĩa thay (1.1) hay (1.2) hàm y = ϕ( x), ,y( n) = ϕ( n)( x) chúng xác định trở thành đồng thức (a,b): F( x, ϕ( x), ϕ'( x) , ϕ( n)( x)) = với x ∈(a,b) , ϕ( n)( x) = f( x, ϕ( x), , ϕ( n−1)( x)), với x ∈(a,b) Khi đường cong y = ϕ( x),x ∈(a,b) gọi đường cong tích Hay phân phương trình (1.1) hay (1.2) Nói chung nghiệm (1.1) hay c ,c , ,cn (1.2) hàm phụ thuộc vào n số tùy ý dạng y = ϕ( x,c1,c2, ,cn ) Trong PTVP ta thường gặp toán đây, gọi toán Cauchy Bài toán Cauchy PTVP cấp có dạng Tìm nghiệm ϕ : (a,b) → ¡ x a ϕ( x) phương trình y' = f( x,b) thỏa mãn điều kiện đầu (sơ kiện) cho trước y( x0) = y0 hay tìm nghiệm toán y' = f( x,y)   y( x0) = y0  (1.3) Bài toán Cauchy đổi với PTVP cấp n có dạng y( n) = f( x,y,y', y( n−1) )  y( x0) = y0,  y'( x0) = y01,   y( n−1)( x0) = y0,n−1  x ,y ,y , y0,n−1 Trong 0 01 giá trị cho trước Sau ta xét loại nghiệm PTVP ( n) ( n −1) ) Xét phương trình (1.2) y = f( x,y,y', y (1.4) ( x,y0,y01,y02, y0,n−1) ∈G ⊂ ¡ n+1 Giả sử với tốn (1.2) có nghiệm nhất, Định nghĩa 1.3 Hàm y = ϕ( x,c1,c2, ,cn ) , phụ thuộc n số c1,c2, ,cn gọi nghiệm tổng quát (NTQ) (1.7) thỏa mãn hai điều y = ϕ( x,c , ,c ) n   y' = ϕ'( x,c1, ,cn )  y( n−1) = ϕ( n−1)( x,c ,c , ,c ) n   kiện sau đây:Từ hệ ( n−1) ) i = 12, n nhất, , ta giải ci = ψi( x,y, ,y ( n−1) với ( x,y,y' y ) ∈G y = ϕ( x,c1, ,cn ) thỏa mãn (1.2) với giá trị c1,c2, ,cn nhận từ hệ a) ( x,y,y', y( n−1) ) ∈G a) Hàm Định nghĩa 1.4 Nếu nghiệm (1.2) tồn dạng φ( x,y,c1, ,cn ) = thỏa mãn hai điều kiện a) b) φ( x,y,c1, ,cn ) = gọi tích phân tổng quát (1.2) Định nghĩa 1.5 Nghiệm y = ϕ( x) (1.2), mà điểm đồ thị tốn Cauchy (1.3) có lời giải nhất, gọi nghiệm riêng Nghiệm (1.2) có từ nghiệm tổng quát với giá trị xác định ci = ci0 i = nghiệm riêng ,n Định nghĩa 1.6 Nếu nghiệm (1.2) tồn dạng 0 φ( x,y,c1 ,c2, ,cn ) = có từ tích phân tổng qt với giá trị xác c = ci , i = ,n định i gọi tích phân riêng Định nghĩa 1.7 Nghiệm y = ϕ( x) (1.2), mà điểm đồ thị nó, tính nghiệm tốn Cauchy bị phá vỡ, gọi nghiệm kỳ dị c ,i = , ,n Nghiệm nhận từ NTQ cho số i lấy giá trị cụ thể cho ta nghiệm kỳ dị Nghiệm kỳ dị nhận từ NTQ C = C( x) Ngồi ta cịn có nghiệm hỗn hợp, nghiệm bao gồm phần nghiệm riêng phần nghiệm kỳ dị Lưu ý: Khi giải phương trình ta tìm NTQ TPTQ, cho điều kiện đầu ta tìm NR TP riêng 1.1.2 Sự tồn nghiệm PTVP Định lý Picard Phương trình vi phân cấp n y( n) = f( x,y,y', ,y( n−1) ) với điều kiện đầu y( x ) = y , 0  y'( x0) = y01,    y( n−1)( x ) = y 0,n−1   (1.5) x ,y ,y , y0,n−1 0 01 giá trị cho trước Nếu hình hộp chữ nhật {( ) D = x,y,y', ,y( n −1) ∈ ¡ n +1 x − x0 ≤ a, y − y0 ≤ b, y( i ) − y0i ≤ b,i = , ,n − a, b số dương , f thỏa mãn hai điều kiện ( n −1) ) liên tục đối số bị 1) Hàm f( x,y,y', ,y chặn D, nghĩa tồn số M > cho f( x,y, ,y( n −1) ) ≤ Μ ( n −1) ) ∈D với ( x,y,y', ,y ( n −1) 2) Hàm số f( x,y,y', ,y y,y', ,y( n −1) nghĩa f( x,y2,y2', ,y( n −1) ) (1.7) − (1.6) ) thỏa mãn điều kiện Lipschitz ( f( x,y1,y1', ,y1n −1) ) n −1 ≤ L ∑ y( i ) − y( i )1 i =0 ( n −1) ( ( x,y1,y1', ,y1n−1) ,( x,y2,y2', y2 ) ∈ D , với y(j 0) = yj L số dương; tồn nghiệm y = y( x) thỏa mãn điều kiện ban đầu (1.10) xác định liên tục với đạo hàm x−x ≤ h đến cấp n đoạn  b  h = a, ( n −1)  max (M , y' , , y     )  ∂ff ∂ ∂f , , , ( n −1) ∂y ∂y' ∂y Lưu ý Nếu liên tục D D hàm f ( n −1) thỏa mãn điều kiện Lipschitz y,y', ,y Trong Bài 1.5 có chứng minh định lý tồn nghiệm cho trường hợp PTVP cấp Chương CẤU TRÚC TOÁN HỌC CỦA CÁC HỆ THỐNG SINH THÁI 1.1 ĐỊNH NGHĨA CÁC HỆ SINH THÁI 1.1.1 Định nghĩa Một hệ sinh thái tập hợp đối tượng sinh thái có tính chất chung Ví dụ hệ sinh thái trung du tập hợp đối tượng sinh học vùng có độ cao trung bình hệ sinh thái vùng ven biển đối tượng tồn dọc bờ biển - Các dạng vật chất hệ ứng với điều kiện định đối tượng sinh thái gọi trạng thái hệ gọi tắt biến trạng thái (State variables) - Các yếu tố bên ngồi có ảnh hưởng đến biến trạng thái gọi biến ngoại sinh (Exogerous variables) mưa, nắng, gió, nhiệt độ, áp suất - Các yếu tố người đưa vào để điều khiển biến động hệ gọi biến điều khiển (Decision variables) - Các trạng thái mà thời gian biến đổi, giữ nguyên gọi trạng thái vững (Steady state) Mục đích nghiên cứu hệ sinh học tìm phương pháp giải thích biến đổi trạng thái hệ dẫn đến trạng thái bền vững Vì vậy, có vấn đề cần quan tâm nghiên cứu hệ, cỡ hệ (tức độ lớn hệ, ví dụ chiều dài, độ cao, hình thể), thời gian tồn (tuổi thọ), khả phát triển (sinh sản, chết chóc), tổn thất hệ ( bệnh tật, thiên tai, ) tính động hệ ( dáng điệu, tiệm cận hệ) Công việc thiết lập mối quan hệ hệ gọi mơ hình hóa hệ sinh thái - Một hệ có nhiều loại đối tượng Chẳng hạn quần thể, loài cá thể, Hệ đơn giản hệ đối tượng nhất, ví dụ hệ quần thể, hệ phức tạp hệ nhiều quần thể( từ trở lên) 1.1.2 Các hướng nghiên cứu Cho đến có dạng nghiên cứu mơ hình hệ - Nghiên cứu thay đổi hệ tốc độ tăng trưởng quần thể thay đổi - Dự báo trình biến đổi, điều kiên thành phần thay đổi mặt lý thuyết thực tiễn đối chiếu với - Nghiên cứu điều kiện ổn định Các mô hình liên quan đến thời gian gọi mơ hình đơng học Các mơ hình khơng quan tâm đến thời gian, gọi mô hinh không gian Nếu loại có xét đến yếu tố ngẫu nhiên, gọi mơ hình ngẫu nhiên mơ hình liên quan đến nhiều lý thuyết xác suất thống kê Nói tóm lại để thiết lập mơ hình cho hệ sinh thái phảo cần kiến thức mơi trường, phương trình vi phân, tích phân, xác suất thống kê, lý thuyết tối ưu tin học Chương : GIỚI THIỆU CÁC MƠ HÌNH LIÊN TỤC 2.1 Đặt vấn đề Chương giới thiệu mơ hình phương trình vi phân bản, công thức chúng, kết hợp với phân tích đánh giá chúng Điểm nhấn phần giả thiết phù hợp đa làm đơn giản tốn phương trình vi phân khai triển Taylor almf để mô tả đặc điểm quan trọng trình liên tục Một phần khó khăn việc lập mơ hình viết phương trình, tập trung vào cơng việc cách có chủ ý Chúng ta bắt đầu với vài phương trình vi phân đơn giản mơ hình phát triển vi sinh vật tiêu thụ chất dinh dưỡng thiết bị gọi bình ni cấy Một số mơ hình đơn giản giải phương diện giải tích Tuy nhiên, tính phức tạp tăng lên việc tính tốn phương trình gặp khó khăn Một công cụ hiêu để xác định sai sót tiềm ẩn phương trình phương pháp phân tích thứ nguyên, phương pháp chủ đề thứ hai chương Sau xác định tốn tính tốn tập hợp phương trình thích hợp phân tích nghiệm chúng Trong mơ hình ni cấy, ta tìm thấy nghiệm phù hợp phương diện giải tích trạng thái cân Những tính chất cân quan trọng tìm hiểu kĩ mục 2.4 Từ mục 2.2 – 2.4 xem xét khía cạnh tốn học Những kiến thức liên quan đến phương trình vi phân mà bỏ qua lướt qua phần 2.3 Sự phân tích mơ hình phần 2.4 làm sáng tỏ số kết toán học phương diện sinh học Từ thấy điều khiển mơ hình hoạt động cho có hiệu cao 2.2 Những ví dụ mở đầu 2.2.1 Sự sinh trưởng vi sinh vật a2 ln N1 − b2 N1 + a1 ln N − b1N = c (2) Nghiệm (2) biễu diễn họ đường cong đóng, đường tương ứng với số c 4.5.2.2 Trạng thái cân hệ Trạng thái cân trạng thái mà:  dN1 =0   dt   dN =  dt  (3) Giải hệ phương trình (3) ta có:  * a2  N1 = b    N * = a1  b1  (4) Bây ta xét điều kiện ổn định (4) Muốn theo phương pháp Routh – Hurtwits khai triển hàm:  • dN N1 = := F1( N1N )   dt  •  N = dN := F ( N N ) 2  dt  (5) quanh vị trí Ta có: * * ( N1 N ) * * * N1 = F1( N1, N ) = F1( N1 N ) + ( N1 − N1 ) 44 4 Mà * * F1( N1 N ) = =0 ∂N1 * * * ( N1 N2 ) = a1 − b1N2 = ∂N1 Và Nên ∂N1 * * a * ( N1 N2 ) = −b1N1 = −b1 ∂N2 b2   a  *  N1 = ( N − N )  −b1 ÷  b2 ÷     ab   N = ( N1 − N1* )  ÷   b ÷    Tương tự ta đặc: (6) dN1 * * * ∂N * * ( N1 N2 ) + ( N − N ) ( N1 N2 ) ∂N1 ∂N * N1 − N1 = n1 * N − N2 = n2 Ta có:  −b1a2  ÷ = 0.n + n2   ÷ b2    ab  ab •  n2 = n1  ÷ = n1 + 0.n2   b1 ÷ b1      −b a • n1 = n2   b2  (7) Hay • n1 = a11n1 + a12 n2 • n = a n + a n 21 22   −b a a = 0; a = 12 b2  11   a1b2  a21 = b ; a22 =   với (8) a11 + a22 < ; ngược a + a >0 không ổn định Ở a11 + a22 = Do hệ (8) chưa lại 11 22 Theo tiêu chuẩn Hurwits hệ (8) ổn định kết luận Ví dụ:  dN = (a − b N ) N  1  dt   dN  dt = (−a2 + b2 N1) N Cho hệ  a = 1; a = 0.5   b = 0.1; b2 = 0.02 Với  * * N1 = 25, N = 10 Ta có 4.5.3 Mơ hình Laslie Gower (1960) 4.5.3.1 Trường hợp liên tục Xét quẩn thể Mồi – Thú cho hệ phương trình:  dN = (a − c N ) N  1  dt   dN = (−a + c N ) N 2 N  dt  (1) Với hệ số > Hệ có điểm cân (bão hịa)  dN1 =0   dt   dN =  dt  Cho nên (a1 − c1N ) N1 = * a N2 = c1 Vì  a −c   Vì N2  ÷N = N1 ÷  * * = c2 N N1 a2 = c2a1 c1a2 Khai triển Taylor lân cận * * ( N1 N ) hệ  dN • = N = (a − c N ) N = F ( N , N )  1 1  dt     •  dN = N =  a − c N ÷N = F ( N , N )  2 N ÷ 2  dt 1    Ta • dN = F ( N *, N * ) + ( N − N *) ∂ N1 1 1 ∂N dt Mà • • ∂N = a −c N = 1 ∂N ( N*N*) (2) • ∂N + ( N − N *) 2 ∂N ∂N1 ca ca = −c1N1 = −c1 = − c1a2 a2 ∂N2 F ( N *N *) = Và 1 Vậy   • * * c a  N1 = −( N − N ) a2    •  * * a * N = ( N1 − N1 ) + ( N − N )(−a2 )  c2   * N1 − N1 = n1 Đặt  ca * * N1 = + ( N1 − N1 ).0 + ( N − N )  − ÷  a2 ÷   • * N − N2 = n2 (3) ( N*N*) Từ (3) ta có • ca n1 = 0.n1 − n2 = a11n1 + a12 n2 a2    a2 • n2 = c n1 − a2 n2 = a21n1 + a22 n2   (4) Từ (4) theo tiêu chuẩn Routh – Hurwits thì: a11 + a22 = + (−a2 ) < * * ( N1 N ) ổn định Vậy 4.5.3.2 Trường hợp rời rạc Có thể biểu diễn dạng (1) dạng sai phân sau:  λ1N1(t )  N1 (t + 1) = + γ 1N (t )    N (t + 1) = λ2 N (t )  + γ N1(t )  (5) Trong λi = e γi = ci (λi −1) (6) , ci hệ số phụ thuộc phương trình (1) Chú ý: - Vậy từ phương trình (1) ta giải xấp xỉ (5) (6) - Nếu hệ biễu diễn hệ phương trình (1) hệ ln ổn định quanh vị trí bão hịa 4.5.4 Mơ hình Holling – Tanner (1975) Đây mơ hình quẩn thể Thú- Mồi phức tạp hơn, cho hệ:  dN   =  a − b N − wN ÷N   dt  1 D + N1 ÷      dN  N  =  a2 − c2 ÷N   N1 ÷  dt    (1) (Holling đưa 1975 Tanner cải tiến 1975) w D + N1 biểu diễn độ hiệu thu tiếp cận Trong mồi Hằng số D biểu thị khả mồi tránh tiếp cận thú Khả tránh lớn D lớn Hệ số đạt cân  dN1 =0   dt   dN =  dt  Suy * *  ( D + N1 )(a1 − b1N1 ) N* =  w   *  * c2 N N2 =  a2   (2) Áp dụng phương pháp Routh-Hurwits thấy điểm cân * * ( N1 N1 ) không ổn định Chú ý: (1975) Tanner áp dụng mơ hình để nghiên cứu quần thể sau: -Chim (sparrow) chim ưng (Hawk) châu Âu - Chuột xạ chồn (Vizon) Bắc Mỹ -Thỏ rừng (hare) mèo rừng (lynx) Bắc Canada -Hươu nai báo sư tử (cougar) Rockies -Hươu nai trắng (white-tailetdeer) sói (wolf) Ontario PHẦN 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG Y HỌC I MƠ HÌNH SIR Giới thiệu Black Death ( chết đen ) thảm họa dịch hạch hoàn thành Châu Âu khoảng từ năm 1347-1350 cướp 1/3 dân số châu lục Trận đại dịch hạch Luân Đôn từ năm 1664-1666 giết 75.000 người tổng số 460.000 người Dịch cúm khoảng thời gian từ 1918-1919 cướp 20 triệu mạng người Châu Âu [3] Ngày số lượng loại bệnh dịch mức độ nguy hiểm chúng cộng đồng ngày tăng lên, nhiều loại bệnh dịch đe dọa tồn vong nhiều quốc gia, châu lục như: AIDS, Lao, Sốt rét, SARS, dịch cúm,… Mơ hình Tốn học bệnh dịch sử dụng để dự báo tốc độ lây lan, ngưỡng, đánh giá tác dụng biện pháp khống chế bệnh dịch Chính việc nghiên cứu mơ hình tốn bệnh dịch đề cập từ sớm, tiêu biểu Daniele Bernoulli, nhà toán học người Thụy Sĩ nghiên cứu hiệu tiêm chủng đậu bò (cowpox) lây lan bệnh đậu mùa người (smallpox) vào năm 1760[4] Có thể nói Kermack Mackendrick người tiên phong việc ứng dụng lý thuyết phương trình vi phân để mơ lây lan bệnh dịch cộng đồng dân số mơ hình đưa vào năm 1927 Hiện có hai hướng nghiên cứu mơ hình Tốn bệnh dịch theo hướng vi mơ vĩ mô Theo hướng vi mô, nhà nghiên cứu tập trung mơ hình hóa yếu tố tầm cá thể bệnh dịch như: mơ hình hóa hệ miễn dịch người, mơ hình hóa biến thể Viruts,… Theo hướng vĩ mô, nhà nghiên cứu tập trung mơ hình hóa yếu tố mang tính cộng đồng như: mơ hình hóa lây lan bệnh dịch cộng đồng, mơ hình hóa tác dụng sách khống chế bệnh dịch,…[3] Bài viết giới thiệu mơ hình tốn đơn giản Kermack MacKendrick đề xuất (1927), mơ hình SIR- mơ hình hóa lây nhiễm bệnh dịch cộng đồng Mơ hình SIR Mơ hình SIR đưa Kermack Mackendrick vào năm 1927- mơ hình SIR, cịn gọi mơ hình Ba ngăn tất định mơ hình tốn học, mơ hình hóa lây lan bệnh dịch cộng đồng Ở ta mơ tả mơ hình phương trình vi phân thường 2.1 Các giả thiết mơ hình Ta chia tổng dân số N người (khơng thay đổi) thành ba ngăn sau: Ngăn S (susceptibles), bao gịm người chưa nhiễm bệnh bị nhiễm bệnh Ngăn I (infectives), bao gồm người nhiễm bệnh có khả lây nhiễm cho người khác Ngăn R (removed hay recovered), bao gồm người khỏi bệnh, khong thể lây bệnh cho người khác, người có khả miễn dịch khoảng thời gian đủ dài, bao gồm người bị chết bệnh dịch Khi S(t), I(t), R(t) số người ngăn S, I, R thời điểm t Trong mơ hình ta bỏ qua tỉ lệ sinh sản, tử vong tự nhiên không tích hợp thời gian ủ bệnh 2.2 Các phương trình mơ tả mơ hình Tốc độ lây nhiễm β Gọi p xác suất gặp gỡ (hiểu theo nghĩa có tiếp xúc với nhau) người bị nhiễm bệnh với người bị nhiễm bệnh Khi người bị nhiễm bệnh tiếp xúc với p.S người bị nhiễm bệnh Gọi λ xác suất nhiễm bệnh người mắc bệnh tiếp xúc với người bị nhiễm bệnh (tham số cịn gọi tính lây nhiễm hay mức độ nguy hiểm bệnh dịch) Do đó, đơn vị thời gian có λp.S người bị nhiễm bệnh người bị nhiễm bệnh, tức có λp.SI người bị nhiễm bệnh đơn vị thời gian Ta đặt β = λ.p gọi tốc độ lây nhiễm bệnh dịch (bằng tích khả bị nhiễm bệnh với khả tiếp xúc với người bị nhiễm bệnh) Tốc độ khỏi bệnh γ Một người bệnh (ở ngăn I) sau khoảng thời gian khỏi bệnh (hoặc bị chết) di chuyển vào ngăn R Gọi tD khoảng thời gian mắc bệnh trung bình, đặt γ = 1/ tD, gọi tốc độ khỏi bệnh Khi đó, γI số người khỏi bệnh trog đơn vị thời gian Phương trình mơ tả S I R Hình Sự di chuyển người qua ngăn Mơ hình SIR mơ tả hệ phương trình vi phân thường sau  dS (1)  dt = S '(t ) = − β S (t ) I (t )   dI  = I '(t ) = β S (t ) I (t ) − γ I (t ) (2)  dt  dR (3)  dt = R '(t ) = γ I (t )  S (0) = S0 > 0; I (0) = I ≥ 0; R(0) = R0 ≥ Một người ban đầu lớp S sau bị nhiễm bệnh di chuyển vào lớp I cuối vào lớp R Số người bị nhiễm bệnh S (t ) giảm, số người bị nhiễm bệnh số người bị nhiễm trừ số người khỏi bệnh dS (t ) dI (t ) dR (t ) + + = ⇒ S (t ) + I (t ) + R(t ) = N (const ) dt dt Ta có: dt Nghĩa tổng số người ba ngăn không thay đổi theo thời gian Từ giả thiết phương trình (1) (2) ta suy phương (3), ta cần để hệ hai phương (1) (2), với lưu ý hàm I hàm theo theo biến S Như ta có hệ phương trình vi phân thường sau (1)  S '(t ) = − β S (t ) I (t )   I '(t ) = β S (t ) I (t ) − γ I (t ) (2) dS dI / dt β SI − γ I γ = = = −1 − β SI βS Vì I hàm S nên dt dS / dt (4) Vế phải (4) không chứa I, phương trình biến số phân li , lấy tích phân hai vế phương trình (4) theo biến S ta dI γ ⇒I= γ ln S − S + C β ∫ dS dS = ∫ ( β S − 1)dS Đặt ρ= (C = const ) γ β , ta có: I = ρ ln S − S + C (5) Với điều kiện ban đầu ( S0 , I ) , ta có C = I + S0 − ρ ln S 2.3 Mơ tả mơ hình đồ thị Xét bệnh dịch với tham số sau: tốc độ nhiễm bệnh β = 1, tốc độ khỏi bệnh γ = 1; S (0) = 5; I (0) = 0.01; R(0) = Ta có mơ hình  S ' = − S (t ) I (t )   I ' = S (t ) I (t ) − I (t )  R ' = I (t )  Đường cong nghiệm mô tả sau S I R O Hình Đường cong nghiệm mơ hình SIR 2.4 Một số phân tích mơ hình Khi bệnh dịch bùng phát? Đặt β S0 γ , gọi tỉ số sinh (the basic reproductive ratio) β S R0 > γ >1 ⇒ β S0 > γ ⇒ β S0 − γ > Nếu dI = I ( β S0 − γ ) < dt R0 = Ta có thời điểm ban đầu , nghĩa số người bị nhiễm bệnh tăng lên hay bệnh dịch khơng có nguy bùng phát β S0 < ⇒ β S < γ ⇒ β S0 − γ < Ngược lại, R0 < γ dI = I ( β S0 − γ ) < dt Ta lại có thời điểm ban đầu , nghĩa số người bị nhiễm bệnh giảm xuống hay dịch bệnh khơng có nguy bùng phát Như R0 > bệnh dịch có nguy bùng phát, muốn khống chế ta phải làm giảm R0 nhỏ tốt cách áp dụng biện pháp : giảm S β ( tiêm văccin, cách li, đóng cửa trường học, cơng sở,tun truyền cách phòng chống dịch bệnh cho người dân,…); tăng γ ( điều chế thuốc đặc trị, nghiên cứu phác đồ điều trị, tăng cường chất lượng điều trị bệnh,…) Nên chuẩn bị giường bệnh để ứng phó? Từ (5) ta có I = ρ ln S − S + ( I + S0 − ρ ln S0 ) ⇔ I = N − S + ρ ln Hình Đồ thị hàm I theo biến S S S0 S= ρ γ I max = N − ρ + ρ ln I max =ρ S0 β Vậy Chính giá trị Do I max ước lượng cho số người bị nhiễm bệnh tối đa dịch bệnh xảy Như ta phải chuẩn bị nhiều I max giường bệnh có dịch xảy 2.5 Cơ sở tốn học cho Chính sách tiêm chủng Các mơ hình bệnh dịch truyền nhiễm cho hiểu biết rõ chế tiêm chủng tác động đến bệnh dịch Anderson May viết vấn đề năm 1982, tốn có tính đến cấu trúc tuổi quần thể sử dụng phương trình sai phân phần Tuy vậy, ta bàn kết cách đơn giản, khơng cần tới kiến thức chưa học Xóa bỏ bệnh dịch Tiêm chủng tiêu diệt bệnh dịch phần quần thể tiêm chủng Những người tiêm chủng loại bỏ khỏi lớp I , làm giảm số người có khả lây nhiễm làm giảm xác suất người nhạy cảm gặp người lây nhiễm Đây gọi miễn dịch tập đoàn Chỉ cần tiêm chủng cho phần p quần thể cho phần ( − p ) N không vượt ngưỡng để bệnh tồn quần thể Bệnh lại tự dập tắt Vì tiêm chủng tốn nhiều cịn nguy hiểm (ví dụ tiêm phịng sởi ho gà có nguy (tuy hiếm) gây phản ứng phụ làm tổn thương thần kinh) Nβ R0 = v nên dựa vào số liệu quần thể bệnh ta có Vì hệ số thể tính R0 cho bệnh cụ thể Bảng 5.1 lệt kê hệ số R0 số bệnh thông thường Tỉ lệ p tính phép tính đơn giản sau: Tốc độ sinh sản nội bệnh R0 Tỉ lệ tiêm chủng quần thể p , không miễn dịch (1- p) Số lượng người lây ( − p ) N Tốc độ sinh sản nội sau tiêm nhiểm quần thể R = − p ) R0 chủng ( ' R0 < ⇒ ( − p ) R0 < ⇒ p > − R0 Nên: Bệnh Thời gian địa điểm R0 Đậu mùa Các nước phát triển 3-5 Giá trị p xấp xỉ (%) 70-80 Sởi Anh xứ Wales 1956-1968 Mỹ nhiều nơi 1910-1930 Ho gà Anh xứ Wales 1942-1950, Maryland Mĩ 1908-1917 Sởi Đức Anh xứ Wales 1979 Tây Đức 1972 Thủy đậu Mỹ nhiều nơi 1913-1921 1943 Bạch Hầu Mỹ nhiều nơi 1910-1947 Bệnh ban 13 12-13 17 13 92 92 6-7 83 86 9-10 90 4-6 80 Mỹ nhiều nơi 1910-1920 5-7 80 Mỹ nhiều nơi 1912-1916 1943 Hà Lan 1960, Mỹ 1955 4-7 80 83 94 92 đỏ Quai bị Bại liệt Bảng 2.5: Ước lượng tốc độ sinh sản nội R0 bệnh dịch người phụ thuộc vào tỉ lệ tiêm chủng p (Theo Robert M May, 1983) Vì phần trăn dân số tiêm chủng phụ thuộc mạnh vào tính chất lây nhiễm bệnh Bệnh đậu mùa, bệnh tiêu diệt hiệu nhờ tiêm phịng, có giá trị R0 thấp Ngược lại, sởi ho gà hai bệnh có R0 cao, phần trăm phải tiêm chủng cao nên khó loại trừ Tuổi mắc bệnh trung bình Liệu có phải khơn ngoan ta tiêm chủng phần quần thể tất bệnh lây nhiễm hay không? Người ta khám phá rằng, số bệnh khác tác động lứa tuổi khác tiêm phịng lúc bé chưa có lợi Một ví dụ bệnh sởi Đức (còn gọi bệnh Rubella), bị lúc nhỏ thị bệnh nhẹ, mắc phải lúc mang thai tháng đầu nguy hiểm cho thai nhi Khi tiêm chủng phần quần thể, xác suất gặp phải người mắc bệnh giảm đi, kiện bị lây nhiễm từ người hơn, nên tuổi trung bình mắc bệnh lần đầu quần thể tăng lên Nếu quần thể không tiêm chủng mắc bệnh vào khoảng 12 tuổi, phần quần thể tiêm chủng mà ta không tiêm chủng ta hết miễn dịch thị ta có khả bị bệnh vào khoảng 20-30 tuổi, lứa tuổi sinh đẻ Như vậy, tiêm chủng cho trẻ em quần thể mang lại nguy sức khỏe cho cộng đòng lớn khơng tiêm Vì thế, tùy tính chất bệnh mà người ta quy định tiêm chủng vào độ tuổi khác Tại tiêm chủng lại làm tăng độ tuổi mắc bệnh trung bình? Đặt λ = β I Gọi lực lây nhiễm đầu người, λ có đơn vị 1/1 đơn vị thời gian Nó tỉ lệ mắc bệnh quần thể có I người mắc bệnh hệ số truyền nhiễm β A= λ , A tuổi trung bình lần mắc bệnh đầu tiên, thời Cho gian trung bình cá thể tồn S trước người mắc bệnh chuyển sang ô I Bây ta thấy rằng, tiêm chủng làm giảm I, giảm λ tăng A Nên tiêm văccin cho người? Giả sử bệnh dịch có xu hướng bùng phát dân số để khống chế phát triển nhà quản lí chọn giải pháp tiêm văccin cho người dân, vấn đề đặt nên tiêm phòng cho người? Giả sử thời điểm t, số người bị nhiễm bệnh bị nhiễm bệnh tương ứng I(t); S(t) Khi dịch bệnh có nguy bùng phát số dI >0 dt người bị nhiễm bệnh tăng lên, tức suy β S (t ) − γ > ⇒ S (t ) > ρ Ta mong muốn tiêm phòng văccin làm giảm số người mắc bệnh, có nghĩa I ' ( t' ) < ' t ' thời điểm sau tiêm phòng ( t > t ) Tức , với β S ( t' ) − γ < , từ S ( t' ) < ρ Như ta cần phải tiêm phịng cho ( ) người dân bệnh dịch khống chế Nếu xét thời điểm ban đầu số người S − ρ Từ ta suy số liều cần phải tiêm phòng tối thiểu văcxin cần phải dự trữ điều kiện bệnh dịch xảy S t −ρ Thảo luận đề xuất Mơ hình SIR mơ hình hữu dụng việc mơ hình hóa lây lan bệnh dịch cộng đồng, trường hợp cộng đòng hiểu tỉnh, trường học, quan hay nơi có số người dân tương đối nhỏ Việc lập mơ hình cho dân số lớn địi hỏi phải có mơ hình phức tạp kĩ thuật phân tích xác Xét khía cạnh ngun nhân gây bệnh, mơ hình mơ tả tốt bệnh có văcxin phịng bệnh bệnh mà người bị nhiễm bệnh sau có khả miễn nhiễm lâu dài Các tham số mơ hình phụ thuộc nhiều vào thành tố xã hội học sinh học Chẳng hạn tốc độ lây nhiễm phụ thuộc vào mức độ mạnh yếu virut hay mật độ phân bố dân cư,… Khi bệnh dịch xảy ra, việc ước lượng tham số mơ hình cách xác tạo điều kiện việc đề sách khống chế bệnh dịch đạt hiệu cao Bài toán ước lượng tham số mơ hình vừa có tính lí thuyết vừa có tính thực tế Tính lí thuyết thể chỗ nhà nghiên cứu cần tìm phương pháp ước lượng có độ sai số nhỏ, tính thực tế thể chỗ áp dụng cách hoàn toàn việc ước lượng tham số cho mơ hình nơi cho nơi khác ( khác theo nghĩa khác đặc điểm dân cư, địa hình, ) Và việc ước lượng tham số phụ thuộc lớn vào liệu bệnh dịch mà nhà nghiên cứu hay quan y tế thu thập Từ mơ hình SIR, ta ó thể mở rộng mơ hình khác phức tạp hơn, cách nới lỏng giả thiết mô hình Chẳng hạn, xét đến tỉ lệ sinh tỉ lệ tử vong ta có mơ hình SIR động học; xét đến thời gian ủ bệnh ta có mơ hình SEIR; xét đến có mát khả miễn dịch người khỏi bệnh ta có mơ hình SIRS;… II MỘT SỐ MƠ HÌNH ỨNG DỤNG KHÁC Mơ hình sử dụng thuốc Các phận người nhạy cảm với phản ứng hóa học Lập mơ hình q trình tăng - giảm nồng độ hóa chất người Lập mơ hình Gỉa sử u(t) nồng độ thuốc thể Tốc độ tăng u(t) tỷ lệ với a- u(t) , với a nồng độ bão hịa cối cùng.Mơ hình tăng nồng độ u(t) PTVP sau d (u ) = k (a −u (t )), u (0) = dt Mơ hình ung thư Mơ hình ung thư mơ tả hệ PTVP sau M  dM = q + rM (1 − ) − aMN  dt k1   dN = bNZ − d1 N  dt  Z  dZ = sZ (1 − ) − bNZ − d N  dt k2  Trong M mật độ tế bào khối u ,bướu, N mật độ tế bào chống lại u bướu, Z mật độ tế bào không sinh trưởng hay không hoạt động, r(>0) tỷ lệ tế bào u,bướu, q(>0) tỷ lệ chuyển đổi tế bào bình thường thành tế bào ác, bào u ,bướu, k1 (>0) khả cao hạn chế tế k2 (>0 ) khả cao tế bào không sinh trưởng hay không hoạt động, k1 > k2 ,a(>0) tỷ lệ phá hủy tế bào khối u,bướu d tế bào chống lại , b(>0) tỷ lệ chuyển đổi tế bào chống lại, (>0) tỷ lệ chết tự nhiên tế bào chống lại ,s(>0) tỷ lệ tế bào u,bướu không hoạt động, d (>0) tỷ lệ chết tự nhiên tế bào khơng hoạt động Mơ hình nghiên cứu dạng PTVP ngẫu nhiên [4] TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Minh Mẫn, Khoa học tính tốn nghiên cứu bệnh dịch, Trường Đại Học Bách Khoa- ĐHQG TP.HCM [2] Trần Thanh Tùng (2009), Giáo trình phương trình Vi phân thường, Đại học Tây Nguyên [3] Zhien Ma Xi’an Jiaotong University, China & Jia Li University of Alabama in Huntsville, USA (2009), Dynamical Modeling and Analysis of epidemics, World Scientific Publishing Co Pte Ltd [4] Http://www.en.wikipedia.org-Model of Epidemic Họ tên Nguyễn Thị Minh Trang Hoàng Thị Thơm Nguyễn Thị Ngọc Sương Lãnh Thị Thu Thảo Vy Thị Hồng Như Nguyễn Thị Anh Đào(91) Hoàng Thị Mai Lê Ngọc Vân Anh Tạ Thị Thanh An Ghi Tổ trưởng Nguyễn Thị Xuân Võ Thị Thương Lê Hữu Phát Lê Thanh Dũng Quan Thị Sinh Võ Văn Linh Nguyễn Thị Hoa DANH SÁCH TỔ ... xác định ứng dụng phương trình sai phân sinh học, góp phần làm phong phú thêm tài liệu ứng dụng phương trình sai phân 6.2 Về mặt thực tiễn - Đánh giá thực trạng ứng dụng phương trình sai phân từ... tịi Phương trình sai phân có nhiều ứng dụng mang tính thực tiễn y học, kinh tế, vật lí, kĩ thuật, khoa học mơi trường đặc biệt ứng dụng sinh học. Tuy nhiên, thực tế nghiên cứu ứng dụng phương trình. .. trình sai phân sinh học cịn chưa nghiên cứu mang tính hệ thống Vì vậy, chúng tơi chọn đề tài: “Nghiên cứu ứng dụng phương trình sai phân sinh học? ?? MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Mục đích nghiên cứu phương trình