CHƯƠNG VIII PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Trường hợp 1: TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM Áp dụng Nếu A 0B0 AB0 ≥∧ ≥ ⎧ ⎨ += ⎩ thì A = B = 0 Bài 156 Giải phương trình: 22 4cos x 3tg x 4 3cosx 2 3tgx 4 0 (*)+− + += Ta có: () ( ) ⇔−++ ⎧ = ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ =− ⎪ ⎩ π ⎧ =± + π ∈ ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ =− ⎪ ⎩ π ⇔=−+ π ∈   22 (*) 2 cos x 3 3tgx 1 0 3 cos x 2 1 tgx 3 xk2,k 6 1 tgx 3 xk2,k 6 = Bài 157 Giải phương trình: ( ) 2 8cos4x.cos 2x 1 cos3x 1 0 *+− += Ta có: () ( ) ⇔ +++−* 4cos4x 1 cos4x 1 1 cos3x 0= () () ⇔+++− ⇔++−= ⎧⎧ =− =− ⎪⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ ⎪⎪ ==π∈ ⎩⎩  2 2 4cos 4x 4cos4x 1 1 cos3x 0 2cos4x 1 1 cos3x 0 11 cos 4x cos 4x 22 cos 3x 1 3x k2 , k = ⎧ =− ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ π ⎪ =∈ ⎪ ⎩  1 cos 4x 2 k2 x , k (có 3 đầu ngọn cung) 3 = = = = + = + 1 cos 4x 2 22 x +m2hay xm2hayxm2,m 33 2 xm2,m 3 (ta nhaọn = k1 vaứ loaùi k = 0 ) Baứi 158 Giaỷi phửụng trỡnh: () () 2 233 sin 3x sin x cos 3xsin x sin 3x cos x sin x sin 3x * 3sin4x ++= 2 Ta coự: 33 cos 3x.sin 3x sin 3x.cos x+ () ( ) () = + = + = == 33 33 33 2 4cosx 3cosxsinx 3sinx 4sinxcosx 3cos x sin x 3sin x cos x 3sin x cos x cos x sin x 33 sin 2x.cos 2x sin 4x 24 2 () () + = += + = 22 2 2 242 2 222 1 Vaọy: * sin x sin 3x sin x sin 3x vaứ sin 4x 0 4 111 sin 3x sin x sin 3x sin 3x 0 vaứ sin 4x 0 244 11 sin 3x sin x sin 3x 1 sin 3x 0 vaứ sin 4x 0 24 += = = = 2 22 2 11 sin 3x sin x sin 6x 0 vaứ sin 4x 0 216 sin 4x 0 1 sin 3x sin x 2 sin3x0cos3x0 == = = sin 4x 0 sin 4x 0 1 sin 3x 0 sin x 2 sin x 0 (VN) sin 3x 1 = = 3 sin 4x 0 1 sin x 2 3sinx 4sin x 1 ≠ ⎧ ⎪ ⇔ ⎨ = ⎪ ⎩ ≠ ⎧ ⎪ ⇔ ππ ⎨ =+ π∨ + π∈ ⎪ ⎩ ππ ⇔=+π∨= +π∈   sin 4x 0 1 sin x 2 sin 4x 0 5 xk2 k2,k 66 5 xk2x k2,k 66 Trường hợp 2 Phương pháp đối lập Nếu A MB AB ≤≤ ⎧ ⎨ = ⎩ thì A BM = = Bài 159 Giải phương trình: −=+ 44 sin x cos x sin x cos x (*) Ta có: (*) ⇔−=+ 22 sin x cos x sin x cos x ⇔− = + ≤ ⎧ ⎪ ⇔ ⎨ =+ ⎪ ⎩ ≤ ⎧ ≤ ⎧ ⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ = =± −= ⎪ ⎩ ⎩ ⇔=− π ⇔=+π∈ 2 2 cos 2x sin x cos x cos 2x 0 cos 2x 1 2 sin x cos x cos 2x 0 cos 2x 0 sin 2x 0 (cos 2x 1) sin 2x 2 sin 2x cos 2x 1 xk,k 2 Cách khác Ta có −≤ ≤≤+ 44 4 x cos x sin x sin x sin x cos xsin Do đó = ⎧ ⎪ ⇔⇔= ⎨ = ⎪ ⎩ 4 cos x 0 (*) cos x 0 sin x sin x π =+π∈xk,k 2 ⇔ Bài 160: Giải phương trình: () 2 cos 2x cos 4x 6 2sin 3x (*)−=+ Ta có: (*) 22 4 sin 3x.sin x 6 2sin 3x⇔=+ • Do: và 2 sin 3x 1≤ 2 sin x 1 ≤ nên 22 4sin 3xsin x 4 ≤ • Do nên 62≥−sin 3x 1 sin3x4 + ≥ Vậy 22 4 sin 3x sin x 4 6 2sin 3x≤≤+ Dấu = của phương trình (*) đúng khi và chỉ khi ⎧ = ⎧ ⎪ = =⇔ ⎨⎨ = − ⎩ ⎪ =− ⎩ 2 2 2 sin 3x 1 sin x 1 sin x 1 sin 3x 1 sin 3x 1 π ⎧ =± + π ∈ π ⎪ ⇔⇔=+ ⎨ ⎪ =− ⎩  π∈  xk2,k xk2,k 2 2 sin 3x 1 Bài 161 Giải phương trình: 33 cos x sin x 2cos2x(*) sin x cos x − = + Điều kiện: si n x 0 cos x 0≥∧ ≥ Ta có: (*) ()( ) ( ) ( ) 22 cos x sin x 1 sin x cos x 2 cos x sin x sin x cos x⇔− + = − + () () −= ⎡ ⎢ ⇔ +=+ + ⎢ ⎣ cos x sin x 0 (1) 1 sin x cos x 2 cos x sin x sin x cos x (2) Ta có:  (1) π ⇔=⇔=+π∈  tgx 1 x k , k 4  Xét (2) Ta có: khi si thì n x 0≥ ≥≥ 2 sin x sin x sin x Tương tự ≥≥ 2 cos x cos x cos x Vậy si và n x cos x 1+≥ sin x cos x 1 + ≥ Suy ra vế phải của (2) thì 2≥ Mà vế trái của (2): 13 1sin2x 22 +≤ Do đó (2) vô nghiệm Vậy: (*) π ⇔=+π∈  xk,k 4 Bài 162: Giải phương trình: 3 cos x cos x 1 2(*)−− += Ta có: (*) 3cosx 2 cosx1⇔− =+ + () 3cosx 5cosx4cosx1 2cosx 1 4 cosx 1 ⇔− =+ + + ⇔− + = + Ta có: ( ) 2cosx 1 0 x−+≤∀ mà 4cosx 1 0x+≥∀ Do đó dấu = của (*) xảy ra cos x 1 ⇔ =− ⇔ =π+ π ∈  xk2,k Bài 163: Giải phương trình: ( ) 22 cos3x 2 cos 3x 2 1 sin 2x (*)+− = + Do bất đẳng thức Bunhiacốpski: 222 2 A XBY A B.X Y+≤ + + nên: ( ) 222 1cos3x 1 2 cos 3x 2. cos 3x 2 cos 3x 2+− ≤ +− = Dấu = xảy ra 2 cos3x 2 cos 3x⇔=− 22 cos3x 0 cos 3x 2 cos 3x cos3x 0 cos3x 1 cos3x 1 ≥ ⎧ ⇔ ⎨ =− ⎩ ≥ ⎧ ⇔⇔ ⎨ =± ⎩ = Mặt khác: () 2 21 sin 2x 2+≥ dấu = xảy ra sin 2x 0⇔= Vậy: ( ) 22 cos3x 2 cos 3x 2 2 1 sin 2x+− ≤≤ + dấu = của (*) chỉ xảy ra khi: =∧ = = ⎧ ⎪ ⇔ ⎨ π =∈ ⎪ ⎩ ⇔= π ∈   cos 3x 1 sin 2x 0 cos 3x 1 k x,k(có4đầungọncun 2 x2m,m g) Bài 164: Giải phương trình: 22 5 tg x cotg x 2sin x (*) 4 π ⎛⎞ += + ⎜⎟ ⎝⎠ Điều kiện: sin 2x 0 ≠ • Do bất đẳng thức Cauchy: 22 tg x cotg x 2 + ≥ dấu = xảy ra khi tgx cotgx = • Mặt khác: sin x 1 4 π ⎛⎞ + ≤ ⎜⎟ ⎝⎠ nên 5 2sin x 2 4 π ⎛⎞ +≤ ⎜⎟ ⎝⎠ dấu = xảy ra khi sin x 1 4 π ⎛⎞ + = ⎜⎟ ⎝⎠ Do đó: 22 5 tg x cotg x 2 2sin x 4 π ⎛⎞ +≥≥ + ⎜⎟ ⎝⎠ Dấu = của (*) xảy ra tgx cotgx sin x 1 4 = ⎧ ⎪ ⇔ π ⎨ ⎛⎞ + = ⎜⎟ ⎪ ⎝⎠ ⎩ ⎧ = ⎪ ⇔ ⎨ π = +π∈ ⎪ ⎩ π ⇔=+ π∈   2 tg x 1 xk2,k 4 xk2,k 4 Trường hợp 3: Áp dụng: Nếu A MvàB M A M thì A BMN BN ≤≤ ⎧⎧ ⎨⎨ += + = ⎩⎩ = = ⎧ +=⇔ ⎨ = ⎩ sin u 1 sin u sin v 2 sin v 1 = ⎧ −=⇔ ⎨ = − ⎩ sin u 1 sin u sin v 2 sin v 1 = − ⎧ +=−⇔ ⎨ = − ⎩ sin u 1 sin u sin v 2 sin v 1 Tương tự cho các trường hợp sau ±=± ±=±sin u cos v 2 ; cos u cos v 2 Bài 165: Giải phương trình: () 3x cos 2x cos 2 0 * 4 +−= Ta có: () 3x *cos2xcos 4 ⇔+ 2= 3x Do cos 2x 1 và cos 1 4 ≤ ≤ nên dấu = của (*) chỉ xảy ra () =π ∈ = ⎧ ⎧ ⎪⎪ ⇔⇔ ⇔=π π ⎨⎨ =∈ = ⎪⎪ ⎩ ⎩ π π= ⇔ = =∈Ζ =  ∈   xk,k cos 2x 1 x8m,m 8h 3x x,h cos 1 3 4 8h 8h Do : k k 33 để k nguyên ta chọn h 3m m ( thì k 8m ) Cách khác ==π∈ ⎧⎧ ⎪⎪ ⇔⇔=π∈ ⎨⎨ π == ⎪⎪ ⎩⎩   cos 2x 1 x k , k x8m,m 3x 3k cos 1 cos 1 44 Bài 166: Giải phương trình: () cos2x cos4x cos6x cosx.cos2x.cos3x 2 *++= + () 2 cos2x cos 4x cos6x 2cos 3x cos x 2 cos 3x 1 2cos3x cosx cos3x 1 4 cos 3x.cos 2x.cos x 1 ++ = + − = +− =− Vậy: () 1 cos3x.cos2x.cos x cos2x 6cos4x cos6x 1 4 = +++ Do đó: () () () ⇔++= ++ ⇔++= 19 * cos 2x cos 4x cos 6x cos2x cos 4x cos6x 44 39 cos2x cos4x cos6x 44 + ⇔ ++= ==π∈ ⎧⎧ ⎪⎪ ⇔=⇔= ⎨⎨ ⎪⎪ == ⎩⎩  cos2x cos4x cos6x 3 cos 2x 1 2x k2 , k (1) cos 4x 1 cos4x 1 (2) cos 6x 1 cos 6x 1 (3) ⇔ = π∈⇔=π∈  2x k2 ,k x k ,k ( Thế (1) vào (2) và (3) ta thấy hiển nhiên thỏa) Bài 167: Giải phương trình: ( ) cos2x3sin2x3sinxcosx40*−−−+= Ta có: () ⎛⎞⎛ ⇔=− + + + ⎜⎟⎜ ⎜⎟⎜ ⎝⎠⎝ 13 31 * 2 cos2x sin 2x sin x cos x 22 22 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ππ ⎛⎞⎛ ⇔= − + + ⎜⎟⎜ ⎝⎠⎝ 2sin2x sinx 66 ⎞ ⎟ ⎠ ⎧π ⎛⎞ ππ ⎧ −= − =+ π∈ ⎜⎟ ⎪ ⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ ππ π ⎛⎞ ⎪⎪ +=+ π∈ += ⎜⎟ ⎪ ⎪ ⎩ ⎝⎠ ⎩ π ⎧ =+π∈ ⎪ π ⎪ ⇔⇔=+π ⎨ π ⎪ =+ π∈ ⎪ ⎩ ∈      sin 2x 1 2x k2 ,k 6 62 xh2,h sin x 1 62 6 xk,k 3 xh,h 3 xh2,h 3 Cách khác ⎧π ⎛⎞ ⎧π ⎛⎞ −= −= ⎜⎟ ⎪ ⎜⎟ ⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎪ ⎝⎠ ⇔⇔ ⎨⎨ π ππ ⎛⎞ ⎪⎪ += + =+ π∈ ⎜⎟ ⎪⎪ ⎩ ⎝⎠ ⎩  sin 2x 1 sin 2x 1 6 6 (*) sin x 1 xh2,h 6 62 ⎧π ⎛⎞ −= ⎜⎟ ⎪ π ⎪ ⎝⎠ ⇔⇔=+ ⎨ π ⎪ =+ π∈ ⎪ ⎩ π∈   sin 2x 1 6 xh,h 3 xh2,h 3 Bài 168: Giải phương trình: () 4cosx2cos2xcos4x1*−−= Ta có: () ( ) ( ) ⇔ −−−− 22 * 4 cos x 2 2cos x 1 1 2sin 2x 1= ⇔− + = ⇔= −+ = 222 2 4cosx 4 cos x 8sin x cos x 0 cos x 0 hay 1 cos x 2sin x cos x 0 ( ) ⇔= + −= ⇔= − = 2 cos x 0 hay 1 cos x 2 sin x 1 0 cos x 0 hay 1 cos x cos 2x 0 ( * *) () ⇔= − + = ⇔=∨ += 1 cos x 0 hay 1 cos 3x cos x 0 2 cos x 0 cos 3x cos x 2 = ⎧ ⇔=∨ ⎨ = ⎩ cos 3x 1 cos x 0 cos x 1 = ⎧ ⇔=⇔ ⎨ − = ⎩ ⇔=∨= π ⇔=+π∨= π∈ 3 cos x 1 cos x 0 4cos x 3cosx 1 cos x 0 cos x 1 xkxk2,k 2 Cách khác ⇔= =( * *) cos x 0 hay cos x cos 2x 1 − == ⎧⎧ ⇔=∨ ∨ ⎨⎨ = =− ⎩⎩ cos x 1 cos x 1 cos x 0 cos2x 1 cos2x 1 =π∈ =π+ π∈ ⎧⎧ π ⇔=+π∈∨ ∨ ⎨⎨ ==− ⎩⎩   xk2,k x k2,k (loại xk,k cos 2x 1 cos 2x 1 2 ) π ⇔=+π∨= π∈  xkxk2,k 2 Bài 169: Giải phương trình: () 1 tg2x tg3x 0 * sin x cos 2x cos 3x ++ = Điều kiện: sin 2x cos 2x cos 3x 0 ≠ Lúc đó: () ⇔++ sin 2x sin 3x 1 *0 cos2x cos 3x sin x.cos2x.cos 3x = += = () ⇔+ ⇔++ sin2xsinxcos3x sin3xsinx.cos2x 1 0 sin x sin 2x cos 3x sin 3x cos 2x 1 0 () ⇔=− ⇔− − =− ⇔−= == ⎧⎧ = ⎧ ⎪⎪ ⇔⇔−=⇔− ⎨⎨ ⎨ =− ⎩ ⎪⎪ = −=− ⎩⎩ 33 2 sin x.sin 5x 1 1 cos6x cos4x 1 2 cos 6x cos4x 2 tcos2x tcos2x cos6x 1 4t 3t 1 4t 3t 1 cos4x 1 t0 2t 1 1 = Do đó: (*) vô nghiệm. Cách khác = =− ⎧⎧ ⇔=−⇔ ⎨⎨ = −= ⎩⎩ sin x 1 sin x 1 sin x.sin 5x 1 hay sin 5x 1 sin 5x 1 ππ ⎧⎧ =+ π∈ =−+ π∈ ⎪⎪ ⇔ ⎨⎨ ⎪⎪ =− = ⎩⎩ xk2,k x k2,k hay 22 sin 5x 1 sin 5x 1 x⇔∈∅ Bài 170: Giải phương trình: ( ) 22 cos 3x.cos2x cos x 0 *−= Ta có: () () () ⇔ +−+ 11 * 1 cos 6x cos2x 1 cos 2x 0 22 = () ⇔ = ⇔ += ⇔+= = ⎧ ⇔ ⎨ = ⎩ ⎧ −= ⇔ ⎨ = ⎩ ⎧ = ⇔ ⎨ = ⎩ ⇔= ⇔=π∈ π ⇔= ∈   2 2 cos 6x cos 2x 1 1 cos 8x cos 4x 1 2 cos 8x cos 4x 2 cos 8x 1 cos 4x 1 2cos 4x 1 1 cos 4x 1 cos 4x 1 cos 4x 1 cos 4x 1 4x k2 ,k k x,k 2 Cách khác ⇔=cos 6x cos 2x 1 = =− ⎧⎧ ⇔ ⎨⎨ = =− ⎩⎩ cos2x 1 cos2x 1 hay cos6x 1 cos6x 1 =π∈ =π+π∈ ⎧⎧ ⇔ ⎨⎨ ==− ⎩⎩ 2x k2 , k 2x k2 , k hay cos 6x 1 cos 6x 1 π =∈  k x,k 2 Cách khác == ⎧⎧ ⇔ ⎨⎨ ==π∈ ⎩⎩ cos8x 1 cos8x 1 cos 4x 1 4x k2 , k  π ⇔= ∈  k x,k 2 Trường hợp 4: DÙNG KHẢO SÁT HÀM SỐ y = a x là hàm giảm khi 0< a <1. Do đó ta có sin sin , , cos s , , mn mn xxnmxkk xcoxnmx kk π π π π <⇔>∀≠+∈ <⇔>∀≠+ 2 2 ∈   sin sin , cos s , mn mn x xnmx x co x n m x ≤⇔≥ ≤⇔≥ ∀ ∀ Bài 171: Giải phương trình: () 2 x 1cosx 2 −= * Ta có: () 2 x *1 cos 2 ⇔= + x Xét 2 x ycosxtrên 2 =+ R Ta có: y' x sinx=− và y'' 1 cosx 0 x R = −≥∀∈ Do đó y’(x) là hàm đồng biến trên R Vậy () ( ) ( ) x0,:x0nêny'xy'0∀∈ ∞ > > =0 () ( ) ( ) x,0:x0nêny'xy'0∀∈−∞ < < =0 Do đó: Vậy : 2 x ycosx1x 2 =+ ≥∀∈R Dấu = của (*) chỉ xảy ra tại x = 0 Do đó () *x0 ⇔ =•