LƯỢNG GIÁC CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI CÁC HÀM SỐ LƯNG GIÁC ( ) () () () ++= ≠ ++= ≠ +== ≠ ++= 2 2 2 2 asin u bsinu c 0 a 0 acos u bcosu c 0 a 0 atg u btgu c 0 a 0 a cot g u b cot gu c 0 a 0≠ Cách giải: Đặt : hay với tsinu= tcosu= t1 ≤ (điều kiện ttgu= uk 2 π ≠ +π ) (điều kiện tcotgu= uk ≠ π ) Các phương trình trên thành: 2 at bt c 0 + += Giải phương trình tìm được t, so với điều kiện để nhận nghiệm t. Từ đó giải phương trình lượng giác cơ bản tìm được u. Bài 56: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2002) Tìm các nghiệm trên ( của phương trình ) 0, 2π () cos 3x sin 3x 5sinx 3 cos2x* 12sin2x + ⎛⎞ +=+ ⎜⎟ + ⎝⎠ Điều kiện: 1 sin 2x 2 ≠− Ta có: ( ) ( ) 33 sin 3x cos3x 3sin x 4 sin x 4 cos x 3cos x+= − + − () () () () ()() 33 22 3cosx sinx 4cos x sin x cos x sin x 3 4 cos x cos x sin x sin x cos x sin x 1 2sin 2x =− − + − ⎡⎤ =− −+ + + ⎣⎦ =− + Lúc đó: (*) ( ) ( ) 2 5 sin x cos x sin x 3 2cos x 1 ⎡⎤ ⇔+−=+ ⎣⎦ − 1 do sin 2x 2 ⎛⎞ ≠− ⎜⎟ ⎝⎠ 2 2cos x 5cosx 2 0⇔−+= () 1 cos x 2 cos x 2 loại ⎡ = ⎢ ⇔ ⎢ = ⎢ ⎣ x 3 π ⇔=±+ πk2 (nhận do 31 sin 2x 22 = ±≠− ) Do ( ) x0,2∈π nên 5 xx 33 π π =∨= Bài 57: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2005) Giải phương trình: ( ) 22 cos 3x.cos2x cos x 0 *−= Ta có: (*) 1cos6x 1cos2x .cos2x 0 22 ++ ⇔ −= cos6x.cos2x 1 0⇔−= (**) Cách 1: (**) () 3 4 cos 2x 3cos2x cos2x 1 0⇔− −= = 42 4 cos 2x 3cos 2x 1 0⇔−− () 2 2 cos 2x 1 1 cos 2x vô nghiệm 4 ⎡ = ⎢ ⇔ ⎢ =− ⎢ ⎣ () sin 2x 0 k 2x k x k Z 2 ⇔= π ⇔=π⇔= ∈ Cách 2: (**) () 1 cos8x cos4x 1 0 2 ⇔+−= () 2 cos 8x cos 4x 2 0 2cos 4x cos4x 3 0 cos4x 1 3 cos4x loại 2 ⇔+−= ⇔+− = ⎡ ⎢ ⇔ ⎢ =− ⎣ = () k 4x k2 x k Z 2 π ⇔=π⇔= ∈ Cách 3: phương trình lượng giác không mẫu mực: (**) ⇔ cos6x cos2x 1 cos6x cos2x 1 == ⎡ ⎢ ==− ⎣ Cách 4: +−=⇔+cos 8x cos 4x 2 0 cos8x cos 4x 2= ⇔ ==cos 8x cos 4x 1 ⇔ =cos 4x 1 Bài 58: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2005) Giải phương trình: 44 3 cos x sin x cos x sin 3x 0 44 ππ ⎛⎞⎛ ⎞ ++− −− ⎜⎟⎜ ⎟ ⎝⎠⎝ ⎠ 2 = Ta có: (*) () 2 22 22 13 sin x cos x 2sin x cos x sin 4x sin 2x 0 22 ⎡⎤ π ⎛⎞ ⇔+ − + −+− ⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠ ⎣⎦ 2 = [] 2 11 3 1 sin 2x cos 4x sin 2x 0 22 2 ⇔− + − + − = () 22 11 11 sin 2x 1 2sin 2x sin 2x 0 22 22 ⇔− − − + − = 2 sin 2x sin 2x 2 0⇔+− = () sin 2x 1 sin 2x 2 loại = ⎡ ⇔ ⎢ =− ⎣ π ⇔=+π∈ π ⇔=+π∈   2x k2 , k 2 xk,k 4 Bài 59: (Đề th ïc khối B, năm 2004) i tuyển sinh Đại ho ( )( −= − 2 5sinx 2 3 1 sinx tg x * ) Giải phương trình: Khi đó: (*) cos x 0 sin x 1≠⇔ ≠± Điều kiện: () 2 2 sin x 5sinx 2 3 1 sinx cos x ⇔−=− () 2 2 sin x 5sinx 2 3 1 sinx 1sinx ⇔−=− − 2 3sin x 5sinx 2 1sinx ⇔−= + 2 2sin x 3sinx 2 0⇔+− = () () 1 sin x nhận do sin x 1 2 sin x 2 vô nghiệm ⎡ =≠ ⎢ ⇔ ⎢ =− ⎢ ⎣ ± () 5 xk2x k2k 66 ππ ⇔=+ π∨= + π ∈ Z () 11 2sin 3x 2cos 3x * sin x cos x −= + Bài 60: Giải phương trình: Lúc đó: (*) Điều kiện: sin 2x 0≠ () 11 2sin3x cos3x sin x cos x ⇔−=+ () ( ) 33 11 2 3 sin x cos x 4 sin x cos x sin x cos x ⎡⎤ ⇔+−+=+ ⎣⎦ () ( ) 22 sin x cos x 2 sin x cos x 3 4 sin x sin x cos x cos x sin x cos x + ⎡⎤ ⇔+ − − + = ⎣⎦ () 1 sinx cosx 2 8sinxcosx 0 sin x cos x ⎡⎤ ⇔+ −+ − = ⎢⎥ ⎣⎦ () 2 sin x cos x 4 sin 2x 2 0 sin 2x ⎡⎤ ⇔+ − − ⎢⎥ ⎣⎦ = () 2 tgx 1 sin x cos x 0 nhận so với điều kiện 1 sin 2x 1 sin 2x 4sin 2x 2sin2x 2 0 2 =− ⎡ += ⎡ ⎢ ⇔⇔ − ⎢ ⎢ =∨ = −−= ⎣ ⎣ ππ π π ⇔ =− + π∨ = + π∨ =− + π∨ = + π ∈  7 x k 2x k2 2x k2 2x k2 , k 42 6 6 π ππ ⇔ =± +π∨ =− +π∨ = +π ∈  7 xkxkxk,k 41212 ( ) () +− − = + 2 cos x 2 sin x 3 2 2 cos x 1 1* 1sin2x Bài 61: Giải phương trình: sin 2x 1 x m 4 π ≠− ⇔ ≠− + π Điều kiện: Lúc đó: (*) 2 2sinxcosx 3 2cosx 2cos x 1 1 sin2x⇔ + − −=+ 2 2cos x 3 2cosx 2 0⇔− + = () ⇔= = 2 cos x hay cos x 2 vô nghiệm 2 () xk2 4 xk'2loạidiềukiện 4 π ⎡ =+ π ⎢ ⇔ ⎢ π ⎢ =− + π ⎢ ⎣ xk2 4 ⇔=+ π π Bài 62: Giải phương trình: () x3x x3x1 cosx.cos .cos sinxsin sin * 22 222 −= Ta có: (*) ()() 11 cos x cos2x cos x sin x cos2x cos x 22 1 2 ⇔ ++ −= 2 cos x.cos 2x cos x sin x cos 2x sin x cos x 1⇔++−= cos x⇔+=−+ () 2 cos 2x cos x sin x 1 cos x sin x () ( ) cos 2x cos x sin x sin x sin x cos x⇔+=+ ()( ) ( ) cos x sin x cos 2x sin x 0 * *⇔+ −= () () 2 cos x sin x 1 2sin x sin x 0⇔+ − − = 2 cos x sin x 2sin x sinx 1 0 =− ⎡ ⇔ ⎢ +−= ⎣ tgx 1 sin x 1 1 sin x 2 ⎡ ⎢ =− ⎢ ⇔= ⎢ ⎢ = ⎢ ⎣ − () xk 4 xk2 k 2 5 xk2x k2 66 π ⎡ =− + π ⎢ ⎢ π ⎢ ⇔=−+π ∈ ⎢ ⎢ ππ ⎢ =+ π∨= + π ⎢ ⎣ Z Cách khác: (**) tgx 1 cos2x sin x cos x 2 π ⎛⎞ ⇔=−∨ = = − ⎜⎟ ⎝⎠ ( ) 3 4 cos x 3 2 sin 2x 8cos x *+= Bài 63: Giải phương trình: Ta có: (*) 3 4 cos x 6 2 sin x cos x 8cos x 0 ⇔ +− = () 2 cos x 2cos x 3 2 sin x 4 0⇔+− = ( ) 2 cos x 2 1 sin x 3 2 sin x 4 0 ⎡⎤ ⇔−+− ⎣⎦ = 2 cos x 0 2sin x 3 2 sin x 2 0⇔=∨ − += () cos x 0 2 sin x 2 sin x 2 vô nghiệm = ⎡ ⎢ ⎢ ⇔= ⎢ ⎢ = ⎢ ⎣ 2 x k sin x sin 22 ππ ⇔=+π∨ = = 4 () 3 xkxk2x k2k 24 4 ππ π ⇔=+π∨=+π∨= +π∈ Z Bài 64 : Giải phương trình: () cos 2x cos 2x 4 sin x 2 2 1 sin x * 44 ππ ⎛⎞⎛⎞ ++ −+ =+ − ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ () (*) () 2cos2x.cos 4sin x 2 2 1 sin x 4 π ⇔+=+− ( ) ( ) () 2 2 21 2sin x 4 2sinx 2 2 0 2 2 sin x 4 2 sin x 2 0 ⇔− ++ −−= ⇔−++= () ⇔−++= 2 2sin x 2 2 1 sinx 2 0 () ⎡ ⎢ si = ⇔ ⎢ = ⎢ ⎣ n x 2 loại 1 sin x 2 ππ ⇔=+ π = + π∈  5 xk2hayx k2,k 66 Bài 65 ( ) () + 2 g x 2 2 =+ 2 3 cot sin x 2 3 2 cos x * : Giải phương trình : Điều kiện: (*) sin x 0 cos x 1≠⇔ ≠± Chia hai vế (*) cho 2 sin x ta được: () 2 42 cos x cos x 322232 sin x sin x ⇔+=+ và sin x 0 ≠ 2 cos x t sin x = Đặt ta được phương trình: () 2 3t 2 t 2−+ +2 3 2 0 2 t2t 3 = ⇔= ∨= * Với 2 t 3 = ta có: 2 cos x 2 3 sin x = () () ( co nhận 1 ⎢ ⎣ ) 2 2 3cos x 2 1 cos x 2cos x 3cosx 2 0 cos x 2 loại 1 s x do cos x 2 ⇔=− ⇔+−= ⎡ =− ⎢ ⇔ ⎢ =≠± () xk2k 3 π ⇔=±+ π∈ Z * Với t2= ta có: = 2 cos x 2 sin x () () () ⇔=− ⇔+−= ⎡ =− ⎢ ⇔ ⎢ = ≠± ⎢ ⎣ π ⇔=±+ π∈xk2,k  2 2 cos x 2 1 cos x 2 cos x cos x 2 0 cos x 2 loại 2 cos x nhận do cos x 1 2 4 Bài 66 : Giải phương trình: () +−− = 22 4sin 2x 6sin x 9 3cos2x 0* cos x Điều kiện: Lúc đó: (*) = ≠cos x 0 22 4sin 2x 6sin x 9 3cos2x 0⇔+−− () () 2 2 4 1 cos 2x 3 1 cos2x 9 3cos 2x 0 4cos 2x 6cos2x 2 0 1 cos2x 1 cos2x 2 ⇔− +− −− = ⇔++= ⇔=−∨=− 22 1 2cos x 1 1 2cos x 1 2 ⇔ − =− ∨ − =− () () () cos x 0 loại diều kiện 1 cos x nhận do cos x 0 2 2 xk2x 3 ⇔=±+ π∨ k2kZ 3 ⎡ = ⎢ ⇔ ⎢ =± ≠ ππ =± + π ∈ ⎢ ⎣ () 12 fx sinx sin3x sin5x 35 =+ + Bài 67: Cho () f' x 0 = Giải phương trình: Ta có: = () f' x 0= ()( ) ()() 32 cos x cos3x 2cos5x 0 cos x cos5x cos 3x cos5x 0 2cos3xcos2x 2cos4xcosx 0 4 cos x 3cos x cos2x 2cos 2x 1 cos x 0 ⇔+ + = ⇔+++= ⇔+= ⇔− + − () () ⎡⎤ ⇔−+− ⎣⎦ ⎡ ⎡⎤ +− + −= ⎣⎦ ⇔ ⎢ = ⎢ ⎣ ⎡ −−= ⇔ ⎢ = ⎣ ± ⇔= ∨= 22 2 2 4 cos x 3 cos 2x 2 cos 2x 1 cos x 0 2 1 cos 2x 3 cos 2x 2 cos 2x 1 0 cos x 0 4cos 2x cos2x 1 0 cos x 0 117 cos 2x cos x 0 8 = () 117 117 cos2x cos cos2x cos cosx 0 8 8 xkxkxkkZ 222 +− ⇔= =α∨= =β∨= αβπ ⇔=±+π∨=±+π∨=+π∈ () 88 2 17 sin x cos x cos 2x * 16 += Bài 68: Giải phương trình: Ta có: () () 2 88 44 44 2 2 22 22 4 2 24 24 sin x cos x sin x cos x 2sin x cos x 1 sin x cos x 2sin x cos x sin 2x 8 11 1sin2x sin2x 28 1 1sin2x sin2x 8 += + − ⎡⎤ =+− − ⎢⎥ ⎣⎦ ⎛⎞ =− − ⎜⎟ ⎝⎠ =− + Do đó: () () () () ()() ⎛⎞ ⇔− + =− ⎜⎟ ⎝⎠ ⇔+−= ⎡ =− ⎢ ⇔⇔− ⎢ = ⎢ = π ⇔=⇔=+ ∈ 24 2 42 2 2 1 * 16 1 sin 2x sin 2x 17 1 sin 2x 8 2sin 2x sin 2x 1 0 sin 2x 1 loại 11 1cos4x 1 22 sin 2x cos 4x 0 x 2k 1 , k Z 8 Bài 69 ⎣ 2 () 3 5x x sin 5cos x.sin * 22 = : Giải phương trình: Nhận xét thấy: x cos 0 x k2 cos x 1 2 =⇔=π+ π⇔ =− Thay vào (*) ta được: π ⎛⎞ ⎛ +π=− +π ⎜⎟ ⎜ ⎝⎠ ⎝ 5 sin 5k 5.sin k 22 π ⎞ ⎟ ⎠ , không thỏa k ∀ x cos 2 Do không là nghiệm của (*) nên: () ⇔= 2 5x x x x * sin .cos 5 cos x.sin cos 22 22 và x cos 0 2 ≠ () 3 15 sin 3x sin 2x cos x.sin x 22 ⇔+= và ≠ x cos 0 và 2 33 3sin x 4 sin x 2sin x cos x 5cos x.sin x⇔− + = ≠ x cos 0 2 23 x cos 0 2 34sinx2cosx 5cosxsinx 0 ⎧ ≠ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ −+=∨ ⎩ = 32 x cos 0 2 x 5cos x 4cos x 2cosx 1 0 sin 0 2 ⎧ ≠ ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ −−+=∨ ⎪ ⎩ = () () 2 cos x 1 x cos x 1 5cos x cos x 1 0 sin 0 2 ≠− ⎧ ⎪ ⇔ ⎨ − +−=∨ = ⎪ ⎩ ≠− ⎧ ⎪ ⎡ ⎪ ⎢ = ⎪ ⎢ ⎪ ⇔ −+ ⎨ ⎢ = =α ⎪ ⎢ ⎪ ⎢ −− ⎪ ⎢ = =β ⎣ ⎩ cos x 1 cos x 1 121 cos x cos 10 1 cos 10 ⎪ ⎢ 12 cos x ( ) ⇔= π =±α+ π =±β+ π ∈xk2hayx k2hayx k2,kZ ( ) ( ) 2 sin 2x cot gx tg2x 4 cos x *+= Bài 70: Giải phương trình: iều kiện: và cos 2x 1 Đ 0 cos2x 0≠ sin x 0 cos 2x ≠ ⇔≠∧≠ Ta có: cos x sin 2x cot gx tg2x sin x cos 2x += + cos2x cos x sin 2xsin x sin x cos 2x cos x sin x cos 2x + = = 2 cos x 2sinx.cosx 4cos x sin x cos 2x ⎛⎞ ⇔= ⎜⎟ ⎝⎠ Lúc đó: (*) () () () () ⇔= ⇔+= + ⇔+= = ⇔=−∨= ≠ ≠ 2 2 cos x 2cos x cos 2x cos2x 1 2cos2x cos2x 1 cos 2x 1 0 hay 1 2 cos 2x 1 cos 2x 1 cos 2x nhận do cos 2x 0 và cos 2x 1 2 π ⇔=π+π∨=±+π∈ ππ ⇔=+π∨=±+π∈   2x k2 2x k2 , k 3 xkx k,k Bài 71 26 () 2 6x 8x 2cos 1 3cos * 55 += : Giải phương trình: ⎛⎞⎛ ⎞ ⇔ ++= ⎜⎟⎜ ⎝⎠⎝ 2 12x 4x 1 cos 1 3 2 cos 1 55 Ta có : (*) − ⎟ ⎠ ⎛⎞ ⇔ +−= ⎜⎟ ⎝⎠ 32 4x 4x 4x 2 4 cos 3cos 3 2 cos 1 55 5 − Đặt () 4 t cos x điều kiện t 1 5 =≤ Ta có phương trình : () () () 32 32 2 4t 3t 2 6t 3 4t⇔ 6t 3t 5 0 t 1 4t 2t 5 0 121 121 t1t t lọai 44 −+= − −−+= ⇔− −−= −+ ⇔=∨= ∨= Vậy () •=⇔=π π ⇔= ∈ 4x 4x cos 1 2k 55 5k xk 2 Z () () 4x 1 21 cos cos với 0 2 54 4x 2 5 55 x,Z 42 − •= =α<α<π ⇔=±α+π απ ⇔=± + ∈ l l l Bài 72 () 3 tg x tgx 1 * 4 π ⎛⎞ −=− ⎜⎟ ⎝⎠ : Giải phương trình tx x t 44 π π =− ⇔= + Đặt 3 1tgt tg t tg t 1 1 với cost 0 tgt 1 41tgt π+ ⎛⎞ =+−= − ≠∧ ⎜⎟ − ⎝⎠ (*) thành : ≠ ⇔= − 3 2tgt tg t 1tgt () ) () () ( 34 32 2 tg t tg t 2tgt tgt tg t tg t 2 0 t 1 tg t 2tgt 2 0 tgt 0 tgt 1 nhận so đi àu kiện tk t k,k 4 ⇔−= ⇔−+= +−+= ⇔=∨=− π ⇔=π∨=− +π∈ ¢ Vậy (*) tgt tg ⇔ e