Đang tải... (xem toàn văn)
Hàm mũ và Logarit
Chuyên đề: Phương trình Bất phương trình hệ phương trình Mũ_Logarit 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. Hàm số mũ y=ax; TXĐ D=R Bảng biến thiên a>1 0<a<1 x 0 + x 0 + y + 1 y + 1 Đồ thị f(x)=3^x-17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1-15-14-13-12-11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123xyy=3x f(x)=(1/3)^x-16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3-15-14-13-12-11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1123xy II. Hàm số lgarit y=logax, ĐK:100ax; D=(0;+) Bảng biến thiên a>1 0<a<1 x 0 0 + x 0 0 + y + 1 y + 1 Đồ thị f(x)=ln(x)/ln(3)f(x)=3^xf(x)=x-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3-15-14-13-12-11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-11234xyy=xy=3xy=log3x f(x)=ln(x)/ln(1/3)f(x)=(1/3)^xf(x)=x-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3-15-14-13-12-11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-11234xyy=x III. Các công thức 1. Công thức lũy thừa: Với a>0, b>0; m, nR ta có: anam =an+m; mnmnaaa;(na1=am ; a0=1; a1=a1); (an)m =anm ; (ab)n=anbn; mnnbaba; nmnmaa . 2. Công thức logarit: logab=cac=b (0<a1; b>0) Với 0<a1, 0<b1; x, x1, x2>0; R ta có: loga(x1x2)=logax1+logax2 ; loga21xx= logax1logax2; xaxalog; logax=logax; Chuyên đề: Phương trình Bất phương trình hệ phương trình Mũ_Logarit 2 xxaalog1log;(logaax=x); logax=axbbloglog;(logab=ablog1) logba.logax=logbx; alogbx=xlogba. IV. Phƣơng trình và bất phƣơng trình mũlogarit 1. Phƣơng trình mũlogarit a. Phương trình mũ: Đưa về cùng cơ số +0<a1: af(x)=ag(x) (1) f(x)=g(x). + 0<a1: af(x)=b bxfbalog0. Chú ý: Nếu a chứa biến thì (1) (a1)[f(x)g(x)]=0 Đặt ẩn phụ: Ta có thể đặt t=ax (t>0), để đưa về một phương trình đại số Lưu ý những cặp số nghịch đảo như: (23), (743),… Nếu trong một phương trình có chứa {a2x;b2x;axbx} ta có thể chia hai vế cho b2x(hoặc a2x) rồi đặt t=(a/b)x (hoặc t=(b/a)x. Phương pháp logarit hóa: af(x)=bg(x) f(x).logca=g(x).logcb,với a,b>0; 0<c1. b. Phương trình logarit: Đưa về cùng cơ số: +logaf(x)=g(x) xgaxfa 10 +logaf(x)= logag(x) xgxfxgxfa0010. Đặt ẩn phụ. 2. Bất phƣơng trình mũlogarit a. Bất phương trình mũ: af(x)>ag(x) 010xgxfaa; af(x)ag(x) 010xgxfaa. Đặt biệt: * Nếu a>1 thì: af(x)>ag(x) f(x)>g(x); af(x)ag(x) f(x)g(x). * Nếu 0<a<1 thì: af(x)>ag(x) f(x)g(x); af(x)ag(x) f(x)g(x). b. Bất phương trình logarit: logaf(x)>logag(x) 010,010xgxfaxgxfa; logaf(x)logag(x) 010,010xgxfaxgxfa. Đặt biệt: + Nếu a>1 thì: logaf(x)>logag(x) 0xgxgxf; + Nếu 0<a<1 thì: logaf(x)>logag(x) 0xfxgxf. * * * Chuyên đề: Phương trình Bất phương trình hệ phương trình Mũ_Logarit 3 MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNHBẤT PHƢƠNG TRÌNHHỆ PHƢƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT I. Biến đổi thành tích Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 2 2222 4.2 2 4 0 2 1 . 2 4 0x x x x x x x x . Nhận xét: Mặc dù cùng cơ số 2 nhưng không thể biến đổi để đặt được ẩn phụ do đó ta phải phân tích thành tích: 222 1 . 2 4 0x x x . Đây là phương trình tích đã biết cách giải. Ví dụ 2: Giải phương trình: 29 3 32 log log .log 2 1 1x x x . Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích: 3 3 3log 2log 2 1 1 .log 0x x x . Đây là phương trình tích đã biết cách giải. Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi để đặt ẩn phụ được thì ta biến đổi thành tích. II. Đặt ẩn phụ-hệ số vẫn chứa ẩn Ví dụ 1: Giải phương trình: 9 2( 2)3 2 5 0xxxx . Đặt t = 3x (*), khi đó ta có: 22 2 2 5 0 1, 5 2t x t x t t x . Thay vào (*) ta tìm được x. Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi là số chính phương. Ví dụ 2: Giải phương trình: 233log 1 5 log 1 2 6 0x x x x . Đặt t = log3(x+1), ta có: 25 2 6 0 2, 3t x t x t t x x = 8 và x = 2. III. Phương pháp hàm số Các tính chất: Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k (kR) có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b). Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì u, v (a,b) ta có ()f u f v u v . Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b). Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) thì bac ;: abaFbFcF'. Khi áp dụng giải phương trình nếu có F(b) – F(a) = 0 thì ; : ' 0 ' 0c a b F c F x có nghiệm thuộc (a;b). Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ không có quá hai nghiệm thuộc D. Ví dụ 1: Giải phương trình: 2log2.3 3xx . Hướng dẫn: 22log log2.3 3 2.3 3xxxx , vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến nên phương trình có nghiệm duy nhất x=1. Ví dụ 2: Giải phương trình: 6 2 5 3x x x x . Phương trình tương đương 6 5 3 2x x x x , giả sử phương trình có nghiêm . Khi đó: 2356 . Xét hàm số tttf 1, với t > 0. Ta nhận thấy f(5) = f(2) nên theo định lý lagrange tồn tại 2;5c sao cho: 1'10 1 0 0, 1f c c c , thử lại ta thấy x = 0, x = 1 là nghiệm của phương trình. Ví dụ 3: Giải phương trình:2122 2 ( 1)x x xx . Viết lại phương trình dưới dạng 2122 1 2x x xx x x , xét hàm số ttft 2 là hàm đồng biến trên R ( ??? ). Vậy phương trình được viết dưới dạng: 221 1 1f x f x x x x x x . Ví dụ 4: Giải phương trình: 3 2 3 2xxx . Dễ dàng ta tìm được nghiệm: x = 0 và x = 1. Ta cần chứng minh không còn nghiệm nào khác. Xét hàm số 223 2 3 2 '' 3 ln 3 2 ln 2 0x x x xf x x f x Đồ thị của hàm số này lõm, suy ra phương trình không có quá hai nghiệm. Chuyên đề: Phương trình Bất phương trình hệ phương trình Mũ_Logarit 4 Ví dụ 5: Chứng minh hệ phương trình 222007120071xyyeyxex có đúng hai nghiệm thỏa mãn x > 0, y > 0. HD: Dùng tính chất 2 để chỉ ra x = y khi đó xét hàm số 220071xxf x ex . Nếu x < 1 thì 020071exfsuy ra hệ phương trình vô nghiệm. Nếu x > 1 dùng định lý Rôn và chỉ ra với x0 = 2 thì f(2) < 0 để suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 6: Cho 0 ba. Chứng minh rằng 112222baabab (ĐH Khối D2007) HD: BĐT 11ln 2 ln 21122ln 2 ln 222ababababbaab . Xét hàm số 1ln 22xxfxx với x > 0 Suy ra f’(x) < 0 với mọi x > 0, nên hàm số nghịch biến vậy với 0 bata có bfaf )((Đpcm). IV. Một số bài toán (đặc biệt là các bài logarrit) ta thường phải đưa về phương trình – hệ phương trình – bất phương trình mũ rồi sử dụng các phương pháp trên. 1.Dạng 1: Khác cơ số: Ví dụ: Giải phương trình 73log log ( 2)xx. Đặt t = 7log 7txxKhi đó phương trình trở thành: 371log ( 7 2) 3 7 2 1 2.33ttt t tt . 2.Dạng 2: Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp Ví dụ 1: Giải phương trình 42256log ( 2 2) 2log 2 3x x x x . Đặt t = x2 – 2x – 3 ta có 65log 1 logtt. Ví dụ 2: Giải phương trình 6log26log 3 logxxx. Đặt 6logtx, phương trình tương đương 36 3 2 3 12tt t t t . 3. Dạng 3: logbxcax ( Điều kiện: b = a + c ) Ví dụ 1: Giải phương trình 7log 34xx. Đặt 7log 3 7 3tt x x , phương trình tương đương 414 7 3 3. 177tttt . Ví dụ 2: Giải phương trình 425log3xx. Đặt t = x+4 phương trình tương đương tt1log32 Ví dụ 3: Giải phương trình 33log 1 log 14 1 2 0xxxx . 4. Dạng 4: logax bss c dx e x , với,d ac e bc Phƣơng pháp: Đặt log ( )say b dx e rồi chuyển về hệ hai phương trình, lấy phương trình hai trừ phương trình một ta được: ax b ay bs acx s acy . Xét at bf t s act. Ví dụ: Giải phương trình 177 6log (6 5) 1xx . Đặt 71 log 6 5yx . Khi đó chuyển thành hệ 1111177 6 1 17 6 57 6 7 61 log 6 57 6 5xxxyyyyxyyxx . Xét hàm số 176tf t tsuy ra x=y, Khi đó: 17 6 5 0xx . Xét hàm số 5671xxgx Áp dụng định lý Rôn và nhẩm nghiệm ta được 2 nghiệm của phương trình là: x = 1, x = 2. 5. Dạng 5: Đặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình. Chuyên đề: Phương trình Bất phương trình hệ phương trình Mũ_Logarit 5 Ví dụ: Giải phương trình 1 1 18 2 182 1 2 2 2 2 2xx x x x HD: Viết phương trình dưới dạng 1 1 1 18 1 182 1 2 2 2 2 2x x x x , đặt 112 1, 2 1. , 0xxu v u v . Nhận xét: u.v = u + v. Từ đó ta có hệ: 8 1 18.u v u vu v u v Bài tập Bài 1: Giải các phương trình sau: a. 2 3 2 3 4 0xx b. 2 3 2 3 4xx c. 7 4 3 3 2 3 2 0xx d. 33 5 16 3 5 2xxx e. 2 1 2 1 2 2 0xx (ĐH_Khối B 2007) ĐS: x=1, x=1. f. 3.8x+4.12x18x2.27x=0. (ĐH_Khối A 2006) ĐS: x=1. g. 2222 4.2 2 4 0x x x x x (ĐH_Khối D 2006) ĐS: x=0, x=1. k. 2222 2 3x x x x (ĐH_Khối D 2003) ĐS: x=1, x=2. i.3.16 2.8 5.32x x x j.1 1 12.4 6 9x x x Bài 2: Giải các hệ phương trình sau: a. 3 2 34 12851xyxy b.2( ) 15 12541xyxy c.2 2 125xyxy d. 222222log 1 log3 81x xy yx y xy (ĐH_Khối A 2009) ĐS: (2;2), (2;2) e. 23931 2 13log 9 log 3xyxy (ĐH_Khối B 2005) ĐS: (1;1), (2;2). f. 144221log log 125yxyxy (ĐH_Khối A 2004) ĐS: (3;4) g. 3212 5 44222xxxxyyy (ĐH_Khối D 2002) ĐS: (0;1), (2;4). Bài 3: Giải và biện luận phương trình: a . 2 .2 .2 0xxm m m . b . .3 .3 8xxmm. Bài 4: Cho phương trình 2233log log 1 2 1 0x x m (m là tham số). (ĐH_Khối A 2002) a. Giải phương trình khi m=2. b. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 31;3. ĐS: a. 33x, b. 0 m 2 Chuyên đề: Phương trình Bất phương trình hệ phương trình Mũ_Logarit 6 Bài 5: Cho bất phương trình 14 . 2 1 0xxm a. Giải bất phương trình khi m=169. b. Định m để bất phương trình thỏaxR. Bài 6: Giải các phương trình sau: a. 5 5 5log log 6 log 2x x x b. 5 25 0,2log log log 3xx c. 2log 2 5 4 2xxx d.23lg( 2 3) lg 01xxxx e. log2x1(2x2+x1)+logx+1(2x1)2=4 (ĐH Khối A_2008) ĐS: x=2; x=5/4. f. 222log 1 6log 1 2 0xx (ĐH_Khối D 2008) ĐS: x=1, x=3. g. 221log 4 15.2 27 2log 04.2 3xxx (ĐH_Khối D 2007) ĐS: x=log23. Bài 7: Giải bất phương trình: a. 3132log (4 3) log 2 3 2xx (ĐH Khối A_2007) ĐS: 3/4 x 3. b. 20,7 6log log 04xxx (ĐH_Khối B 2008) ĐS: 4< x < 3, x > 8. c. 25 5 5log 4 144 4log 2 1 log 2 1xx (ĐH_Khối B 2006) ĐS: 2 < x < 4. d. 21232log 0xxx (ĐH_Khối D 2008) ĐS: 2 2;1 2;2 2. . alogbx=xlogba. IV. Phƣơng trình và bất phƣơng trình mũ logarit 1. Phƣơng trình mũ logarit a. Phương trình mũ: Đưa về cùng cơ số +0<a1: af(x)=ag(x) (1). Chuyên đề: Phương trình Bất phương trình hệ phương trình Mũ_ Logarit 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. Hàm số mũ y=ax; TXĐ D=R Bảng biến thiên a>1