CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG §1: THAM SỐ HĨA ĐƯỜNG CONG §2: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI §3: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI §1: Tham số hóa đường cong Đường cong mặt phẳng: thường cho cách ì x = x (t ) ï a Cho pt tham số ï í ï y = y (t ) ï ỵ b Cho pt y=y(x): Ta thường đặt x=t pt tham ì x =t số ï ï í ï y = f (t ) ï ỵ Trường hợp đặc biệt: Có trường hợp a Viết phương trình tham số đường trịn ì x = a + R cos t (x-a)2+(y-b)2=R2 ta đặt ï ï í ï y = b + R sin t ù ợ Đ1: Tham s húa ng cong b Viết phương trình tham số đường ellipse x2 y + =1 a b ì x = ar cos j ï Ta đặt : ï í ï y = br sin j ï ỵ Đường cong không gian: thường cho cách a Được cho sẵn phương trình tham số ì x = x (t ) ï ï ï y = y (t ) í ï ï z = z( t ) ù ợ Đ1: Tham s húa ng cong ì f ( x, y , z ) = ï b Cho giao tuyến mặt cong: ï í ï g ( x, y , z ) = ï ỵ Khi đó, thơng thường ta đặt biến t, thay vào phương trình để hpt với pt ẩn biến lại Giải hpt theo tham số t, ta biến cịn lại tính theo t §1: Tham số hóa đường cong Ví dụ 1: Viết phương trình tham số đường cong C giao tuyến x2+y2=z2 ax=y2 (z≥0) ì ï x = 1t2 ï Ta đặt y=t ì x + y = z ï ï a ï ï ï ï ï ax = y ï y =t Û í í ï ï ïz³ ï 2 ï ï ï ïz= î t (t + a ) ï a ï ỵ Ví dụ 2: Viết phương trình tham số đường cong C giao tuyến x2=y x=z (x≥0) Ta đặt x=t ì x =t ï ï ìy =x ï ï ï ï y =t2 Û í í ï x =z ï ï ỵ ï z =t ù ù ợ Đ1: Tham s húa ng cong Tuy nhiên, số trường hợp thông thường hay gặp, ta có cách tham số hóa đường cong cụ thể tùy vào điểm đặc biệt chúng Ví dụ 3: Viết pt tham số đường cong C1, C2 giao tuyến x2+y2+z2=2, z2=x2+y2 Ta có: ì x + y + z2 = ì x + y = ï ï ï ï Û í í 2 ï z = x +y ï z = ±1 ï ỵ ï ỵ Tức C1, C2 vừa giao tuyến mặt cầu mặt nón vừa giao tuyến mặt trụ với mặt phẳng Nói cách khác: C1, C2 đường tròn đơn vị nằm mp đối xứng qua mp z=0 §1: Tham số hóa đường cong Khi đó, ta đặt x=cost suy y=sint Vậy pt tham số C ì x = sin t ï ï ï y = cos t í ï ï z = ±1 ï ỵ §1: Tham số hóa đường cong Ví dụ 4: Viết phương trình tham số đường cong C: x2+y2+z2=a2, x=y Thay x=y vào phương trình mặt cầu Ta được: 2x2+z2=a2 , pt đường ellipse Tức C đường ellipse 2x2+z2=a2 mp x=y Đặt 2x2=a2cos2t suy z2=a2sin2t Vậy ta được: ì ï x = y = a cos t ì x +y +z =a ì 2x + z = a ï ï ï ï ï ï Û í Û í í ï x =y ï x =y ï ï ï ỵ ỵ ï z = a sin t ï ỵ 2 2 2 §1: Tham số hóa đường cong Ví dụ 5: Viết phương trình tham số đường cong C: x2+y2+z2=4 x2+y2=2x lấy phần ứng với z dương Từ pt mặt trụ : x2+y2=2x ↔ (x-1)2+y2=1 Ta đặt x-1=cost, suy y=sint thay vào pt mặt cầu ì x + y + z2 = ï ï í ï x + y = 2x ï ỵ ì x = 1+ cos t ï ï ï Û ï y = sin t í ï ï ï z = - 2(1+ cos t ) ù ợ Đ1: Tham s húa ng cong Vớ d 6: Viết phương trình tham số đường cong C: x2+y2+z2=6z z=3-x Ta viết lại pt mặt cầu : x2+y2+(3-z)2=9 Thay 3-z=x vào để C đường ellipse 2x2+y2=9 mp x=3-z Đặt 2x2=3cos2t, y2=3sin2t Vậy: ì ï x = cos t ï ï 2 2 2 ï ì x + y + z = 6z ì x + y = ï ï ï ï Û ï í í Û ï y = sin t í ï z =3- x ï z =3- x ï ï ï ỵ ỵ ï ï ï z =3cos t ï ï ỵ §1: Tham số hóa đường cong Ví dụ 7: Viết phương trình tham số đường cong C: x2+y2+z2=2 x+y+z=0 Thay z=-(x+y) từ pt mặt phẳng vào pt mặt2 cầu: ỉ3 ỉ 2 ↔ x2+y2+xy=1 ô ỗx + y ữ + ỗ y ữ = x +y +(x+y) =2 ữ ữ ỗ ç ÷ ÷ ç2 ø ÷ è ø è Do đó, ta ì ï x + y = cos t ï ï 2 ï ìỉ ù ổ3 ử ù ỗx + y ữ + ỗ y ữ = ù 2 ù ỡ x +y +z = ù ỗ ù ữ ù ù ỗ ữ ỗ ù ù ữ ÷ è2 ø ÷ « íè « í y = sin t ø í ï x +y +z =0 ï ï ï ỵ ï ï ï z =- ( x +y) ï z =- x +y ï ï î ( ) ï ï ï ï î Vậy pt tham số C x = cos t - sin t , y = sin t , z = - cos t - sin t §2: Tích phân đường loại Định nghĩa: Cho hàm f(x,y) xác định cung AB Chia cung AB thành n phần tùy ý điểm chia A=A0, A1, A2, … An=B Trên cung nhỏ AkAk+1 có độ dài Δlk lấy điểm Mk(xk,yk) n Cho max Δlk → 0, Lập tổng S = å0 f ( xk , y k )D lk Sn có giới hạn hữu n k= hạn khơng phụ thuộc An cách chia cung AB B Mk cách lấy điểm Mk yk A Ak Ak+1 A0 giới hạn gọi A đường loại xk hàm f(x,y) dọc cung AB §2: Tích phân đường loại Và kí hiệu ị f ( x, y )dl = lim Sn AB max D l k ®0 Khi đó, ta nói hàm f(x,y) khả tích cung AB Định nghĩa tương tự cho đường loại hàm biến f(x,y,z) Từ định nghĩa, ta suy cách tính độ dài cung AB LAB = ị dl AB Điều kiện khả tích: Hàm f(x,y) liên tục dọc cung trơn khúc AB khả tích cung AB Cung AB có pt tham số x=x(t), y=y(t), a≤t≤b gọi trơn đạo hàm x’(t), y’(t) tồn tại, liên tục không đồng thời đoạn [a,b] gọi trơn khúc chia thành số hữu hạn cung trơn §2: Tích phân đường loại Các tính chất: Các hàm f, g khả tích cung AB Tính chất 1: TP đường loại không phụ thuộc vào hướng đường lấy tp, tức f ( x, y )dl = f ( x, y )dl ị ị AB BA Tính chất 2: Với λ, μ số λf+ μg khả tích AB g ị(l f + m )dl = l òfdl + m gdl ò AB AB AB Tính chất 3: Cho C điểm cung AB ịfdl = ịfdl + ịfdl AB AC CB §2: Tích phân đường loại Tính chất 4: Nếu f ≥0 cung AB òfdl ³ AB Tính chất 5: òfdl £ ò f dl AB AB Tính chất 6: Tồn điểm M thuộc cung AB cho òfdl = f (M ) LAB AB Trong đó, LAB độ dài cung AB Ta gọi f(M) giá trị trung bình hàm f cung AB §2: Tích phân đường loại Ta chia thành trường hợp cung AB mp Oxy: TH1: Cung AB có pt y=y(x), x1≤x≤x2 x2 ¢ f ( x, y )dl = ò f ( x, y ( x )) + y x2dx ị AB x1 TH2: Cung AB có pt x=x(t), y=y(t), t1≤t≤t2 t 2 f ( x, y )dl = ò f ( x (t ), y (t )) xt¢ + y t¢dt ị AB t1 TH3: Cung AB có pt r=r(φ), φ1≤φ≤ φ2 : j f ( x, y )dl = ò f (r (j )cos j , r (j )sin j ) r (j )2 + r ¢j )2dj ( ị AB j §2: Tích phân đường loại Nếu AB cung khơng gian có pt tham số ì x = x (t ) ï ï ï y = y (t ) í ï ï z = z(t ), t £ t £ t ï ỵ Thì t2 2 f ( x, y , z )dl = ò f ( x (t ), y (t ), z(t )) x ¢(t ) + y ¢(t ) + z Â(t )dt ũ AB t1 Đ2: Tớch phõn đường loại Ví dụ 1: Tính tích phân đường loại biên ΔABC với A(1,1), B(3,3), C(1,5) hàm f(x,y)=x+y Biên ΔABC gồm đoạn AB: y=x, 1≤x ≤3, BC: y=6-x, 1≤x ≤3, CA: x=1, 1≤y≤5 I1=IAB+IBC+ICA Trên đoạn AB: thay y=x 1+ y ¢( x ) = 2 Ta : I AB = ò( x + x ) 2dx = C B A §2: Tích phân đường loại Tương tự, ta có IBC = ị 2dx = 12 ICA = ò(1+ y )dy = 16 Vậy I1 = ò( x + y )dl = 20 +16 C §2: Tích phân đường loại I2 = ò( x - y )dl Với C phần đường Ví dụ 2: Tính C trịn x2+y2=4, x≥0, y≤0 Có cách để tính I2 sau Cách 1: Tính y = - - x ,0 £ x £ 2 Suy 1+ y ¢( x ) = =2 4- x 2 Vậy: I2 = ( x - (4 - x )) dx -2 ò 4- x p I2 = 2ò(8 sin t - 4)dt =0 { x =2sin t §2: Tích phân đường loại Cách 2: Viết pt C tọa độ cực r = 2, 3p £ j £ 2p Suy ra: x = r (j )cos j = 2cos j , y = r (j )sin j = 2sin j , r (j ) + r ¢(j ) = Vậy: 2p I2 = (4 cos2 j - sin2 j ).2dj =0 ò 3p Cách 3: Viết pt tham số C cách đặt x=2cost y=2sint 2 Suy : x ¢ (t ) + y ¢(t ) = Và ta tích phân tính Cách §2: Tích phân đường loại Ví dụ 3: Tính I3 = ò xzdl Với C giao tuyến C x2+y2+z2=4, x2+y2=1,z≥0 Đây đường loại không gian nên ta bắt buộc phải viết pt tham số C Thay x2+y2=1 vào pt mặt cầu ta z = Nên ta đặt x=cost, để có y=sint 2 ¢ (t ) + y ¢ (t ) + z ¢ (t ) = Suy x Vậy : 2p I3 = ò 2.cos t 3.1dt =0 §2: Tích phân đường loại Ví dụ 4: Tính độ dài phần đường parabol y=x2 với 0≤x≤2 Ta có ¢( x ) = 1+ x 1+ y 2 Vậy : LC = ò dl = ò 1+ x dx C LC = ln(4 + 17) ... phương trình tham số đường cong C: x2+y2+z2=a2, x=y Thay x=y vào phương trình mặt cầu Ta được: 2x2+z2=a2 , pt đường ellipse Tức C đường ellipse 2x2+z2=a2 mp x=y Đặt 2x2=a2cos2t suy z2=a2sin2t Vậy ta... 1+ y ¢( x ) = 2 Ta : I AB = ò( x + x ) 2dx = C B A ? ?2: Tích phân đường loại Tương tự, ta có IBC = ò 2dx = 12 ICA = ò (1+ y )dy = 16 Vậy I1 = ò( x + y )dl = 20 +16 C ? ?2: Tích phân đường loại I2... trình tham số đường cong C: x2+y2+z2=6z z=3-x Ta viết lại pt mặt cầu : x2+y2+(3-z )2= 9 Thay 3-z=x vào để C đường ellipse 2x2+y2=9 mp x=3-z Đặt 2x2=3cos2t, y2=3sin2t Vậy: ì ï x = cos t ï ï 2 2 2 ï