PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Mục lục Loại 1. Phương pháp lũy thừa 1 A. Nội dung phương pháp 1 B. Một số ví dụ 3 C. Bài tập 8 D. Đáp số 9 Loại 2. Phương pháp ẩn phụ 11 A. Nội dung phương pháp 11 B. Một số ví dụ 12 C. Bài tập 18 D. Đáp số 20 Loại 3. Phương trình và bất phương trình tích 21 A. Nội dung phương pháp 21 B. Một số ví dụ 22 C. Bài tập 24 D. Đáp số 25 Loại 4. Một số phương pháp đặc biệt 27 A. Một số ví dụ 27 B. Bài tập 30 C. Đáp số 31 ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com 1 PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com Loại 1. Phương pháp lũy thừa A. Nội dung phương pháp Phần này đề cập đến phương pháp cơ bản nhất khi giải phương trình và bất phương trình vô tỷ - phương pháp lũy thừa. Sau đây là các quy tắc cấn nhớ khi sử dụng phương pháp này. * Một số phép biến đổi tương đương phương trình vô tỷ +)     f x g x        f x g x f x 0        . +)     f x g x        2 f x g x g x 0        . * Một số phép biến đổi tương đương bất phương trình vô tỷ      f x g x        f x g x g x 0        .      f x g x        f x g x g x 0        .      f x g x            2 g x 0 f x 0 g x 0 f x g x                      .      f x g x            2 g x 0 f x 0 g x 0 f x g x                      .      f x g x          2 g x 0 f x 0 f x g x           . ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com 2 PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com      f x g x          2 g x 0 f x 0 f x g x           . ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com 3 PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com B. Một số ví dụ Ví dụ 1. GPT 3 x 2x 5 2x 1    .   1 Giải Ta có   1    2 3 x 2x 5 2x 1 2x 1 0            32 1 2 x 4x 2x 4 0 x           .     2 3   2      2 x 2 x 2x 2                thoûa maõn 3 khoâng thoûa maõn 3 thoûa maõn 3 x2 x 1 3 x 1 3          . Vậy tập nghiệm của   1 là   1;1 3 . Ví dụ 2. [ĐHD06] GPT 2 2x 1 x 3x 1 0     .   1 Giải Ta có   1  2 2x 1 x 3x 1        2 2 2x 1 x 3x 1 x 3x 1 0               .     2 3   3  2 x 3x 1 0    3 5 3 5 22 x   .   4   2  4 3 2 x 6x 11x 8x 2 0          2 2 x 1 x 4x 2 0                 thoûa maõn thoûa maõn khoâng thoûa maõn x 1 4 x 2 2 4 x 2 2 4          . Tập nghiệm của   1 là   1;2 2 . Ví dụ 3. [ĐHA05] GBPT 5x 1 x 1 2x 4     .   1 Giải ĐK: 5x 1 0 x 1 0 2x 4 0          x2 . ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com 4 PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com Ta có:   1  5x 1 2x 4 x 1      2 5x 1 3x 5 2 2x 6x 4       2 2x 6x 4 x 2    (do x2  x 2 0 )  22 2x 6x 4 x 4x 4      2 x 10x 0  0 x 10 Kết hợp điều kiện  tập nghiệm của   1 là   2;10 . Ví dụ 4. [ĐHA04] GBPT   2 2 x 16 7x x3 x 3 x 3       .   1 Giải ĐK: 2 x 16 0 x 3 0         x4 . Ta có:   1    2 2 x 16 x 3 7 x        2 2 x 16 10 2x      22 10 2x 0 10 2x 0 2 x 16 100 40x 4x                   2 x5 x5 x 20x 66 0                 x5 x5 10 34 x 10 34                  x 10 34 (TMĐK). Vậy tập nghiệm của bất phương trình là   10 34;  . ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com 5 PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com Ví dụ 5. GPT   2x 3 x 6 x 5 2 x 4       .   1 Giải ĐK: x6 . Ta có   1    22 3x 3 2 2x 9x 18 3x 3 2 2 x x 20            22 2x 9x 18 2 x x 20      x2 (không TMĐK). Vậy   1 vô nghiệm. Ví dụ 6. GPT x 7 4x 1 5x 6 2 2x 3       .   1 Giải ĐK: 3 2 x  . Ta có   1    x 7 2 2x 3 5x 6 4x 1        22 9x 5 4 2x 11x 21 9x 5 2 20x 19x 6          22 2 2x 11x 21 20x 19x 6          22 4 2x 11x 21 20x 19x 6      2 12x 63x 78 0    2 4x 21x 26 0    13 4 x2 x       . Thử lại ta thấy chỉ 13 4 x  là nghiệm của   1 . Vậy   1 có nghiệm duy nhất 13 4 x  . Nhận xét: +) Hai phương trình:     f x g x và     22 f x g x nói chung là không tương đương. Vì lý do này mà trong ví dụ nói trên, sau khi thu được kết quả cuối cùng, ta phải thử lại. +) Việc quyết định khi nào bình phương hai về của phương trình là quan trọng. Trong ví dụ nói trên, động tác bình phương được thực hiện sau khi chuyển vế. Nhờ thế mà sau khi bình phương, ta giản ước được 9x 5 ở hai vế. ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com 6 PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com Ví dụ 7. Biện luận số nghiệm của PT 3 x x m 1 x     .   1 Giải Ta có   1  32 x x m x 2x 1 1 x 0              32 x x x m 1 x1            .   2 Do đó số nghiệm của   1 bằng số nghiệm thỏa mãn x1 của   2 nên bằng số điểm chung của đường thẳng y m 1   với đồ thị hàm số   32 f x x x x   ( x1 ). Ta có   2 f ' x 3x 2x 1   .   f ' x 0  1 3 x1 x       . Kết luận: * m 1 1    m2 :   1 vô nghiệm. * 25 7 m1     18 7 m  :   1 có 1 nghiệm. * 25 7 m1 m 1 1             18 7 m m2       :   1 có 2 nghiệm. * 25 7 m 1 1      18 7 2m   :   1 có 3 nghiệm. Ví dụ 8. [ĐHB06] Tìm m để PT sau đây có hai nghiệm phân biệt   2 x mx 2 2x 1 1    . Giải Ta có   1    2 2 x mx 2 2x 1 2x 1 0                2 1 2 3x 4 m x 1 0 2 x           .   2 là phương trình bậc hai có   2 4 m 12 0 m         2 luôn có hai nghiệm phân biệt 1 x , 2 x . Theo định lý Vi-ét thì   m4 12 3 1 12 3 xx 3 xx         .   1 có hai nghiệm phân biệt    2 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng 1 2   1 1 2 1 2 2 x x         1 1 2 1 2 2 x0 x0        1 - 25 7 1 - ∞ + + - 0 0 f x ( ) f ' x ( ) x - ∞ 1 1 3 -1 ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com 7 PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com         11 12 22 11 12 22 x x 0 x x 0                    12 11 1 2 1 1 24 x x 1 0 4 x x x x 0             . Thay   3 vào   4 ta thu được m4 3 1 1 m 4 1 3 2 3 4 10 .0              m 1 0 2m 9 0       9 2 m1 m         9 2 m  . Vậy   1 có hai nghiệm phân biệt  9 2 m  . Chú ý: Ví dụ trên có thể được làm bằng cách khác như sau: Biến đổi   1 về dạng: 2 3x 4x 1 x 1 2 m x         .   1 có hai nghiệm phân biệt  ym có hai điểm chung với ĐTHS 2 3x 4x 1 x y   , 1 2 x  . ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com 8 PT, BPT Vô tỉ. Blog: www.caotu28.blogspot.com C. Bài tập Bài 1. Giải các phương trình sau 1) 2 x x x 2 3    . 2) 2 x 2 x 3x 1 0     . 3) 3 3x x x 1 2     . 4) 32 x x 6x 28 x 5     . 5) 43 x 4x 14x 11 1 x     . 6)   4 3 2 x 5x 12x 17x 7 6 x 1      . Bài 2. Giải các phương trình sau 1) x 3 3x 1 2 x 2x 2      . 2) 22 x 2x x 2 x x 2x 2       . 3) 11 x x xx   . Bài 3. Giải các phương trình sau 1) 3 3 3 x 1 x 1 x 2    . 2) 33 3 x 1 x 3 2    . 3) 33 33 2x 1 1 x x    . Bài 4. Giải các bất phương trình sau 1) x 9 2x 4 5    . 2)   2 x 1 2 x 1   . 3) 2 2x 5 x 4x 3     . 4) 2 2 2 x 3x 2 x 4x 3 2 x 5x 4        . 5)     x 1 2x 1 3 x 1    . 6) 2x 2x 2 2x 1 1   . Bài 5. Giải và biện luận theo m các phương trình 1) 2 x 1 x m   . 2) x m x m m    . Bài 6. [ĐHB07] Chứng minh với mọi m0 , phương trình   2 x 2x 8 m x 2    có hai nghiệm phân biệt. Bài 7. Giải và biện luận theo m các bất phương trình sau 1) m 2 x x m    . 2) x m x 2   . [...]... 5 2 2) 3  17 5  13 , 4 4 1 3)  2 PT, BPT Vô tỉ 20 Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Loại 3 Phương trình và bất phương trình tích A Nội dung phương pháp Phần này đề cấp đến việc giải phương trình, bất phương trình vô tỷ bằng cách đưa phương trình, bất phương trình cần giải về phương trình, bất phương trình tích Nhân tử chung có thể thấy ngay hoặc nhận... m  2: x  2 PT, BPT Vô tỉ 9 Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú PT, BPT Vô tỉ Email: caotua5lg3@gmail.com 10 Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Loại 2 Phương pháp ẩn phụ A Nội dung phương pháp Dùng ẩn phụ là một phương pháp thông dụng để giải phương trình nói chung và phương trình vô tỷ nói riêng Đối với phương trình vô tỷ, phương pháp này có thể... (thay phương trình dưới vào phương trình trên)   xt  x  t   30   x  t  5    xt  x  t   30  x  t  5 (thay phương trình trên vào phương trình dưới)    xt  6 x  2  T  2 t  3 2 Ta có T  5T  6  0   Do đó, hệ nói trên tương đương với  x  3 T  3   t  2  Vậy tập nghiệm của 1 là 2;3 Chú ý: Định lý Vi-ét đảo x  y  S xy  P Xét hệ  (1) và phương trình. .. 0    '  131  0   u  2 Thay u  2 vào  2a  , ta được 3 3x  2  2  3x  2  8  x  2 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  2 PT, BPT Vô tỉ 17 Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com C Bài tập Bài 1 Giải các phương trình, bất phương trình sau: 1) 1  x  1  x  2 1  x2  4 2) 3x  2  x  1  4x  9  2 3x2  5x  2  x  23  6x  0 ... pháp này có thể được phân loại như sau: +) Đặt một ẩn phụ để thu được một phương trình chỉ chứa ẩn phụ +) Đặt một ẩn phụ để thu được một phương trình chứa cả ẩn mới và ẩn cũ +) Đặt một ẩn phụ để thu được một hệ hai phương trình chứa cả ẩn mới và ẩn cũ +) Đặt hai ẩn phụ để thu được một hệ hai phương trình chứa hai ẩn phụ PT, BPT Vô tỉ 11 Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com... Vậy 1 có nghiệm duy nhất x  5 PT, BPT Vô tỉ 23 Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com C Bài tập Bài 1 Giải các phương trình 1) 3 x  1  3 x  2  1  3 x2  3x  2 2) 3 x  1  3 x2 3) 4 x1  4) 3  3 x  x2  x 4 x  1  x3  x2 x3  x2  3x  3  2x  x2  3  2x2  2x Bài 2 Giải các phương trình, bất phương trình sau: 1) 4 1 5  x   x  2x  x x... nghiệm của phương trình là 1; 4 Ví dụ 2 Giải các phương trình 1) x2  2x x  1  3x  1 x 1 3 2) x2  x4  x2  2x  1 1 Giải 1) Ta thấy x  0 không phải nghiệm của 1 nên 1 PT, BPT Vô tỉ    x 2 x 1  3 1  x 1  2 x 1  3  0 x x x x 12 Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Đặt t  x  1 x  2 Email: caotua5lg3@gmail.com t  0  3   , ta thu được phương trình  ... Giải phương trình 1 Giải 1 x  3  2x x  1  2x      x  3 x  1 (ĐK: x  1 )  x  1  1  0 x  3  0  x  3 1  x  1  2x    x  1  1 2x   x1 1  0   2x  x  3  0   x1  1   x  3  2x  x  1  1     2x  0    x  3  4x2   x  0  x  1 Ta thấy cả 2 giá trị 0 và 1 đều thỏa mãn điều kiện để phương trình có nghĩa Vậy tập nghiệm của phương trình. ..  3    Vậy tập nghiệm của phương trình là 1  2; 5 10 3 Ví dụ 6 Giải phương trình x 35  x3  x  35  x3   30     3 PT, BPT Vô tỉ 3 1 15 Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Giải 3 Đặt t  35  x3  t3  35  x3  x3  t 3  35 Thay t  35  x3 vào 1 , ta có xt  x  t   30 3  2  3 Ta có hệ gồm hai phương trình  2  và  3  :  x ... để phương trình sau có nghiệm: 3 x  1  m x  1  2 x2  1 Bài 8 Giải các phương trình: 1) 3 24  x  12  x  6 2) 3) 4 x  4 17  x  3 2 2 4) 3  2  x   3  7  x   3  2  x  7  x   3 x 3  3 x  3 PT, BPT Vô tỉ 18 Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com 6) 4 x  4 x  1  4 2x  1 5) 3 x  3 x  16  3 x  8 Bài 9 Với giá trị nào của a thì phương . pháp ẩn phụ A. Nội dung phương pháp Dùng ẩn phụ là một phương pháp thông dụng để giải phương trình nói chung và phương trình vô tỷ nói riêng. Đối với phương trình vô tỷ, phương pháp này có thể. www.caotu28.blogspot.com Loại 1. Phương pháp lũy thừa A. Nội dung phương pháp Phần này đề cập đến phương pháp cơ bản nhất khi giải phương trình và bất phương trình vô tỷ - phương pháp lũy thừa. Sau. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Mục lục Loại 1. Phương pháp lũy thừa 1 A. Nội dung phương pháp 1 B. Một số ví dụ 3 C. Bài tập 8 D. Đáp số 9 Loại 2. Phương pháp ẩn