Biên soạn: Cao Văn Tú– Khoa: CNTT Website: www.caotu95.blogspot.com Bảng công thức đạo hàm cấp cao đầy đủ. Truờng: ĐH Công nghệ Thông tin và Truyền thông Thái Nguyên 1 BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CƠ BẢN ĐẠO HÀM HÀM SỐ CƠ BẢN Nhóm GUG – Lớp CNTT_K12D – Trường ĐH Công nghệ Thông tin và Truyền thông Thái Nguyên ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP Nhóm GUG – Lớp CNTT_K12D – Trường ĐH Công nghệ Thông tin và Truyền thông Thái Nguyên CÔNG THỨC ÁP DỤNG (C)’ = 0 (C: hằng số) Giả sử u =u(x) có đạo hàm theo biến x (u + v)’ = u’ + v’; (u - v)’ = u’ - v’ (x)’ = 1 ; (Cx)’ = C (k.u)’ = k.u’ (k là hằng số) ' '')' ( 2121 nn uuuuuu  1 .)'(     xx ' )'( 1 uuu     (u.v)’ = u’.v + v’.u (u.v. w)’ = u’.v.w + u.v’.w + u.v.w’ 2 1 )' 1 ( xx  với (x )0 '. 1 )' 1 ( 2 u u u  ; '.)'( 2 u u C u C  2 '.'. )'( v uvvu v u   x x 2 1 )'(  với ( x>0) '. 2 1 )'( u u u  ; '. 2 )'( u u C uC  2 )( )'( dcx bcad dcx bax      xx cos)'(sin  '.cos)'(sin uuu  22 2 2 2 )( )(2)( )'( qpxmx cpbqxcmaqxbmap qpxmx cbxax      xx sin)'(cos  '.sin)'(cos uuu  2 2 2 )( 2 )'( qpx cpbqaqxapx qpx cbxax      x x x 2 2 tan1 cos 1 )'(tan  ( x ) 2   k ').tan1( cos ' )'(tan 2 2 ux u u u  )0(;)' 1 ( 1   x x n x nn )cot1( sin 1 )'(cot 2 2 x x x  ; (x )  k ').cot1( sin ' )'(cot 2 2 ux u u u  )0(; '. )' 1 ( 1   u u un u nn xx ee )'( '.)'( uee uu  xx 2sin)'(sin 2  ; xx 2sin)'(cos 2  aaa xx ln.)'(  '.ln.)'( uaaa uu  axaax cos)'(sin  ; axaax sin)'(cos  x x 1 )'(ln  u u u ' )'(ln  ax a ax 2 cos )'(tan  ; ax a ax 2 sin )'(cot   ax x a ln. 1 )'(log  '. ln. 1 )'(log u au u a  Biên soạn: Cao Văn Tú– Khoa: CNTT Website: www.caotu95.blogspot.com Bảng công thức đạo hàm cấp cao đầy đủ. Truờng: ĐH Công nghệ Thông tin và Truyền thông Thái Nguyên 2 BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CẤP CAO STT Hàm số Đạo hàm cấp n 1 x ey    xn ey  2 bax ey     baxnn eay   . 3    baxy    nnn baxnay     )).(1) (2)(1(. 4 x y   1 1       1 1 ! .1    n n n x n y 5 x y   1 1     1 1 !    n n x n y 6 xy sin          2 sin  n xy n 7 y = cosx          2 cos  n xy n 8 )sin( baxy           2 sin.  n baxay nn 9 )cos( baxy           2 cos.  n baxay nn 10 y = lnx       n n n x n y !1 1 1    11 )ln( baxy        n n nn bax an y     !1 .)1( 1 12 xy    12 1 .2 !)!32()1(     nn n n x n y 13 x x y    1 1     1 1 !2    n n x n y 14 )( baxfy      ).(. baxfay nnn  15 x x y   1       12 .2 )32.()1( 2 12 1      nx x n y n n n n Biên soạn: Cao Văn Tú– Khoa: CNTT Website: www.caotu95.blogspot.com Bảng công thức đạo hàm cấp cao đầy đủ. Truờng: ĐH Công nghệ Thông tin và Truyền thông Thái Nguyên 3 1. Công thức Lepnit.             gfCgfCgfCgfCgf nn n n n n n knkk n n k n ' 110 0 )(     2. Công thức Taylor Giả sử hàm số f có các đạo hàm cấp n liên tục trên đoạn [a, b] và có đạo hàm cấp n + 1 tren khoảng a,b . Khi đó tồn tại một điểm   bax , 0  sao cho:     )()( ! )( )( !2 )('' )( !1 ' )()( 0 0 2 0 0 0 0 0 xRxx n xf xx xf xx xf xfxf n k n  = 3. Công thức Maclaurin: Giả sử hàm số f có các đạo hàm đến cấp n1 tên một lân cận điểm 0 (tức là trên một khoảng mở chứa điểm 0). Khi đó : n 2n n f ' 0 f " 0 f 0 f x f 0 x x x R x 1! 2! n! Với n1 n1 n fx R x x , 0 1 n 1 ! (phần dư dạng lagrange) Hoặc n1 n n1 n fx R x 1 x , 0 1 n! (phần dư dạng Cauchy).   )()( ! )( 0 0 0 xRxx k xf n k k n k    Biên soạn: Cao Văn Tú– Khoa: CNTT Website: www.caotu95.blogspot.com Bảng công thức đạo hàm cấp cao đầy đủ. Truờng: ĐH Công nghệ Thông tin và Truyền thông Thái Nguyên 4 4. Áp dụng công thức Taylor viết công thức triển khai của một số hàm số: 2 n n 1 xx x x x x 1 e 1 e 1! 2! n! n 1 ! 2 3 n 1 n n1 x x x 1 2 ln 1 x x 1 23 n1 1x n n 1 1 n 1 3 1 x 1 x R x 1! 2! n! 3 5 2k 1 k1 2k x x x 4 sin x x 1 R (x) 3! 5! 2k 1 ! 2 4 6 2k k 2k 1 x x x x 5 cos x 1 1 R x 2! 4! 6! 2k ! Một số bài tập áp dụng Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1. dcx bax y    2. 54 32    x x y 3. nmx cbxax y    2 4. 1 1 2    x xx y 5.     2 1 x y x 6. xxy 2cos.3sin 32  7.  2y cos x 8. 1 1 x y x    9. 2 3 1 x y x    10. 2 4 3 x y x    11.   4 tanyx 12.    3 sin 1yx 13. 2 1 cos y x  14. sin cos sin cos xx y xx    15.  20 (1 )yx 16.    1 1 x y x 17.       2007 5 1 7y t t t 18.   2 22 x y xa 19.  sin x y x cosx 20.    2 cot 1y x x 21.  1 3 3 y cosx cos x 22.  tant y t 23.  sin(2sin )yx Bài 2: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau: 1. 1 35 y x   2. 252 1 2   xx y 3. 3 2 9 x y x   4. sin5yx 5. 2 sin 2yx 6. sin sin5y x x . www.caotu95.blogspot.com Bảng công thức đạo hàm cấp cao đầy đủ. Truờng: ĐH Công nghệ Thông tin và Truyền thông Thái Nguyên 1 BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CƠ BẢN ĐẠO HÀM HÀM SỐ CƠ BẢN Nhóm GUG. www.caotu95.blogspot.com Bảng công thức đạo hàm cấp cao đầy đủ. Truờng: ĐH Công nghệ Thông tin và Truyền thông Thái Nguyên 2 BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CẤP CAO STT Hàm số Đạo hàm cấp n 1 x ey. www.caotu95.blogspot.com Bảng công thức đạo hàm cấp cao đầy đủ. Truờng: ĐH Công nghệ Thông tin và Truyền thông Thái Nguyên 4 4. Áp dụng công thức Taylor viết công thức triển khai của một số hàm số: 2 n n