1 DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ 1/ Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTNN của BT:  =   ( + )  +   ( + )  +   ( + )  Giải: Theo BĐT Cô-si ta có:    +    +            +  +  +  +  +   =      2/ Cho 3 số thực dương x, y, z. Tìm GTLN của BT:  =   +    +   ( + ) +   +    +   ( + ) +   +    +   ( + ) Giải: Ta có:   +    +   ( + ) =      +   ( + )      +    +          + ( + )       +  +  =  +  2( +  + ) Tương tự cho các số hạng khác; từ đó suy ra:    +  2( +  + ) +  +  2( +  + ) +  +  2( +  + ) = 1 3/ Cho 3 số thực không âm x, y, z thỏa mãn đk:   +   +   = . Tìm GTLN của BT:  =  +  +  +  ( +  + )  Giải: Ta có:     +   +       +  +       +   +     +  +        =  +  +          +  +      +  ( +  + )  =     +    = ()           =    4/ Cho tg ABC có độ dài các cạnh là a, b, c. CMR:   +   +   +       +    +     +    + (  +   ) Giải: BĐT cần chứng minh tương đương với: 2 DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN   +       +   +   +       +   +   +       +      +   +        +        +   +        + ( + )(  )         +       + (  )   × ( +  + )   ( +   )       +   +          + ( +   )(  )     5/ Cho , ,  > 0& +  +  =    . Tìm GTNN của BT:  =    +    +    +    +    +    Giải: Ta có  =     +   . .    +     +   . .    +     +   . .       +  +  +   +  +  +   +  +    ×     +  +   +  =   =  6/ Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn đk:  + 2 + 3  3. Chứng minh BĐT: 3  625  + 4 + 15    + 4 + 5  81  + 4  45  5 Giải: Đặt  =   ; 3 =   ; 5 =   ì    ó:   +   +    3 . Theo BĐT Cô-si ta có: 3  + 2  5     +   +    3. Cũng theo BĐT Cô-si ta có: 3  625  + 4 =        + 4       5  =  5          5      ×    +   +      5      × 9    +   +     3  5         . 7/ Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn đk a + b + c = 1. Tìm GTNN của BT:  =   (  ) 2 +   (  ) 2 +   (  ) 2 Giải: Theo BĐT Cô-si ta có:   (  ) 2 + 1   8 + 1   8  3 4 .     ó á  á;    :  + 1   + 1   + 1   4  3( +  + ) 4    3 4  2 4 = 1 4   = 0,25 3 DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN 8/ Cho x, y > 0 TMĐK  +   4. ì   : 23 2 3 4 2 4 xy P xy   . Giải: Theo BĐT Cô-si ta có: 23 22 3 4 2 1 2 2 1 1,5 4,5 4 2 4 4 4 x y x y x y y P x y x y                9/ Cho 2 số thực x, y TMĐK  2   +  2 = 1. Tìm GTNN và GTLN của BT:  = (  +   + 1) ( 2 +  2 + 1)  . Giải:Từ GT ta suy ra: (  ) 2 = 1    0; ( + ) 2 = 1 + 3  0  1   =    1 3  Ta có: 2 22 () 2 tt P f t t      . Do PT f’(t) = 0 có nghiệm 6 2 ( 1/3;1)t     nên  =    6  2  = 6  2  6 ;  =   1  = 1 . 10/ Cho 2 số thực x, y TMĐK ( 2 +  2 ) =  + 1. Tìm GTNN và GTLN của BT:  = (  +   ) (2 + 1)  . Giải:Từ GT ta suy ra: (  ) 2 = 0,5  1,5  0; ( + ) 2 = 0,5 + 2,5  0   1 5   =   1 3 à  = 7 2 + 2 + 1 4(2 + 1) =           = 0   = 0 ê  =   0  = 1 4  ;  = ( 1 5)  =   1 3   = 2 15  11/ Cho 4 số thực a, b, c, d thỏa mãn đk  2 +  2 = 1 à    = 3. CMR:  =  +     (9 + 6  2) 4  . Giải:Từ GT ta suy ra: c = d + 3 và theo BĐT Bunhiacốpxki ta có:     2 +  2 .   2 +  2    + 3   =  ( + ) 2 +  2    2 + 3  =   0,5( 2  9) = ( 2 + 2 + 9) 2  =     .  ó:  2 = 2( + , ) 2 + 4,5  4,5      3  2        = 1   > 0    3  2          3  2   = (9  6  2) 4      3  2  (1) ;      = 1   < 0    3  2          3  2   = (9 + 6  2) 4     3  2  (2). Từ (1) và (2) ta suy ra đpcm. 4 DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN . 1 DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ 1/ Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTNN của BT:  =   ( + )  +   (.  2( +  + ) Tương tự cho các số hạng khác; từ đó suy ra:    +  2( +  + ) +  +  2( +  + ) +  +  2( +  + ) = 1 3/ Cho 3 số thực không âm x, y, z thỏa mãn. 4 4 4 x y x y x y y P x y x y                9/ Cho 2 số thực x, y TMĐK  2   +  2 = 1. Tìm GTNN và GTLN của BT:  = (  +   + 1) ( 2 +  2 + 1)  . Giải:Từ GT ta