ðẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN-TIN ðỀ THI THỬ ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC, CAO ðẲNG 2011 Môn thi : TOÁN - khối A. Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao ñề) I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 ñiểm) Câu I (2,0 ñiểm). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số 3 1 x y x − = + . 2. Viết phương trình ñường thẳng d ñi qua ñiểm ( ) 1;1 I − và cắt ñồ thị (C) tại hai ñiểm M, N sao cho I là trung ñiểm của ñoạn MN. Câu II (2,0 ñiểm). 1. Giải phương trình ( ) ( ) 3 sin 2 cos 3 2 3 cos 3 3 cos2 8 3 cos sinx 3 3 0 x x x x x + − − + − − = . 2. Giải hệ phương trình ( ) 3 3 2 2 3 4 9 x y xy x y  − =    =  . Câu III (2,0 ñiểm). 1. Cho x, y là các số thực thoả mãn 2 2 4 3 x xy y . + + = Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức: 3 3 8 9 M x y xy = + − . 2. Chứng minh ( ) 2 2 2 1 2 a b c ab bc ca a b c a b b c c a + + + + + ≥ + + + + + với mọi số dương ; ; a b c . Câu IV (1,0 ñiểm). Cho lăng trụ tam giác ñều . ' ' ' ABC A B C có cạnh ñáy là a và khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (A’BC) bằng 2 a . Tính theo a thể tích khối lăng trụ . ' ' ' ABC A B C . II. PHẦN RIÊNG (3,0 ñiểm): Tất cả thí sinh chỉ ñược làm một trong hai phần: A hoặc B. A. Theo chương trình Chuẩn Câu Va (1,0 ñiểm). Trong mặt phẳng tọa ñộ (Oxy). Lập phương trình ñường thẳng qua ( ) 2;1 M và tạo với các trục tọa ñộ một tam giác có diện tích bằng 4 . Câu VI.a ( 2,0 ñiểm ) . 1. Giải bất phương trình ( ) ( ) 2 2 2 1 log log 2 log 6 x x x + + + > − . 2. Tìm m ñể hàm số 3 2 2 3( 1) 2( 7 2) 2 ( 2) y x m x m m x m m = − + + + + − + có cực ñại và cực tiểu. Viết phương trình ñường thẳng ñi qua ñiểm cực ñại và cực tiểu khi ñó. B. Theo chương trình Nâng cao Câu Vb ( 1,0 ñiểm ). Trong mặt phẳng tọa ñộ (Oxy) , cho ñiểm 1 3; 2 M       . Viết phương trình chính tắc của elip ñi qua ñiểm M và nhận ( ) 1 3;0 F − làm tiêu ñiểm. Câu VI.b ( 2,0 ñiểm ) . 1. Giải hệ phương trình 2 2 1 2 3 x y y x x y +  + = +   =   . 2. Tìm trên mặt phẳng tọa ñộ tập hợp tất cả các ñiểm mà từ ñó có thể kẻ ñược hai tiếp tuyến ñến ñồ thị hàm số 2 2 2 1 x x y x − + = − và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau. HẾT ðẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ======================================================================== Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 1 ðÁP ÁN VÀ THANG ðIỂM Môn thi : TOÁN - khối A. CÂU Ý NỘI DUNG ðIỂM Tập xác ñịnh: { } \ 1 D R = − . 0,25 ñ Sự biến thiên: • Giới hạn và tiệm cận: lim 1; lim 1 1 x x y y y →−∞ →+∞ = = ⇒ = là TCN. ( ) ( ) 1 1 lim ; lim 1 x x y y x − + → − → − = +∞ = −∞ ⇒ = − là TCð 0,25 ñ ( ) 2 4 ' 0, 1 y x D x = > ∀ ∈ + . • BBT: - ∞ + ∞ + ∞ - ∞ -1 + + 1 1 y y' x Hàm số ñồng biến trên các khoảng ( ) ( ) ; 1 , 1; −∞ − − +∞ Và không có cực trị. 0,25 ñ Ý 1 (1,0ñ) ðồ thị: ðT cắt Ox tại (3;0), cắt Oy tại (0;-3) và ñối xứng qua ( ) 1;1 − . 4 2 -2 -5 5 x = -1 y = 1 y x O 0,25 ñ Gọi d là ñường thẳng qua I và có hệ số góc k ( ) : 1 1 d y k x = + + . Ta có: d cắt ( C) tại 2 ñiểm phân biệt M, N 3 : 1 1 x PT kx k x − ⇔ = + + + có 2 nghiệm PB khác 1 − . 0,25 ñ Câu I (2,0ñ) Ý 2 (1,0ñ) Hay: ( ) 2 2 4 0 f x kx kx k = + + + = có 2 nghiệm PB khác 1 − 0,25 ñ ðẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ======================================================================== Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 2 ( ) 0 4 0 0 1 4 0 k k k f  ≠  ⇔ ∆ = − > ⇔ <   − = ≠  . Mặt khác: 2 2 M N I x x x + = − = ⇔ I là trung ñiểm MN với 0 k ∀ < . 0,25 ñ KL: PT ñường thẳng cần tìm là 1 y kx k = + + với 0 k < . 0,25 ñ Chú ý: Có thể chứng minh ñồ thị ( C) có I là tâm ñối xứng, dựa vào ñồ thị ( C) ñể kết luận kết quả trên. 2 3 2 2 2sin .cos 6sin .cos 2 3.cos 6 3cos 3 3 8( 3.cos sin ) 3 3 0 2cos ( 3cos sin ) 6.cos ( 3cos sin ) 8( 3cos sin ) 0 x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ + − − + + − − = ⇔− − − − + − = . 0,50 ñ 2 2 ( 3 cos sin )( 2cos 6cos 8) 0 tan 3 3 cos sin 0 cos 1 cos 3cos 4 0 cos 4( ) x x x x x x x x x x x loai ⇔ − − − + =  =  − =  ⇔ ⇔ =   + − =    =  . 0,25 ñ Ý 1 (1,0ñ) , 3 2 x k k x k π π π  = +  ⇔ ∈ Ζ  =  0,25 ñ Ta có : 2 2 9 3 x y xy = ⇔ = ± . 0,25 ñ . Khi: 3 xy = , ta có: 3 3 4 x y − = và ( ) 3 3 . 27 x y − = − Suy ra: ( ) 3 3 ; x y − là nghiệm PT 2 4 27 0 2 31 X X X− − = ⇔ = ± 0,25 ñ Vậy ngiệm của PT là 3 3 2 31, 2 31 x y= + = − − Hay 3 3 2 31, 2 31 x y= − = − + . 0,25 ñ Câu II (2,0ñ) Ý 2 (1,0ñ) Khi: 3 xy = − , ta có: 3 3 4 x y − = − và ( ) 3 3 . 27 x y − = Suy ra: ( ) 3 3 ; x y − là nghiệm PT 2 4 27 0( ) X X PTVN + + = 0,25 ñ Ta ñặt 2 t x y = + , từ giả thiết suy ra 2 3 3 t xy − = . ðiều kiện 2 30 5 t ≤ 0,25 ñ • Khi ñó ( ) ( ) 3 3 3 8 9 2 6 2 9 M x y xy x y xy x y xy = + − = + − + − ( ) 3 2 3 6 9 t t t f t = − − + + = 0,25 ñ Câu III (2,0ñ) Ý 1 (1,0ñ) • Xét hàm f(t) với 2 30 2 30 5 5 t ;   ∈ −     , ta ñược: 0,5 ñ ðẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ======================================================================== Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 3 ( ) ( ) 35 12 30 35 12 30 5 5 min f t ; max f t − + = = Ta có: 2 1 2 2 a ab ab a a a ab a b a b ab = − ≥ − = − + + (1) 0,50 ñ Tương tự: 2 1 2 b b bc b c ≥ − + (2), 2 1 2 c c ca c a ≥ − + (3). 0,25 ñ Ý 2 (1,0ñ) Cộng (1), (2), (3), ta có: ( ) 2 2 2 1 2 a b c ab bc ca a b c a b b c c a + + + + + ≥ + + + + + 0,25 ñ Gọi M là trung ñiểm BC, hạ AH vuông góc với A’M Ta có: ( ' ) ' BC AM BC AA M BC AH BC AA ⊥  ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥  . 0,25 ñ Mà ' ( ' ) 2 a AH A M AH A BC AH ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = . 0,25 ñ Mặt khác: 2 2 2 1 1 1 6 ' 4 ' a AA AH A A AM = + ⇒ = . 0,25 ñ Câu IV (1,0ñ) KL: 3 . ' ' ' 3 2 16 ABC A B C a V = . 0,25 ñ Gọi d là ðT cần tìm và ( ) ( ) ;0 , 0; A a B b là giao ñiểm của d với Ox, Oy, suy ra: : 1 x y d a b + = . Theo giả thiết, ta có: 2 1 1, 8 ab a b + = = . 0,25 ñ Khi 8 ab = thì 2 8 b a + = . Nên: 1 2; 4 : 2 4 0 b a d x y = = ⇒ + − = . 0,25 ñ Khi 8 ab = − thì 2 8 b a + = − . Ta có: 2 4 4 0 2 2 2 b b b+ − = ⇔ = − ± . Với ( ) ( ) 2 2 2 2 : 1 2 2 1 2 4 0 b d x y = − + ⇒ − + + − = 0,25 ñ Câu Va (1,0ñ) Với ( ) ( ) 3 2 2 2 : 1 2 2 1 2 4 0 b d x y = − − ⇒ + + − + = . KL 0,25 ñ ðK: 0 6 x < < . BPT ( ) ( ) 2 2 2 2 log 2 4 log 6 x x x ⇔ + > − . 0,25 ñ Hay: BPT ( ) 2 2 2 2 4 6 16 36 0 x x x x x ⇔ + > − ⇔ + − > 0,25 ñ Vậy: 18 x < − hay 2 x < 0,25 ñ Ý 1 (1,0ñ) So sánh với ñiều kiện. KL: Nghiệm BPT là 2 6 x < < . 0,25 ñ Ta có 2 2 ' 3 6( 1) 2( 7 2) y x m x m m = − + + + + 0,25 ñ Câu VIa (2,0ñ) Ý 2 (1,0ñ) HS có Cð, CT khi phương trình 2 2 3 6( 1) 2( 7 2) 0 x m x m m − + + + + = có hai nghiệm phân biệt. Hay 4 17 m < − hoặc 4 17 m > + 0,25 ñ ðẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ======================================================================== Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 4 Chia y cho y’ ta có '( ) ( ) ( ) y y x q x r x = + ; 2 3 2 2 2 ( ) ( 8 1) ( 5 3 2) 3 3 r x m m x m m m = − − − + + + + 0,25 ñ Toạ ñộ ñiểm cực trị là nghiệm của hệ '( ) 0 ( ) '( ). ( ) ( ) y x y r x y y x q x r x =  ⇒ =  = +  Vậy phương trình ñường thẳng cần tìn là 2 3 2 2 2 ( 8 1) ( 5 3 2) 3 3 y m m x m m m = − − − + + + + 0,25ñ PTCT elip có dạng: 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b + = > > 0,25 ñ Ta có: 2 2 2 2 3 1 4 3 1 a b a b − = + =      0,25 ñ Ta có: 4 2 2 2 3 4 3 0 1( ), ( ) 4 b b b th b kth − − = ⇔ = = − 0,25 ñ Câu Vb (1,0ñ) Do ñó: 2 4 a = . KL: 2 2 1 4 1 x y + = 0,25 ñ ( ) ( ) 2 2 1 0 , 1 y x x y y x y x y x y x + = + ⇔ − + − = ⇔ = = − . 0,50 ñ Khi: 1 y x = − thì 2 6 2 3 6 9 log 9 x x x x − = ⇔ = ⇔ = 0,25 ñ Ý 1 (1,0ñ) Khi: y x = thì 1 2 3 2 2 3 3 log 3 3 x x x x +   = ⇔ = ⇔ =     . 0,25 ñ Gọi M(a;b) là một ñiểm thoả mãn ñề bài. Khi ñó ñường thẳng qua M có dạng ( ) y k x a b = − + Sử dụng ñiều kiện tiếp xúc cho ta hệ 2 1 1 1 ( ) 1 ( ) (1) 1 1 1 1 1 (*) 1 ( 1) (2) ( 1) 1 x k x a b x k x a b x x k x k x x x   − + = − + − + = − +   −   − ⇔     − = − − = −  −  −   0,25 ñ Lấy (1) – (2) ta có [ ] 1 1 (1 ) 1 2 k a b x = − + − Kết hợp với (*) cho ta [ ] 2 2 2 2 1 1 (1 ) ( 1) 2 (1 ) 2 4 0 1 2 k k k a b a k a b k b k ≠  ≠    ⇔   − +   − + − + + − = − =         0,25 ñ Câu VIb (2,0ñ) Ý 2 (1,0ñ) ðể từ M kẻ ñược hai tiếp tuyến vuông góc ñến ñồ thị hàm số thì hệ phương trình trên phải có 2 nghiệm phân biệt 1 2 , k k sao cho 1 2 . 1 k k = − ðẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ======================================================================== Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 5 Hay [ ] 2 2 2 2 2 2 1 0 1 4 1 ( 1) 4 ( 1) 1 0 ( 1) 2 (1 ) 2 4 0 a a b a b a a b a a b b  − ≠ ≠   −   = − ⇔ − + =   −   − + + ≠   − + − + + − ≠  0,25 ñ Vậy tập hợp ñiểm M thoả mãn yêu cầu bài toán thuộc ñường tròn ( ) 2 2 1 4 x y − + = trừ bỏ ñi 4 giao ñiểm của ñường tròn này với 2 ñường thẳng : x = 1 và –x + y + 1 = 0. 0,25 ñ HẾT . ðẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN -TIN ðỀ THI THỬ ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC, CAO ðẲNG 2011 Môn thi : TOÁN - khối A. Thời gian làm bài : 180 phút (không kể. 091.5657.952 1 ðÁP ÁN VÀ THANG ðIỂM Môn thi : TOÁN - khối A. CÂU Ý NỘI DUNG ðIỂM Tập xác ñịnh: { } 1 D R = − . 0,25 ñ Sự biến thi n: • Giới hạn và tiệm cận: lim 1; lim 1. có thể kẻ ñược hai tiếp tuyến ñến ñồ thị hàm số 2 2 2 1 x x y x − + = − và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau. HẾT ðẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ========================================================================