Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ Chuyên đề bồi d ỡng hsg toán 9 tháng 9 năm 2008 I.mục tiêu: II.chuẩn bị: III. Nội dung và ph ơng pháp tiến hành 3.1. Khái niệm ph ơng trình vô tỉ 3.1.1. Khái niệm: Phơng trình vô tỉ là phơng trình chứa ẩn trong dấu căn . 3.1.2. Các ví dụ : a) 11 =x b) 2173 =++ xx c) 3+ xx 1 2 + xx =3 d) 4 1 1 1 1 3 3 2 3 2 3 = + x x x xx 3. 2.Ph ơng pháp chung : Để giải phơng trình chứa dấu căn ta tìm cách khử dấu căn . Cụ thể : - Tìm ĐKXĐ của phơng trình . - Biến đổi đa phơng trình về dạng đã học. - Giải phơng trình vừa tìm đợc . - So sánh kết quả với ĐKXĐ rồi kết luận nghiệm . 3.3. Một số ph ơng pháp giải ph ơng trình vô tỉ cơ bản: a. Ph ơng pháp nâng lên luỹ thừa (Bình ph ơng hoặc lập ph ơng hai vế ph ơng trình ): Mai Khánh Toàn -thcsNgô đồng 1 Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ a.1. Các ví dụ : * Giải phơng trình dạng : )()( xgxf = Ví dụ 1: Giải phơng trình : 11 =+ xx (1) ĐKXĐ : x+1 0 x -1 Với x -1 thì vế trái của phơng trình không âm .Để phơng trình có nghiệm thì x-1 0 x 1.Khi đó phơng trình (1) tơng đơng với phơng trình : x+1 = (x-1) 2 x 2 -3x= 0 x(x-3) = 0 = = 3 0 x x Chỉ có nghiệm x =3 thoả mãn điều kiện x 1 Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x =3 . Ví dụ 2: Giải phơng trình: 131 =+ xx xx = 131 ĐKXĐ : 013 01 x x 13 1 x x 1 13x (2) Bình phơng hai vế của (1) ta đợc : 2 )13(1 xx = 017027 2 =+ xx Phơng trình này có nghiệm 10 1 =x và 17 2 =x .Chỉ có 10 1 =x thoã mãn (2) . Vậy nghiệm của phơng trình là 10=x * Giải phơng trình dạng : )()()( xgxhxf =+ Ví dụ 3: Giải phơng trình: 121 =+ xx xx ++= 211 (1) ĐKXĐ: 02 01 + x x 2 1 x x 12 x Bình phơng hai vế của phơng trình (1) ta đợc : Mai Khánh Toàn -thcsNgô đồng 2 (1) Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ xxx ++++= 22211 01 2 =+ xx Phơng trình này có nghiệm 2 51 =x thoã mãn (2) Vậy nghiệm của phơng trình là 2 51 =x Ví dụ 4: Giải phơng trình: 3 1+x 27 3 =+ x (1) Lập phơng trình hai vế của (1) ta đợc: 82).7)(1(371 3 =++++ xxxx (x-1) (7- x) = 0 x =-1 x =7 (đều thoả mãn (1 )). Vậy 7;1 == xx là nghiệm của phơng trình . * Giải phơng trình dạng : =+ )()( xhxf )(xg Ví dụ5: Giải phơng trình 1+x - 7x = x12 1+x = x12 + 7x (1) ĐKXĐ: 121 7 12 1 07 012 01 + x x x x x x x Bình phơng hai vế ta đợc: x- 4 = 2 )7)(12( xx (3) Ta thấy hai vế của phơng trình (3) đều thoã mãn (2) vì vậy bình phơng 2 vế của phơng trình (3) ta đợc : (x - 4) 2 = 4(- x 2 + 19x- 84) 5x 2 - 84x + 352 = 0 Phơng trình này có 2 nghiệm x 1 = 5 44 và x 2 = 8 đều thoả mãn (2) . Vậy x 1 = 5 44 và x 2 = 8 là nghiệm của phơng trình. * Giải phơng trình dạng : =+ )()( xhxf )(xg + )(xq Mai Khánh Toàn -thcsNgô đồng 3 Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ Ví dụ 6: Giải phơng trình : 1+x + 10+x = 2+x + 5+x (1) ĐKXĐ : + + + + 05 02 010 01 x x x x 5 2 10 1 x x x x x -1 (2) Bình phơng hai vế của (1) ta đợc : x+1 + x+ 10 + 2 )10)(1( ++ xx = x+2 + x+ 5 + 2 )5)(2( ++ xx 2+ )10)(1( ++ xx = )5)(2( ++ xx (3) Với x -1 thì hai vế của (3) đều dơng nên bình phơng hai vế của (3) ta đợc )10)(1( ++ xx = 1- x Điều kiện ở đây là x -1 (4) Ta chỉ việc kết hợp giữa (2) và (4) 1 1 x x x = 1 là nghiệm duy nhầt của phơng trình (1). a.2. Nhận xét : Phơng pháp nâng lên luỹ thừa đợc sử dụng vào giải một số dạng phơng trình vô tỉ quen thuộc, song trong quá trình giảng dạy cần chú ý khi nâng lên luỹ thừa bậc chẵn Với hai số dơng a, b nếu a = b thì a 2n = b 2n và ngợc lại (n= 1,2,3 ) Từ đó mà chú ý điều kiện tồn tại của căn, điều kiện ở cả hai vế của phơng trình đó là những vấn đề mà học sinh hay mắc sai lầm, chủ quan khi sử dụng phơng pháp này. Ngoài ra còn phải biết phối hợp vận dụng phơng pháp này với cùng nhiều phơng pháp khác lại với nhau . a.3. Bài tập áp dụng: 1. 4 2 x = x- 2 2. 41 2 ++ xx = x+ 1 3. x1 + x+4 =3 Mai Khánh Toàn -thcsNgô đồng 4 Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ 4. 3 45+x - 3 16x =1 5. x1 = x6 - )52( + x 6. 3 1x + 3 2x = 3 32 x 7. x + yx + = 1x + 4+x b. Ph ơng pháp đ a về ph ơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối : b.1. Các ví dụ : Ví dụ1: Giải phơng trình: 416249 2 +=+ xxx (1) ĐKXĐ: + + 04 016249 2 x xx 4 0)43( 2 x xx x 4 Phơng trình (1) 43 x = -x + 4 = += 443 443 xx xx = = 0 2 x x Với x= 2 hoặc x = 0 đều là nghiệm của phơng trình (đều thoả mãn x 4 ). Ví dụ 2 : Giải phơng trình : 44 2 = xx + 168 2 + xx = 5 ĐKXĐ: x R Phơng trình tơng đơng : 2x + 4x = 5 Lập bảng xét dấu : x 2 4 x- 2 - 0 + + x- 4 - - 0 + Ta xét các khoảng : + Khi x < 2 ta có (2) 6-2x =5 x = 0,5(thoả mãn x 2) + Khi 2 x 4 ta có (2) 0x + 2 =5 vô nghiệm + Khi x > 4 ta có (2) 2x 6 =5 x =5,5 (thoả mãn x > 4 ) Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0,5 và x = 5,5 Mai Khánh Toàn -thcsNgô đồng 5 Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ Ví dụ 3 : Giải phơng trình: 314 + xx + 816 + xx = 1 ĐKXĐ: x 1 Phơng trình đợc viết lại là : 414)1( + xx + 916)1( + xx = 1 2 )21( x + 2 )31( x = 1 21 x + 31 x =1 (1) - Nếu 1 x < 5 ta có (1) 2- 1x + 3 - 1x = 1 1x =2 x= 5 không thuộc khoảng đang xét - Nếu 5 x 10 thì (1) 0x = 0 Phơng trình có vô số nghiệm - Nếu x> 10 thì (1) -5 = 1 phơng trinh vô nghiệm Vậy phơng trình có vô số nghiệm : 5 x 10 b.2. Nhận xét : Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối đợc sử dụng giải một số dạng phơng trình vô tỉ quen thuộc nh trên song trong thực tế cần lu ý cho học sinh : -áp dụng hằng đẳng thức 2 A = A - Học sinh thờng hay mắc sai lầm hoặc lúng túng khi xét các khoảng giá trị của ẩn nên giáo viên cần lu ý để học sinh tránh sai lầm . b.3. Bài tập áp dụng : 1. 96 2 + xx + 2510 2 ++ xx = 8 2. 12 2 ++ xx + 44 2 + xx = 44 2 ++ xx 3. 143 ++ xx + 168 + xx = 5 4. 5233 ++ xx + 522 xx = 2 2 c.Ph ơng pháp đặt ẩn phụ: c 1. Các ví dụ : Mai Khánh Toàn -thcsNgô đồng 6 Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ Ví dụ 1 : Giải phơng trình: 2x 2 + 3x + 932 2 ++ xx =33 ĐKXĐ : x R Phơng trình đã cho tơng đơng với: 2x 2 + 3x +9 + 932 2 ++ xx - 42= 0 (1) Đặt 2x 2 + 3x +9 = y > 0 (Chú ý rằng học sinh thờng mắc sai lầm không đặt điều kiện bắt buộc cho ẩn phụ y) Ta đợc phơng trình mới : y 2 + y 42 = 0 y 1 = 6 , y 2 = -7 .Có nghiệm y =6 thoả mãn y> 0 Từ đó ta có 932 2 ++ xx =6 2x 2 + 3x -27 = 0 Phơng trình có nghiệm x 1 = 3, x 2 = - 2 9 Cả hai nghiệm này chính là nghiệm của phơng trình đã cho. Ví dụ 2 : Giải phơng trình: x + 4 x = 12 ĐKXĐ : x o Đặt 4 x = y 0 x = y 2 ta có phơng trình mới y 2 + y -12 = 0 phơng trình có 2 nghiệm là y= 3 và y = - 4 (loại) 4 x = 3 x = 81 là nghiệm của phơng trình đã cho. Ví dụ 3: Giải phơng trình: 1+x + x3 - )3)(1( xx + = 2 (1) ĐKXĐ : + 03 01 x x 3 1 x x -1 x 3 Đặt 1+x + x3 = t 0 t 2 = 4 + 2 )3)(1( xx + )3)(1( xx + = 2 4 2 t (2) .thay vào (2) ta đợc t 2 2t = 0 t(t-2) = 0 = = 2 0 t t + Với t = 0 phơng trình vô nghiệm. +Với t = 2 thay vào (2) ta có : )3)(1( xx + = 0 x 1 = -1; x 2 = 3 (thoả mãn) Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x 1 = -1và x 2 = 3 Ví dụ 4: Giải phơng trình : 5 1 3 +x = 2( x 2 + 2) Mai Khánh Toàn -thcsNgô đồng 7 Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ Ta có 1 3 +x = 1+x 1 2 + xx Đặt 1+x = a 0 ; 1 2 + xx = b 0 và a 2 + b 2 = x 2 + 2 Phơng trình đã cho đợc viết là 5ab = 2(a 2 + b 2 ) (2a- b)( a -2b) = 0 = = 02 02 ba ba + Trờng hợp: 2a = b 2 1+x = 1 2 + xx 4x + 4 = x 2 x +1 x 2 5x -3 = 0 Phơng trình có nghiệm x 1 = 2 375 ; x 2 = 2 375 + + Trờng hợp: a = 2b 1+x = 2 1 2 + xx x+ 1 = 4x 2 -4x + 3 = 0 4x 2 -5x + 3 = 0 phơng trình vô nghiệm. Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x= 2 375 + và x= 2 375 Ví dụ 5: Giải phơng trình: 1+x + 2 (x+1) = x- 1 + x1 + 3 2 1 x (1) Đặt 1+x = u 0 và x1 = t 0 ĐKXĐ: -1 x 1 thì phơng trình (1) trở thành. u + 2u 2 = -t 2 + t +3ut (u t ) 2 + u(u-t) + (u-t) = 0 (u-t)(2u t +1 ) = 0 =+ = tu tu 12 =++ =+ xx xx 1112 11 = = 25 24 0 x x thoả mãn điều kiện -1 x 1 là nghiệm của phơng trình đã cho. Mai Khánh Toàn -thcsNgô đồng 8 Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ Ví dụ 6: Giải phơng trình: 12 xx + 12 + xx = 2 3+x ĐKXĐ : x 1 Đặt 1x = t 0 x = t 2 + 1 phơng trình đã cho trở thành 2 )1( +t + 2 )1( t = 2 4 2 +t 1+t + 1t = 2 4 2 +t = =+ 0 044 2 2 t tt (t 1) = = 0 2 t t = = 1 5 x x ĐkXĐ: x 1 Vậy phuơng đã cho có nghiệm x= 1và x= 5 c.2 . Nhận xét : Phơng pháp đặt ẩn nhằm làm cho phơng trình đợc chuyển về dạng hữu tỉ .Song để vận dụng phơng pháp này phải có những nhận xét,đánh giá tìm tòi h- ớng giải quyết cách đặt ẩn nh thế nào cho phù hợp nh : Đặt ẩn phụ để đợc phơng trình mới chứa ẩn phụ (Vd 3-1,3-2,3-3) Đặt ẩn phụ để đa về một biểu thức nhóm (VD 3-4; 3-5) c.3. Bài tập áp dụng: 1/ x 2 5 + 6 2 x = 7 2/ x x 1 - 2x 3 x = 20 3/ 3 2 x - 3 3 x =20 4/ 8 3 +x = 2x 2 6x +4 5/ 96 + xx + 96 xx = 6 23+x d. Ph ơng pháp đ a về ph ơng trình tích : d.1.Các ví dụ : Ví dụ 1: Giải phơng trình: 2110 ++ xx = 3 3+x + 2 7+x - 6 (1) Mai Khánh Toàn -thcsNgô đồng 9 Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ ĐKXĐ : x -3 Phơng trình (1) có dạng : )7)(3( ++ xx - 3 3+x + 2 7+x +6 = 0 3+x ( )37 +x -2( )37 +x ) =3 ( )37 +x ( 23 +x ) =0 =+ =+ 023 037 x x =+ =+ 43 97 x x = = 1 2 x x ĐKXĐ. Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x = 1; x = 2 Ví dụ 2: Giải phơng trình: 3 1 x + 2+x =1 ĐKXĐ : x -2 Đặt 2+x = t 0 Khi dó 3 1 x = 3 2 3 t Phơng trình (1) 3 2 3 t + t = 1 3 2 3 t = 1- t 3- t 3 = (1-t) 3 t 3 - 4t 2 + 3t + 2 =0 (t-2) ( t 2 -2t -1) = 0 Từ phơng trình này ta tìm đợc x=2 ; x= 1 + 2 2 là nghiệm của phơng trình (1) Ví dụ3 : Giải phơng trình: (4x-1) 1 2 +x = 2(x 2 + 1) + 2x - 1 (1) Đặt 1 2 +x =y ; y 0 (1) (4x-1) y = 2y 2 + 2x -1 2y 2 - (4x -1) y + 2x 1= 0 ( 2y 2 - 4xy + 2y) ( y- 2x+1) = 0 (y- 2x+1) (2y- 1) = 0 Giải phơng trình này ta tìm đợc x = 0 ; x = 3 4 là nghiệm của phơng trình (1) Ví dụ 4: Giải phơng trình: ( 11 + x )( 11 + x ) = 2x Mai Khánh Toàn -thcsNgô đồng 10 [...]... -thcsNgô đồng 16 Một số phơng pháp giải ph ơng trình vô tỉ Với x< 3 và x -1 -1 x 3 thì 3 x 2 < 1, x + 1 < 2 nên vế trái của (1) nhỏ hơn 3 Vậy x= 3 là nghiệm duy nhất của phơng trình (1) Ví dụ 2: 5 Giải phơng trình : x 2 + 28 + 2 3 x 2 + 23 + x 1 + x = 2 + 9 (1) x 1 0 x 1 x 0 ĐKXĐ: Ta thấy x =2 là nghiệm của (1) h2.Nhận xét : Khi giải các phơng trình vô tỉ mà ta cha biết cách giải thờng ta sử... f(x) = 0 g( x) = 0 ; thuộc tập xác định Mai Khánh Toàn -thcsNgô đồng 11 Một số phơng pháp giải ph ơng trình vô tỉ + Biết vận dụng,phối hợp một cách linh hoạt với các phơng pháp khác nh nhóm các số hạng,tách các số hạng hoặc đặt ẩn phụ thay thế cho một biểu thức chứa ẩn đa về phơng trình về dạng tích quen thuộc đã biết cách giải d.3.Bài tập áp dụng: 1 x 3 7 x 6 = 0 2 x 2 x 2 - 2 x 2 x + 2 = x... (1) vô nghiệm vì không tồn tại giá trị x [1;5] để y(xi) = 9 k.2.Phơng pháp hàm số: Ví dụ 2: Giải phơng trình: Ta có: (1) Đặt y = x3 +1 = 2 3 2 x 1 (1) x3 + 1 3 = 2x 1 2 x3 + 1 3x 2 0 với mọi x nên đơn điệu tăng hàm số có đạo hàm y, = 2 2 và liên tục trong R y = x3 + 1 có hàm ngợc y = 2 Mai Khánh Toàn 3 2 x 1 (vì y = x3 + 1 x= 2 3 2x 1 ) -thcsNgô đồng 19 Một số phơng pháp giải ph ơng trình vô tỉ. .. : 1 1 + x 1 2 x2 =2 2 2 3 2 x 1 = x3+ 1 Mai Khánh Toàn -thcsNgô đồng 14 Một số phơng pháp giải ph ơng trình vô tỉ 3 3 1 x + 3 1 + x =1 4 3 x 1 + 3 x 21 = 3 2x 3 5 4 4 + x = x g Phơng pháp bất đẳng thức : g.1 Phơng pháp chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau , khi đó phơng trình vô nghiệm g.1.1.Các ví dụ : Ví dụ1: Giải phơng trình: x 1 - x 1 0 5 x 1 0 3 x 2 0 ĐKXĐ: 5x 1 = (1) 3x... dụ1: Giải phơng trình y + 1995 + x2 + z 1996 = 1 (x+y+z) 2 ĐKXĐ : x 2; y -1995; z 1996 Phơng trình (1) x+y+z = 2 x 2 + 2 y + 1995 + 2 z 1996 ( x 2 1) 2 + ( y + 1995 1) 2 + ( z 1996 1) 2 = 0 x2 =1 y + 1995 = 1 z 1996 = 1 x = 3 y = 1994 z = 1997 ( thoã mãn ĐKXĐ ) Là nghiệm của phơng trình (1) Mai Khánh Toàn -thcsNgô đồng 17 Một số phơng pháp giải ph ơng trình vô tỉ Ví dụ 2: Giải. .. a (a là hằng số ) Nghiệm của phơng trình là các giá trị của x thoả mãn đồng thời f(x) =a và g(x) = a + Biến đổi phơng trình về dạng h(x) = m (m là hằng số ) mà ta luôn có h(x) m hoặc h (x) m thì nghiệm của phơng trình là các giá trị của x làm cho dấu đẳng thức xảy ra + áp dụng các bất đẳng thức : Côsi, Bunhiacopxki Mai Khánh Toàn -thcsNgô đồng 18 Một số phơng pháp giải ph ơng trình vô tỉ i.3 Bài tập... -thcsNgô đồng 15 Một số phơng pháp giải ph ơng trình vô tỉ g.2.1.Các ví dụ : Ví dụ1: Giải phơng trình: 3x 2 + 6 x + 7 + 2 5 x 2 + 10 x + 14 = 4 2x x (1) Ta có vế trái của (1) 3x 2 + 6 x + 7 + 5 x 2 + 10 x + 14 = 3( x + 1) 2 + 4 + 5( x + 1) + 9 4 + 9 =5 Vế phải của (1) : 4 -2x x2 = 5 (x + 1)2 5 Vậy hai vế đều bằng 5 khi x = -1 Do đó phơng trình (1) có nghiệm là x = -1 Ví dụ2: Giải phơng trình:... x3 7 2 3 2 =2 (1) ĐKXĐ : 3 x 5 Mai Khánh Toàn -thcsNgô đồng 12 Một số phơng pháp giải ph ơng trình vô tỉ 5 x = u (u 0) x 3 = t (t 0) Đặt Phơng trình (1 ) trở thành hệ phơng trình : u 2 + t 2 = 2 2 u ut + t 2 = 2 u = 0 t = 0 ut = 0 x = 3 x = 5 (thõa mãn điều kiện ) Vậy phơng trình đẫ cho có nghiệm x =3 ; x= 5 Ví dụ3: Giải phơng trình: 3 2x + x 1 = 1 ĐKXĐ: x 1 Đặt 3 2 x = u x... + 2 = 3 x 2 6 x + 18 k Một số phơng pháp khác : k.1.Phơng pháp miền giá trị : Ví dụ1: Giải phơng trình: x +1 + x + 1 5 x 18 3 x = 9 (1) Ta tìm miền giá trị của hàm số : y = x 1 + x + 1 5 x 18 3x = 9 trên tập xác định [1;5] ta có: y, = 1 2 x +1 + 1 2 x 1 + 1 2 5 x + 3 2 18 3 x > 0 với mọi x [1;5] Do hàm số y liên tục và đồng biến trên [1;5] nên miền giá trị của hàm số là [ y (1); y (5)] hay... = 0 t = 1 t = 3 Từ đó ta đợc x= 3; x =2 ; x = 10 (ĐKXĐ x 1 ) là nghiệm của phơng trình đã cho Ví dụ 4: Giải phơng trình: 3 Đặt: 3 ( x + 1) 2 + x +1 = a ; 3 ( x 1) 2 + 3 3 x2 1 = 1 x 1 = b nên ta có: a2 = 3 ( x + 1) 2 Mai Khánh Toàn -thcsNgô đồng 13 Một số phơng pháp giải ph ơng trình vô tỉ b2 = 3 ( x 1) 2 ab = 3 x 2 1 Ta đợc phơng trình : a2 + b 2 + ab = 1 ( 1) a 3 = x + 1 3 b = x 1 Ta . đồng 11 Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ + Biết vận dụng,phối hợp một cách linh hoạt với các phơng pháp khác nh nhóm các số hạng,tách các số hạng hoặc đặt ẩn phụ thay thế cho một biểu. trình ): Mai Khánh Toàn -thcsNgô đồng 1 Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ a.1. Các ví dụ : * Giải phơng trình dạng : )()( xgxf = Ví dụ 1: Giải phơng trình : 11 =+ xx (1) ĐKXĐ :. là nghiệm của phơng trình. * Giải phơng trình dạng : =+ )()( xhxf )(xg + )(xq Mai Khánh Toàn -thcsNgô đồng 3 Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ Ví dụ 6: Giải phơng trình : 1+x + 10+x