TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ NHẤT NĂM HỌC 2010 – 2011 ĐỀ THI MÔN: TOÁN KHỐI D Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1: (2 điểm) Cho hàm số 2 1 1 x y x − = + (1) có đồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) 2. Tìm m để đường thẳng 2y mx m= + + cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất. Câu 2: (2 điểm) 1. Giải phương trình 2 sin(2 ) sinx 3cos 2 0 4 x x π + − − + = . 2. Giải phương trình 2 ( 1)( 2) 4 0x x x x x+ + − + + = . Câu 3: (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có điểm M(2;2), N(1;1) lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC và trực tâm H(-1;6). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(4;-1;5) và điểm B(-2;7;5). Tìm điểm M thuộc mặt phẳng Oxy sao cho tam giác MAB vuông cân tại M. Câu 4: (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD); góc giữa mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 45 0 . Tính khoảng cách từ C tới mặt phẳng (SAD). Câu 5: (2 điểm) 1. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 2 ( 1)ln f x x x x = + . 2. Tìm số tự nhiên n thỏa mãn 3 2 3 12 6 1 A A C n n n n + = − + . Câu 6: (1 điểm) Cho x, y là các số thực thoả mãn 2 2 3x y xy+ + = . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 3 3P x y x y= + − − . HẾT Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên:…………………………………………………SBD:………………………………… TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ NHÂT NĂM HỌC 2010 – 2011 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN: TOÁN Câu ý Nội dung Điểm 1 (2điểm) 1 TXĐ: R\{-1} 2 3 ' 0 1 ( 1) y x x = > ∀ ≠ − + Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;-1) và (-1;+∞) 0,25 Giới hạn: 1 2 1 1 lim x x x ± →− − = ∞ ⇒ + m đường tiệm cận đứng của đồ thị là x =-1 2 1 2 1 lim x x x →±∞ − = ⇒ + đường tiệm cận ngang của đồ thị là y =2 0,25 bảng biến thiên x -∞ -1 +∞ y’ + + y 0,25 6 4 2 -2 -4 -5 5 10 Nhận xét: đồ thị nhận điểm I(-1;2) là tâm đối xứng 0,25 2 Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình 2 2 1 2 2 3 0 ( 1) 1 x mx m mx mx m x x − = + + ⇔ + + + = ≠ − + 0,25 Đường thẳng 2y mx m= + + cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B 0 ' 0 0 ( 1) 0 m m f ≠   ⇔ ∆ > ⇔ <   − ≠  0,25 Khi đó gọi A(x 1 ;y 1 ) ,B(x 2 ;y 2 ) ta có 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 12(1 ) ( ) ( ) (1 )( ) m AB x x y y m x x m + = − + − = + − = − 0,25 y x O 2 +∞ -∞ 2 Vì m<0 suy ra 2 2 12(1 ) 24 24 m AB AB m + = − ≥ ⇒ ≥ Dấu bằng xảy ra khi m = -1. Vậy m =-1 thì đường thẳng 2y mx m= + + cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B và độ dài AB nhỏ nhất 0,25 2 (2điểm) 1 2 sin(2 ) sinx 3cos 2 0 sin 2 os2 sinx 3cos 2 0 4 x x x c x x π + − − + = ⇔ + − − + = 1 cos (2cos 1)(sinx cos 1) 0 2 sinx cos 1 0 x x x x  =  − + − = ⇔  + − =  0,5 +) 1 cos 2 2 3 x x k π π = ⇔ = ± + +) 2 sinx cos 1 0 2 2 x k x x k π π π =   + − = ⇔  = +  0,5 2 Điều kiện 0 2 1 x x ≥   − ≤ ≤ −  (*) 2 2 2 ( 1)( 2) 4 0 ( )( 2) 2( 2) 0x x x x x x x x x x x+ + − + + = ⇔ + + − − + + = với điều kiện (*) ta đặt 2 ; 2 ( 0; 0)x x a x b a b+ = + = ≥ ≥ 0,5 Pt trở thành: 2 2 2 0 ( )(2 ) 0 2b ab a b a b a a b+ − = ⇔ + − = ⇔ = 0,25 2 2 2 2 2 3 8 0a b x x x x x= ⇔ + = + ⇔ − − = 3 41 2 3 41 2 x x  + =   ⇔  − =   (thỏa mãn) 0,25 3 (2điểm) 1 Phương trình đường thẳng HC là : x+y-5 = 0 0,25 Gọi điểm C(a;5-a) thuộc đường thẳng HC (1 ; 4)CN a a⇒ − − uuur Vì M là trung điểm của AC nên A(4-a;a-1) ( 5;7 )AH a a⇒ − − uuur Vì N là trung điểm của BC nên B(2-a;a-3) Vì H là trực tâm tam giác ABC nên ta có: 2 0 ( 5)(1 ) (7 )( 4) 0 2 17 33 0AHCN a a a a a a= ⇒ − − + − − = ⇔ − + = uuuruuur 3 11 2 a a =   ⇔  =  0,5 Với a=3 suy ra C(3;2) ; A(1;2) ; B(-1;0) Với 11 11 1 3 9 7 5 ( ; ); ( ; ); ( ; ) 2 2 2 2 2 2 2 a C A B= ⇒ − − − 0,25 2 Gọi M(x;y;0) thuộc mặt phẳng Oxy. (4 ; 1 ;5) ( 2 ;7 ;5) MA x y MB x y − − − − − − uuur uuur 0,25 Tam giác MAB vuông cân tại M 0MAMB MA MB  = ⇔  =  uuuruuur 0,25 2 2 2 2 (4 )( 2 ) ( 1 )(7 ) 25 0 (4 ) ( 1 ) 25 ( 2 ) (7 ) 25 x x y y x y x y − − − + − − − + =  ⇔  − + − − + = − − + − +  (4 )( 2 ) ( 1 )(7 ) 25 0 1 3 4 9 0 3 x x y y x x y y − − − + − − − + = =   ⇔ ⇔   − + = =   Vậy M(1;3;0) 0,5 4 (1điểm) K H D C B A S Gọi H là hình chiếu của S lên AB. Vì ( ) ( ) ( )SAB ABCD SH ABCD ⊥ ⇒ ⊥ 0,25 Vì ( )SH ABCD SH AD ⊥ ⇒ ⊥ mà AD AB ⊥ ( )AD SAB AD SA ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ Suy ra góc giữa mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa 2 đường thẳng SA và AB và bằng 45 0 0,25 Gọi K là hình chiếu của B lên SA ( ) BK SA BK SAD BK AD ⊥  ⇒ ⇒ ⊥  ⊥  Vì BC // (SAD) suy ra d(C;(SAD)) = d(B;(SAD))=BK 0,25 Vì góc giữa 2 đường thẳng SA và AB bằng 45 0 suy ra tam giác ABK vuông cân tại K suy ra BK = a 2 2 Vậy d(C;(SAD)) = a 2 2 0,25 5 (2điểm) 1 2 ( 1)ln ln ln x x x dx x xdx dx x x + = + ∫ ∫ ∫ 0,25 2 ln ln 2 x x dx C x = + ∫ 0,25 2 2 2 ln ln ln 2 2 2 4 x x x x x x x xdx dx C= − = − + ∫ ∫ Vậy 2 2 2 2 ( 1)ln ln ln 2 2 4 x x x x x x dx C x + = + − + ∫ 0,5 2 Điều kiện : 3;n n N≥ ∈ 3 2 3 12 6 1 ( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1) 12 6 3! A A C n n n n n n n n n n n n n + = − + − − ⇔ − − + + = − 0,5 2 4 5 5n n n− − ⇔ = (vì n≥3) Vậy n =5 0,5 6 2 2 2 3 ( ) 3x y xy x y xy+ + = ⇔ + − = Vì 2 2 ( ) 3 ( ) 4 2 2 ( ) ( ) 4 4 x y x y x y x y xy ⇒ + − ≤ ⇒ + ≤ + + ≤ Đặt x+y = t [ 2;2]t⇒ ∈ − 0,5 Ta có 3 3 3 3 2 3 3 3 ( ) 3 ( ) 3 3 3( 3) 3 2 6 P x y x y x y xy x y x y t t t t t t = + − − = + − + − − = − − − = − + Xét 3 ( ) 2 6f t t t= − + với [ 2;2]t ∈ − 2 '( ) 6 6; '( ) 0 1f t t f t t= − + = ⇔ = ± Bảng biến thiên t -2 -1 1 2 f’(t) - 0 + 0 - f(t) Vậy maxP =4 1 1; 2 1 2 2; 1 x y x y t xy x y + = = − =   ⇔ = ⇔ ⇔   = − = = −   Min P = -4 1 1; 2 1 2 2; 1 x y x y t xy x y + = − = = −   ⇔ = − ⇔ ⇔   = − = − =   0,25 0,25 Chú ý: Thí sinh làm theo cách khác đáp án nếu đúng vẫn cho điểm tối đa -2 2 -4 4 . TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ NHẤT NĂM HỌC 2010 – 2011 ĐỀ THI MÔN: TOÁN KHỐI D Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1: (2 điểm) Cho hàm số 2 1 1 x y x − = + (1) có đồ. y x y= + − − . HẾT Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên:…………………………………………………SBD:………………………………… TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ NHÂT NĂM HỌC 2010 –. ln ln 2 2 4 x x x x x x dx C x + = + − + ∫ 0,5 2 Điều kiện : 3;n n N≥ ∈ 3 2 3 12 6 1 ( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1) 12 6 3! A A C n n n n n n n n n n n n n + = − + − − ⇔ − − + + = − 0,5 2 4 5 5n n n−