VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN CƠ HỌC o0o NGUYỄN NGỌC LINH PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật Mã số: 62 52 01 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ HÀ NỘI – 2015 Người hướng dẫn khoa học: 1. GS.TSKH Nguyễn Đông Anh 2. TS Lưu Xuân Hùng Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Viện họp tại Viện Cơ học, 264 Đội Cấn – Ba Đình – Hà Nội. Vào hồi giờ phút ngày tháng năm Có thể tìm luận án tại thư viện Quốc Gia Việt Nam và thư viện Viện Cơ học. 1 MỞ ĐẦU Dao động ngẫu nhiên thường gặp trong trong các bài toán kỹ thuật như kết cấu chịu tác động của tải trọng gió hay tải trọng sóng, ổ, trục đỡ của cơ cấu di chuyển. Do đặc điểm của các tải trọng này là ngẫu nhiên theo thời gian, nên các bài toán dao động được mô hình hóa dựa trên lý thuyết xác suất và quá trình ngẫu nhiên. Việc xây dựng mô hình cho các bài toán nêu trên thường dẫn tới việc thiết lập và giải các phương trình vi phân ngẫu nhiên phi tuyến. Do kích động là các lực ngẫu nhiên nên các đáp ứng như dịch chuyển, vận tốc cũng có tính chất ngẫu nhiên. Bởi vậy, trong phân tích dao động ngẫu nhiên, kết quả của các đáp ứng được biểu diễn dưới dạng trung bình theo nghĩa xác suất. Sự tồn tại nghiệm chính xác rất quan trọng, thứ nhất nó cho phép khẳng định tính đúng đắn của mô hình được thiết lập khi đối chiếu với các số liệu đo đạc trong thực tế, thứ hai nó cho phép ước lượng được các thông số cần điều chỉnh và điều khiển trong các bài toán thiết sơ bộ, thiết kế chính xác hay kiểm tra. Tuy nhiên, do những hạn chế về phương pháp giải tích nên rất ít bài toán ngẫu nhiên phi tuyến có nghiệm chính xác. Mặc dù các phương pháp số giúp cho các bài toán phi tuyến trở nên giải được, nhưng một hệ phi tuyến có thể cho kết quả bằng nghiệm số không có nghĩa là đã đáp ứng các yêu cầu thực tiễn khi phân tích hệ. Ví dụ, đối với hệ có nhiều bậc tự do cần rất nhiều thời gian cho việc xây dựng mô hình tính toán chính xác, ngay cả đối với các hệ ngẫu nhiên có một bậc tự do gồm nhiều thông số đầu vào thì khối lượng cần tính toán là rất lớn và mất nhiều thời gian tính toán. Do vậy, phương pháp giải tích xấp xỉ là cần thiết để phân tích các hệ phi tuyến. 2 Trong số các phương pháp giải tích xấp xỉ, phương pháp tuyến tính hóa tương đương là một trong những phương pháp được sử dụng phổ biến nhất vì tính đơn giản, có thể áp dụng được cho hệ một hoặc nhiều bậc tự do, hệ dừng hoặc không dừng, hệ có trễ. Theo thống kê của Proppe (2003), kể từ khi được đề xuất trong những năm 1950- 1960 cho đến năm 1998 đã có hơn 400 bài báo về chủ đề tuyến tính hóa ngẫu nhiên, còn theo thống kê của Socha (2008) chỉ tính từ năm 1990 đến 2005 đã có hơn 200 bài báo trên các tạp chí và hội nghị liên quan đến tuyến tính hóa ngẫu nhiên áp dụng cho các hệ động lực học gắn với mô hình ngẫu nhiên. Tuy nhiên, một trong những nhược điểm cơ bản của phương pháp này là độ chính xác giảm khi mức độ phi tuyến tăng, lên đến hơn 20%. Do đó, vấn đề nâng cao độ chính xác của nghiệm xấp xỉ rất được quan tâm trong nghiên cứu, ứng dụng. Hướng nghiên cứu của luận án tập trung vào việc giải quyết nhược điểm này phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên với mục tiêu, đối tượng nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu cụ thể như sau: Mục tiêu của luận án là xây dựng một tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số của phương pháp tuyến tính hóa tương đương để phân tích mô men đáp ứng bậc hai của dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên với mức độ phi tuyến thay đổi khác nhau, sai số của nghiệm xấp xỉ vào khoảng 10%. Đối tượng nghiên cứu của luận án là các dao động phi tuyến một bậc tự do chịu kích động ồn trắng có hàm phi tuyến dạng đa thức. Phương pháp nghiên cứu của luận án sử dụng phương pháp giải tích, phương pháp hình học giải tích và phương pháp số. 3 CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN 1.1 Các khái niệm cơ bản về xác suất Để mô tả một quá trình ngẫu nhiên thường sử dụng các đặc trưng là các hàm không ngẫu nhiên như hàm mật độ xác suất, trung bình, trung bình bình phương, phương sai, hàm tương quan, mật độ phổ. Hàm mật độ xác suất của quá trình ngẫu nhiên   x t       , , / p x t F x t x t    (1.1) trong đó   , F x t là hàm phân bố xác suất.   , p x t có tính chất   , 1 p x t dx     (1.2) Giá trị trung bình hay kỳ vọng là mô men bậc nhất             ; x E x t m t x t x t p x t dx       (1.3) Trung bình bình phương là mô men bậc hai           2 2 2 ; E x t x t x t p x t dx      (1.4) Phương sai             2 2 2 2 x x x D E x t m t x t x t       (1.5) Hiệp phương sai   1 2 11 1 2 1 2 1 2 , xx x x D t t D x x x x      (1.6) Trong phân tích tương quan của hai đại lượng ngẫu nhiên     1 2 X, Y x t x t   , thường sử dụng hệ số tương quan   11 XY 1/2 X Y 20 02 , 1 r r          , (1.7) 4 Nếu biểu diễn X và Y dưới dạng hai véc tơ trong không gian xác suất với  là góc giữa hai véc tơ này, Rodgers (1988) chứng minh   cosr   (1.8) Trong nhiều trường hợp, có thể sử dụng hệ số tương quan bình phương r 2 thay cho r. r và r 2 là độ đo mức độ phụ thuộc tuyến tính của X và Y, cường độ tương quan có thể được đề xuất (Cohen, 1988). 1.2.2 Các quá trình ngẫu nhiên đặc biệt Một số quá trình ngẫu nhiên đặc biệt thường gặp trong dao động phi tuyến như quá trình dừng, quá trình Wiener, quá trình Markov được giới thiệu trong đó quá trình ồn trắng Gauss có hàm mật độ xác suất   2 2 1 exp 2 2 x p x           (1.9) 1.3 Phương trình Fokker-Planck-Kolgomorov Đối với quá trình Markov hàm mật độ xác suất có thể xác định từ phương trình FPK dừng         2 1 , 1 1 0 2 n n i ij i i j i i j a x p x K x p x x x x                     (1.10) 1.4 Dao động ngẫu nhiên chịu kích động ồn trắng Gauss Xét hệ cơ học một bậc tự do như hình 1.1     , tt tt pt mx b x k x g x x u t        (1.11) trong đó m là khối lượng, b tt , k tt là các hệ số cản và độ cứng tuyến tính,   , pt g x x  là hàm của các lực cản và đàn hồi phi tuyến,   u t là kích động ngoài. Hình 1.1 Mô hình hệ cơ học một bậc tự do Đặt     0 2 / , / , , , / tt tt pt h b m k m g x x g x x m       , khi kích động 5 ngoài là ồn trắng Gauss       / f t u t m t     , (1.11) viết dưới dạng phương trình vi phân ngẫu nhiên là     2 2 , o x hx x g x x t           (1.12) Hàm mật độ xác suất dưới dạng giải tích của đáp ứng của (1.12) có thể xác định từ phương trình FPK (1.10) trong một số trường hợp: - Khi   , 0 g x x   , hay (1.12) là hệ tuyến tính. - Khi dao động (1.12) có dạng         2 0 , x f H x x x x g x t           (1.13) trong đó   g x đại diện lực đàn hồi phi tuyến, hệ số cản phi tuyến     , f H x x  là hàm của tổng năng lượng hay hàm Hamilton. - Khi hệ (1.12) có cản tuyến tính và đàn hồi phi tuyến     2 0 2 x hx x g x t          (1.14) 1.5 Một số phương pháp xấp xỉ trong phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến Do hạn chế của phương pháp phương trình FPK, một số phương pháp giải tích xấp xỉ được sử dụng như phương pháp nhiễu, trung bình hóa ngẫu nhiên, tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên, phi tuyến hóa tương đương ngẫu nhiên, phương pháp sử dụng hàm mật độ phổ. Bên cạnh đó, một số phương pháp số cũng được sử dụng như các phương pháp xấp xỉ cho phương trình FPK, phương pháp mô phỏng số Monte Carlo. Kết luận chương 1 Trong chương này trình bày sơ lược về lý thuyết xác suất và dao động ngẫu nhiên sẽ được áp dụng trong các chương kế tiếp. Một số phương pháp xấp xỉ trong phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến được liệt kê cùng với ưu nhược điểm của từng phương pháp. 6 CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG NGẪU NHIÊN Trong số các phương pháp giải tích xấp xỉ, phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên được sử dụng rất phổ biến trong kỹ thuật do tính đơn giản, và có thể áp dụng cho hệ nhiều bậc tự do với nhiều loại kích động khác nhau. Để giới thiệu về ý tưởng cơ bản của phương pháp này, ta xem xét tiêu chuẩn kinh điển, một trong những tiêu chuẩn tuyến tính hóa ngẫu nhiên nổi tiếng nhất, được Caughey đề xuất trong những năm 1950-1960. Xét dao động ngẫu nhiên phi tuyến chịu kích động ồn trắng Gauss (1.12). Khi thay thế hàm phi tuyến   , g x x  bằng các hàm tuyến tính tương ứng,   , g x x bx kx     , thu được phương trình tuyến tính       2 2 o x h b x k x t           (2.1) trong đó b, k được gọi là các hệ số tuyến tính hóa tương đương Xuất phát từ sai số phương trình của (1.12) và (2.1) là     , , e x x g x x bx kx       (2.2) Tiêu chuẩn kinh điển yêu cầu         2 2 , , , , min kd b k S b k e x x g x x bx kx        (2.3) Điều kiện cực tiểu trong (2.3) dẫn tới     2 2 , , , xg x x xg x x b k x x      (2.4) Kết luận chương 2 Trong chương 2 giới thiệu về phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên và một số phát triển của phương pháp này như tiêu chuẩn cực tiểu sai số thế năng, tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương có điều chỉnh, tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương dựa trên phân bố khác Gauss, tiêu chuẩn tuyến tính hóa từng phần. 7 CHƯƠNG 3. TIÊU CHUẨN ĐỐI NGẪU CỦA PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG NGẪU NHIÊN 3.1. Ý tưởng cơ bản của tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số tổng quát Dựa trên cách tiếp cận đối ngẫu, N.Đ.Anh (2010) đề xuất tiêu chuẩn       2 2 2 3 3 3 3 1 2 , min k S x kx p kx x p x x             (3.1) trong đó 1 2 , p p là các trọng số. 3.2. Tiêu chuẩn đối ngẫu 3.2.1. Khái niệm về tiêu chuẩn đối ngẫu Cách thay thế đối ngẫu của N.Đ Anh A kB A    (3.2) trong đó ký hiệu A là hàm phi tuyến, B là phần tử tuyến tính tương ứng với hệ số tuyến tính hóa k,  là hệ số trở về. Dựa trên cách thay thế đối ngẫu, đề xuất tiêu chuẩn đối ngẫu     2 2 , 1 1 min 2 2 dn dn dn dn dn dn k S A k B k B A        (3.3) Từ điều kiện cực tiểu (3.3), xác định được 2 1 2 dn AB k B    (3.4) 2 dn      (3.5) trong đó 2 2 2 AB A B   (3.6) µ là đại lượng không thứ nguyên, theo bất đẳng thức Schwarz có 0 1    (3.7) 3.2.2 Mức độ phụ thuộc tuyến tính trong tiêu chuẩn đối ngẫu Theo giả thiết A và B có trung bình không nên 2 2 A A   , 2 2 B B   , AB AB   , hệ số tương quan của chúng sẽ có dạng 8 1/2 1/2 2 2 AB r A B  (3.8) Kết hợp (3.6) và (3.8) ta có 2 r   (3.9) µ được gọi là mức độ phụ thuộc tuyến tính. 3.2.3 Ý nghĩa hình học của tiêu chuẩn đối ngẫu Xét không gian Hilbert hai chiều H của các hàm ngẫu nhiên     , u x v x có trung bình không, mô men bậc hai hữu hạn và hàm mật độ xác suất   p x R  , không gian này có tích trong, chuẩn và khoảng cách được định nghĩa bởi                       1/2 2 2 1/2 2 2 , , u v uv u x v x p x dx u u u u u x p x dx u v u v u x v x p x dx                        (3.10) Các hàm     , u x v x có thể biểu diễn dưới dạng các véc tơ u, v. Theo định lý phép chiếu trực giao, , tồn tại duy nhất một véc tơ hình chiếu , p u  của phép chiếu trực giao véc tơ u lên phương của véc tơ v , inf p u u u v     (3.11) Véc tơ , p u  , hệ số tương quan và góc θ giữa u và v có liên hệ   1/2 1/2 2 2 ( , ) cos uv u v r u v u v     (3.12) ,p v u r u v   (3.13) Hai véc tơ u và v được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại một hệ số c, c R  thỏa mãn phép nhân u cv  , nghĩa là các véc tơ u và v có [...]... đối ngẫu, đối ngẫu có trọng số và bài toán nội suy từ trọng số chính xác của dao động đàn hồi phi tuyến Lutes Sarkani 4 Đã xây dựng công thức và trình tự tính toán để phân tích mô men bậc hai khi áp dụng tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số cho dao động ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do chịu kích động ồn trắng Gauss có hàm phi tuyến dạng đa thức 5 Các kết quả thu được khi phân tích các dao động ngẫu nhiên. .. của phương pháp tuyến tính hóa tương đương theo tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số 4.2.1 Dao động đàn hồi phi tuyến không cản   x  c x   x x    t  1 (4.25) trong đó c1 ,  ,  là các số thực dương Phương trình tuyến tính hóa 20 tương đương là   x   c1  k  x    t  (4.26) trong đó k là hệ số tuyến tính hóa Mức độ phụ thuộc tuyến tính là   0.85 (4.27) Bảng 4.2 Đáp ứng của dao động. .. 1.3770 5.20 12 3.3.2 Dao động có cản phi tuyến bậc ba    2h  x   x 3   o2 x    t    x (3.30) trong đó h,  , o ,  là các số thực dương Phương trình tuyến tính hóa tương đương là     2h  b  x  o2 x    t   x (3.31) trong đó b là hệ số tuyến tính hóa Mức độ phụ thuộc tuyến tính là   3/5 (3.32) Bảng 3.3 Đáp ứng trung bình bình phương của dao động có cản phi tuyến bậc ba với... ngẫu để phân tích mô men bậc hai của dao động ngẫu nhiên phi tuyến  Xét dao động ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do (1.12) với g  x, x  là hàm phi tuyến dạng đa thức M N i 1 j 1    g  x, x    g i  x , x    g j  x , x  (3.21)   trong đó gi  x, x  là hàm lẻ của x đại diện cho thành phần lực cản  phi tuyến thứ i, g j  x, x  là hàm lẻ của x đại diện cho thành phần lực đàn hồi phi. .. 4.2.3 Dao động đàn hồi phi tuyến bậc 3 và bậc 5    2hx  c1 x  c3 x 3  c5 x 5    t   x (4.31) trong đó h, c1 , c3 , c5 là các số thực dương Phương trình tuyến tính hóa tương đương là 21    2hx   c1  k  x    t   x (4.32) với k là hệ số tuyến tính hóa tương đương Các mức độ phụ thuộc tuyến tính thành phần là 1  3 / 5; 2  4 / 35 (4.33) Bảng 4.4 Đáp ứng của dao động đàn hồi phi. .. ;k    x2 j 1  2   j    (3.25)      (3.26) 3.3 Các ví dụ áp dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương theo tiêu chuẩn đối ngẫu Trong phần các ví dụ áp dụng tiêu chuẩn đối ngẫu để phân tích mô men bậc hai các dao động ngẫu nhiên phi tuyến một bậc tự do chịu kích động ồn trắng Gauss trung bình không Các dao động này có nghiệm chính xác hoặc nghiệm mô phỏng số đã được các nhà nghiên cứu... ý nghĩa của mức độ phụ thuộc tuyến tính và ảnh hưởng của các quá trình thay thế lượt đi và lượt về, đã đề xuất phân loại mức độ phụ thuộc tuyến tính của hàm phi tuyến so với hàm tuyến tính tương đương và phân tích được các đặc điểm và tính chất cơ bản của các tiêu chuẩn này 3 Đã xây dựng được trọng số là hàm tuyến tính từng đoạn của mức độ phụ thuộc tuyến tính, dạng giải tích của trọng số được xác định... của dao động phi tuyến Lutes Sarkani KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Những kết quả mới chủ yếu của luận án này bao gồm: 1 Đã xây dựng được các biểu thức cho tiêu chuẩn đối ngẫu và tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số theo phương pháp trung bình bình phương tối thiểu dựa trên quan điểm đối ngẫu trong bài toán thay thế tương đương Tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số được coi như một dạng tổng quát hóa của tiêu chuẩn đối ngẫu. .. trong đó h, o ,  ,  , a là các số thực dương, hàm phi tuyến  x a là hàm lẻ Phương trình tuyến tính hóa tương đương là   2hx  02  k  x    t   x (4.29) trong đó k là hệ số tuyến tính hóa Mức độ phụ thuộc tuyến tính là 2 a2   a    1         a     2  2    2    1 (4.30) Bảng 4.3 Đáp ứng của dao động đàn hồi phi tuyến theo qui luật mũ với h  0.5, 0  1 ,  ... 0.988 0.999 22 4.2.5 Dao động tự do   x 2 n1  0 x trong đó n nguyên dương Các điều kiện đầu là  x  0   1, x  0   0 (4.37) (4.38) Phương trình tuyến tính hóa tương đương là   kx  0 x (4.39) trong đó k là hệ số tuyến tính hóa Mức độ phụ thuộc tuyến tính là    2  2 2 2 /   0 cos 2 n2   t dt     2 2  /  cos 4 n2 0 Bảng 4.6 Tần số góc của dao động tự nhiên với n thay . nhiễu, trung bình hóa ngẫu nhiên, tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên, phi tuyến hóa tương đương ngẫu nhiên, phương pháp sử dụng hàm mật độ phổ. Bên cạnh đó, một số phương pháp số cũng được. số phương pháp xấp xỉ trong phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến được liệt kê cùng với ưu nhược điểm của từng phương pháp. 6 CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG NGẪU NHIÊN. NGỌC LINH PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật Mã số: 62 52 01 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ