Đang tải... (xem toàn văn)
Phương trình bậc hai với các hàm số lượng giác
LƯỢNG GIÁC CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH BẬ C HAI VỚ I CÁ C HÀ M SỐ LƯ N G GIÁ C a sin2 u + b sin u + c = a cos2 u + b cos u + c = atg u + btgu = c = a cot g u + b cot gu + c = ( a ≠ 0) ( a ≠ 0) ( a ≠ 0) ( a ≠ 0) Cá c h giả i: t = sin u hay t = cos u vớ i t ≤ Ñaët : π + kπ ) t = cot gu (điề u kiệ n u ≠ kπ ) t = tgu (điề u kiệ n u ≠ Cá c phương trình trê n n h: at + bt + c = Giả i phương trình tìm t, so vớ i điề u kiệ n để nhậ n nghiệ m t Từ giả i phương trình lượ n g giá c bả n tìm đượ c u Bà i 56: (Đề thi tuyển sinh Đạ i họ c khố i A, nă m 2002) Tìm cá c nghiệ m trê n ( 0, 2π ) củ a phương trình cos 3x + sin 3x ⎞ ⎛ ⎜ sin x + ⎟ = + cos 2x ( * ) + sin 2x ⎠ ⎝ Điề u kiệ n : sin 2x ≠ − Ta coù : sin 3x + cos 3x = 3sin x − sin x + cos3 x − cos x ( ( = −3 ( cos x − sin x ) + cos3 x − sin3 x ) ) ( ( ) = ( cos x − sin x ) ⎡ −3 + cos2 x + cos x sin x + sin x ⎤ ⎣ ⎦ = ( cos x − sin x )(1 + sin 2x ) ( Lú c : (*) ⇔ ⎡sin x + ( cos x − sin x ) ⎤ = + cos2 x − ⎣ ⎦ 1⎞ ⎛ ⎜ sin 2x ≠ − ⎟ 2⎠ ⎝ ⇔ cos2 x − cos x + = ) ) ⎡ cos x = ⇔⎢ ⎢ ⎢cos x = ( loaïi ) ⎣ π ⇔ x = ± + k2π (nhaä n sin 2x = ± ≠− ) 2 π 5π Do x ∈ ( 0, 2π ) nê n x = ∨ x = 3 Bà i 57: (Đề thi tuyển sinh Đạ i họ c khối A, nă m 2005) Giả i phương trình: cos2 3x.cos 2x − cos2 x = ( *) + cos 6x + cos 2x cos 2x − =0 2 ⇔ cos 6x.cos 2x − = (**) Caù c h 1: (**) ⇔ cos3 2x − cos 2x cos 2x − = Ta coù : (*) ⇔ ( ) ⇔ cos4 2x − cos2 2x − = ⎡cos2 2x = ⇔⎢ ⎢cos 2x = − ( vô nghiệm ) ⎢ ⎣ ⇔ sin 2x = ⇔ 2x = kπ ⇔ x = kπ ( k ∈ Z) ( cos 8x + cos 4x ) − = ⇔ cos 8x + cos 4x − = Caù c h 2: (**) ⇔ ⇔ cos2 4x + cos 4x − = ⎡cos 4x = ⇔⎢ ⎢cos 4x = − ( loaïi ) ⎣ kπ ⇔ 4x = k2π ⇔ x = ( k ∈ Z) Cá c h 3: phương trình lượ n g giá c khô n g mẫ u mự c : ⎡cos 6x = cos 2x = (**) ⇔ ⎢ ⎣cos 6x = cos 2x = −1 Caù c h 4: cos 8x + cos 4x − = ⇔ cos 8x + cos 4x = ⇔ cos 8x = cos 4x = ⇔ cos 4x = Bà i 58: (Đề thi tuyển sinh Đạ i họ c khối D, nă m 2005) π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ Giả i phương trình: cos4 x + sin x + cos ⎜ x − ⎟ sin ⎜ 3x − ⎟ − = 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎝ Ta coù : (*) ⎤ 1⎡ π⎞ ⎛ ⎢sin ⎜ 4x − ⎟ + sin 2x ⎥ − = 2⎣ ⎝ ⎠ ⎦ 1 ⇔ − sin2 2x + [ − cos 4x + sin 2x ] − = 2 1 1 ⇔ − sin2 2x − − sin2 2x + sin 2x − = 2 2 ⇔ sin 2x + sin 2x − = ⎡sin 2x = ⇔⎢ ⎣sin 2x = −2 ( loaïi ) π ⇔ 2x = + k2π, k ∈ π ⇔ x = + kπ, k ∈ ( ⇔ sin2 x + cos2 x ) − sin2 x cos2 x + ( ) Baø i 59: (Đề th i tuyển sinh Đạ i ho ï c khố i B, nă m 2004) Giả i phương trình: sin x − = (1 − sinx ) tg x Điề u kiệ n : cos x ≠ ⇔ sin x ≠ ±1 Khi đó: (*) ⇔ sin x − = (1 − sin x ) ⇔ 5sin x − = (1 − sin x ) sin2 x − sin2 x sin2 x cos2 x 3sin2 x ⇔ sin x − = + sin x ⇔ sin x + 3sin x − = ⎡ ⎢sin x = ( nhaän sin x ≠ ±1) ⇔ ⎢ ⎢sin x = −2 ( vô nghiệm ) ⎣ ⇔x= π 5π + k2π ∨ x = + k2π ( k ∈ Z) 6 Bà i 60: Giải phương trình: sin 3x − 1 = cos 3x + ( *) sin x cos x Điề u kiệ n : sin 2x ≠ Lú c : (*) ⇔ ( sin 3x − cos 3x ) = 1 + sin x cos x ( *) 1 ⇔ ⎡3 ( sin x + cos x ) − sin3 x + cos3 x ⎤ = + ⎣ ⎦ sin x cos x sin x + cos x ⇔ ( sin x + cos x ) ⎡3 − sin2 x − sin x cos x + cos2 x ⎤ = ⎣ ⎦ sin x cos x ⎡ ⎤ ⇔ ( sin x + cos x ) ⎢ −2 + sin x cos x − =0 sin x cos x ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⇔ ( sin x + cos x ) ⎢4 sin 2x − − 2⎥ = sin 2x ⎣ ⎦ ⎡ tgx = −1 ⎡sin x + cos x = ⇔⎢ ⇔⎢ ( nhận so với điều kiện ) ⎢sin 2x = ∨ sin 2x = −1 ⎣4 sin 2x − 2sin 2x − = ⎣ ( ( ) ) π π π 7π + kπ ∨ 2x = + k2π ∨ 2x = − + k2π ∨ 2x = + k2π, k ∈ 6 π π 7π ⇔ x = ± + kπ ∨ x = − + kπ ∨ x = + kπ, k ∈ 12 12 ⇔x=− Bà i 61: Giải phương trình: ( ) cos x sin x + − cos2 x − =1 + sin 2x π Điề u kieä n : sin 2x ≠ −1 ⇔ x ≠ − + mπ Lú c : (*) ⇔ sin x cos x + cos x − cos2 x − = + sin 2x ⇔ cos2 x − cos x + = ⇔ cos x = hay cos x = ( vô nghiệm ) π ⎡ ⎢ x = + k2π ⇔⎢ ⎢ x = − π + k '2π ( loaïi điều kiện ) ⎢ ⎣ π ⇔ x = + k2π ( *) Bà i 62: Giải phương trình: x 3x x 3x cos x.cos cos − sin x sin sin = ( *) 2 2 1 cos x ( cos 2x + cos x ) + sin x ( cos 2x − cos x ) = 2 2 ⇔ cos x.cos 2x + cos x + sin x cos 2x − sin x cos x = ⇔ cos 2x ( cos x + sin x ) = − cos2 x + sin x cos x Ta coù : (*) ⇔ ⇔ cos 2x ( cos x + sin x ) = sin x ( sin x + cos x ) ⇔ ( cos x + sin x )( cos 2x − sin x ) = ( * * ) ( ) ⇔ ( cos x + sin x ) − sin x − sin x = ⎡ cos x = − sin x ⇔⎢ ⎣ sin x + sin x − = π ⎡ ⎡ ⎢ x = − + kπ ⎢ tgx = −1 ⎢ ⎢ π ⇔ ⎢sin x = −1 ⇔ ⎢ x = − + k2π ( k ∈ Z) ⎢ ⎢ ⎢ ⎢sin x = ⎢ x = π + k2π ∨ x = 5π + k2π ⎣ ⎢ 6 ⎣ ⎛π ⎞ Caù c h khaù c: (**) ⇔ tgx = −1 ∨ cos 2x = sin x = cos ⎜ − x ⎟ ⎝2 ⎠ Baø i 63: Giải phương trình: cos3 x + sin 2x = cos x ( *) Ta coù : (*) ⇔ cos3 x + sin x cos x − cos x = ⇔ cos x cos2 x + sin x − = ( ( ) ) ⇔ cos x ⎡ − sin x + sin x − ⎤ = ⎣ ⎦ ⇔ cos x = ∨ sin x − sin x + = ⎡cos x = ⎢ ⇔ ⎢sin x = ⎢ ⎢ ⎢sin x = ( vô nghiệm ) ⎣ π π + kπ ∨ sin x = = sin 2 π π 3π ⇔ x = + kπ ∨ x = + k2π ∨ x = + k2π ( k ∈ Z ) 4 ⇔x= Bà i 64 : Giải phương trình: π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ cos ⎜ 2x + ⎟ + cos ⎜ 2x − ⎟ + sin x = + (1 − sin x ) ( *) 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎝ π + sin x = + (1 − sin x ) − sin2 x + + sin x − − = (*) ⇔ cos 2x.cos ⇔ ( ( ) ( ) ) ⇔ 2 sin2 x − + sin x + = ⎡sin x = ( loaïi ) ⇔ sin x − 2 + sin x + = ⇔ ⎢ ⎢sin x = ⎢ ⎣ π 5π ⇔ x = + k2π hay x = + k2π, k ∈ 6 ( ) ( ) Baø i 65 : Giả i phương trình : cot g x + 2 sin x = + cos x ( * ) Điề u kiệ n : sin x ≠ ⇔ cos x ≠ ±1 Chia hai vế (*) cho sin x ta đượ c : cos2 x cos x +2 = 2+3 vaø sin x ≠ (*) ⇔ sin x sin2 x cos x Đặt t = ta đượ c phương trình: sin x 3t − + t + 2 = ( ( ) ) ⇔t= 2∨t= cos x ta coù : = sin x ⇔ cos x = − cos2 x * Vớ i t = ( ) ⇔ cos2 x + cos x − = ⎡cos x = −2 ( loaïi ) ⇔⎢ ⎢cos x = ( nhaän cos x ≠ ±1) ⎢ ⎣ π ⇔ x = ± + k2π ( k ∈ Z ) cos x * Vớ i t = ta coù : = sin2 x ⇔ cos x = − cos2 x ( ⇔ ) cos2 x + cos x − = ⎡cos x = − ( loaïi ) ⎢ ⇔⎢ ( nhaän cos x ≠ ±1) ⎢cos x = ⎣ π ⇔ x = ± + k2π, k ∈ Bà i 66 : Giải phương trình: sin2 2x + sin x − − cos 2x = ( *) cos x Điề u kiệ n : cos x ≠ Lú c : (*) ⇔ sin2 2x + sin2 x − − cos 2x = ( ) ⇔ − cos2 2x + (1 − cos 2x ) − − cos 2x = ⇔ cos2 2x + cos 2x + = ⇔ cos 2x = −1 ∨ cos 2x = − ⇔ cos2 x − = −1 ∨ cos2 x − = − ⎡cos x = ( loại điều kiện ) ⇔⎢ ⎢cos x = ± nhaän cos x ≠ ( ) ⎢ ⎣ 2π π ⇔ x = ± + k2π ∨ x = ± + k2π ( k ∈ Z ) 3 sin 3x + sin 5x Giả i phương trình: f ' ( x ) = Baø i 67: Cho f ( x ) = sin x + Ta coù : f '(x) = ⇔ cos x + cos 3x + cos 5x = ⇔ ( cos x + cos 5x ) + ( cos 3x + cos 5x ) = ⇔ cos 3x cos 2x + cos 4x cos x = ( ) ( ) ⇔ cos3 x − cos x cos 2x + cos2 2x − cos x = ( ) ⇔ ⎡ cos2 x − cos 2x + cos2 2x − 1⎤ cos x = ⎣ ⎦ ⎡ ⎡ (1 + cos 2x ) − 3⎤ cos 2x + cos2 2x − = ⎦ ⇔ ⎢⎣ ⎢cos x = ⎣ ⎡4 cos2 2x − cos 2x − = ⇔⎢ ⎣cos x = ± 17 ∨ cos x = + 17 − 17 ⇔ cos 2x = = cos α ∨ cos 2x = = cos β ∨ cos x = 8 α β π ⇔ x = ± + kπ ∨ x = ± + kπ ∨ x = + kπ ( k ∈ Z ) 2 ⇔ cos 2x = Bà i 68: Giải phương trình: sin8 x + cos8 x = Ta có : ( sin x + cos8 x = sin4 x + cos4 x ) ( = ⎡ sin x + cos2 x ⎢ ⎣ ) 17 cos2 2x ( *) 16 − sin x cos4 x 2 − sin x cos2 x ⎤ − sin4 2x ⎥ ⎦ 1 ⎛ ⎞ = ⎜ − sin2 2x ⎟ − sin 2x ⎝ ⎠ = − sin2 2x + sin4 2x Do : ( *) ⇔ 16 ⎛ − sin2 2x + ⎜ ⎝ ⎞ sin4 2x ⎟ = 17 − sin2 2x ⎠ ( ) ⇔ sin4 2x + sin2 2x − = ⎡sin2 2x = −1 ( loaïi ) 1 ⇔⎢ ⇔ (1 − cos 4x ) = ⎢sin2 2x = 2 ⎢ ⎣ π ⇔ cos 4x = ⇔ x = ( 2k + 1) , ( k ∈ Z ) Bà i 69 : Giải phương trình: sin 5x x = cos3 x.sin ( *) 2 x = ⇔ x = π + k2π ⇔ cos x = −1 Thay vaø o (*) ta đượ c : ⎛ 5π ⎞ ⎛π ⎞ sin ⎜ + 5kπ ⎟ = − sin ⎜ + kπ ⎟ , khô n g thỏ a ∀k ⎝ ⎠ ⎝2 ⎠ x Do cos khoâ n g nghiệ m củ a (*) nê n : 5x x x x x ( *) ⇔ sin cos = cos2 x sin cos vaø cos ≠ 2 2 x ⇔ ( sin 3x + sin 2x ) = cos3 x.sin x vaø cos ≠ 2 Nhận xé t thấy : cos ⇔ 3sin x − sin3 x + sin x cos x = cos3 x.sin x vaø cos x ⎧ ⎪cos ≠ ⇔⎨ ⎪3 − sin2 x + cos x = cos3 x ∨ sin x = ⎩ x ≠0 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x ⎧ cos ≠ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪5 cos3 x − cos2 x − cos x + = ∨ sin x = ⎪ ⎩ ⎧cos x ≠ −1 ⎪ ⎨ x ⎪( cos x − 1) cos x + cos x − = ∨ sin = ⎩ ⎧cos x ≠ −1 ⎪ ⎪⎡ ⎪ ⎢cos x = ⎪⎢ −1 + 21 ⎨⎢ = cos α ⎪ ⎢cos x = 10 ⎪⎢ −1 − 21 ⎪⎢ = cos β ⎪ ⎣cos x = ⎢ 10 ⎩ x = k2π hay x = ±α + k2π hay x = ±β + k2π, ( k ∈ Z ) ( ) Bà i 70: Giải phương trình: sin 2x ( cot gx + tg2x ) = cos2 x ( *) Đ iề u kiệ n : cos 2x ≠ vaø sin x ≠ ⇔ cos 2x ≠ ∧ cos 2x ≠ cos x sin 2x + Ta coù : cot gx + tg2x = sin x cos 2x cos 2x cos x + sin 2x sin x = sin x cos 2x cos x = sin x cos 2x cos x ⎛ ⎞ Luù c : (*) ⇔ sin x.cos x ⎜ ⎟ = cos x ⎝ sin x cos 2x ⎠ cos x ⇔ = cos2 x cos 2x ⇔ ( cos 2x + 1) = cos 2x ( cos 2x + 1) ⇔ ( cos 2x + 1) = hay = cos 2x ( nhận cos 2x ≠ cos 2x ≠ 1) π ⇔ 2x = π + k2π ∨ 2x = ± + k2π, k ∈ π π ⇔ x = + kπ ∨ x = ± + kπ, k ∈ ⇔ cos 2x = −1 ∨ cos 2x = Baø i 71 : Giải phương trình: cos2 6x 8x + = cos ( *) 5 12x ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ 4x Ta coù : (*) ⇔ ⎜ + cos − 1⎟ ⎟ + = ⎜ cos ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ 4x 4x 4x ⎞ ⎛ ⇔ + cos3 − cos = ⎜ cos2 − 1⎟ 5 ⎝ ⎠ Đặ t t = cos x ( điều kiện t ≤ 1) Ta có phương trình : 4t − 3t + = 6t − ⇔ 4t − 6t − 3t + = ⇔ ( t − 1) ( 4t − 2t − ) = ⇔ t = 1∨ t = Vaä y − 21 + 21 ∨t = ( loïai ) 4 4x 4x =1⇔ = 2kπ 5 5kπ ⇔x= ( k ∈ Z) 4x − 21 • cos = = cos α ( với < α < π ) 4x ⇔ = ±α + l π 5α l 5π ⇔x=± + ,(l ∈ Z) • cos π⎞ ⎛ Bà i 72 : Giải phương trình tg3 ⎜ x − ⎟ = tgx − ( *) 4⎠ ⎝ π π Đặ t t = x − ⇔ x = + t 4 + tgt ⎛π ⎞ (*) thaø n h : tg3 t = tg ⎜ + t ⎟ − = − với cos t ≠ ∧ tgt ≠ 1 − tgt ⎝4 ⎠ 2tgt ⇔ tg3 t = − tgt ⇔ tg3 t − tg t = 2tgt ⇔ tgt ( tg3 t − tg t + ) = ⇔ tgt ( tgt + 1) ( tg t − 2tgt + ) = ⇔ tgt = ∨ tgt = −1( nhận so điều kieän ) ⇔ t = kπ ∨ t = − Vậ y (*) π + kπ, k ∈¢ ⇔x= π + kπ hay x = kπ, k ∈¢ sin 2x + cos4 2x = cos4 4x (*) Bà i 73 : Giải phương trình ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ tg ⎜ − x ⎟ tg ⎜ + x ⎟ ⎝4 ⎠ ⎝4 ⎠ Điề u kiệ n ⎧ ⎛π ⎧ ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ ⎞ ⎪sin ⎜ − x ⎟ cos ⎜ − x ⎟ ≠ ⎪sin ⎜ − 2x ⎟ ≠ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⎝ ⎠ ⇔⎨ ⎨ ⎪sin ⎛ π + x ⎞ cos ⎛ π + x ⎞ ≠ ⎪sin ⎛ π + 2x ⎞ ≠ ⎜4 ⎟ ⎜4 ⎟ ⎟ ⎪ ⎝ ⎪ ⎜2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎩ ⎩ ⎝ ⇔ cos 2x ≠ ⇔ sin 2x ≠ ±1 Do : ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ − tgx + tgx tg ⎜ − x ⎟ tg ⎜ + x ⎟ = =1 ⎝4 ⎠ ⎝4 ⎠ + tgx − tgx Khi cos2x ≠ : (*) ⇔ sin 2x + cos4 2x = cos4 4x ⇔ − sin 2x cos2 2x = cos4 4x ⇔ − sin 4x = cos4 4x ⇔ − (1 − cos2 4x ) = cos4 4x ⇔ cos4 4x − cos2 4x − = ⎡ cos2 4x = ⇔⎢ ⇔ − sin 4x = ⎢ cos 4x = − ( vô nghiệm ) ⎢ ⎣ ⇔ sin 4x = ⇔ sin 2x cos 2x = ⇔ sin 2x = ( cos 2x ≠ ) π ⇔ 2x = kπ, k ∈¢ ⇔ x = k , k ∈¢ 2 − (1 + cot g2x cot gx ) = ( *) Baø i 74 :Giả i phương trình: 48 − cos x sin x Điề u kiệ n : sin 2x ≠ Ta coù : cos 2x cos x sin 2x sin x sin 2x sin x + cos 2x cos x = sin x sin 2x cos x = = ( cos x ≠ ) 2 sin x cos x sin x 1 − =0 Lú c (*) ⇔ 48 − cos x sin x 1 sin x + cos4 x ⇔ 48 = + = cos4 x sin x sin x cos4 x ⇔ 48sin x cos4 x = sin x + cos4 x + cot g2x cot gx = + ⇔ 3sin 2x = − sin x cos2 x ⇔ 3sin 2x + sin 2x − = 2 ⎡ ⎢sin x = − ( loïai ) ⇔⎢ ⎢sin x = ( nhaän ≠ ) ⎢ ⎣ 1 (1 − cos 4x ) = 2 ⇔ cos 4x = π ⇔ 4x = + kπ π kπ ⇔ x = + ( k ∈ Z) ⇔ Bà i 75 : Giả i phương trình sin x + cos8 x = sin10 x + cos10 x + cos 2x ( *) ( ) Ta coù : (*) cos 2x ⇔ sin x (1 − sin x ) − cos8 x ( −1 + cos2 x ) = cos 2x ⇔ sin x.cos 2x − cos8 x cos 2x = cos 2x 8 ⇔ cos 2x ( sin x − cos x ) = cos 2x ( ) ( ) ⇔ sin8 x − sin10 x + cos8 x − cos10 x = ⇔ cos 2x = hay ( sin x − cos8 x ) = ⇔ cos 2x = hay ( sin x − cos4 x )( sin x + cos4 x ) = ⎛ ⎞ ⇔ cos 2x = hay ⎜ − sin 2x ⎟ = ⎝ ⎠ ⇔ cos 2x = hay − sin 2x = 1(Vô nghiệm ) π ⇔ 2x = + kπ, k ∈¢ π kπ ⇔x= + , k ∈¢ Cá c h c: Ta có ( sin x − cos8 x ) = voâ nghiệ m Vì ( sin x − cos8 x ) ≤ 1, ∀ x neâ n ( sin x − cos8 x ) ≤ < 5, ∀x Ghi : Khi gặ p phương trình lượ n g giác n g R(tgx, cotgx, sin2x, cos2x, tg2x) vớ i R hà m hữ u tỷ ñaë t t = tgx 2t 2t − t2 , sin 2x = , cos 2x = Luù c ñoù tg2x = − t2 + t2 + t2 Bà i 76 : (Để thi tuyển sinh Đại họ c khối A, năm 2003) Giả i phương trình cos 2x cot gx − = + sin2 x − sin 2x ( *) + tgx Điề u kiệ n : sin 2x ≠ tgx ≠ −1 Đặt t = tgx (*) thaø nh : − t2 1 + t + ⎡1 − − t ⎤ − 2t −1 = ⎢ ⎥ t 1+t 2⎣ + t2 ⎦ + t2 ⇔ 1−t − t 2t t = + − ( t ≠ −1) 2 1+t + t2 t 1+t − t t − 2t + (1 − t ) ⇔ = = t + t2 + t2 ⇔ ( − t ) (1 + t ) = ( − t ) t ⎡ t = ( nhaän t ≠ −1) ⎡1 − t = ⇔⎢ ⇔⎢ 2 ⎣1 + t = (1 − t ) t ⎢2t − t + = ( vô nghiệm ) ⎣ π Vaä y (*) ⇔ tgx = ⇔ x = + kπ ( nhaän sin 2x = ≠ 0) Bà i 77 : Giải phương trình: sin 2x + 2tgx = ( * ) Điề u kiệ n : cos x ≠ Đ ặt t = tgx (*) thàn h : 2t + 2t = + t2 ⇔ 2t + ( 2t − 3) (1 + t ) = ⇔ 2t − 3t + 4t − = ⇔ ( t − 1) ( 2t − t + 3) = ⎡t = ⇔⎢ ⎣2t − t + = ( vô nghiệm ) π Vaäy (*) ⇔ tgx = ⇔ x = + kπ ( k ∈ Z ) Baø i 78 : Giả i phương trình cot gx − tgx + sin 2x = ( *) sin 2x Điề u kiệ n : sin 2x ≠ 2t sin 2x ≠ neân t ≠ + t2 8t + t2 = = +t (*) thaø n h : − t + t + t2 t t 8t ⇔ = 2t + t2 ⇔ = ( t ≠ ) + t2 ⇔ t = ⇔ t = ± ( nhaän t ≠ ) Đặ t t = tgx : sin 2x = Vaäy (*) ⎛ π⎞ ⇔ tgx = tg ⎜ ± ⎟ ⎝ 3⎠ π ⇔ x = ± + kπ, k ∈ Baø i 79 : Giả i phương trình (1 − tgx )(1 + sin 2x ) = + tgx ( * ) Điề u kiệ n : cos x ≠ Đặt = tgx (*) nh : 2t ⎞ (1 − t ) ⎛ + ⎜ ⎟ =1+t + t2 ⎠ ⎝ ( t + 1) = + t ⇔ (1 − t ) + t2 ⎡ t = −1 ⎡ t = −1 ⇔ ⎢ (1 − t )(1 + t ) ⇔ ⎢ 2 ⎢ =1 ⎣1 − t = + t ⎢ 1+t ⎣ ⇔ t = −1 ∨ t = ⎡ tgx = −1 π Do (*) ⇔ ⎢ ⇔ x = − + kπ hay x = kπ, k ∈ ⎣ tgx = Baø i 80 : Cho phương trình cos 2x − ( 2m + 1) cos x + m + = ( * ) a/ Giả i phương trình m = ⎛ π 3π ⎞ b/ Tìm m để (*) có nghiệ m trê n ⎜ , ⎟ ⎝2 ⎠ Ta coù (*) cos x − ( 2m + 1) cos x + m = ⎧t = cos x ([ t ] ≤ 1) ⎪ ⇔⎨ ⎪2t − ( 2m + 1) t + m = ⎩ ⎧ t = cos x ([ t ] ≤ 1) ⎪ ⇔⎨ ⎪t = ∨ t = m ⎩ a/ Khi m = , phương trình thành cos x = ∨ cos x = ( loaïi ) 2 π ⇔ x = ± + k2π ( k ∈ Z ) ⎛ π 3π ⎞ b/ Khi x ∈ ⎜ , ⎟ cos x = t ∈ [−1, 0) ⎝2 ⎠ Do t = ∉ [ −1, 0] neân π 3π ( *) có nghiệm ⎛ , ⎞ ⇔ m ∈ ⎡ −1, 0) ⎜ ⎟ ⎣ ⎝2 ⎠ Baø i 81 : Cho phương trình ( cos x + 1)( cos 2x − m cos x ) = m sin x ( *) a/ Giaû i (*) m= -2 ⎡ 2π ⎤ b/ Tìm m cho (*) có đú n g hai nghiệ m trê n ⎢0, ⎥ ⎣ 3⎦ Ta coù (*) ⇔ ( cos x + 1) ( cos2 x − − m cos x ) = m (1 − cos2 x ) ⇔ ( cos x + 1) ⎡2 cos2 x − − m cos x − m (1 − cos x ) ⎤ = ⎣ ⎦ ⇔ ( cos x + 1) ( cos2 x − − m ) = a/ Khi m = -2 (*) thaø nh : ( cos x + 1) ( cos2 x + 1) = ⇔ cosx = -1 ⇔ x = π + k2π ( k ∈ Z ) ⎡ 2π ⎤ ⎡ ⎤ b / Khi x ∈ ⎢ 0, ⎥ cos x = t ∈ ⎢ − ,1⎥ ⎣ 3⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ Nhậ n xé t rằ n g vớ i t trê n ⎢ − ,1⎥ ta tìm đượ c nhấ t mộ t x treâ n ⎣ ⎦ ⎡ 2π ⎤ ⎢0, ⎥ ⎣ 3⎦ ⎡ ⎤ Yê u cầ u bà i toaù n ⇔ 2t − − m = có đu ù n g hai n ghiệ m trê n ⎢ − ,1⎥ ⎣ ⎦ Xé t y = 2t − ( P ) y = m ( d ) Ta có y’ = 4t ⎡ 2π ⎤ Vậ y (*) có đú ng hai nghiệ m trê n ⎢0, ⎥ ⎣ 3⎦ ⎡ ⎤ ⇔ (d) cắ t (P) tạ i hai điể m phân biệ t trê n ⎢ − ,1⎥ ⎣ ⎦ ⇔ −1 < m ≤ Bà i 82 : Cho phương trình (1 − a ) tg x − a/ Giaû i (1) a = 2 + + 3a = (1) cos x ⎛ π⎞ b/ Tìm a để (1) có nhiề u mộ t nghiệ m trê n ⎜ 0, ⎟ ⎝ 2⎠ π Điề u kieä n : cos x ≠ ⇔ x ≠ + kπ (1) ⇔ (1 − a ) sin2 x − cos x + (1 + 3a ) cos2 x = ⇔ (1 − a ) (1 − cos2 x ) − cos x + (1 + 3a ) cos2 x = ⇔ 4a cos2 x − cos x + − a = ⇔ a ( cos2 x − 1) − ( cos x − 1) = ⇔ ( cos x − 1) ⎡a ( cos x + 1) − 1⎤ = ⎣ ⎦ 1⎞ ⎛ (1) n h : ( cos x − 1) ⎜ cos x − ⎟ = 2⎠ ⎝ π ⇔ cos x = = cos ( nhaän cos x ≠ ) π ⇔ x = ± + k2π ( k ∈ Z ) ⎛ π⎞ b/ Khi x ∈ ⎜ 0, ⎟ cos x = t ∈ ( 0,1) ⎝ 2⎠ ⎡ cos x = t = ∈ ( 0,1) Ta coù : (1) ⇔ ⎢ ⎢ ⎢2a cos x = − a ( ) ⎣ a/ Khi a = ⎧ ⎪a ≠ ⎪ 1−a ⎪ ⎧1 ⎫ Yê u cầ u bà i toá n ⇔ (2) có nghiệ m trê n ( 0,1) \ ⎨ ⎬ ⇔ ⎨0 < 0 ⎪ ⎪3 < a < 1 ⎪ 2a ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⇔ ⎨a < ∨ a > ⇔ ⎨ − 3a ⎪ ⎪ ⎪a ≠ ∀t ∈ ⎜ ⎜ ,1 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ π⎞ ,1 ⎟ Do đ o ù (*) có nghiệ m trê n ⎜ 0, ⎟ ⇔ ( d ) : y = a cắt ( P ) ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ ⇔ y⎜ ⎜ ⎟ < a < y (1 ) ⎟ ⎝ ⎠ ⇔ 0