Chuyeân ñeà : TÍCH PHÂN và ỨNG DỤNG (Tài liệu dùng cho học sinh ôn tập TN THPT) A) Tóm tắt kiến thức cơ bản : Để học tốt chương tích phân, các em học sinh cần nhớ các kiến thức sau : 1) Bảng các nguyên hàm: Bảng nguyên hàm Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của những hàm số hợp đơn giản Nguyên hàm của những hàm số hợp Cxdx += ∫ ( ) 1 1 1 ≠+ + = + ∫ α α α α C x dxx ( ) 0ln ≠+= ∫ xCx x dx Cedxe xx += ∫ ( ) 10 ln ≠<+= ∫ aC a a dxa x x Cxxdx += ∫ sincos Cxxdx +−= ∫ cossin Cxdx x += ∫ tan cos 1 2 Cxdx x +−= ∫ cot sin 1 2 tan ln cosxdx x c= − + ∫ cot ln sinxdx x c= + ∫ kdx kx C= + ∫ ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 ≠+ + + =+ + ∫ α α α α C bax a dxbax ( ) 0ln 1 ≠++= + ∫ xCbax abax dx Ce a dxe baxbax += ++ ∫ 1 ( ) ( ) Cbax a dxbax ++=+ ∫ sin 1 cos ( ) ( ) Cbax a dxbax ++−=+ ∫ cos 1 sin ( ) ( ) Cbax a dx bax ++= + ∫ tan 1 cos 1 2 ( ) ( ) Cbax a dx bax ++−= + ∫ cot 1 sin 1 2 Cudu += ∫ ( ) 1 1 1 ≠+ + = + ∫ α α α α C u duu ( ) 0ln ≠+= ∫ uCu u du Cedue uu += ∫ ( ) 10 ln ≠<+= ∫ aC a a dxa u u Cuudu += ∫ sincos Cuudu +−= ∫ cossin Cudu u += ∫ tan cos 1 2 Cudu u +−= ∫ cot sin 1 2 2) Các tính chất tích phân: Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [a; b] • ( ) 0 a a f x dx = ∫ ; ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx= − ∫ ∫ • . ( ) b a k f x dx = ∫ ( ) b a k f x dx ∫ ( k là hằng số) • [ ( ) ( )] ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx± = ± ∫ ∫ ∫ • ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx= + ∫ ∫ ∫ ( với a < c < b ) 3) Các công thức lượng giác: a) Công thức nhân đôi: * sin2a = 2sina.cosa * cos2a = cos 2 a – sin 2 a = 2cos 2 a – 1 = 1 – 2sin 2 a b) Công thức hạ bậc: 1 * sin 2 a = 1 cos2 2 a− * cos 2 a = 1 cos 2 2 a+ c) Công thức biến đổi tích thành tổng: * [ ] 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 a b a b a b= + + − * [ ] 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b= + + − * [ ] 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 a b a b a b= − + − − 4) Các công thức về lũy thừa và căn bậc n: Với điều kiện xác định của a, b, m, n ta có : * 1 n n a a = và m n m n a a = * . . n n n a b a b= ; n n n a a b b = * a 0 = 1; a 1 = a ; a -n = 1 n a * .a a a α β α β + = ; a a a α α β β − = * ( ) . .a b a b α α α = ; a a b b α α α   =  ÷   * ( ) . a a β α α β = 5) Các hằng đẳng thức đáng nhớ: * a 2 – b 2 = (a+b)(a – b) * ( ) 2 2 2 2a b a ab b± = ± + * 3 3 2 2 ( )( . )a b a b a a b b± = ± +m * ( ) 3 3 2 2 3 3 3a b a a b ab b± = ± + ± B) Ví dụ và bài tập: I) Tích phân cơ bản: Chúng tôi gọi tích phân cơ bản là các tích phân mà việc tính không cần phải áp dụng phương pháp từng phần hay đổi biến. Tuy vậy các em học sinh cần lưu ý rằng cơ bản không nghĩa là dễ làm. Hãy nghiên cứu các ví dụ sau: Ví dụ 1: Tính các tích phân a) I 1 = 1 3 0 (3 1)x dx− ∫ b) I 2 = 2 2 0 x e dx − + ∫ c)I 3 = 0 1 3 2 1 dx x − − + ∫ KQ: I 1 = 5 4 I 2 = e 2 –1 I 3 = 3 ln3 2 Ví dụ 2: Tính các tích phân a) J 1 = ( ) 2 2 2 0 1x dx+ ∫ b) J 2 = 1 0 2 3 2 x dx x + − ∫ c) J 3 = 8 6 6 1 2x x dx x + ∫ J 1 = 206 15 J 2 = 7ln2 – 2 J 3 = 101 4 Ví dụ 3: Tính các tích phân 2 a) K 1 = 4 0 sin3 .cosx xdx π ∫ b) K 2 = 8 2 0 cos 2xdx π ∫ c) K 3 = 1 2 1 0 1 x e dx − − ∫ KQ: K 1 = 1 2 K 2 = 1 1 8 2 π   +  ÷   K 3 = 1 1 1 1 2 2 e e − + − 2. Bài tập: Tính các tích phân: 1) L = ∫ +− 1 0 24 )23( dxxx KQ: L = 5 6 2) I = ∫ − 4 6 2 3 sin sin1 π π dx x x KQ: I = 2 223 −+ 3) J = dx x x ∫ − + 1 0 34 2 KQ: J = 9 4ln103 +− 4) K = dx x xx ∫ − 2 1 2 23 52 KQ: K = – 2 5) M = ∫ 12 0 5sin.7sin π xdxx KQ: M = 8 1 6) N = 4 1 2x dx− ∫ KQ: N = 5 2 7) P = 3 2 0 sin 3xdx π ∫ KQ: P = 6 π 8) Q = 4 2 0 tan xdx π ∫ KQ: 1 4 π − 9) R = /4 2 2 /6 sin .cos dx x x π π ∫ KQ: 2 3 3 10) S = 1 2 0 2 5 2 dx x x+ + ∫ KQ: 1 ln 2 3 II) Phương pháp đổi biến số: Cần tính I = ( ) b a f x dx ∫ 1) Loại 1: Tiến hành theo các bước + Chọn đặt: x = u(t) rồi suy ra dx = u’(t)dt + Tìm cận mới: lần lượt cho u(t) = a và u(t) = b để tìm hai cận mới. + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, rồi tính. Ví dụ 4: Tính tích phân a) I 1 = 2 2 0 4 x dx− ∫ KQ: I 1 = π b) I 2 = 3 2 0 1 9 dx x+ ∫ KQ: I 2 = 12 π 2) Loại 2: Tiến hành theo các bước + Chọn đặt: u = u(x) rồi suy ra du = u’(x)dx + Tìm cận mới: Nếu hai cận mới là α và β thì α =u(a) β = u(b) . + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến u, rồi tính. Ví dụ 5: Tính các tích phân a) J 1 = 2 2 1 x xe dx ∫ b) J 2 = 1 1 ln e x dx x + ∫ c)J 3 = 1 3 4 5 0 ( 1)x x dx− ∫ d) J 4 = 2 2 0 4 .x xdx− ∫ e) J 5 = /2 4 0 cos (1 sin ) x dx x π + ∫ KQ: J 1 = 1 2 ( e 4 – e) J 2 = 2 (2 2 1) 3 − J 3 = 1 24 − J 4 = 8 3 J 5 = 7 24 2. Bài tập tự luyện: 1) Tính các tích phân: a) I = dxxx ∫ + 6 0 cos.sin41 π KQ: I = 6 133 − b) J = dxxx ∫ − 2 0 2 3 3 .8 KQ: J = –4 3 c) K = dxxe x ∫ − 1 0 2 KQ: K = e e 2 1− d) L = ∫ + e x dxx 1 )ln3( KQ: L = 8 13 e) M = ∫ + 21 0 2 7 x dx KQ: M = 73 π g) N = ∫ + 1 0 2 x x e dxe KQ: N = ln 3 2 e+ h) P = 1 2010 0 ( 1)x x dx− ∫ KQ: P = 1 4046132 i) Q = 1 2 0 1 .x xdx− ∫ ( Đặt x = sint) KQ: 4 π 2) Tính các tích phân: a) I 1 = 2 0 (2sin 3)cosx xdx π + ∫ KQ: 4 b) J 1 = 2 2 1 3x x dx+ ∫ KQ: 7 7 8 3 − c) P = 1 2 0 4 2 1 x dx x x + + + ∫ KQ: 2ln3 d) Q= 2 4 2 0 5 tan cos x dx x π + ∫ KQ: 16/3 e) L 1 = 2 1 1 3ln ln e x xdx x + ∫ KQ: 7 9 g) N 1 = 2 1 1 x x e dx e − ∫ KQ: ln(e+1) h) J 4 ’ = 1 3 0 1x xdx− ∫ KQ: 32 315 III) Phương pháp tích phân từng phần: • Công thức: b b b a a a udv uv vdu = − ∫ ∫ • Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính ( ). ( ) b a I P x Q x dx= ∫ Dạng hàm P(x): Đa thức Q(x): sinkx hay coskx P(x): Đa thức Q(x):e kx P(x): Đa thức Q(x):ln(ax+b) P(x): Đa thức Q(x): 2 1 sin x hay 2 1 cos x Cách đặt * u = P(x) * dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân * u = P(x) * dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân * u = ln(ax + b) * dv = P(x)dx * u = P(x) * dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân Ví dụ 6: Tính các tích phân a) I 1 = /4 0 2 cos2x xdx π ∫ b) I 2 = 1 2 0 ( 1) x x e dx+ ∫ c) I 3 = 3 2 2 ln( 1)x x dx − ∫ KQ: I 1 = 1 4 2 π − I 2 = 2 3 1 4 e − I 3 = 8ln2 – 7 2 Ví dụ 7: Tính các tích phân a) J 1 = ∫ 4 0 2 cos π x xdx KQ: J 1 = ln 2 4 π − b) J 2 = 2 2 1 ln xdx x ∫ KQ: J 2 = 1 (1 ln 2) 2 − 2. Bài tập tự luyện: 1) Tính các tích phân: a) I 1 = 1 1 ( 3) x x e dx − + ∫ KQ: I = 2 3 1e e − b) I 2 = ∫ − e xdxx 1 ln)21( KQ: 2 1 2 e− 4 c) I 3 = ∫ 4 0 2 cos π x xdx KQ: M = 4 π – ln 2 d) I 4 = 2 1 2ln e x dx x ∫ KQ: N = 2(1 – e 2 ) 2) Tính các tích phân: a) K 1 = 2 0 .cos .sinx x xdx π ∫ KQ: 8 π b) K 2 = 2 3 1 ln x dx x ∫ KQ: 3 1 ln 2 16 8 − c) K 3 = ∫ 1 0 dxe x KQ: J = 2 d) K 4 = 2 1 ln e x xdx ∫ KQ: 3 2 1 9 e + e) K 5 = 2 0 sin x e xdx π ∫ KQ: 2 1 2 e π + IV) Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích: 1) Diện tích hình phẳng: Cơ sở lí thuyết: • Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x) (liên tục); x= a; x= b và y = 0 (trục hoành) được tính bởi: S = ( ) b a f x dx ∫ (1). • Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x)(liên tục); x = a; x= b được tính bởi: S = ( ) ( ) b a f x g x dx− ∫ (2). Ví dụ 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x 2 – 1; y = 0; x = 0; x = 2. ĐS: 2 Ví dụ 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = 2 – x 2 và y = x. ĐS: 9 2 2) Thể tích vật thể tròn xoay: Cơ sở lí thuyết: Thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi các đường y = f(x); x = a; x = b; y = 0 khi xoay quanh trục Ox được tính bởi: V = 2 ( ) b a f x dx π ∫ (3) Ví dụ 10: a) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x – x 2 và y = 0. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox., ĐS: 16 15 π b) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = – x 2 và y = x 3 . Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox. ĐS: 1 5 π Giải: • Phương trình – x 2 = x 3 ⇔ x = 0 và x = –1 • Gọi V 1 là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = – x 2 , x = 0, x = –1 và trục Ox khi hình phẳng đó quay quanh Ox: Có V 1 = 0 2 2 1 ( )x dx π − − ∫ = 1 5 π • Gọi V 2 là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 3 , x = 0, x = -1 và trục Ox…: Có V 2 = 0 3 2 1 ( )x dx π − ∫ = 1 7 π 5 Vậy thể tích V cần tính là: V = 1 2 V V− = 2 35 π (đvtt) Chú ý: Khi tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hai đường y = f(x) và y = g(x) khi nó quay quanh trục Ox, học sinh có thể ngộ nhận và dùng cơng thức 2 ( ( ) ( )) b a V f x g x dx π = − ∫ dẫn đến kết quả sai KQs : V = 1 105 π đvtt. 2. Bài tập tự luyện: 1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y = – x 2 + 4x và trục hoành. KQ: S = 3 32 đvdt 2)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường (P): y = – x 2 và y = – x – 2 . KQ: S = 2 9 đvdt 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số y = 5x 4 – 3x 2 – 8, trục Ox trên [1; 3] KQ: S = 200 đvdt 4) Tính thể tích các hình tròn xoay sinh bởi các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây khi quay quanh trục Ox: a) (P): y 2 = 8x và x = 2 KQ: 16 π đvtt b) y = x 2 và y = 3x KQ: 5 162 π đvtt c) y = sin 2 x ; y = 0; x = 0; x = 4 π KQ: 2 2 8 π − đvtt V) Đề thi tốt nghiệp THPT các năm trước có liên quan đến tích phân: Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2 = 2x +1 và y = x -1 (TNTHPT năm 2001 – 2002 ) Bài 2: 1.Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số y = 1x2x 1x3x3x 2 23 ++ −++ , biết F(1) = 3 1 2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số y= 2x 12x10x2 2 + −− và trục hoành Ox. (TNTHPT năm 2002 – 2003 ) Bài 3: Cho hàm số y = 3 1 x 3 – x 2 (C). Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường y = 0, x =0, x = 3 quay quanh trục Ox. (TNTHPT năm 2003 – 2004 ) Bài 4: Tính tích phân: I = ∫ + 2/ 0 2 .cos).sin( π dxxxx (TNTHPT năm 2004 – 2005 ) Bài 5: a. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò các hàm số : y = e x , y = 2 và đường thẳng x = 1. b. Tính tích phân: I = ∫ − 2/ 0 2 cos4 2sin π dx x x (TNTHPT năm 2005– 2006) Bài 6: Tính tích phân J = ∫ e dx x x 1 2 ln . (TNTHPT năm 2006– 2007) Bài 7: Tính tích phân I 1 2 3 4 1 (1 )x x dx − = − ∫ (TNTHPT năm 2007– 2008) Bài 8: Tính tích phân I = 0 (1 cos )x x dx π + ∫ (TNTHPT năm 2008– 2009) Bài 9: Tính tích phân I 1 2 2 0 ( 1)x x dx= − ∫ (TNTHPT năm 2009– 2010) 6 VI) Một số bài tập nậng cao : Chúng tôi đề nghị các bài tập ở phần sau dành cho các em học sinh khá, giỏi. Các em học sinh chỉ muốn ôn tập để thi TNTHPT không nhất thiết phải làm các bài tập dưới đây. Bài 1: Tính các tích phân 1) I 1 = 3 1 1 1 dx x x+ + − ∫ KQ: 1 8 4 2 3 I − = 2) I 2 = 1 3 0 ( 1) xdx x + ∫ KQ: I 2 = 1 8 3) I 3 = /2 3 0 4sin 1 cos xdx x π + ∫ KQ: I 3 = 2 4) I 4 = /2 3 3 0 sin .cosx xdx π ∫ KQ: 1 12 5) I 5 = 2 /4 0 1 tan 1 tan x dx x π −    ÷ +   ∫ KQ: 1 4 π − 6) I 6 = 1 cos xdx π π − − ∫ KQ: 4 2 Bài 2: Tính các tích phân 1) J 1 = 1 0 1 x dx e+ ∫ KQ: J 1 = 1 1 ln 2 e+ − 2) J 2 = 1 3 2 0 1 x dx x x+ + ∫ KQ: J 2 = 2 2 1 15 − 3) J 3 = /3 2 0 cos 3 2sin xdx x π − ∫ KQ: J 3 = 4 2 π 4) J 4 = 1 2 0 1 dx x x+ + ∫ KQ: J 4 = 3 9 π 5) J 5 = /2 0 2 sin dx x π + ∫ KQ: J 5 = 3 9 π 6) J 6 = /4 4 0 cos dx x π ∫ KQ: J 6 = 4 3 7) J 7 = /2 2 2 2 2 0 sin .cos cos sin x xdx a x b x π + ∫ ( a, b>0) KQ: J 7 = 1 a b+ 8) J 8 = 1 5 2 2 4 2 2 1 5 1 1 x dx x x + + + − + ∫ KQ: J 8 = 2 π 9) J 9 = /2 /4 ln(1 cot )x dx π π + ∫ KQ: J 9 = ln 2 8 π 10) J 10 = 7 2 1 1 1 dx x + ∫ KQ: 2ln( 2 1)+ Chú ý: Khi dùng máy tính cầm tay 570ES để kiểm tra kết quả, vì trong phím hàm không có cotx,nếu học sinh nhập tích phân /2 /4 1 ln(1 ) tan dx x π π + ∫ thay cho J 9 thì máy báo lỗi do tanx không xác định tại 2 π . Hãy thử dùng cung phụ để chuyển từ cot sang tan. Bài 3: a) Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b]. Chứng minh ( ) ( ) b b a a f x dx f a b x dx= + − ∫ ∫ b) Áp dụng tính I = 3 6 ln(tan )x dx π π ∫ KQ: I = 0 Bài 4: a) Cho hàm số f(x) liên tục trên [0, 1]. Chứng minh 2 0 (sin )f x dx π ∫ = 2 0 (cos )f x dx π ∫ b) Áp dụng tính I = /2 0 cos cos sin x dx x x π + ∫ KQ: I = 4 π Bài 5: Tính các tích phân 1) K 1 = /2 2 0 sinx xdx π ∫ KQ: K 1 = 2 4 16 π + 2) K 2 = 2 2 1 1 ( ) ln ln e e dx x x − ∫ KQ: K 2 = 2 2 e e− 3) K 3 = 5/4 1 ln( 1 1)x x dx+ + − ∫ KQ: K 3 = 3 3 ln 2 4 8 − 4) K 4 = /2 0 1 cos x dx x π + ∫ KQ: K 4 = 2 2ln 2 2 π + 7 5) K 5 = 7 2 2 1 1 x dx x + ∫ KQ: K 5 = 2 2 2ln(1 2) 7 + + 6) K 6 = 7 2 2 1 1 1 dx x x+ ∫ KQ: K 6 = 2 2 7 VII) Một số đề thi cao đẳng và đại học các năm trước có liên quan đến tích phân: Bài 1: Tính tích phân: I = /2 3 2 0 (cos 1)cosx xdx π − ∫ (Khối A năm 2008– 2009) HD: Viết I = /2 5 0 cos xdx π ∫ – /2 2 0 cos xdx π ∫ = I 1 – I 2 I 1 = /2 2 0 (1 sin )cosx xdx π − ∫ (Đặt u = sinx) KQ: I = 8 15 4 π − Bài 2: Tính tích phân: I 3 2 1 3 ln ( 1) x dx x + = + ∫ (Khối B năm 2008– 2009) HD: Dùng từng phần với u = 3 + lnx, dv = 2 1 ( 1)x + dx KQ: 1 27 (3 ln ) 4 16 + Bài 3: Tính tích phân: I = 3 1 1 1 x dx e = − ∫ (Khối D năm 2008– 2009) HD: Đặt u = e x suy ra x = lnu suy ra dx = 1 du u KQ: ln(e 2 + e + 1) – 2 Bài 4: Tính tích phaân: I 1 2 0 ( ) x x e x e dx − = + ∫ (CĐKhối A,B,D năm 2008– 2009) HD: Viết I 1 0 x e dx − = + ∫ 1 0 x xe dx ∫ …. KQ: I = 1 2 e − Bài 5: Tính tích phaân: I 1 2 2 0 2 1 2 x x x x e x e dx e + + = + ∫ (Khối A năm 2009– 2010) HD: Viết I 1 0 1 2 x x e dx e = + ∫ + 1 2 0 x dx ∫ = I 1 + I 2 Tính I 1 dùng đổi biến đặt u = 1 + 2e x KQ: 1 1 2 1 ln 2 3 3 e+ + Bài 6: Tính tích phân I = 2 1 ln (2 ln ) e x dx x x+ ∫ (Khối B năm 2009– 2010) HD:Đặt t = 2 + lnx KQ: 3 1 ln 2 3 − Bài 7 : Tính tích phân 1 (2 )ln 3 e x x xdx− ∫ (Khối D năm 2009– 2010) HD: Tách làm hai tích phân một dùng từng phần, một dùng đổi biến KQ: 2 1 2 e − Bài 8: Tính tích phân I 1 0 2 1 1 x dx x − = + ∫ (CĐKhối A,B,D năm 2008– 2009) KQ: 2 – 3ln2 8 . tập: I) Tích phân cơ bản: Chúng tôi gọi tích phân cơ bản là các tích phân mà việc tính không cần phải áp dụng phương pháp từng phần hay đổi biến. Tuy vậy các em học sinh cần lưu ý rằng cơ bản không. dưới dấu tích phân * u = P(x) * dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân * u = ln(ax + b) * dv = P(x)dx * u = P(x) * dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân Ví dụ. 2 0 sin x e xdx π ∫ KQ: 2 1 2 e π + IV) Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích: 1) Diện tích hình phẳng: Cơ sở lí thuyết: • Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số