Bất đẳng thức xoay vòng

66 1,260 9
  • Loading ...

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 20/09/2012, 17:17

Bất đẳng thức xoay vòng Khúa lun tt nghip toỏn s cp S Phm Toỏn 48Li m uTrong bt ng thc c in thỡ bt ng thc xoay vũng l mt ni dung hay vkhú. Cú nhng bt ng thc cú dng khỏ n gin nhng phi mt hng chc nm,nhiu nh toỏn hc mi gii quyt c. Vớ d nh bt ng thc Shapiro c tra vo nm 1903 bi Neishbitt.Vi 3 s khụng õm a, b, c chng minh rng:ab + c+bc + a+ca + b32(n gin)v dng tng quỏt:M rng vi n s a1, a2, . . . , anthỡ:a1a2+ a3+a2a3+ a4+ ããã +ana1+ a2n2Khỡ no ỳng, khi no sai.n nm 1954 tc l sau 52 nm, Shapiro mi tng kt li gi thuyt ny nhsau:1) Bt ng thc ỳng vi n l 232) Bt ng thc ỳng vi n chn 12Cũn li sai.Hon ton t nhiờn ta thy cũn rt nhiu dng bt ng thc xoay vũng khỏcthỡ bt ng thc l gỡ, khi no ỳng, khi no sai hoc luụn luụn ỳng. Trong bi lunvn ny chỳng tụi xõy dng c mt dng bt ng thc xoay vũng tng quỏt mcỏc trng hp riờng l nhng bi toỏn khú v rt khú cú th s dng trong nhng thi hc sinh gii.Lun vn ny gm cú 2 chng:Chng 1: Bt ng thc xoay vũng (Trỡnh by nhng kt qu ó cú vcỏc bi bt ng thc phõn thc.)Chng 2: Mt dng bt ng thc xoay vũng (Xõy dng bt ng thcvi cỏc trng hp n gin, tng quỏt bi toỏn)GV hng dn: TS Nguyn V Lng 1 Sinh viờn: Nguyn Vn Cngwww.VNMATH.comKhóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48Em xin chân thành cảm ơn các các thầy cô khoa Toán-Cơ-Tin học trong thờigian học tập ở trường Khoa Học Tự Nhiên, các thầy cô Khoa Sư Phạm ĐH Quốc GiaHà Nội, các bạn trong lớp Sư phạm Toán 48. Đặc biệt là sự hướng dẫn, giúp đỡ tậntình của thầy TS Nguyễn Vũ Lương đã giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này.GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 2 Sinh viên: Nguyễn Văn Cươngwww.VNMATH.comMục lục1 Bất đẳng thức xoay vòng 41.1 Bất đẳng thức Schurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.1 Bất đẳng thức Schurs và hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Một số bài toán minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Bất đẳng thức xoay vòng khác trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . 121.3 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy chứng minh một số dạng bất đẳng thứcxoay vòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4 Bất đẳng thức xoay vòng phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 Một dạng bất đẳng thức xoay vòng 412.1 Các trường hợp đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.1.1 Trường hợp 3 số n = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.1.2 Trường hợp 4 số n = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.1.3 Trường hợp 5 số n = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.1.4 Trường hợp 6 số n = 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.1.5 Trường hợp 7 số n = 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.2 Trường hợp tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.2.1 Một số kiến thức liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.2.2 Nhận xét đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.2.3 Trường hợp tổng quát n số hạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553www.VNMATH.comChương 1Bất đẳng thức xoay vòng1.1 Bất đẳng thức Schurs1.1.1 Bất đẳng thức Schurs và hệ quảBài 1 (Bất đẳng thức Schurs)Với x, y, z là các số thực dương, λ là một số thực bất kì, chứng minh rằng:xλ(x − y)(x − z) + yλ(y − z)(y − x) + zλ(z − x)(z − y) ≥ 0Dấu bằng xảy ra khi vào chỉ khi x = y = zChứng minhChú ý rằng khi có hai biến số bằng nhau thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng.Chẳng hạn khi y = z ta có: xλ(x − z)2≥ 0. Dấu ” = ” xảy ra khi x = y = z. Khôngmất tính tổng quát ta có thể giả thiết rằng: x > y > z+ Xét trường hợp λ ≥ 0Bất đẳng thức có thể viết lại dưới dạng:(x − y)[xλ(x − z) + yλ(y − z)] + zλ(z − x)(z − y) ≥ 0Sử dụng điều kiện x > y ta thu đượcM > (x − y)(y − z)(xλ− yλ) + zλ(x − z)(y − z) > 0, (∀λ > 0)4www.VNMATH.comKhóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48do đó bất đẳng thức đúng.+ Xét trường hợp λ < 0Ta cóM = xλ(x − y)(x − z) + (y − z)[zλ(x − z) − yλ(x − y)]Sử dụng điều kiện y > z (hay x − z > y − z ) ta có:M > xλ(x − y)(x − z) + (y − z)(x − y)(zλ− yλ) > 0, (∀λ < 0)Vậy bất đẳng thức cần được chứng minh.Bài 2 (Bất đẳng thức Schurs mởi rộng)Giả sử I là một khoảng thuộc R và f : I −→ R+là một hàm đơn điệu hayf”(x) ≥ 0, ∀x ∈ I. Với x1, x2, x3∈ I, chứng minh rằng:f(x1)(x1− x2)(x1− x3) + f(x2)(x2− x3)(x2− x1) + f(x3)(x3− x1)(x3− x2) ≥ 0 (1)Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi x1= x2= x3.Chứng minhVì f là hàm đơn điệu hay f”(x) ≥ 0, x ∈ I nên ta có bất đẳng thức:f[λx + (1 − λ)y] <f(x)λ+f(y)1 − λ(2)∀x, y ∈ I và λ ∈ (0, 1)Không mất tính tổng quát ta giả sử x1< x2< x3(vì nếu 2 trong 3 biến bằngnhau thì bất đẳng thức luôn đúng, dấu bất đẳng thức xảy ra khi x1= x2= x3).Chia hai vế của (1) cho (x2− x3)(x2− x1) < 0 ta thu được:−x1− x3x2− x3f(x1) + f(x2) −x3− x1x2− x1f(x3) ≤ 0⇔ f(x2) ≤x3− x1x3− x2f(x1) +x3− x1x2− x1f(x3)GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 5 Sinh viên: Nguyễn Văn Cươngwww.VNMATH.comKhóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48Đặt: λ =x3− x2x3− x1⇒1 − λ =x2− x1x3− x1x2= λx1+ (1 − λ)x3ta thu được bất đẳng thức (2) đúng hay (1) đúng.Bài 3 (Một dạng mở rộng của bất đẳng thức Schurs)Xét a, b, c, u, c, w là các số thực dương chứng minh rằng:a) Nếu p > 0 vàa1p+ c1p≤ b1p; u11+p+ w11+p≥ v11+pTa có: ubc − vca + wab ≥ 0b) Nếu −1 < p < 0 vàa1p+ c1p≤ b1p; u11+p+ w11+p≤ v11+pTa có: ubc − vca + wab ≤ 0c) Nếu p < −1a1p+ c1p≥ b1p; u11+p+ w11+p≤ v11+pTa có: ubc − vca + wab ≥ 0Dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khia1p+ c1p= b1p; u11+p+ w11+p= v11+pChứng minha) Nếu p > 0 ta có:11 + p+1p+1p= 1Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có:a11+p(uc)11+p+ c11+p(wa)11+p≤a1p+ c1ppp+1(uc + wa)1p+1Lũy thừa p + 1 hai vế ta có:a11+p(uc)1p+1+ c11+p(wa)1p+1p+1≤a1p+ c1pp(uc + wa)⇔ acu11+p+ w11+pp+1≤a1p+ c1pp+1(uc + wa)GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 6 Sinh viên: Nguyễn Văn Cươngwww.VNMATH.comKhóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48Áp dụng giả thiết bài toán ta có:acv ≤ acu11+p+ w11+pp+1≤ b(uc + wa)suy ra ubc − acv + wab ≥ 0b) Với −1 < p < 0 ta cũng có:1p + 1+1p+1p= 1 vớip + 1p< 0Khi đó bất đẳng thức Holder có chiều ngược lại:a11+p(uc)11+p+ c11+p(wa)11+p≥a1p+ c1ppp+1(uc + wa)1p+1Lũy thừa p + 1 hai vế ta được⇔ acu11+p+ w11+pp+1≥a1p+ c1pp+1(uc + wa)Áp dụng giả thiết phần b) (chú ý p + 1 > 0, p < 0) ta có:acv ≥ acu11+p+ w11+pp+1≥ (uc + wa)a1p+ c1pp≥ (uc + wa)bsuy ra: abw − auv + ubc ≤ 0c) Với p < −1 ta cũng có:1p + 1+1p+1p= 1 với p + 1 < 0Áp dụng bất đẳng thức Holder:a11+p(uc)11+p+ c11+p(wa)11+p≤a1p+ c1ppp+1(uc + wa)1p+1Lũy thừa p + 1 hai vế (chú ý p + 1 > 0) ta được:acu11+p+ w11+pp+1≤a1p+ c1pp(uc + wa)GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 7 Sinh viên: Nguyễn Văn Cươngwww.VNMATH.comKhóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48Áp dụng giả thiết phần c) (chú ý p + 1 < 0) ta có:acv ≤ acu11+p+ w11+pp+1≤ (uc + wa)a1p+ c1pp≤ (uc + wa)bsuy ra: ucb − acv + wab ≥ 0Bài 4 (Bài toán hệ quả 1)Với x > y > z > 0. f là hàm đơn điệu hay f”(x) = 0∀x > 0 và f nhận giá trịtrên R+, chứng minh rằng:f(x)y − z+f(y)z − x+f(z)x − y≥ 0Chứng minhÁp dụng bài toán 2 ta có:f(x)(x − y)(x − z) + f(y)(y − z)(y − x) + f(z)(z − x)(z − y) ≥ 0Chia 2 vế cho (y − z)(z − x)(x − y) < 0 ta thu được bất đẳng thức cần chứngminh.Bài 5 (Bài toán hệ quả 2)Với x, y, z, a, b, c > 0 thỏa mãn điều kiện:a2+ b2≤ c2x23+ y23≥ z23chứng minh rằngxa+yb≥zcChứng minhÁp dụng bài toán 3 với p =12ta có:xbc − zab + yac ≥ 0Chia 2 vế cho a, b, c ta có bất đẳng thức cần chứng minh.GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 8 Sinh viên: Nguyễn Văn Cươngwww.VNMATH.comKhóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 481.1.2 Một số bài toán minh họaBài 6Giả sử ∆ABC không nhọn, chứng minh rằng:27sin A+64sin B≥125sin CChứng minhÁp dụng bài toán 5 với điều kiệnsin2A + sinB≤ sin2C Tam giác không nhọn2723+ 6423= 12523Ta thu được điều phải chứng minh.Bài 7Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện1a3+1b3+1c3, x32+ y32≤ z32Chứng minh rằng:xa+yb≤zcChứng minhTa có:11 −13+11−13−13= 1Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có:a32(xb)32+ b32(ya)32≥ (xb + ya)32(a−3+ b−3)−12⇔ (ab)32x32+ y32≥ (xb + ya)321a3+1b3−12Từ giả thiết suy ra:1a3+1b3−12≥1c3−12= c32GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 9 Sinh viên: Nguyễn Văn Cươngwww.VNMATH.comKhóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp Sư Phạm Toán 48Do đó ta có bất đẳng thức(abz)32≥ (ab)32x32+ y32≥ (xb + ya)32c32⇔ abz ≥ (xb + ya)c⇔xa+yb≤zcBài 8Với a, b, c là ba cạnh của một tam giác bất kì p =a + b + c2, chứng minh rằng(p − a)4+ (p − b)4+ (p − c)4+ S2≥ a (p − a)3+ b (p − c)3+ c (p − a)3(Với S là diện tích tam giác ABC )Chứng minhChứng minh bất đẳng thức Schurs với λ = 2 ta có:x2(x − y)(x − z) + y2(y − z)(y − x) + z2(z − x)(z − y) ≥ 0⇔ x4+ y4+ z4+ xyz(x + y + z) ≥ x3(y + z) + y3(z + x) + z3(x + y) (1)Đặt:x = p − ay = p − bz = p − c⇒x + y + z = p − a + p − b + p − c = pxyz = (p − a)(p − b)(p − c) =Spy + z = (p − b) + (p − c) = ax + z = b, x + y = cThay vào (1) ta có bất đẳng thức cần chứng minh.Bài 9Với x, y, z dương thỏa mãn:yzx2+zxy2+xyz2= 3hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:M =y + zx+z + xy+x + yzChứng minhÁp dụng bất đẳng thức Schurs với λ = −2 ta có:1x2(x − y)(x − z) +1y2(y − z)(y − x) +1z2(z − x)(z − y) ≥ 0GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 10 Sinh viên: Nguyễn Văn Cươngwww.VNMATH.com[...]...Chương 1 Bất đẳng thức xoay vòng 1.1 Bất đẳng thức Schurs1.1.1 Bất đẳng thức Schurs và hệ quảBài 1 (Bất đẳng thức Schurs)Với x, y, z là các số thực dương, λ là một số thực bất kì, chứng minh rằng:xλ(x − y)(x − z) + yλ(y − z)(y − x) + zλ(z − x)(z − y) ≥ 0Dấu bằng xảy ra khi vào chỉ khi x = y = zChứng minhChú ý rằng khi có hai biến số bằng nhau thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng.Chẳng... Shapiro mới tổng kết lại giả thuyết này nhưsau:1) Bất đằng thức đúng với n lẻ ≤ 232) Bất đằng thức đúng với n chẵn ≤ 12Cịn lại sai.Hồn tồn tự nhiên ta thấy cịn rất nhiều dạng bất đẳng thức xoay vịng khácthì bất đẳng thức là gì, khi nào đúng, khi nào sai hoặc luôn luôn đúng. Trong bài luậnvăn này chúng tôi xây dựng được một dạng bất đẳng thức xoay vòng tổng quát màcác trường hợp riêng là những bài... riêng là những bài toán khó và rất khó có thể sử dụng trong những đềthi học sinh giỏi.Luận văn này gồm có 2 chương:Chương 1: Bất đẳng thức xoay vịng (Trình bày những kết quả đã có vềcác bài bất đẳng thức phân thức. )Chương 2: Một dạng bất đẳng thức xoay vòng (Xây dựng bất đẳng thức với các trường hợp đơn giản, tổng quát bài toán)GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 1 Sinh viên: Nguyễn Văn Cươngwww.VNMATH.com... Nguyễn Văn Cươngwww.VNMATH.com Khóa luận tốt nghiệp tốn sơ cấp Sư Phạm Tốn 48Lời mở đầuTrong bất đẳng thức cổ điển thì bất đẳng thức xoay vịng là một nội dung hay vàkhó. Có những bất đẳng thứcdạng khá đơn giản nhưng phải mất hàng chục năm,nhiều nhà toán học mới giải quyết được. Ví dụ như bất đẳng thức Shapiro được đặtra vào năm 1903 bởi Neishbitt.Với 3 số không âm a, b, c chứng minh rằng:ab... 481.3 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy chứng minh mộtsố dạng bất đẳng thức xoay vòng Bài 1Với a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằnga3a2+ b2+b3b2+ c2+c3c2+ a2≥a + b + c2Chứng minhTa có:a3a2+ b2=a(a2+ b2− b2)a2+ b2= a − baba2+ b2≥ a − ba2+b22a2+ b2= a −b2Tương tựb3b2+ c2≥ b −c2c3c2+ a2≥ c −a2Cộng các bất đẳng thức trên... viên: Nguyễn Văn Cươngwww.VNMATH.com Khóa luận tốt nghiệp tốn sơ cấp Sư Phạm Tốn 481.2 Bất đẳng thức xoay vòng khác trong tam giácTrong mục này ta chỉ đề cập đến cách xây dựng bất đẳng thức xoay vòng trong∆ABC với 3 cặp biến quay vịng: A, B, C là 3 góc tam giác ABC và x, y, z (x, y, z là3 số thực) bắt đầu từ biểu thức luôn đúng ∀A.B, C, x, y, zBài 1Với mọi ∆ABC, x, y, z là ba số thực dương tùy ý,... a5Bài 3.1GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 43 Sinh viên: Nguyễn Văn Cươngwww.VNMATH.com Khóa luận tốt nghiệp tốn sơ cấp Sư Phạm Tốn 481.4 Bất đẳng thức xoay vòng phân thức Bài 1Với a, b > 1, chứng minh rằng:11 + a+11 + b≥21 +√abChứng minh Bất đẳng thức tương với:(a + b) + 21 + (a + b) + ab≥21 +√ab⇔ (a + b) + 2 + (a + b)√ab + 2√ab ≥ 2 + 2(a + b) + 2ab⇔ (a + b)(√ab − 1)... + a)2≥ c −a4Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta thu được bất đẳng thức cần chứngminh.Bài 20Với a, b, c > 0, chứng minh rằngb2ca(ca2cb2+ 1)+c2ab(ab2+ ac2+ 1)+a2bc(bc2+ ba2+ 1)≥ab + bc + ca1 + 2abcChứng minhTa cób2a(a2+ b2+ αab)≥b2a(a2+ b2+α2(a2+ b2))=22 + αb2a(a2+ b2)Thu được bất đẳng thức b2a(a2+ b2+ αab)+c2b(b2+... ∆ABCTa có: (1) ⇔ 2 cos A+ 3 cos B+ 4 cos C≤6112Áp dụng bài tốn 3 có bất đẳng thức đúng. Dấu đẳng thức xảy ra nếu∆ABC∼ ∆(12,12,14)Bài 5Chứng minh rằng12 sin A+13 sin B+14 sin C≥10861(Trong đó A, B, C là ba góc của một tam giác nhọn)Chứng minhÁp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:12 cos A+13 cos B+14 cos C(2 cos A + 3 cos B + 4 cos C) ≥... bc2+ ca2Cộng 4 bất đẳng thức trên chúng ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh.Bài 12Với a, b, c là các số thực dương. chứng minh rằnga5bc+b5ca+c5ab≥ a3+ b3+ c3Chứng minhTa có:GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương 36 Sinh viên: Nguyễn Văn Cươngwww.VNMATH.com Khóa luận tốt nghiệp tốn sơ cấp Sư Phạm Tốn 48Vậy minM = −7 khi ∆ABC vuông cân đỉnh B.Bài 15Cho 2 tam giác bất kì ∆ABC và . 553www.VNMATH.comChương 1Bất đẳng thức xoay vòng1 .1 Bất đẳng thức Schurs1.1.1 Bất đẳng thức Schurs và hệ quảBài 1 (Bất đẳng thức Schurs)Với x, y, z là. 91.2 Bất đẳng thức xoay vòng khác trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . 121.3 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy chứng minh một số dạng bất đẳng thứcxoay vòng
- Xem thêm -

Xem thêm: Bất đẳng thức xoay vòng, Bất đẳng thức xoay vòng, Bất đẳng thức xoay vòng