Đang tải... (xem toàn văn)
Bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, giá triị nhỏ nhất
Thuviendientu.org Bài giảng số BAT BANG THUC VA GIA TRI LON NHAT, NHO NHAT CUA HAM SG Bắt đẳng thức giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số chủ để hap dan chuong trình giảng dạy học tập mơn Tốn nhà trường phô thông Trong đề thi môn Tốn kì thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đăng, tốn thuộc dạng ln có mặt, đặc biệt năm gân thuộc vào tốn khó (thường xuất câu 5) Bài giảng đề cập đến phương pháp thông dụng đề chứng minh bât đăng thức tìm giá trị lớn nhỏ hàm số §1 SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CƠSI CHỨNG MINH BAT DANG THÚC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Các kiến thức Bat dang thức Cósi cho hai ba số a/ Nếu a, b số khơng âm, ta có: a+b at" Dau bang (1) xay a=b b/ Néu a, b, c la cac số khơng âm, ta có: arbre, > Yabo (2) Dấu (2) xay a= b=c Một dạng thông dụng cua bát đăng thức Côsi a/ Nêu a, b sô dương, | ( a+b)l (2 +—|>4 | Dau bang (3) xây © hay L1 —+—>——— ya b arb (3 ©? a=b b/ Nếu a, b, c số dương, thì: &+b+e)[C+z a bee +c ]>9 hay 1,1,1 a b c a+b+c (4) Dấu (4) xảy > a= b =c Các dạng toán Loại I: Các toán sử dụng trực tiếp bất đăng thức Côsi Đặc điểm tốn sử dụng trực tiếp bất dang thức Côsi để chứng minh bất đẳng thức để, mà không qua phép biến đôi 115 Thuviendientu.org trung gian phức tạp Với toán số a, b (hoặc a, b, c) bất đăng thức Côsi cho hai số (hoặc ba số) lựa chọn từ đầu Thí dụ (Đề thi tuyén sinh Đại học khối B - 2005) Chirng minh rang với x € x (2) (3) R, taco: x 4 (2) x 23% 44% 45% Khi bắt đẳng thức xảy ra? Giải 91()543](E] (8) A A = z ˆ^ CÁ £ Ap dung bat đăng thức Côsi cho hai số ta có: 5) \4 Dau bang (1) xay ra: =2) $ 12 -(2) oo] & 154 x =Ì x=0 Lap Juan hồn tồn tương tự ta có: (2) (2) 224° (2) (2) (2) 22.5% 3) Dau bang (2) (3) Xây > x=0 Từ (1) (2) Ó) suy (sau cộng ve với ba bất đăng thức) Nw (2) (2) (2) Jeatsese) (2) (2) (2) 3) 23% +4* +5* (4) Dấu băng (4) xây đồng thời có dấu xảy (1) (2) (3) tite 1a va chi x =0 Nhận xét: Dạng tơng qt tốn là: Nếu a, b, c > O thi: a+b+c>Vab+Vbc + Vea Thi du 2: (Đê thí tuyển sinh Đại học khối D — 2005) Cho số dương x, y, z thỏa mãn xyz = Chứng minh rằng: flex? +y ` Ixy xy tr yZ Khi dấu bất đăng thức xây ra? Theo bát đăng thức Cơsi ta có: vi+2 +x? zx Giải lexi ty? 233Lxty® =3xy 116 >3y3 Thuviendientu.org Từ suy ra: +y > xy Dau bang (1) xay = | =x'=y'o Lập luận hoàn tồn tương tự ta có: 23 Vity' +2) NB oy, yz x=y XEEK3.3 M3 yz Dau bang (2) xảy © (1) ale ýjl+x zx Zz X y=z dấu (3) xảy © z=x Cộng (1) (2) (3) có: Jiex3 +yi vie xy yz +? + vI+z2+xỒ zx In I + | Jyz Vex (4) Dấu (4) xảy đồng thời có dấu (1) (2) (3), tức khí x = y = x = I (cha y xyz = ]) Lại theo bát đăng thức Côst, ta có: ] l I l Js We Jee Nha + + >3 =3 (5) (do xyz = 1) Dau bang (Š) xảy ©x=y=z= Tir (4) (5) suy ra: vI+x 34.3 +y ,Ity 363 +Z xy _ itz yz zx Ì “>3 V3 (6) Dau bang (6) xảy déng thoi cé dau bang (4) va (5) ©x=y=z7 Ì Đó đpcm Nhận xéi ; oo, Thí dụ điên hinh cho phương pháp sử dụng trực tiệp bát đăng thức Côsi đề chứng minh bắt đăng thức Thi du (Dé thi tuyên sinh Đại học khối D — 2008) , ; ; Cho x, y số thực không âm Tìm giá trị lớn nhat nhỏ cua biéu thức sau: _x-y)-xy) (t+xÝ(I+yŸ Do x, y > 0, nén hién nhién ta co: Giải (x —y)(1-xy)]s|(x + y)(1+ xy)] =(x + y)(1+ xy) Vì thế: Mơn (+xŸ(+xy [@&x+y)(+xy)] > (1) Theo bat đẳng thức Cơsi ta có: (x + y)(I+ xy)>2j/(x+y)(I+ xy) @) 117 Thuviendientu.org Từ l ] ra: | |P|m-—0, c>0 nên P>0 2x2 42.2 2242 “ , C + * a +b? +c?) Ap dụng bat đăng thức Cơsi ta có: 2,2 p2„2 3,2 „2 a +S 2p? ; ae £8 20? c a € b Tir d6 suyra:P>3(a’+b +c) Do a?+ bˆ+ cÌ= l = 2.2 bc a 2,2 GA v22, (2) Pˆ>3 Vì P>0 nên ta có: P >3 Dấu xảy © (1) b a=b=c= (3) 33 Vậy P nhận giá trị nhỏ =3 a= b= v3 “> Thi du 5: (Đề thi tuyển sinh Cao đẳng Su phạm Quảng Bình — 2006) Cho a >0, b >0 Chứng minh 3a” + 7bỶ > 9ab’ , Theo bat dang thtirc Cési ta cé Giai 3a? + 7b? = 3a? + 3b? + 4b® > 34 36a°b® = 3ab7 936 (1) Do ab’ >0, 336 >3, nên từ (1) suy 3a°+ 4b’ > 9ab’ (2) Dau bing (2) xảy © abŸ= Tức | hai số a, b có Ít số Thí dụ (Dé thi tuyển sinh Cao đẳng Cơ khí luyện kim -2006) Cho a, b, c>0 Chứng minh 43 3% LP Ô€C >ab+bc+ca ca 118 Thuviendientu.org wid _~ ua cho tuong duong voi bat đẳng thức sau: (ai thi 4E): c mm (1) b Theo bất đẳng thức Cơsi ta có: a a? prab=a ae 2a.2a=2a (2) Dau bang xay Sp mabera =b „b | c (4) gtca>2c c Dau bang (3), (4) xảy tương ứng b = c; c = a Tương tự ta có: — + bc>2b“ (3) Cộng với (2) (3) (4) ta có: VT (1)> 2(a’ + b? +c’) (5) Dấu (5) xây đồng thời có dấu (2) (3) (4) «a=b=c Lại theo bất đẳng thức Cơsi ta có: 2(a +b? +c?)=(a? +b?}+(b? +c?)+ (c? +a *\> 2(ab + be + ca) (6) Dau bang (6) xay a =b=c Từ (5) (6) suy VT (1)> VP (1) => dpcm Dấu xáy đồng thời có dấu (5) (6) © Tìm giá trị y iai tcó: _ 3x 4x +4 2ty y ax ,l,, x dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có: \y ted Xi >2 5=, x + Xt ? () (2) 4x yang (2) xảy khi: I =— > x x=2 H9 Thuviendientu.org Lai theo bất đăng thức Cơsi ta có: i ta %533 422 y Dấu (3) xảy © Lại co: x+y (giả thiét) Dâu băng (4) xảy ©x Tir (2) (3) (4) ta cd: A> 8 yv 8§ + = : = | (8 Dau bang (5) xay đồng thời có dấu (2) (3) (4) © x=y=2 , Nhu the A = 7° x=y=2 ~ Thí dự Cho x>0, y> x + y = Chứng minh: p=! ++ >442V3 x'+y ` xy Giải (xty)`=l => xity'’+ 3xy(x ty) = lox t+y't 3xy = 38 +Y +3XYay, oy 48 3,.3 +y ma Ta cóx +y= l = Vay P= x 3,43 „ x+y xy x+y xy Theo bất đăng thức Cơsi ta có: 228 = pom NEY PY, x+y xy Dầu bì âu băng xây x+y=I x? +y? = J3xy Thi du 9: Cho x>0, y>0 va x"+y’ = Chimg minh s=(Ienfiets “oats |Niwa Gia Taco l S=(I+x)it+— + “xi: — rails x {8} rd) GA 2x 2y Theo bất đẳng thức Côsi ta có: 120 y xX) l =l+x+—+— Melee +y+# y 2\x y x x x Thuviendientu.org x+4>V2 (2); y+ x y evi l Dau bang (2) (3) xây c> x=y= J2 Lại theo bat đăng thức Côsi, ta có: *+*>2 y (4) x l1 x sy (3) xy Vx xy + y? 22 | (5) I Dau bang (4) va (5) xay ©x=y= a Thay (2), (3), (4), (Š) vào (1) ta có: a ˆ S>3V2+4 — Dau bang (6) xảy © (6) dong thoi co dau bang (2) (3) (4) (5) l Ox=y=-= = Thí dụ 10: Cho x, y, z >0 va a + lL + a = Chimg minh rang: xyz 2 l+y Dau bang XZ l (I+z)(I+x}) ©) x xay > xy Leaf 1+ (t+z)(I+y} ©) X=ZVAX=y Nhan ve voi vé (1) (2) (3) ta co: ] Xxyz (I+x)(I+y)(I+z) e+ => xyz < +Z) => đpcm Dau bang xay X=y=z 121 Thuviendientu.org Loại 2: Sử dụng bất đăng thức Côsi kết hợp với biến đổi đại số Với tập dạng áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi để chứng minh tập thuộc dạng Để sử dụng bất đăng thức Cési, trước an phy Sau thể sử dụng Thí dụ hết ta cần thực hành phép biến đôi đại số, mà chủ yếu phép đặt qua trình biến đổi ta đưa bất đẳng thức cần chứng minh dạng mà có trực tiếp bat đẳng thức Cơsi (Đề thi tuyển sinh Đại học khối 4-2007) Cho x, y, z>0 va nye Tìm giá trị nhỏ nhật biêu thức sau: x?(y+z) P= y y?(z+x) y +222 z?(x+y) Vz+2xVx Ap dung bat đăng thức Cơsi ta có: z z+2yJy_ Giai y+z>2yz> x?(y +z)>2x\|x?yz =2xJx (do xyz=1) Vậy ta có: x?(y+z)>2xýJx (); y?(z+x)>2yjy 2); 2xVx Tu (1) (2) (3) tacé: P= y + y +2zVz 2yjy z?(x+y)>2z⁄z.@) zVz + 2xvVx + 2zVz Zz z+2yJy (4 ) Dau bang (4) xay déng thoi cé dau bang (1) (2) (3) @ x/x=2c+a-2b a=yJy +2zvz Dat 4b =zVz x =y=z=!1 + 2xVz yy = P> =P>2 22-65) az = Sb4b+c-2a +e9 2a c=xvVx +2yJy Từ (4) (5) suy ra: 2(4 -2b) li hấu ), 9b (+22 boca 2(4a+b-2 2(4 —2 (4a+ yy (4b+e a) 9c 9a ee+‡)-$ b c a Do a>0, b>0, c>0, nên lại theo bat đẳng thức Cơsi ta có: Từ (6) suy P > (7) Dấu (7) xảy © a= b = c có dấu (4) © x=y=z~Ìl Vậy mịn P= © x=y=z= ] 122 (6) Thuviendientu.org lí dụ 2: (Dé thi tuyển sinh Đại học khối A4 — 2009) ho x>0, y>0, z>0 thỏa mãn điều kiện x(x+y+z) =3xyZ hứng minh: (x+y)} +(x+y)} +3(x+y)(x+Z)(y+z)0,b>0,c> và: , a+b-c a+c~b b+c~-a = ;y= ; Tw gia thiét x(xt+y+z)=3yz, ta cd: a+b-c (a+b) 32> a+b+c ,a+b-c 2 b+c-a ~c? =3(ab+ac—a? + be +c? ~ac~b” ~be + ab) c?= a?+ bˆ~ ab Bất đăng thức cần chứng mình: (1) (x+ y} ` +(x+ yy +3(x+y)(x+z)(y+z)s 5(y+ z} a’ +b’ +3abe < 5c’ (2) Theo (1) ta co: c? =a? +b? -ab=(a+b) ~3ab Theo bất đẳng thức Cơsi ta có: ab< (a+b) — Do từ (3) có: c >(a+b)2 -3&+B) Do a, b, c >0, nên từ (4) ta có: Dau bang (5) xảy a=b (3) hay cŸ > =9 atb 0) Theo bat dang thức Cơsi theo (4) ta có: 3ab < “(3 + b}” 0 suy ra: (a + b)c < 2c? Từ (7) (8) suy (5) ding = dpcm (7) (8) 123 Thuviendientu.org Nhan xét: ¬ Trong tập ta sử dụng bât đăng thức Côsi dạng đơn giản nhật a +b> 2Vab © (a + b}Ÿ” > 4ab Tuy nhiên, phép biến đổi đại số đóng vai trị quan trọng Thi du 3: ; : Chứng minh tam giác ABC, ta có: abc>(b+a~c)(a+c—b)(b+c-a), a, b c ba cạnh tam giác Giải NHI x+ x+ eeYee 2a TY 2“ ~ ĐH ng ng ` , va ta co: a=2 a Ni Khi x, y, z>0 Từ đó: abc > h +c—a)(a+c—- b)(a +b-— c) " (y + 2)(x + 2)(y + x) > bxyz (1) Theo bat dang thire Cési, ta cd: y+z22 J yz X+Z2>2VXxz x+y >2Vxy Từ suy ra: (y † z)(x † y)(y +Z)> 8xyz Vậy (1) = đpem Dấu xảy © x=y=z © a=b=c > ABC tam giác Nhán xót: Ở ta sử dụng bất đăng thức Cơsi dạng đơn giản nhất: a+b>2Vab với a, b >0 Tuy nhiên, phương pháp biến đổi đại số để đưa tốn dạng có thê áp dụng bất đăng thức Cơsi quan trọng Thí dụ 4: (ĐỀ thi tuyển sinh Đại học khối A — 2006) Cho hai số thực x # 0, y Z thay đổi thỏa mãn điều kiện (x + y)xy =x +y° — xy Tìm giá trị lớn biểu thức: 1d x Ty Giải Đặt ax X b= y Khi ti giả thiết: (x†Y)AY=x KH: bjJab a 124 +V —Xy, n- toe b* ab a* ta có , at+tb=a + b?—ab(1) ... dụng bất đẳng thức &+3)[ +} x sy ]>4: (xr yral Sates xX y z Rat nhiéu bai toan | ching minh bất đăng thức tìm giá trị lớn nhỏ hàm số quy hai bất đẳng thức nói Vì xem việc sử dụng hai bất đăng thức. .. lời giải phép chứng minh bat đăng thức, giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số cần tìm Thi du 1: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B- 2009) Tim giá trị lớn nhật nhỏ nhật biêu thức: A= 3x! tự +x? y ?)- 2(x?+y?]+I... đạt giá trị lớn nhật = , đạt giá trị nhỏ nhật P= - Thí dụ 4: (Dé thi tuyễn sinh Đại học Sài Gòn khối A - B 2007) Cho a, b, c ba số dương thỏa man a “+b +c”=1 Tìm giá trị nhỏ biểu ab be ca thức:
