SỐ PHỨC I. Định nghĩa và các phép toán về số phức Định nghĩa 1: Số phức là một biểu thức có dạng bia + với ba, là những số thực và i thỏa mãn 1 2 −=i . Ta kí hiệu biaz += Như vậy { } RbabiaC ∈+= ,| i gọi là đơn vị ảo, a là phần thực, b gọi là phần ảo Nhận xét: 1) Mỗi số thực x được viết dưới dạng số phức là: ix 0+ . Vậy tập số thực là con của tập các số phức. 2) số phức có phần thực bằng 0 được viết dưới dạng yi+0 và được gọi là số ảo Ví dụ: Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau: iz 32 −= , iz 3−= , 12 +=z , ( ) iz 1212 ++−= Định nghĩa 2: Hai số phức ibaz 111 += , ibaz 222 += bằng nhau khi và chỉ khi 21 aa = và 21 bb = . Đặc biệt biaz += bằng 0 ⇔ 0,0 == ba *) Các phép toán về số phức: 1) Phép cộng 2 số phức Cho hai số phức ibaz 111 += , ibaz 222 += và Rk ∈ ta có: ( ) ibabazz 221121 +++=+ ( ) ibbaazz 212121 −+−=− Phép cộng 2 số phức có tính chất kết hợp, giao hoán, cộng với số 0 , số phức biaz += có số phức đối là biaz −−= , . Vậy 0 , =+ zz 2) Phép nhân 2 số phức: Cho 2 số phức biaz += và dicz += , ta có : ( ) ibcadbdaczz −++= , Nếu ikz 0 , += thì kbikakz += Phép nhân hai số phức có tính chất kết hợp, giao hoán, nhân với số 1 và tính chất phân phối của phép nhân và phép cộng II. Số phức liên hợp và modun của số phức 1) số phức liên hợp Định nghĩa: Số phức liên hợp của số phức biaz += là biaz −= . Như vậy biabiaz −=+= Tính chất: +) zz = +) ,, zzzz +=+ +) ,, zzzz = 2) Modun của số phức: Modun của số phức biaz += bằng z = 22 ba + . Như vậy zzz = 2 và zz = 3) Nghịch đảo của số phức Số phức , z gọi là nghịch đảo của z nếu 1 , =zz . Ta kí hiệu , z là 1− z . Ta có 2 1 z z z = − Biểu diễn hình học của số phức: (*) Mỗi số phức được biểu diễn tương ứng với tọa độ 1 điểm M trong mặt phẳng tọa độ. Số phức biaz += được biểu diễn bởi điểm ( ) baM ; (*) Khi đó mỗi số phức biaz += cũng có thể biểu diễn bởi 1 véc tơ ( ) baOM ;= . Cộng trừ 2 véc tơ là biểu diễn hình học của cộng trừ 2 số phức. Ví dụ: Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn: 1=z Giải: Gọi ( ) yxM ; là biểu diễn hình học của số phức z . Ta có 1 22 =+ yx ⇔ 1 22 =+ yx . Suy ra tập hơp điểm M là đường tròn tâm ( ) 0;0O và bán kính 1=R (*) Một số bài tập: Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau: 1) i + (2 - 4i) - (3 - 2i); 2) 3 3 ( 1 ) (2 )i i− + − 3) 1 1 3 2 2 i+ 4) 2 3 2009 1 i i i i+ + + + + 5) 100 (1 )i− 6) i i23 − 7) i i − − 4 43 8) ( )( ) iii +− 32 9) ( ) 2 32 i+ 10) ( ) 3 32 i− 11) i i i i 23 1 1 23 − − + − + 12) ( ) ( ) iii 3221 +− Bài 2: Cho số phức 1 3 2 2 z i= − + . CMR: ; 1 2 2 3 1 0; 1.z z z z z z + + = = = = Bài 3: Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z trong nhưng trường hợp sau: 1) 21 =+− iz 2) ziz −=+2 3) 3= − iz z 4) 43 =++ zz 5) 21 =−+− izz 6) ( )( ) ziz +−2 là số thực 7) ( )( ) ziz +−2 là số ảo 8) izziz 22 +−=− 9) ( ) 4 2 2 =− zz 10) izz 43 +−= Bài 4: Tìm số phức z biết a) 2 0zz + = . b) 1 1 z z i − = − ; c) 3 1 z i z i − = + ; d) 4 1 z i z i +    ÷ −   = e) 2z i z− = và 1z i z− = − ; f) 1 2 3 4z i z i+ − = + + và 2z i z i − + là 1 số ảo Bài 5: Chứng minh rằng mọi số phức 1≠z ta có 1 1 1 10 932 − − =+++++ z z zzzz CĂN BẬC 2 CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 Định nghĩa: số phức z gọi là căn bậc 2 của w khi và chỉ khi wz = 2 (*) Cách tìm căn bậc 2: Giả sử ta cần tìm căn bậc 2 của số phức biaw += Gọi yixz += là căn bậc 2 của w . Suy ra yixbia +=+ ⇔ ( ) 2 yixbia +=+ ⇔ xyiyxbia 2 22 +−=+ ⇔    = =− bxy ayx 2 22 Ví dụ: Tìm căn bậc 2 của iz 68 += Giải: Giả sử yixi +=+ 68 ( ) 2 68 yixi +=+⇔ ⇔ xyiyxi 268 22 +−=+ ⇔    = =− 62 8 22 xy yx ⇔        =       − = 8 3 3 2 2 x x x y ⇔      =−− = 098 3 24 xx x y . Phương tình có các nghiệm là:    = = 1 3 y x và    −= −= 1 3 y x Vậy i68 + có 2 giá trị là i + 3 và i −− 3 (*) Phương trình bậc 2: Cho phương trình 0 2 =++ cbzaz với acb 4 2 −=∆ Nếu 0 ≠∆ phương trình có 2 nghiệm a b z 2 1 δ +− = a b z 2 2 δ −− = Nếu 0 =∆ phương trình có nghiệm kép a b zz 2 21 −== (*) Hệ thức viet Gọi 1 z , 2 z là 2 nghiệm của phương trình 0 2 =++ cbzaz . Ta có        = −=+ a c zz a b zz 21 21 Mốt số bài tập: Bài 1: Tìm căn bậc hai của các số phức sau ) 5 12 ) 8 6a i b i− + + c) 3 1 3 i i − + d) 1 1 1 1i i + + − e) 2 1 1 i i +    ÷ −   f) 2 1 3 3 i i   −  ÷ −   Bài 2: Giải các phương trình sau: 1) 023 2 =++ zz 2) ( ) 01543 2 =−++− iziz 3) 01 2 =++ zz 4) ( ) 021 2 =−−++ iziz 5) 01 3 =−z 6) 0256 24 =+− zz 7) 0122 2 =−+− iizz 8) ( ) ( ) 05122145 2 =+−−− iziz 9) ( ) ( ) 013363 2 =+−+−−+ iziz 10) ( ) ( ) 02252 2 =−+−−+ izizi 11) ( ) 0sincossincos 2 =++− ϕϕϕϕ iziz 12) ( ) 0166318 24 =−+−− iziz 13) ( ) ( ) 02121 23 =−−+−+ iziziz 14) 033532 23 =−++− izzz 15) ( ) ( ) 01231 2 =+−−+ iziz Bài 3: Cho 1 2 ,z z là 2 nghiệm của phương trình ( ) ( ) 2 1 2 3 2 1 0i z i z i+ − + + − = . Không giải phương trình hãy tính: 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 ) ) ) z z a A z z b B z z z z c C z z = + = + = + Bài 4: Cho 1 2 ,z z là 2 nghiệm của phương trình: ( ) 2 1 2 2 3 0z i z i − + + − = . Không giải phương trình hãy tính: 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 3 3 3 3 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 ) ) ) 1 2 1 2 ) ) ) z z a A z z b B z z z z c C z z d D z z e E z z z z f F z z z z z z = + = + = +     = + = + = + + +  ÷  ÷     DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Cho số phức yixz += có biểu diễn hình học là điểm M trong mặt phẳng tọa độ. Gọi ϕ là góc tạo bởi OM và chiều dương của trục Ox . Ta đặt 22 bazr +== và    = = ϕ ϕ sin cos ry rx khi đó số phức z được viết dưới dạng lượng giác là: ( ) ϕϕ sincos irz += . ϕ gọi là argument. Như vậy để tìm dạng lượng giác của số phức yixz += ta tìm 22 yxr += và x y = ϕ tan (*) Một số phép toán về dạng lượng giác của số phức: Cho 2 số phức ( ) ϕϕ sincos irz += và ( ) ,,,, sincos ϕϕ irz += ta có: =+ , zz =− , zz ( ) ( )( ) ,,,, sincos ϕϕϕϕ +++= irrzz ( ) ( )( ) ,, ,, sincos ϕϕϕϕ ++−= i r r z z (*) Công thức Moa-vro ( ) ϕϕ ninrz nn sincos +=       + + + = n k i n k rz nn πϕπϕ 2 sin 2 cos Một số bài tập: Bài 1: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác: 1) 31 i− 2) ( ) ( ) ii +− 131 3) i i + − 1 31 4) ( ) ii −32 5) i22 1 + Bài 2: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau: 1) ( ) ( ) 9 10 3 1 i i + + 2) 2008 1       + i i 3) 12 2 3 2 1         + i 4) ( ) 7 5 31 3 sin 3 cos iii +       − ππ 5) ( ) ( ) ( ) 10 5 10 31 31 i ii −− +− 6) 2009 2009 1 z z + nếu 1 1 =+ z z (*) Một số đề thi đại học Bài 1: Khối B 2009: Tìm số phức z thỏa mãn ( ) 102 =+− iz và 25=zz Bài 2: Khối D 2009: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn (3 4 ) 2z i− − = Bài 3: Khối A 2009: Gọi 1 z và 2 z là 2 nghiệm phức của phương trình 0102 2 =++ zz . Tìm giá trị của biểu thức 2 2 2 1 zzA += . Bài 4: (CĐ-09) Giải phương trình z i z i z i − − = − − 4 3 7 2 ĐS: ;z i z i= + = +3 1 2 Bài 5: Tìm số phức z thỏa mãn 1 2 3 4 1 10 z i z i z z i ì ï + - = + + ï ï í ï - + - = ï ï î HD: z = x + yi ( ; ) ( 3;2),( 6; 1)x y® = - - - Bài 6: (CĐ-09) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn ( ) ( ) ( )i i z i i z+ − = + + + 2 1 2 8 1 2 . ĐS: z = 2 – 3i Bài 7: Cho số phức z i= +2 3 . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z i iz + −1 ĐS: z i= − + 3 1 5 5 Bài 8: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn i i z i i + + = − − 2 2 3 1 3 2 ĐS: z i= − 11 3 5 5 Bài 9: Tìm phần thực và phần ảo của số phức ( ) ( ) i z i + = + 30 15 1 1 3 HD: ( )i i+ = 2 1 2 → ( )i i+ = − 30 15 1 2 ; ( ) ( )i i+ = − → + = − 3 15 45 1 3 8 1 3 2 → i z = 30 2