PGS.TS. Đỗ Văn Nhơn [TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH] Mục lục MỞ ĐẦU Hiện nay, tiềm năng của mạng Internet là rất lớn. Như ta đã biết các giao tiếp, trao đổi thông tin qua Internet đều sử dụng giao thức TCP/IP. Các gói tin truyền từ điểm nguồn tới điểm đích sẽ đi qua rất nhiều máy tính trung gian, vì vậy độ an toàn thấp, nó rất dễ bị xâm phạm, theo dõi và giả mạo trên đường truyền. Vấn đề không an toàn cho thông tin trên đường truyền khiến nhiều người đắn đo trong việc sử dụng mạng Internet cho những ứng dụng về tài 1 Nguyễn Hữu Lộc | CH1301023Đề tài: Tìm hiểu thuật toán RSA và ứng dụng ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN  ĐỒ ÁN MÔN HỌC TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH ĐỀ TÀI: TÌM HIỂU THUẬT TOÁN RSA VÀ ỨNG DỤNG Giảng viên hướng dẫn: PGS.TS. ĐỖ VĂN NHƠN Học viên thực hiện: Nguyễn Hữu Lộc - CH1301023 Thành phố Hồ Chí Minh, 12/2013 PGS.TS. Đỗ Văn Nhơn [TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH] chính, giao dịch ngân hàng, hoạt động mua bán và khi truyền các thông tin kinh tế, chính trị vv… Những biện pháp đảm bảo an toàn thông tin đưa ra đều nhằm đáp ứng 3 yêu cầu: bảo mật thông tin, xác thực thông tin và toàn vẹn thông tin trên đường truyền. Các hệ mã hóa thông tin bảo đảm tính bí mật nội dung thông tin, các sơ đồ chữ ký số bảo đảm xác thực thông tin trên đường truyền. Trong mật mã học, RSA là một thuật toán mật mã hóa khóa công khai. Đây là thuật toán đầu tiên phù hợp với việc tạo ra chữ ký điện tử đồng thời với việc mã hóa. Nó đánh dấu một sự tiến bộ vượt bậc của lĩnh vực mật mã học trong việc sử dụng khóa công cộng. RSA đang được sử dụng phổ biến trong thương mại điện tử và được cho là đảm bảo an toàn với điều kiện độ dài khóa đủ lớn. MỤC LỤC 2 Nguyễn Hữu Lộc | CH1301023Đề tài: Tìm hiểu thuật toán RSA và ứng dụng PGS.TS. Đỗ Văn Nhơn [TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH] BẢNG TỪ VIẾT TẮT Từ hoặc cụm từ Từ viết tắt Ước chung lớn nhất UCLN Chinese Remainder Theorem CRT Ron Rivest, Adi Shamir, Len Adleman RSA 3 Nguyễn Hữu Lộc | CH1301023Đề tài: Tìm hiểu thuật toán RSA và ứng dụng PGS.TS. Đỗ Văn Nhơn [TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH] CHƯƠNG I.CƠ SỞ TOÁN HỌC VỀ SỐ NGUYÊN VÀ CÁC THUẬT TOÁN 1.1. Ước số - Bội số Định nghĩa : Ước số của a và b là c nếu c|a và c|b Ước số chung lớn nhất : Là số lớn nhất mà a và b chia hết Ký hiệu : c = gcd (a,b) ; (great common divisor) Bội số chung nhỏ nhất : d là BCNN của a và b nếu ∀ c mà a|c , b|c → d|c Ký hiệu : d = lcm (a,b) ; (least common multiple) Tính chất: lcm (a,b) = a.b/gcd(a,b) 1.2. Số nguyên tố Định nghĩa : Số nguyên tố là số chỉ chia hết cho 1 và chính nó, ngoài ra không còn số nào nó có thể chia hết nữa. Hệ mật thường sử dụng số nguyên tố lớn cỡ 512bits và thậm chí còn lớn hơn nữa. Hai số m và n gọi là hai số nguyên tố cùng nhau khi ước số chung lớn nhất của chúng bằng 1. Chúng ta có thể viết như sau: UCLN(m,n)=1 1.3. Các thuật toán trong Z Cho a và b là các số nguyên không âm và nhỏ hơn hoặc bằng n. Cần chú ý rằng số các bit trong biểu diễn nhị phân của n là [lgn] + 1 và số này xấp xỉ bằng lg n. Số các phép toán bit đối với bốn phép toán cơ bản trên các số là cộng , trừ, nhân và chia sử dụng các thuật toán kinh điển được tóm lược trên bảng sau. Các kỹ thuật tinh tế hơn đối với các phép toán nhân và chia sẽ có độ phức tạp nhỏ hơn. Phép toán Độ phức tạp bit 4 Nguyễn Hữu Lộc | CH1301023Đề tài: Tìm hiểu thuật toán RSA và ứng dụng PGS.TS. Đỗ Văn Nhơn [TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH] Cộng a + b Trừ a – b Nhân a * b Chia a = qb + r 0(lg a + lg b) = 0 (lg n) 0(lg a + lg b) = 0 (lg n) 0 ( ) b) (lg*a) (lg = 0 ( ) n)2 (lg 0 ( ) b) (lg*a) (lg = 0 ( ) n)2 (lg 1.4. Thuật toán Euclide : Tính UCLN của 2 số nguyên VÀO : Hai số nguyên không âm a và b với a > b RA : UCLN của a và b (1). while b ≠ 0 do R ← a mod b, a ← b, b ← r (2). Return (a) 1.5. Thuật toán Euclide mở rộng VÀO : Hai số nguyên không âm a và b với a > b RA : d = UCLN (a, b) và các số nguyên x và y thỏa mãn ax + by = d (1) Nếu b = 0 thì đặt d ← a, x ← l, y ← 0 và return (d, x, y) (2) Đặt x 2 ← l, x 1 ← 0, y 2 ← 0, y 1 ← l (3) while b > 0 do 1. q ← [a/b], r ← a – qb, x ← x 2 – qx 1 , y ← y 2 – qy 1 2. a ← b, b ← r, x 2 ← x 1 , x 1 ← x, y 2 ← y 1 , y 1 ← y (4) Đặt d ← a, x ← x 2 , y ← y 2 và return (d, x, y) 1.6. Định nghĩa hàm Φ Euler Định nghĩa : Với n≥1 chúng ta gọi φ (n) là tập các số nguyên tố cùng nhauvới n nằm trong khoảng [1,n]. Tính chất :  Nếu p là số nguyên tố → φ (p) = p-1  Nếu p=m.n , gcd(m,n)=1 → φ (p)= φ (m). φ (n)  Nếu n = k e k eee pppp 3 21 321 là thừa số nguyên tố của n thì → φ (n)=n         −         −         − k ppp 1 1 1 1 1 1 21 1.7. Đồng dư thức Định nghĩa : Cho a và b là hai số nguyên tố, a được gọi là đồng dư với b theo modulo n, ký hiệu là a ≡ b(mod n) nếu a, b chia cho n có cùng số dư. Ví dụ : 24 ≡ 9 mod 5 vì 24 - 9 = 3 * 5 -11 ≡ 17 mod 7 vì -11 - 17 = -4 * 7 5 Nguyễn Hữu Lộc | CH1301023Đề tài: Tìm hiểu thuật toán RSA và ứng dụng PGS.TS. Đỗ Văn Nhơn [TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH] Tính chất : Đối với a, a 1 , b, b 1 , c ∈ Z ta có :  a ≡ a (mod n)  a ≡ b (mod n) ↔ b ≡ a (mod n)  a ≡ b (mod n) , b ≡ c (mod n) → a ≡ c (mod n)  a ≡ a 1 (mod n) , b ≡ b 1 (mod n) a+b≡ a 1 +b 1 (mod n) a.b ≡ a 1 .b 1 (mod n) 1.8. Số nghịch đảo Định nghĩa : Cho a ∈ Z n . Một số nguyên x ∈ Z n gọi là nghịch đảo của a theo modn nếu a.x ≡ 1mod n Nếu có số x như vậy thì nó là duy nhất và ta nói a là khả nghịch. Ký hiệu là a -1 . Có thể suy ra rằng a khả nghịch theo mod n khi và chỉ khi gcd (a,n)=1. 1.9. Nhóm nhân Z*n Định nghĩa : Nhóm nhân của Z n ký hiệu là Z * n là tập hợp các phần tử sao cho gcd (a,n)=1. Đặc biệt với n là số nguyên tố thì Z * n ={ a ∈ Z n | 1≤a≤n-1} Định nghĩa : Cho a ∈Z * n khi đó bậc của a kí hiệu là ord (a) là một số nguyên dương t nhỏ nhất sao cho a t ≡ 1(mod n). 1.10. Định nghĩa thặng dư bậc 2 Định nghĩa : Cho a ∈ Z * n gọi a là thặng dư bậc 2 theo modulo n nếu tồn tại x sao cho x 2 ≡ a (mod n) . Nếu không tồn tại thì gọi a là bất thặng dư bậc 2. Tập tất cả các thặng dư bậc hai modulo n được kí hiệu là n Q , còn tập tất cả các thặng dư không bậc hai được kí hiệu là n Q . 1.11. Phần dư China CRT ( Chinese Remainder Theorem) Nếu các số nguyên n 1 , n 2 , …, n k là nguyên tố cùng nhau từng thì hệ các phương trình đồng dư: x ≡ a 1 (mod n 1 ) x ≡ a 2 (mod n 2 ) ……………… x ≡ a k (mod n k ) sẽ có nghiệm duy nhất theo modulo n (n = n 1 , n 2 , …, n k ) x = ∑ = k i 1 a i N i M i mod n Trong đó N i = n / n i và M i = N 1− i mod n i Các tính toán này có thể được thực hiện bởi 0 ( ) )2n (lg các phép toán trên bit. Ví dụ : Cặp phương trình đồng dư 6 Nguyễn Hữu Lộc | CH1301023Đề tài: Tìm hiểu thuật toán RSA và ứng dụng PGS.TS. Đỗ Văn Nhơn [TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH] x ≡ 5 (mod 9) x ≡ 19 (mod 23) có nghiệm duy nhất x ≡ 203 (mod 207) Tính chất Nếu (n 1 , n 2 ) = 1 thì cặp phương trình đồng dư x ≡ a (mod n 1 ), x ≡ a (mod n 2 ) có một nghiệm duy nhất x ≡ a (mod n 1 ,n 2 ) 7 Nguyễn Hữu Lộc | CH1301023Đề tài: Tìm hiểu thuật toán RSA và ứng dụng PGS.TS. Đỗ Văn Nhơn [TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH] CHƯƠNG II: TÌM HIỂU VỀ MẬT MÃ Mật mã học là khoa học nghiên cứu sự an toàn, toàn vẹn của dữ liệu, xác nhận sự tồn tại và xác nhận tính nguyên bản của thông tin. Hình 1:Sơ đồ khối một hệ truyền tin mật Nguồn tin Bộ mã hóa Kênh mở (không an toàn) Bộ giải mã Nhận tin Thám mã Kênh an toàn Nguồn khóa Bản rõ Bản mã Bản mã K D K E B A Bản rõ Định nghĩa : Một hệ mật mã là một bộ năm (P, C, K, E, D) thoả mãn các điều kiện sau đây: + P là một tập hữu hạn các bản rõ. + C là một tập hữu hạn các bản mã. + K là một tập hữu hạn các khoá. 8 Nguyễn Hữu Lộc | CH1301023Đề tài: Tìm hiểu thuật toán RSA và ứng dụng PGS.TS. Đỗ Văn Nhơn [TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH] + Với mỗi k ∈ K, có một hàm lập mã e k ∈ E e k : P → C và một hàm giải mã d k ∈ D d k : C → P sao cho d k ( ) (x)e k = x với mọi x ∈ P Trong thực tế, P và C thường là bảng chữ cái (hoặc tập các dãy chữ cái có độ dài cố định). 2.1. Mã cổ điển Hệ mã cổ điển (hệ mã đối xứng) là hệ mật mã mà khóa mã hóa có thể dễ dàng tìm được từ khóa giải mã và ngược lại. Trong nhiều trường hợp, khóa mã hóa và khóa giải mã là giống nhau. Hệ mật mã cổ điển yêu cầu người gửi và người nhận phải thỏa thuận một mã trước khi tin tức được gửi đi, khóa này phải được cất giữ bí mật. Độ an toàn của hệ này phụ thuộc vào khóa. Nếu để lộ khóa, thì bất kỳ người nào cũng có thể mã hóa và giải mã thông điệp đó.  Các đặc điểm của hệ mã cổ điển 1. Các phương pháp mã hóa cổ điển đòi hỏi người mã hóa và người giải mã phải có cùng chung một khóa. 2. Khóa phải được giữ bí mật tuyệt đối, khóa phải được gửi đi trên kênh an toàn. Vì dễ dàng xác định một khóa nếu biết khóa kia. Nhược điểm chính của phương pháp này là khóa được truyền trên kênh an toàn nên chi phí tốn kém và không kịp thời. Ưu điểm là tốc độ mã hóa và giải mã rất nhanh. Các hệ mật mã cổ điển cũng dùng chung một khoá cho việc lập mã và giải mã, các bản rõ và bản mã thường dùng cơ sở là bảng chữ cái trong ngôn ngữ tự nhiên. Và trong phần này ta sẽ dùng bảng chữ cái tiếng Anh làm ví dụ.  Nơi ứng dụng Hệ mã cổ điển thường được sử dụng trong môi trường mà khóa có thể dễ dàng trao chuyển bí mật. Nó cũng được dùng để mã hóa thông tin khi lưu trữ trên đĩa. 2.1.1. Mã dịch chuyển Định nghĩa : Mã dịch chuyển: (P, C, K, E, D) P = C = K = Z 26 với k ∈ K, định nghĩa e k (x) = (x + k) mod 26 d k (y) = (y – k) mod 26 (x, y ∈ Z 26 ) Ví dụ: Dùng khoá k = 2 để mã hoá dòng thư: "madichchuyen'" dòng thư đó tương ứng với dòng số 9 Nguyễn Hữu Lộc | CH1301023Đề tài: Tìm hiểu thuật toán RSA và ứng dụng PGS.TS. Đỗ Văn Nhơn [TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH] m a d i c h c h u y e n 12 0 3 8 2 7 2 7 20 24 4 13 Qua phép mã hoá e 2 sẽ được: 14 2 5 10 4 9 4 9 22 26 6 15 o c f k e j e j w z g p Bản mã sẽ là: “ocfkejejwzgp” Nhận được bản mã đó, dùng d 2 để nhận được bản rõ. Cách đây 2000 năm mã dịch chuyển đã được Julius Ceasar sử dụng, với khoá k=3 mã địch chuyển được gọi là mã Ceasar. Tập khoá phụ thuộc vào Z m với m là số khoá có thể. Trong tiếng Anh tập khoá chỉ có 26 khoá có thể, việc thám mã có thể được thực hiện bằng cách duyệt tuần tự 26 khoá đó, vì vậy độ an toàn của mã dịch chuyển rất thấp. 2.1.2. Mã thay thế Định nghĩa Mã thay thế: (P, C, K, E, D) P = C = Z 26 , K = S (Z 26 ) Với mỗi π є K, tức là một hoán vị trên Z 26 , ta xác định e π (x) = π (x) d π (y) = π -1 (y) với x, y є Z 26 , π -1 là nghịch đảo của π Ví dụ: π được cho bởi (ở đây ta viết chữ cái thay cho các con số thuộc Z 26 ): a b c d e f g h i j k l m n z y x w v u t s r q p o n m o p q r s t u v w x y z l k j i h g f e d c b a Bản rõ: 10 Nguyễn Hữu Lộc | CH1301023Đề tài: Tìm hiểu thuật toán RSA và ứng dụng [...]... và button Bước 3 sẽ bị mờ Người nhận click button khai cho người gởi để cấp khóa công 22 Nguyễn Hữu Lộc | CH1301023Đề tài: Tìm hiểu thuật toán RSA và ứng dụng PGS.TS Đỗ Văn Nhơn [TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH] Bước 4 Người gởi nhập nội dung cần gởi Bước 5 Click button để mã hóa nội dung 23 Nguyễn Hữu Lộc | CH1301023Đề tài: Tìm hiểu thuật toán RSA và ứng dụng PGS.TS Đỗ Văn Nhơn [TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC... Lộc | CH1301023Đề tài: Tìm hiểu thuật toán RSA và ứng dụng PGS.TS Đỗ Văn Nhơn [TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH] CHƯƠNG IV ỨNG DỤNG MINH HỌA THUẬT TOÁN RSA 4.1 Giới thiệu Ứng dụng được viết trên nền Visual Studio 2010 và ngôn ngữ C#, với các chức năng vận dụng giải thuật RSA tạo khóa, mã hóa, giải mã 4.2 Cài đặt thử nghiệm Màn hình đầu của ứng dụng Bước 1 Bước 2 • Người gởi click vào button để xin khóa... Đại Học Quốc Gia Hà Nội, Lý thuyết mật mã và an toàn thông tin –2002 33 Nguyễn Hữu Lộc | CH1301023Đề tài: Tìm hiểu thuật toán RSA và ứng dụng PGS.TS Đỗ Văn Nhơn [TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH] [2] GS TSKH Hoàng Văn Kiếm, PGS.TS Đỗ Văn Nhơn, ĐH CNTT – ĐHQG Tp.HCM Tài liệu môn học Phương Pháp Toán Trong Tin Học [3] TS Đào Thế Long, Giáo trình An toàn và bảo mật thông tin [4] Lê Thị Sâm, Báo cáo khoa học. .. tài: Tìm hiểu thuật toán RSA và ứng dụng PGS.TS Đỗ Văn Nhơn [TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH] Hình 2 : Mã hóa RSA Thay vì tấn công bằng brute force (dò tìm lần lượt) theo cách thông thường, các nhà khoa học tạo một điện thế lớn để gây lỗi hệ thống, từ đó giúp tìm ra khoá bí mật Việc tấn công được thực hiện trên một FPGA Điều thú vị là, cách đây không lâu, một bài báo cho đã công bố việc bẻ khoá RSA 768... tài: Tìm hiểu thuật toán RSA và ứng dụng với PGS.TS Đỗ Văn Nhơn [TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH] //Gán các giá trị tính được cho các TextBox txtD.Text = d.ToString(); } privatevoidbtnTaoKhoa_Click(objectsender, EventArgse) { btnCapKhoaCongKhai.Enabled = false; TaoKhoa(); lblLoi.Visible=false; btnCapKhoaCongKhai.Enabled = true; } privatevoidchkTuDong_CheckedChanged(objectsender, EventArgse) { btnTaoKhoa.Enabled... sử dụng rộng rãi không 13 Nguyễn Hữu Lộc | CH1301023Đề tài: Tìm hiểu thuật toán RSA và ứng dụng PGS.TS Đỗ Văn Nhơn [TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH] những trong vấn đề bảo mật truyền tin mà còn trong các vấn đề xác nhận và chữ ký điện tử Bài toán logarithm rời rạc trong Zp là đối tượng trong nhiều công trình nghiên cứu và được xem là bài toán khó nếu p được chọn cẩn thận Cụ thể là không có một thuật toán. .. bản của người gởi sẽ tạo và cung cấp khóa công khai cho người gởi bằng 1 trong 2 cách Tạo khóa tự động: 21 Nguyễn Hữu Lộc | CH1301023Đề tài: Tìm hiểu thuật toán RSA và ứng dụng PGS.TS Đỗ Văn Nhơn [TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH] Hoặc Tạo khóa thủ công: người nhận sẽ tự nhập giá trị cho 2 số nguyên tố p và q, các giá trị khác chương trình sẽ tự phát sinh • Nếu 1 trong 2 số p và q không phải là số nguyên... trị 123, ta thực hiện phép tính: encrypt(123) = 12317 mod 3233 = 855 Để giải mã văn bản có giá trị 855, ta thực hiện phép tính: decrypt(855) = 8552753 mod 3233 = 123 17 Nguyễn Hữu Lộc | CH1301023Đề tài: Tìm hiểu thuật toán RSA và ứng dụng PGS.TS Đỗ Văn Nhơn [TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH] Cả hai phép tính trên đều có thể được thực hiện hiệu quả nhờ giải thuật bình phương và nhân 3.5.Chuyển đổi văn... 4,405,829) 15 Nguyễn Hữu Lộc | CH1301023Đề tài: Tìm hiểu thuật toán RSA và ứng dụng PGS.TS Đỗ Văn Nhơn [TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH] 3.2 Định nghĩa Hệ mật này sử dụng tính toán trong Z n, trong đó n là tích của 2 số nguyên tố phân biệt p và q Ta thấy rằng φ(n) = (p – 1).(q – 1) Cho n = p.q trong đó p và q là các số nguyên tố Đặt P = C = Zn và định nghĩa: K = {(n, p, q, a, b): n = p.q, p, q là các số... khóa K giữa A và B qua một kênh an toàn trước khi gửi một bản mã bất kỳ Trên thực tế điều này rất khó đảm bảo Chẳng hạn khi A và B ở cách xa nhau và họ chỉ có thể liên lạc với nhau bằng E-mail Trong tình huống đó A và B không thể tạo một kênh bảo mật với giá phải chăng 12 Nguyễn Hữu Lộc | CH1301023Đề tài: Tìm hiểu thuật toán RSA và ứng dụng PGS.TS Đỗ Văn Nhơn [TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH] Ý tưởng . Adleman RSA 3 Nguyễn Hữu Lộc | CH1301023Đề tài: Tìm hiểu thuật toán RSA và ứng dụng PGS.TS. Đỗ Văn Nhơn [TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH] CHƯƠNG I.CƠ SỞ TOÁN HỌC VỀ SỐ NGUYÊN VÀ CÁC THUẬT TOÁN 1.1 Hữu Lộc | CH1301023Đề tài: Tìm hiểu thuật toán RSA và ứng dụng PGS.TS. Đỗ Văn Nhơn [TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH] CHƯƠNG II: TÌM HIỂU VỀ MẬT MÃ Mật mã học là khoa học nghiên cứu sự an toàn,. CÔNG NGHỆ THÔNG TIN  ĐỒ ÁN MÔN HỌC TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH ĐỀ TÀI: TÌM HIỂU THUẬT TOÁN RSA VÀ ỨNG DỤNG Giảng viên hướng dẫn: PGS.TS. ĐỖ VĂN NHƠN Học viên thực hiện: Nguyễn Hữu Lộc